2021年5月第三次高考适应性考试-文数(含答案)

2021年5月第三次高考适应性考试
文 科 数 学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合()()(){},1210A x y x y x y =++-+=，则集合A 中元素个数是（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数个
【答案】D
【解析】因为()()1210x y x y ++-+=等价于10x y ++=或210x y -+=， 所以集合A 是直线10x y ++=和直线210x y -+=上的所有点组成的集合， 所以集合A 中的元素个数有无数个，故选D ．
2．若复数z 满足()34i 43i z +=-，则z 的虚部为（ ） A ．
35
B ．45
-
C ．
35
D ．
45
【答案】B
【解析】43i 5-==，所以()34i 453i z +=-=，
则()()()534i 534i 34i 34i 34i 34i 555z --=
===-+-+，因此，z 的虚部为45
-，故选B ．
3．已知1
()1
x x e f x e -=+，则“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】1()1x x e f x e -=+的定义域为R ，且()11()11
x x
x x e e f x f x e e -----===-++，即函数为奇
函数，
由120x x +=，即12x x =-可得()()()122f x f x f x =-=-，即()()120f x f x +=， 则“120x x +=”是“()()120f x f x +=”的充要条件，故选C ． 4．下列命题中错误的是（ ）
A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ
D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】D
【解析】A ．如图所示：在正方体中，平面APCF ⊥平面PBDC ，AF ∥平面PBDC ，故正确；
B ．如果平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α垂直于平面β，故正确；
C ．如图所示：在γ内取一点Q ，作QM CP ⊥，QN C
D ⊥，
因为平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，所以QM ⊥平面α，QN ⊥平面β， 又因为α∩β＝l ，所以QM l ⊥，QN l ⊥， 又QM
QN Q =，则l ⊥平面γ，故正确；
D ．如图所示：在正方体中，平面APCF ⊥平面PBDC ，AF ∥平面PBDC ，故错误，
故选D ．
5．如图，在ABC △中，D ，E 是AB 边上两点，2BM MC =，
且BDM △，EDM △，AEM △，ACM △的面积成等差数列．若在ABC △内随机取一点，则该点取自AEM △的概率是
（ ）
A ．
5
18
B ．
29
C ．
16
D ．
19
【答案】A
【解析】因为2BM MC =，所以2BM MC =，2ABM ACM S S =△△， 因为BDM △，EDM △，AEM △，ACM △的面积成等差数列．
设面积依次为,,2,3a a d a d a d +++，则22(3)a a d a d a d ++++=+，则3a d =， 所以BDM △，EDM △，AEM △，ACM △的面积依次为3,4,5,6d d d d ，
所求概率为55
345618
d P d d d d =
=+++，故选A ．
6．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且()f x 在(1,0)-上递减．若
12
(5)a f -
=，(ln2)b f =-，3(log 18)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a c b <<
B ．c b a <<
C ．a b c <<
D ．b a c <<
【答案】A
【解析】因为定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，
因为()2()f x f x -=，所以()22(2)f x f x --=+，即()(2)()f x f x f x -=+=， 所以()f x 是以2为周期的周期函数， 又()f x 在()1,0-上递减，所以在()0,1递增，
又125
a f f -⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，()()ln2ln2b f f =-=， ()()()333log 182log 2log 2c f f f ==+=，
331
log log 2ln 212
<=<<<，()f x 在()0,1递增， 故()()
3log 2ln 2f f f <<，即a c b <<，故选A ． 7．已知ABC △中，45ABC ACB ∠=∠=︒，12BC =，点M 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，点N 在线段AM 上，则AN CN ⋅的最小值为（ ） A ．365
-
B ．725
-
C ．185
-
D ．545
-
【答案】C
【解析】由45ABC ACB ∠=∠=︒，可知90BAC ∠=︒．
以点A 为坐标原点，AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示．
则()0,0A
、(M
、(C ， 设1,
2N x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，其中0x ≤≤1,2AN x x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，1,2CN x x ⎛=- ⎝，
故2
2115
224
AN CN x x x x ⎛⋅=+
-=- ⎝． 令(
)2
54f x x =
-
，0x ≤≤
x =时，函数()f x 有最小值， 且(
)max 185f x f ==-⎝⎭
，即AN CN ⋅的最小值为18
5-，故选C ． 8．若x ，y 满足约束条件2360
244x y x y x y a -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，且3z x y =-的最大值为12，则a 的取值范
围为（ ） A ．4a ≥ B ．16a ≥
C ．12a =
D ．16a =
【答案】D
【解析】由约束条件得如图所示区域，
2416,7
7a a B --+⎛⎫
⎪⎝⎭，代入3z x y =-，得
612161277a a --+-=，解得16a =，
故选D ．
9．已知某函数的部分图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A ．()sin 2ln f x x x =⋅
B ．()()cos π2x f x x
-=
C ．()sin 21
x
x
f x e =-
D ．()()
2
1ln f x x x =-⋅
【答案】A
【解析】由图象知，函数()f x 关于原点对称，即()f x 为奇函数；当()0,4x ∈时，函数有3个零点；
在y 轴右侧一点，函数值()0f x <，且在y 轴右侧一点，函数()f x 递减． 选项B 中，函数()()cos π2cos 2x x
f x x x
-=
=-，()2
2sin 2cos 2x x x f x x +'=， 当4π0,
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭时，()0f x '>，故()f x 在4π0,x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递增，与图象不符，不正确；
选项C 中，函数()sin 21x
x f x e =
-中，当2π0,x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()20,πx ∈，则sin 20x >，而0x >，1x e >，即10x
e ->，故()0
f x >，与图象不符，不正确； 选项D 中，()()
2
1ln f x x x =-⋅，满足
()()()()2
21ln 1ln f x x x x x f x ⎡⎤-=--⋅-=-⋅=⎣⎦
，即()f x 是偶函数，故与图象不符，
不正确；
故由排除法只能说选A ，而选项A 中，函数()sin 2ln f x x x =⋅，满足
()()()sin 2ln sin2ln f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-，即()f x 是奇函数；
当()0,4x ∈时，()()20,80,3πx ∈⊆，故sin 20x =有两根：2π,2πx =，即π
,π2
x =， 且ln 0x =有一根：1x =，符合题意中()0,4x ∈有3个零点； 存在正数1，使得当()0,1x ∈时，()0f x <． 故以上性质均与图象符合，可能是图象对应的函数， 故选A ．
10．已知()()()2sin 0f x x ωϕω+>＝同时满足以下条件： ①当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为
π
2；②7π1212πf x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；③()04πf f ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
．
若()f x a =在[]0,π有2个不同实根m ，n ，且3
π
m n -≥，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．⎡⎣
B ．[)0,1
C ．(
D ．[
)1,1-
【答案】D
【解析】函数()()2sin f x x ωϕ=+满足， 当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为12ππ22
ω⨯=， ∴2ω=，函数()()2sin 2f x x ϕ=+． ∵7π1212πf x f x ⎛⎫⎛⎫
+=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的图象关于直线π3x =对称，
故有22ππ3πk ϕ⨯
+=+，即π
π6
k ϕ=-，k ∈Z ． 又()04πf f ⎛⎫
>
⎪⎝⎭
，即2sin 2sin 2o πc s 2ϕϕϕ⎛⎫>+= ⎪⎝⎭，
即sin cos ϕϕ>，故5π
6
ϕ=
，
函数()5π2sin 26x x f ⎛⎫+
⎝=⎪⎭
． ()f x a =在[] 0,π有2个不同实根m ，n ，且3
πm n -≥
， 根据5π5π5π2,2π666x ⎡⎤+
∈+⎢⎥⎣⎦，7π11π2sin 2sin 166
==-， 5π5π2sin
2sin 2π2sin 2π1666π⎛⎫⎛
⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， ∴11a -≤<，故选D ．
11．已知F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，A 为双曲线C 右支上一点，且
位于x 轴上方，B 为渐近线上一点，O 为坐标原点．若四边形OFAB 为菱形，则双曲线C 的离心率e =（ ）
A ．2
B ．3
C D 1
【答案】D
【解析】由题意，双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的焦点(,0)F c ，且渐近线方程b y x a =， 因为四边形OFAB 为菱形，如图所示，
设(,
)b B x x a ，因为OB c ==，解得x a =-，可得(),B a b -，
设1(,)A x b ，代入双曲线的方程22
221x y a b
-=，可得x =，即,)A b ，
又由
OB FA k k =b
a =-c a -=-，
所以双曲线的离心率为21c e
a
，故选D ．
12．已知函数2
ln 1()x mx f x x
+-=有两个零点a b 、，且存在唯一的整数0(,)x a b ∈，则
实数
m 的取值范围是（ ）
A ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．ln 2,14e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
C ．ln 3,92e e ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
D ．ln 20,
4e ⎛⎫
⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】由题意2
ln 1()0x mx f x x
+-==，得2ln 1x m x +=
， 设2ln 1()(0)x h x x x +=
>，求导433
2(ln 1)12(ln 1)(2ln 1)
()x x x x x h x x x x
-+-+-+'===， 令()0h x '=，解得1
2
x e -=，
当12
0x e -<<时，()0h x '>，()h x 单调递增；当12
x e
->时，()0h x '<，()h x 单调递减，
故当1
2
x e
-=时，函数取得极大值，且12
()2
e h e -=
， 又1
=
x e
时，()0h x =；当x →+∞时，2ln 10,0x x +>>，故()0h x →， 作出函数大致图象，如图所示：
又(1)1h =，ln 21ln 2(2)44
e
h +=
=， 因为存在唯一的整数0(,)x a b ∈，使得y m =与2
ln 1
()x h x x +=
的图象有两个交点， 由图可知：(2)(1)h m h ≤<，即ln 214
e
m ≤<，故选B ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若平面向量(1,2)=-a ，||3=b ，则||-a b 的最小值为________．
【答案】3【解析】||-a b 以O 为圆心、3为半径的圆上任一点与点(1,2)A -间的距离，
所以最小值为||3r OA -=3
14．某公司对近5年的年广告支出x （单位：万元）与年利润y （单位：万元）进行了初步统计，如下表所示：
由上表中数据求得年广告支出x 与年利润y 满足线性回归方程 1.2 3.6y x =+，则a 的值为_____． 【答案】7
【解析】由已知，1234535x ++++==，568102955
a a
y +++++==，
所以
29 1.23 3.65
a
+=⨯+，解得7a =， 故答案为7．
15．点P 是曲线2ln y x x x =+-上任意一点，则点P 到直线220x y --=的最短距离为_____．
【解析】设20x y m -+=与函数2ln y x x x =+-的图象相切于点()00,P x y ．
1
21y x x '=+-
，所以0
1212x x +-=，00x >，解得01x =，02y =， ∴点()1,2P 到直线220x y --=
的距离为最小距离d =
=
故答案为
5
16．如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A BC D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面正方形ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 长度的取值范围是_______．
【答案】 【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x ，y ，z 建系如图，
则1(,0,0)2
M ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，1(0,1,1)C ．
设(,,0)P x y (01,01)x y <<<<，则1B P 的方向向量1(1,1,1)B P x y =---， 设平面1A BM 的法向量111(,,)x y z =n ，
11(,0,1)2MA =，1
(,1,0)2
MB =，
11111102102MA x z MB x y ⎧⋅=+=⎪⎪⎨
⎪⋅=+=⎪⎩n n ，即1111
12
12z x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，取12x =，则(2,1,1)=--n ， 若1B P
平面1A BM ，则1B P ⊥n ，
即12(1)(1)120B P x y x y ⋅=---+=-=n ，则2y x =， 又
1(,1,1)C P x y =--，1(,21,1)C P x x ∴=--，
即21||C P x =
==
01x <<，01y <<，
2y x =，1
02
x ∴<<
， 2626
5()25
55x ≤-
+<∴1
||2C P ≤<， 故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知正项等比数列{}n a ，41
16
a =，57256a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}
2log n a 的前n 项和n T ．
【答案】（1）5
16n n a -=；（2）2
2182,521880,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩．
【解析】（1）由等比数列的性质可得2
576256a a a ⋅==，
又因为数列{}n a 为正项数列，所以616a =，
设等比数列{}n a 的公比为q ，所以26
4
256a q a =
=，16q =， 所以665
6161616n n n n a a q ---==⨯=． （2）由（1）可知5
2log 16420n n -=-，
令420n b n =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ． ①当5n ≤且*n ∈N 时，()
2162041822
n n n T n n +-=
=-；
②当6n ≥且*n ∈N 时，()()
5442052
n n n T T +--=+
()()221852528521880n n n n =⨯-⨯+--=-+， 综上所述，22182,5
21880,6
n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩．
18．（12分）某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务．现统计了前8天每天(用1t =，2，…，8表示)的接种人数y (单位：百)相关数据，并制作成如图所示的散点图：
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，求y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)；
（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人．
参考数据：12.25y =，
()
8
2
1
42i
i t
t
=-=∑，()()8
1
70i i i y y t t =--=∑．参考公式：对于一组
数据()11,t y ，()22,t y ，…，(),n n t y ，回归方程ˆˆˆy a bt
=+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()
()
8
1
8
2
1
ˆi
i
i i i t t y y b
t t ==--=-∑∑，ˆˆa y bt
=-． 【答案】（1）ˆ 1.67 4.75y t =+；（2）第10天接种人数预报值2145人，预计从第13天开始，
接种人数会突破2500人． 【解析】（1）由题意，得1
(12345678) 4.58
t =
⨯+++++++=， ()()
()
8
1
8
2
1
705
ˆ 1.667423
i
i
i i i t t y y b
t t ==--==
=≈-∑∑， ˆˆ12.25 1.667 4.5 4.75a
y bt =-=-⨯≈， 所以y 关于t 的回归方程为ˆ 1.67 4.75y
t =+． （2）第10天接种人数ˆy
的预报值ˆ 1.6710 4.7521.45y =⨯+=， 第10天接种人数的预报值为2145人．
当12t =时，ˆy
的预报值ˆ 1.6712 4.7524.79y =⨯+=；
当13t =时，ˆy
的预报值ˆ 1.6713 4.7526.4625y =⨯+=>， 故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人．
19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11B BCC 是菱形，160B BC ∠=︒，
AB BC ⊥，1AB BB ⊥，D 为棱BC 的中点．
（1）求证：平面1AB D ⊥平面ABC ；
（2）若2AB BC ==，求点C 到平面1AB D 的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
5
． 【解析】（1）证明：设2BC a =．
四边形11B BCC 是菱形，D 为棱BC 的中点，
12BC BB a ∴==，1
2
BD BC a =
=． 在1BB D △中，1160B BD B BC ∠=∠=︒，
由余弦定理得222
11112cos B D BD BB BD BB B BD =+-⋅∠，解得1B D ．
22211BD B D BB ∴+=，190BDB ∴∠=︒，即1B D BC ⊥．
AB BC ⊥，1AB BB ⊥，且1BC BB B =，AB ∴⊥平面1BDB ．
1B D ⊂平面1BDB ，1AB B D ∴⊥．
1AB B D ⊥，1B D BC ⊥，且AB BC B =，1B D ∴⊥平面ABC ． 1B D ⊂平面1AB D ，∴平面1AB D ⊥平面ABC ．
（2）由2AB BC ==和（1）知1B D =，1B D ⊥平面ABC ，
1B D ∴是点1B 到平面ABC 的距离．
AD ⊂平面ABC ，1B D AD ∴⊥，则1AB D △是以1AB 为斜边的直角三角形，
AB BC ⊥，2AB BC ==，点D 为棱BC 的中点，AD ∴，
ACD △的面积12ACD CD AB
S ⨯=
=△，1AB D △的面积1
12AB D AD DB S ⨯==△
设点C 到平面1AB D 的距离为h ，则11C AB D B ACD V V --=，
1111
33AB D ACD S h S B D ∴⨯⨯=⨯⨯△△，解得h =
∴点C 到平面1AB D
20．（12分）如图，已知椭圆()2
22:11x y C a a
+=>的左焦点为F ，直线()0y kx k =>与
椭圆C 交于A ，B 两点，且0FA FB ⋅=时，k =
．
（1）求a 的值；
（2）设线段AF ，BF 的延长线分别交椭圆C 于D ，E 两点，当k 变化时，直线DE 与直线AB 的斜率之比是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由．
【答案】（1（2）为定值5．
【解析】（1）设()00,A x y ，则()00,B x y --，由题意得焦点为()
F ，
所以，(
)(
)
222
0000001FA FB x y x y x y a ⋅=⋅--=--+-，
当0FA FB ⋅=时，有222
001x y a +=-．
联立22
2
1y kx x y a
=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得220221a x k a =+，222
0221k a y k a =+，从而22222222111a k a a k a k a +=-++．
将k =代入，得222413a a a =-+，
所以()2
31a a =>
，故a =
（2）由（1
）知，()
F ，椭圆2
2:13
x C y +=，
设0
:AD x y =
22:33C x y +=，
得(
2
002200310x x y y y y ⎡⎤+⎢⎥+--=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
． 而22
0033x y +=
，即(
)
2
2
000050y x y y y +--=，
从而D y =
同理00:x BE x y y =
，E y =
从而
E D E D y y y y +=-
于是000000
55E D DE E D E D y y y k k x x x -=
===⋅=-，
所以DE ，AB 的斜率之比为定值5． 21．（12分）设()()ln a f x ax x =+，()11ln x
g x b e x x
-=⋅+，其中,a b ∈R ，且0a ≠． （1）试讨论()f x 的单调性；
（2）当1a =时，()()ln f x xg x x -≥恒成立，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）答案见解析；（2）(]
,e -∞．
【解析】（1）()221a x a
f x x x x
-'=
-=， ①当0a <时，由0ax >，得0x <，即()f x 定义域为(),0-∞；
∴当(),x a ∈-∞时，()0f x '<；当(),0x a ∈时，()0f x '>， ()f x ∴在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增；
②当0a >时，由0ax >，得0x >，即()f x 定义域为()0,∞+；
∴当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>， ()f x ∴在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增，
综上所述：当0a <时，()f x 在(),a -∞上单调递减，在(),0a 上单调递增； 当0a >时，()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增． （2）由()()ln f x xg x x -≥，得11ln ln ln x x bxe x x x -+
--≥，即11
ln x bxe x x
-≤-， 设()ln h t t t =-，则()1
1
1t h t t t
-'=-=
， ∴当()0,1t ∈时，()0h t '>；当()1,t ∈+∞时，()0h t '<， ()h t ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；
又1
t x
=
在()0,∞+上单调递减， 11ln y x x ∴=
-在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
min 1
1ln 1ln11x
x ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭， 1x
bxe -∴≤在()0,∞+上恒成立，x
e b x
∴≤，
设()x
e m x x =，则()()2
1x e x m x x
-'=， ∴当()0,1x ∈时，()0m x '<；当()1,x ∈+∞时，()0m x '>， ()m x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，
()()min 1m x m e ∴==，b e ∴≤，
即实数b 的取值范围为(]
,e -∞．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
平面直角坐标系中，直线l
的参数方程为1
(1
x t t y =+⎧⎪⎨
=+⎪⎩为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为22cos 1cos θ
ρθ
=
-．
（1）写出直线l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程；
（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()2,0M ，且与曲线 C 交于,A B 两点，试求MA MB ⋅． 【答案】（1
）cos sin 10l θρθ-=，2 :2C y x =；
（2）16
3
MA MB ⋅=． 【解析】（1）因为l
的参数方程为1
(1
x t t y =+⎧⎪⎨
=+⎪⎩为参数)， 消去参数t
得)11y x =-+，
∵cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
，∴直线l
cos sin 10θρθ-=．
由2
2cos 1cos θρθ
=
-，可得()22
1cos 2cos ρθρθ-=， ∴曲线 C 的直角坐标方程为22y x =． （2）直线l 的倾斜角为
π3，∴直线l '的倾斜角也为π
3
， 又直线l '过点()2,0M ，∴直线l '
的参数方程为122(2x t t y '''⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
为参数)， 将其代入曲线 C 的直角坐标方程可得234160t t ''--=，
设点,A B 对应的参数分别为1
2,t t ''， 由一元二次方程的根与系数的关系知1
2163t t ''=-，1
243
t t ''+=，
∴163
MA MB ⋅=
． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知()13f x x x =++-． （1）求不等式()3f x x ≤+的解集；
（2）若()f x 的最小值为m ，正实数a ，b ，c 满足a b c m ++=，求证：
111a b b c a c +++++9
2m
≥． 【答案】（1）{}
15x x ≤≤；（2）证明见解析． 【解析】（1）①当1x ≤-时，2231
3
x x x -≤+⇒-≥，无解； ②当13x -<≤时，1≥x ，解得13x ≤≤； ③当3x >时，2235x x x -≤+⇒≤，35x <≤， 综上：不等式的解集为{}
15x x ≤≤．
（2）因为()13134f x x x x x =++-≥+-+=，所以4m =， 所以4a b c m ++==，
()()()11111118a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭ 3188b c a b b c c a a b c a a b b c c a b c c a a b ++++++⎛⎫=++++++ ⎪++++++⎝⎭
319888⎛≥+= ⎝， 当且仅当a b b c c a +=+=+，即4
3
a b c ===时，等号成立．
坚持希望
一天，一个瞎子和一个瘸子结伴去寻找那种仙果，他们一直走呀走，途中他们翻山越岭。

历经千辛万苦，头发开始斑白。

有一天，那瘸子对瞎子说：“天哪！这样下去哪有尽头？我不干了，受不了了。

“老兄，我相信不远了，会找到的，只要心中存有希望，会找到的。

”瞎子却说。

可瘸子执意要留在途中的山寨中，瞎子便一个人上路了。

由于瞎子看不见，不知道该走向何处，他碰到人便问，人们也好心地指引他，他身上捉襟见肘，遍体鳞伤，可他心中的希望未曾改变。

终于有一天，他到达了那座山，他全力以赴向上爬，快到山顶的时候，他感觉自己浑身充满了力量，像年轻了几十岁，他向身旁摸索，便摸到了果子一样的东西，放在嘴里咬一口，天哪！他复明了，什么都看见了，绿绿的树木，花儿鲜艳，小溪清澈。

果子长满了山坡，他朝溪水俯身看去，自己竞变成了一个英俊年轻的小伙子！
准备离去的时候，他没有忘记替同行而来的瘸子带上两个仙果，到山寨的时候，他看到瘸子拄着拐棍，变成了一个头发花白的老头，瘸子认不出他了，因为他已是一个年轻的小伙子。

可当他们相认后，瘸子吃下那果子，却丝毫未起任何变化，他们终于知道，只有自己的行动，才能换来成功和幸福。

所谓成功，我们要心存希望，要勇往直前，要坚持，要有毅力，那么，成功早晚属于你。

一饭千金
帮助汉高祖打平天下的大将韩信，在未得志时，境况很是困苦。

那时候，他时常往城下钓鱼，希望碰着好运气，便可以解决生活。

但是，这究竟不是可靠的办法，因此，时常要饿着肚子。

幸而在他时常钓鱼的地方，有很多漂母（清洗丝棉絮或旧衣布的老婆婆）在河边作工的，其中有一个漂母，很同情韩信的遭遇，便不断的救济他，给他饭吃。

韩信在艰难困苦中，得到那位以勤劳克苦仅能以双手勉强糊口的漂母的恩惠，很是感激她，便对她说，将来必定要重重的报答她。

那漂母听了韩信的话，很是不高兴，表示并不希望韩信将来报答她的。

后来，韩信替汉王立了不少功劳，被封为楚王，他想起从前曾受过漂母的恩惠，便命从人送酒菜给她吃，更送给她黄金一千两来答谢她。

这句成语就是出于这个故事的。

它的意思是说：受人的恩惠，切莫忘记，虽然所受的恩惠很是微小，但在困难时，即使一点点帮助也是很可贵的；到我们有能力时，应该重重地报答施惠的人才是合理。

【感恩小结】
感恩，是结草衔环，是滴水之恩涌泉相报。

感恩，是一种美德，是一种境界。

感恩，是值得你用一生去等待的一次宝贵机遇。

感恩，是值得你用一生去完成的一次世纪壮举。

感恩，是值得你用一生去珍视的一次爱的教育。

感恩，不是为求得心理平衡的喧闹的片刻答谢，而是发自内心的无言的永恒回报。

感恩，让生活充满阳光，让世界充满温馨……。