静安区2005学年第一学期高三年级期末检测数学试卷

静安区2005学年第一学期 高三年级期末检测数学试卷
2006.1 题号
-一-
-二二
17
18
19
20
21
22
总分
得分
试卷中符号a=（a i ,a 2）与a =l a i ,a^?表示意义相同. 本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟. 一.填空题（本大题满分 48分）本大题共有12题，只要求直接
填写结果，每题4分.
=1 , a 1 a 2 乜3=12，则?的公差 d= .
y = f （x ）与y =x 3的图像关于直线y =x 对称，贝U f （x ）=_—
3.已知函数f （x ）二si n （x ） cos （ x ）（八＞ 0） （ x € R ）的最小正周期为二，则• ■
4.
若 f （v ） =sinv • 2COST - 5sin （v ;：
） （- ：：：「：：： ），贝=.
（用反三角函数表示）
5. 袋中有3只白球和a 只黑球，从中任取 2只，恰好一白一黑 的概率为4，贝U a =.
7
6. 如图，正四棱锥S-ABCD 的侧棱长是底面边长的2倍，则异 面直线SA W BC 所成角的大小是 ____________________ （用反三角 函数表示）.
■y / 壬田 \ Q 2006 厂^ 1 Q 2005 4・・・ 2004 Q 2 厂^ 2005
7
・（ 理）3 一C 2006 3 ' ' C 2006 3 —C2006 '
天），则工程总时数为 _______ 天.
8.在厶 ABC 中，若.C =90 , AC 二 BC = 4，则 AB BC = ____________ .
得分
T. --------------
评卷人
L 3
1. 等差数列g n 泊勺首项a 1
2. 若在同一坐标系内函数
（文）某工程的工序流程图如图所示（工时数单位:
静安教育学院保留版权数学2006 —第1页（共8页）
9.在 ABC 中 , a 、b 、c 分别为.A 、. B 、. C 的对边，.A =60 , b =1 , c =4 ,则 a +b +c
s i rA 亠s i riB 亠s i rC
11.
心脏跳动时，血压在增加或减小 .血压的最大值、最小值分
别称为收缩压和舒张压，血
压计上的读数就是收缩压和舒张压，
读数120/80 mmH 为标准值.设某人的血压满足函数式
p(t) =110 25sin(160t)，其中p(t)为血压(mmH )，t 为时间(min ).此人的血压在血压计
上的读数为 ________ ( mmHg . 12. 对于正整数n 定义一种满足下列性质的运算
“*”( 1)1*仁2; (2) (n +1)仁伽1+2n+1.
则用含n 的代数式表示n “仁
二•选择题(本大题满分 16分)本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的， 必须把正确结论的 代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.
13. Rt ABC 的直角边AB 在平面:-内，顶点C 在平面〉夕卜，则直角边BC 、斜边AC 在:- 上的射影与直角边 AB 组成的图形可以是( ).
(A )线段或锐角三角形
(B )线段或直角三角形
(C )线段或钝角三角形
(D )
线段、锐角三角形、直角三角形或钝角三角形
14. 若函数 y=f(x) ( x ：=R 满足 f(x+ 2)=f(x)，且 x 彳-1,1］时，f(x) =|x | .则函数 y=f(x) 的图象与函数y =log 4|x |的图象的交点的个数为( ). (A ) 3
( B ) 4
(C ) 6
( D ) 8.
15.
已知
a =(1,0),
b =(2,1)，且向量ka -b 与a 3b 平行，则下列说法正确的是( )
10.已知函数 f (x)=
1 (p -3) 10x 1
的定义域为 (-：：，•：：),则实数p 的取值范围是
(A ) (C )
17
向量ka -b 与a 3b 方向相反 (B ) k 3'
向量ka - b 与a ' 3b 方向相同 向量ka -b 与a - 3b 方向相反
(D ) k
17
向量ka -b 与a - 3b 方向相同
16. (理)在正方体ABCD - A1B1C1D1中，点E在AG
C
A 第16 B
1 _________ F ____ L ____ ___ L 上， A i E|
- AG 且 AE =xAA i yAB zAD ，则(
)
(A) x =1, y =—, z =— , ( B )
2 2
x =1, y =-,
4
'2x + 3y = 24, 2x+ y 312
（文）变量x 、y 满足下列条件：
'则使z=3x ・2y 的值最小的（x,y ）是（）.
2x + 9y 兰36,
x _ 0,y _ 0.
（A ）（9, 2） （ B ）（6,
4）
（ C ）（4.5，3） （ D ）（3,
6）. 三.解答题（本大题满分
86分）本大题共有 6题，解答下列各题必须写出必要的步骤 .
17. （本题满分12分）本题共有2个小题，每1小题满分6分.已知集合
4x ~3
0,x R .
x —3
（1）用区间表示集合 A 、B ；
（2） 求 AB . ［解］（1）
（2）
18. （本题满分12分）本题共有2个小题，每1小题满分6分. 已知乙=4 - 4sin v i ，其中i 为虚数单位，〔e R . （1 ）求乙的取值范围；
［解］(1)
19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分, 第2小题满分8分.
已知正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2,点E 、F 分别在底面正方形的边
AB BC 上，且
1 1 乂社八1,
二，
（C ）
x=1,y J , z J
3 2
(2) 如果乙和z 2二
1 1 sin
1 2cos^
i 互为共轭复数，求
x -2_0,x R 訂
2
AE =CF
，点G 为棱A i B i 的中点.
（1） 在图中画出正方体过三点 E 、F 、G 的截面， 并保
留作图痕迹；
（2） （理）求（1）中的截面与底面 ABC 斷成锐 二面
角的大小.
（文）求出直线 EC 与底面ABC 斷成角的大小• ［解］（1） （2
第2小题满分8分.
已知两个向量 a = (1 + log ? x , log ? x)， b=(log 2X,t) (x^O). （1 ）若t =1且a _ b ，求实数x 的值；
（2）对t ・R 写出函数f （x ）二a b 具备的性质. ［解］（1）
21.（本题满分16分）本题理科同学共有 3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6 分，第3小题满分6分.文科同学共两个小题，第 1小题满分6分，第2小题满分10分.
为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体 . 假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成： 罩内该种气体的体积比保护罩的容积少
0.5
立方米，且每立方米气体费用
1千元；
需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保
护罩容积成反比，当容积为 2立方米时，支付的保险费用为
8千元.
（1） 求博物馆支付总费用 y 与保护罩容积 V 之间的函数关系式； （2） 求博物馆支付总费用的最小值；
（3） （理）如果要求保护罩可以选择正四棱锥或者正四棱柱形状，且保护罩底面（不计厚 度）正方形边长不得少于 1.1米，高规定为2米.当博物馆需支付的总费用不超过 8千元
时，求保护罩底面积的最小值（结果保留一位小数） ［解］（
C i
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第 1小题满分6分，
A E B
22.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分.第3小题满分8分.
已知等差数列気｛的首项为p ,公差为d （d ■
0）.对于不同的自然数n,直线x=a n与x轴和指数函数f
（x）=（?）X的图像分别交于点A n与B n（如图所示），
记B n的坐标为（a n,b n），直角梯形AA2B2B、A2A3B3B2的
面积分别为引和S2，一般地记直角梯形A n A n i B n凤的面积
为％.
（1）求证数列:Sn ［是公比绝对值小于1的等
比数列；
（2）设爲f的公差d =1
整数n，构成以（3）是否存在这样的正
b n,b n 1,b n 吃
i
y
B1
1
I
B2
B3
A1A2O A3■
x 为边长的三角形？并请说明理由
（理）设久？的公差d （d 0）为已知常数，是否存在这样的实数
2奁各项的和S>2010？并请说明理由.p使得（1）
中无穷等比数列
（文）设4 1的公差
各项的和S>2010?明理由.d =1，是否存在这样的实数p使得（1）中无穷等比数列s ?如果存在，给出一个符合条件的p值；如果不存在，请说
［证明］（1）
静安区2005高三第一学期期末检测参考解答与评分标准
一、填空（每小题4分）
厂
1 . 3;
2 .
3 x ； 3 . 1;
4 . arccos——，或（arctan 2）
5
5. a=4; 6 . arccos1, acrtg .15等7 .理22006；文13; 8 . -16
4
17 •解：(1 )
3x 2 +x _2 KO,x € R L«
2 、
x x >—或 x 兰-1
3
B = *x x >3或x < 4
,所以
A =(「：,-1] _.[!，:：)，B*:'4)- © ：：)
3 4
(2) 2 3
A C
B =』xx 兰一1或一兰x <—或x =3
3
4
12分
18. (1) z^ 16(1-sin^2 1 ,
……2 分 当sin v T 时， 可取最小值1,当sinv - -1时， 可取最大值、65 ...... 4分 所以乙取值范围为[1, 65] ……6分
(2)
4 -4 sin -=
1 2 cos J
所以
COST = 10分
12分
19. (1)如图，截面为 EFHG
……6分
(2)(理)解法1:连接BD 交EF 于O 点，连接B 1D 交GH 于 I 点，在平面BOIB 1过I 点作BO 的垂线，垂 足为J 。

在RT A IJO 中，由二面角定义• IOJ 为所求 的角设为〉
.. 9分
9. $ "9 ； io . p _3 ；
11 . 135/85 (mmH); 12 . n 1=2n+1_2。

3
二、 选择题(每小题 4分)13~16 B C A D 三、 解答题
C 1
C
A
E
B
12 2，
（通过三垂线定理加以说明也可）
2 2 1
— 4 4
2：如图，建空间直角坐标系， E(2, ,0),F(—2,0) , G(2,-,2) , FE =(—,
,0), 3 3 2 3 3
3P13
所以直线EG 与底面所成角大小为arctg p 20•解:(1 )由已知得 log 22 x 2 log 2 x =0 log 2 x =0或log 2 x - -2
RT ^ IJO
OJ=
.2 2
12分
截面 EFHG 与底面所成锐二面角大小为 arctg 6、. 2 14分
解法
EG
1
化,2)
平面 EFHGt 向量为（-6，-6，1）,底面法向量为（0, 0，
1）
10分
1
设向量夹角 0, cosB =—
J36 +36 +1
73 73
12分
截面 EFHG 与底面
.73
arccos —
73
14分
文：.GEC 就是所求的角
在 RT ^ C 1CE
tg. CQE 乂2 3 2心3
_3,13 -13
12分
14分
锐二面角大小为
2
当且仅当1000V 二字，即V =4立方米时不等式取得等号……（理
(2
)f(x) =log 2 x (1 t)log 2 x
具备的性质： ①偶函数; ②当log 2 x ■乎 即x ='2 一亍时，f （x ）取得最小值 2
（写出值域为［ 4
也可）； 1半 1卡 ③单调性：在（0,2一冇 上递减，［2一2,：:）上递
增; 由对称性，在 1_t
［,0）上递增，在
1 +
（一：:,_2_〒］
递减 14分 说明：写出一个性质得 3分，写出两个性质得 5分,
写出三个性质得 6分，包括写出函数 的零点（x = 1，x = 2』七））等皆可。

写出函数的定义域不得分，写错扣 21 •：( 1 ) y =1000(V-0.5) 16000 =100(0/ I 6000 _500 (或 y=V 兰-0.5 ) V V V (V 0.5)
（理4分，文6分） (2) y =100(0/ 16000-500 _7500 V
（理8分，文 12 分)
所以，博物馆支付总费用的最小值为 7500 元。

（文
16分) （3）（理）解法1:由题意得不等式： V ，哩乂占乞
8
V （理
12 分)
当保护罩为正四棱锥形状时，V =2S ,代入整理得：4S 2
3 — 51S - 144^0，解得
4.22 -5^!^ 注乞5£4 ,.8.53 ； 8 8 '
当保护罩为正四棱柱形状时，V =2S ,代入整理得：4S 2 -17S 1^10 ,解得
15 分)
由于保护罩的高固定为 2米，所以对于相等体积的正四棱锥与正四棱柱，正四棱柱的底面 积是正四棱锥底面积的1。

所以当保护罩为正四棱柱时，保护罩底面积最小，
3 S 上二如,.1.
4 m 2
h 2
又底面正方形面积最小不得少于 1.1 1.1=1.21 , 1.21 ：：： 1.4，所以，底面正方形的面积最小可
取1.4平方米 ……（理16分）
16
解法3.解V 寸-0.5乞8
……（理12分）
得2.8 -
ML ■- 5.7 ……（理14分）
2 2
又底面正方形面积最小不得少于1.1 1.1=1.21 ,当保护罩为正四棱锥形状时，
3
V =2.8立方米，当形状为棱柱时底面正方形的面积最小，
为1.4平方米 ........ （理16 分）
22. （1） an =p （n-1）d , b^（-）p （
n4）
d
……2 分
2
1.41,85 gj£,^8^ 8-25 ：.
2.84 4
（理 15
分）
又底面正方形面积最小不得少于 1.1 1.1=1.21，所以，底面正方形的面积最小可取 1.4平
方米
（理16分 解法2.解方程800^1000V 16000
_500，即V 2_8.5V ・16=0得两个根为 V y =2.814,V 2 =5.686
（理 12 分）
由于函数y=1000V ^0°° -500在（0,4］上递减，在［4,;）上递增，所以当 V : V 时，总费
用超过8000元，所以V 取得最小值V （理14
分） （理 15 分）
2 V
一0.87 ;当保护罩为正四棱柱形状时，
V =2S_2.42。

所以，保护罩容积可取最小
d Sn =—
P (n J)d
(^) p nd d_
(2) [=2
P
[(1)(nJ)d (1)nd ]，
对于任意自然数 n ，
S n 1
s
n
/\nd 1
、(n 1)d
(2) (2)
(1)(nJ)d
(|)nd
2 2
1石 2
d
2 1
= （；）d ，所以数列isj 是等比数列且公比q = £）d ，因为
（写成
所以q <1
S, =Q[(l)a1 nd
.(丄严(n 」)d 4 (1 ■ 2d )(丄)a1 1
2 2 2 2
nd
，得公比q=（」）d 也
可）
2
1
(2)a . --1
・(n — 1)
= n 一2，b^(-)^^，
对每个正整数 n , b . b . b
1 1 1
右以b n , b n 1, b n ：：；2为边长能构成一个三角形，则 b n ：：2 '
b
n 1
- b n ，即（㊁）"，
（三）"」.（三）“"2
， 1+2>4,这是不可能的
所以对每一个正整数n ,以b n ，b n .1，^ .2为边长不能构成三角形
10分 （3）（理）由 （1）知,0 ：：：q ：：：1， s
d(1+2d )
& = 2 P 1 2d
11分
所以S 二旦
1 —q d(2d 1)
2P1
(2d
-1) 14分
若 S =晋 >2010，则 2P <
2P (2 -1) d(2d -1) 2 2010 (2d
-1) 16分 两边取对数，知只要 a 1=p 取值为小于log 2 dQ 1 的实数，就有 S>2010……18 2 2010 (2d -1)
说明：如果分别给出a1与d的具体值，说明清楚问题，也参照前面的评分标准酌情给分,
但不得超过该部分分值的一半。

（文）“2^，q<11分
两边取对数得：p ：：：_log21340 ,
因此符合条件的p值存在，log21340 :10.4，可取p= _11等说明：通过具体的14分
如果存在p使得s二齐2010，即2P说T禽16分
18分
.2010也可。