2019-2020学年河南省八市重点高中联盟高一上学期11月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年河南省八市重点高中联盟高一上学期11月月
考数学试题
一、单选题
1．下列关系式中，正确的是（ ） A ．π∈Q B ．
(){}{}0,10,1⊆
C ．{}∅∈∅
D ．{}{}21,2∈
【答案】C
【解析】根据集合的关系，以及元素和集合的关系，逐一分析选项. 【详解】
π是无理数，故π∉Q ，所以A 错误；
集合
(){}0,1是点集，集合{}0,1是数集，所以(){}{}0,10,1⊆错误，故B 错误；
∅是集合{}∅的一个元素，故{}∅∈∅，所以C 正确；
集合{}2是集合{}1,2的子集，所以D 错误． 故选: C 【点睛】
本题考查元素和集合的关系，以及集合间的关系，属于基础题型，意在考查基本概念. 2．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}
14B x x =∈≤<R ，图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A ．{}4
B ．{}0,4
C ．{}0
D ．{}0,1,4
【答案】C
【解析】图中阴影表示()U A C B ⋂，先求U C B ，再求交集. 【详解】
阴影部分所表示的集合为()
U A B ∩ð，
而{}
14B x x =∈≤<R ，所以{1U C B x x =<或4}x ≥，所以(){}0U A B ⋂=ð.
故选：C
【点睛】
本题考查韦恩图表示的集合的运算，属于基础题型.
3．已知函数()2
23x x x f =-+在区间[]0,t 的值域是[]2,3，则实数t 的取值范围是
（ ） A ．(]0,1 B ．()0,1 C ．(]1,2
D ．[]1,2
【答案】D
【解析】()()2
12f x x =-+，函数的对称轴是1x =，且
()03f = ，函数的最小值是
2，所以定义域里包含对称轴，函数的最大值是3，所以区间端点的最大值是2，写出t 的范围. 【详解】
因为该二次函数图象的对称轴为1x =，而
()03f =，()12f =，()23f =，所以当
[]0,x t =，值域是[]2,3时，需要12t ≤≤．
故选: D 【点睛】
本题考查根据二次函数的值域求定义域，意在考查函数定义域和值域的关系，属于中档题型.
4．已知()2
2,0log ,0x a x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若
122f f ⎡⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．3
C ．
32
D ．
12
【答案】C 【解析】先求211log 122f ⎛⎫==- ⎪
⎝⎭
，再根据()12f -=求实数a 的值. 【详解】 因为211log 122f ⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
，则()111222f f f a ⎡⎤⎛⎫=-=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，所以3
2a =．
故选: C 【点睛】
本题考查根据分段函数的值求值，属于基础题型，意在考查基础计算能力.
5．已知函数()f x 的定义域是[]1,4，则函数()()21
x f g x x =-的定义域为（ ）
A ．[)(]0,11,2
B ．()0,2
C ．[]0,2
D ．()()0,11,2U
【答案】A
【解析】因为()f x 的定义域是[]1,4，所以124x ≤≤，且10x -≠. 【详解】
由题意可得，124
1
x x ⎧≤≤⎨≠⎩，解得02x ≤≤且1x ≠，所以函数()g x 的定义域为
[)(]0,11,2．
故选：A 【点睛】
本题考查函数定义域的求法，包含具体函数的定义域和抽象函数的定义域，属于基础题型.
6．幂函数()2
23
m
m y x m +-=∈Z 的图象如下图所示，则m 的值为（ ）
A ．2-或0
B ．1-
C ．0
D ．2-
【答案】A
【解析】首先根据图象特征，可知2230m m +-<，根据m Z ∈，确定m 的值，依次代入验证函数是否是奇函数. 【详解】
由幂函数在第一象限的单调性可得，2230m m +-<，解得31m -<<，再由m ∈Z 可得，2m =-或1-或0．又从图象可知该函数是奇函数，若2m =-，则2233m m +-=-，符合题意；若1m =-，则2234m m +-=-，不合题意，若0m =，则2233m m +-=-，符合题意，综上，2m =-或0．
故选：A 【点睛】
本题考查幂函数的图象和基本性质，意在考查数形结合，和计算能力，属于基础题型. 7．若()2222log 2log log x y x y -=+，则22log log x y -=（ ） A ．2 B ．2或0 C ．0 D ．2-或0
【答案】C
【解析】根据对数运算法则可知()2
2x y xy -=，且20x y ->，0x >，0y >， 化简得x y =，再化简22log log x y -求值. 【详解】
依题意，()22x y xy -=，22
450x xy y ∴-+=，()()40x y x y ∴--=，x y ∴=或
14x y =
，20x y ->，0x >，0y >，12x y ∴>，1
4
x y ∴=（舍去），1x y ∴=，
222
log log log 0x
x y y
∴-==． 故选：C 【点睛】
本题考查对数的运算法则，以及化简计算，属于基础题型. 8．函数()x
f x a =与函数()1
log a
g x x
=在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】()log a g x x =-，由函数解析式判断两个函数的单调性不同，排除选项，再由特殊值继续排除选项. 【详解】
()1
log log a
a g x x x
==-，则函数()f x 与函数()g x 单调性相反，排除选项B,C ； 再由()10g =可排除选项A ， 故选：D 【点睛】
本题考查函数图象的辨析，根据解析式选图，一般可根据函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域判断函数上下的位置，以及根据函数的单调性，奇偶性以及特征点，以及极值点等条件出发，排除不符合条件的选项.
9．已知()()
2
2log 2f x x x a =-+-的最大值为3，则a =（ ）
A ．9
B ．9-
C ．7-
D ．7
【答案】C
【解析】首先将函数写成2log y t =和22t x x a =-++的形式，当22t x x a =-++取得最大值时函数取得最大值，列方程求解a . 【详解】
函数()()
2
2log 2f x x x a =-+-由2log y t =与22t x x a =-+-复合而成，
2log y t =是增函数，当22t x x a =-+-取得最大值时，函数取得最大值，
易知当1x =时，max 1t a =-，此时()()2max log 1f x a =-，所以()2log 13a -=，所以312a -=，所以7a =-． 故选：C 【点睛】
本题考查根据复合函数的最值求参数，属于中档题型，首先需判断复合函数的单调性，复合函数单调性的判断方法是“同增异减”，即当内外层函数单调性一致时为增函数，当内外层函数单调性不一致时是减函数，然后再可判断函数的最值.
10．已知()()()122,011,02
x
a x a x f x a x ⎧-+<⎪
=⎨+≥⎪⎩是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
C ．1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】B
【解析】分段函数在(),-∞+∞上是增函数，需满足每段都是增函数，并且在分界点处还需满足()01212
a a ≤+. 【详解】
要使函数()()()122,011,02
x
a x a x f x a x ⎧-+<⎪
=⎨+≥⎪⎩是(),-∞+∞上的增函数， 需120111
22a a a ⎧
⎪->⎪+>⎨⎪⎪≤
⎩
，解得104a <≤.
故选：B 【点睛】
本题考查已知分段函数的单调性求参数，意在考查转化与计算能力，本题容易忽略分界点处的不等式，考虑问题不全面，需谨记这点.
11．定义在R 上的函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x >，则函数()f x 在区间[],a b 上有（ ） A ．最小值()
f b
B ．最大值()
f b
C ．最大值()f a
D ．最大值
2+⎛⎫
⎪⎝⎭
a b f 【答案】B
【解析】首先采用赋值，判断函数是奇函数，再设,x y ∀∈R ，且y x >，根据条件可求出()()0f y f x -> ，判断函数是单调递增函数，再判断选项. 【详解】
令0x y ==，则有()00f =，用x -代替y 可得：()()()00f f x f x =+-=，所以
()f x 是奇函数，
再设,x y ∀∈R ，且y x >，则()()()()()0f y f x f y f x f y x -=+-=->，所以函数()f x 是增函数，故在区间[],a b 上函数()f x 有最大值()
f b ．
故选：B 【点睛】
本题考查抽象函数判断函数的奇偶，单调，和最值，抽象函数判断奇偶性时，需通过赋值，最终判断()f x -与()f x 的关系，判断函数的单调性也需通过赋值转化为定义判断单调性.
12．已知函数(
)(
ln f x x x =，若()()211f a f -<，则a 的取值范围是
（ ） A ．1a < B ．1a >
C ．0a <或1a >
D ．01a <<
【答案】D
【解析】首先判断函数是偶函数，并判断在()0,∞+的单调性，不等式转化为
()()211f a f -<，根据单调性解不等式.
【详解】
(
)(
ln x
x
f x x x x -=
--+=-
(
()ln x x x f x =-==，
所以()f x 是定义在R 上的偶函数，易知当0x >时，()f x 是增函数，所以由
()()()()121112f a f f a f ⇒-<-<
可得，211a -< ，即1211a -<-<， 解得01a <<． 故选：D 【点睛】
本题考查利用函数的性质，解抽象不等式，如果函数是奇函数，并且单调递增，那么解
()()12f x f x <，只需解12x x <；若函数是偶函数，并且在()0,∞+单调递增，解
()()12f x f x <，需转化为()()12f x f x <，解12x x <
.
二、填空题
13．已知函数()f x =的定义域为A ，函数()()()ln 1ln 1g x x x =-++的定义域为B ，设全集U =R ，则()(
)U U
A B ⋃=痧________．
【答案】{}
11x x x ≤-≥或
【解析】首先分别求,A B ，再根据公式()()()U U U C A C B C A
B =求解 .
【详解】
由题意可得，21011x x -≥⇒-≤≤ ，{}
11A x x ∴=-≤≤
10
10
x x ->⎧⎨
+>⎩，解得：11x -<< ，{}11B x x =-<<， 所以{}
11A B x x ⋂=-<<，所以()(
)(){1U U
U A B A B x x ⋃
=⋂=≤-痧?或
1}x ≥ ．
故答案为：{1x x ≤-或1}x ≥ 【点睛】
本题考查定义域和集合的交并补，属于计算能力的考查，基础题型.
14．已知函数()()3
2
12f x ax b x ax =+-+是定义域为[]21,a a +-的奇函数，则
a b +=________．
【答案】0
【解析】定义域关于原点对称，所以210a a +-=，并且三次函数是奇函数，需满足
10b -=.
【详解】
由()()3
2
12f x ax b x ax =+-+是奇函数可得，1b =，
再由定义域为[]21,a a +-可得，210a a +-=，所以1a =-， 所以0a b +=． 故答案为：0 【点睛】
本题考查根据函数是奇函数，求参数，意在考查基础知识，属于基础题型.
15．定义：区间[]()1212,x x x x <的长度为21x x -．已知函数2log y x =的定义域为
[],a b ，值域为[]0,3，则区间[],a b 的长度的取值范围为________．
【答案】763,
88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】首先分析函数2log y x =的单调性，并且求出20log 3x ≤≤时，x 的取值范围，根据单调性和值域，可求出区间长度的取值范围.
【详解】
由函数2log y x =的值域为[]0,3，
并且函数在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， 知20log 3x ≤≤，得
1
88x ≤≤，()1838f f ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，而2log 0x =时，1x =， [],a b ∴长度的最大值为163888-=，[],a b 长度的最小值为17
188
-=，
所以区间[],a b 的长度的取值范围为763,
88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． 故答案为：763,88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查对数函数的性质的综合应用，意在考查对数图象，函数性质，以及所给定义的理解，并能应用解题，属于中档题型. 16．已知函数()2
122
f x ax x =
-，若任意[)12,3,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()1212
1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是________．
【答案】[
)1,+∞
【解析】设123x x >≥，不等式变形为()()1`22f x x f x x ->-，设函数
()()2
132
F x f x x ax x =-=
-，知函数在[)3,+∞ 单调递增函数，求参数a 的取值范围. 【详解】
不妨令123x x >≥，要使
()()1212
1f x f x x x ->-在区间[)3,+∞恒成立，需要
()()1212f x f x x x ->-在区间[)3,+∞恒成立，即()()1122f x x f x x ->-在区间
[)3,+∞恒成立，设()()2132
F x f x x ax x =-=-，显然0a ≠，所以需二次函数
()2132F x ax x =-在区间[)3,+∞递增，它的图象对称轴为3x a =，所以0
33a a
>⎧⎪
⎨≤⎪⎩，
所以1a ≥．
故答案为：[
)1,+∞ 【点睛】
本题考查构造函数，以及根据函数的单调性求参数的取值范围，意在考查转化与变形，以及计算求解能力，如果条件中有双变量，可以把变量分开，让等号左右的形式一样， 这样就可构造函数，并且知道函数的单调性.
三、解答题
17．已知全集为R
，集合(){}
lg 1A x y x ==+，{}
2
21x B x -=>．
（1）求A
B ，()A B ⋃R ð；
（2）若{}
12C x a x a =-<<，且C A ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}
23A B x x ⋂=<≤，(){
}
3A B x x ⋃=≤R ð（2）3
2
a ≤ 【解析】（1）首先分别求集合.A B ，再求交，并，补集； （2）分C φ=和C φ≠两种情况讨论，列不等式求a 的范围. 【详解】
(){}
{}lg 113A x y x x x ==+=-<≤，{}
{}2212x B x x x -=>=>．
（1）{}
23A B x x ⋂=<≤． 因为{}
2B x x =≤R ð， 所以(){
}
3A B x x ⋃=≤R ð．
（2）由于C A ⊆，若C =∅，则需12a a -≥，即13
a ≤
； 若C ≠∅，要使C A ⊆，则需131123
a a a ⎧>⎪⎪-≥-⎨⎪≤⎪⎩
，解得13
32a <≤，
综上，32
a ≤． 【点睛】
本题考查了集合的运算，以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，当C A ⊆时，不要忽略C φ=时的情况. 18．计算：
（1
）10
2
3
3
113e 8-
⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
（2
）311
322
lg 4lg 0.1255
---．
【答案】（1）6（2
）
12
【解析】（1）根据分数指数幂的运算公式化简，计算； （2）根据对数和分数指数幂的运算法则求解. 【详解】
（1
）10
1
2123
3
33
11131336e 82--⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=+⨯+= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
．
（2
）33
1
3
1
1113
log 3
222
251lg 4lg 0.125lg 435
22⎡⎤
⎛⎫⎛⎫--=⨯--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥
⎣⎦
log 1113
2
2=--=
=
．
【点睛】
本题考查分数指数幂和对数的运算法则，意在考查转化与化简，和计算能力，属于基础题型.
19．已知函数()31
31
-=+x x f x ．
（1）判断函数()f x 的奇偶性并证明；
（2）解关于t 的不等式：()()3120f t f t -+-<．
【答案】（1）函数()f x 是奇函数，证明见解析（2）1
{|}2
t t <- 【解析】（1）首先求函数的定义域，再判断()f x -与()f x 的关系；
（2）首先判断函数的单调性，再根据（1）的结果，可知函数为奇函数，所以不等式化简为()()312f t f t -<-，利用函数的单调性解不等式. 【详解】
（1）因为函数()f x 的定义域为R ，且()()11
311331311313x
x
x x
x
x
f x f x ------====-+++，
所以函数()f x 是奇函数．
（2）由()313122
1313131
x x
x x x
f x -+-===-
+++
易得，函数()f x 是定义域为R 的增函数，
而不等式()()3120f t f t -+-<可化为()()312f t f t -<--， 再由()()f x f x -=-可得()()312f t f t -<-，
所以312t t -<-，解得1
2t <-． 所以，不等式的解集为1
{|}2
t t <-
【点睛】
本题考查函数单调性和奇偶性的判断和证明，并解抽象不等式，意在考查转化与变形，属于中档题型.
20．设函数()()22log log 2f x x x =⋅，1
84
x ≤≤． （1）若2log t x =，求t 的取值范围；
（2）求()f x 的最值，并写出取最值时对应的x 的值．
【答案】（1）23t -≤≤（2）2
x =
时，()min 14f x =-；8x =时，()max 12f x =
【解析】（1）2log t x =，1,84x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，利用函数的单调性求t 的取值范围； （2）利用对数运算法则函数化简为()()2
22log log f x x x =+，再通过换元设
2log h x =，23h -≤≤，转化为二次函数求最值.
【详解】 （1）
2log t x =，
1
84
x ≤≤， 2
21
log log 84
t ∴≤≤，即23t -≤≤． （2）()()()2
22222log log 2log log log f x x x x x =+=+， 令2log h x =，23h -≤≤，
则2
2
1124y h h h ⎛⎫=+=+- ⎪⎝
⎭，
∴当12h =-即21log 2x =-
，2
x =时，()min 1
4f x =-．
当3h =即8x =时，()max 12f x =． 【点睛】
本题考查对数函数的值域，以及换元法求二次函数的最值，意在考查计算求解能力，换元法容易错的步骤是有些学生会忘记中间变量的范围，谨记：换元的中间变量都要先求范围.
21．一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m （0.55m ≤≤且m ∈R ）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x
（时）变化的函数关系式近似为()y f m x =⋅，其中()10
,0433,462
x x
f x x x ⎧≤<⎪⎪+=⎨⎪-≤≤⎪⎩．
（1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
（2）若病人第一次服用2个单位的药剂，4个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2个小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值． 【答案】（1）
14
3
小时（2）m 的最小值为1 【解析】（1）当3m =时，30
,04339,462x x
y x x ⎧≤<⎪⎪+=⎨⎪-≤≤⎪⎩
，解2y ≥时，x 的取值范围；
（2）由条件可知，当46x ≤≤时，血液内药量含量
()10102362341x m y m x x x ⎡⎤⎛
⎫=⨯-+=-+
⎢⎥ ⎪+--⎝⎭⎣⎦
，若药剂有效，需满足10621m x x -+≥-恒成立，参变分离求m 的取值范围. 【详解】
（1）因为3m =，所以30
,04339,462x x
y x x ⎧≤<⎪⎪+=⎨⎪-≤≤⎪⎩
．
当04x ≤<时，由
30
23x ≥+，解得12x ≤，此时04x ≤<； 当46x ≤≤时，由3922x -≥，解得143x ≤，此时1443
x ≤≤．
综上所述，1403
x ≤≤
． 所以若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达
14
3
小时． （2）当46x ≤≤时，()10102362341x m y m x x x ⎡⎤⎛
⎫=⨯-+=-+
⎢⎥ ⎪+--⎝⎭⎣⎦
， 因为10621
m
x x -+
≥-对46x ≤≤恒成立， 即254
10x x m -+≥对46x ≤≤恒成立，等价于()2max
544610x x m x ⎛⎫-+≥≤≤ ⎪⎝⎭
令()25410x x g x -+=，则函数()254
10x x g x -+=在[]4,6上是单调递增函数，
所以当6x =时，函数()254
10
x x g x -+=取得最大值为1，所以m 1≥，
所以所求m 的最小值为1． 【点睛】
本题考查函数和不等式的实际应用，意在考查抽象概括，变形与转化和计算能力，属于中档题型，一般对于不等式在区间恒成立求参数的问题，可以利用参变分离的方法，转化为求函数的最值，这是常有的一种方法.
22．已知函数()2
3f x x kx =-+；()5g x mx m =+-．
（1）若()f x 在[]22-,
上存在递减区间，求k 的取值范围； （2）当0k =时，若对任意的[]11,2x ∈总存在[]21,2x ∈-，使()
()122x
f g x =成立，
求实数m 的取值范围．
【答案】（1）4k >-（2）14m ≥或7m ≤- 【解析】（1）函数的对称轴是2k x =
，在,2k ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦单调递减，所以若在[]22-,
上存在递减区间，即
22
k
>-；（2）先求1224x ≤≤，分别求()y f t =，[]2,4t ∈和()y g x =，[]1,2x ∈-时，两个函数的值域，根据题意可知()y f t =的值域是()y g x =值域的子
集，求实数m 的取值范围. 【详解】
（1）由题意可知函数()f x 图象的对称轴为2
k
x =
，要使函数()f x 在[]22-,
上存在递
减区间，则
22
k
>-，则4k >-． （2）因为[]11,2x ∈，所以1224x ≤≤． 令12x t =，则24t ≤≤，
()()1223x f f t t ==+，
所以()719f t ≤≤．
因为对任意[]11,2x ∈总存在[]21,2x ∈-，使()
()122x
f g x =成立，
所以()2g x 的值域应该包含区间[]
7,19． 当0m =时，()25g x =不合题意，所以0m ≠．
①当0m >时，()()17219g g ⎧-≤⎪⎨≥⎪⎩，即0
52714519
m m m m >⎧⎪-≤⇒≥⎨⎪+≥⎩． ②m 0<时，()()119
27g g ⎧-≥⎪⎨≤⎪⎩，即0
5219757
m m m m <⎧⎪-≥⇒≤-⎨⎪+≤⎩
．
综上，14m ≥或7m ≤-． 【点睛】
本题考查根据函数的任意，存在求参数，对于本题第二问是双变量任意，存在关系求参数，有以下几种类型，若满足1x ∀，2x ∃，使()()12f x g x =，即()y f x =的值域是
()y g x =值域的子集，若满足1x ∀，2x ∃，使()()12f x g x >，则()()m i n m i n
f x
g x >，
若满足1x ∀，2x ∀，使()()12f x g x >，则()()min max f x g x >，若满足1x ∃，2x ∃，使
()()12f x g x >，则()()max min f x g x >.。