开放探究-2021届中考数学压轴大题专项训练(解析版)

专题11 开放探究2021届中考数学压轴大题专项训练（解析版）1．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”．如图1，在△ABC中，PA=PB，则点P叫做△ABC的“中垂心”．
（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有________（举一个例子即可）；
（2）应用：如图2；在△ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作图痕迹，不写画法）
（3）探究：△如图3，已知△ABC为直角三角形，△C=90°，△ABC=60°，AC=“中垂心”P在AC边上，求PA的长．
△如图4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC内部，总有AC+BC 2AP，请说明理由．
【解析】解：（1）根据题意，若点C为△ABC的“中垂心”
可得CA=CB
△△ABC为等腰三角形
故答案为：等腰三角形（答案不唯一）；
（2）分别作出BC和AB的垂直平分线，交于点P
根据垂直平分线的性质可得PA=PB=PC
△点P即为所求；
（3）△△△C=90°，△ABC=60°，
△△A=90°－△ABC=30°
△AB=2BC
设BC=x，则AB=2x
△BC2＋AC2=AB2
△x2＋（2=（2x）2
解得：x=4或-4（不符合实际，舍去）
△BC=4，AB=8
△P在AC边上，△C=90°
△PB＞PC，即不存在“中垂心”P，使PB=PC 若PA=PB，如下图所示
设PA=PB=a ，则PC=AC －PA=a △PC 2＋BC 2=BP 2
△（a ）2＋42=a 2
解得：
即； 若PA=PC ，如下图所示
则点P 为AC 的中点
△PA=
1
2
AC =
综上：PA=
3
或 △理由如下 延长AP 交BC 于D
根据三角形的三边关系可得：AC ＋CD ＞AD ，DP ＋DB ＞PB
△AC ＋CD ＋DP ＋DB ＞AD ＋PB △AC ＋（CD ＋DB ）＋DP ＞PA ＋DP ＋PB △AC ＋BC ＞PA ＋PB △PA=PB △AC+BC >2AP
2．如图，在ABC ∆中，D 为AC 的中点，将ABD ∆绕点D 顺时针旋转()0360αα︒<<得到EFD ∆，连结BE 、CF .
（1）若ABC ∆为等边三角形，试探究BE 与CF 有何数量关系？证明你的结论； （2）若ABC ∆为等边三角形，当α的值为多少时，EE
AB ？
（3）当ABC ∆不是等边三角形时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请添加一个条件，使得结论成立，并说明理由.
【解析】解 （1）BE CF =，证明如下：
△BD 为等边ABC ∆的中线，△BD AC ⊥，即90BDA BDC ∠=∠=︒，△EDA FDB ∠=∠，△
EDA BDA FDB BDC ∠+∠=∠+∠，即EDB CDF ∠=∠，由旋转的性质得到DE DA DC ==，
BD FD =，△EDB CDF ∆≅∆，△BE CF =.
（2）60α=或240.
当60α=时，由ABC ∆为等边三角形，得到60A ∠=︒，△60A EDA ∠=∠=︒，△ED AB ∥； 当240α=时，60A EDC ∠=∠=︒，△ED AB ∥.
（3）不成立，添加的条件为BA BC =理由如下：
△BA BC =，DA DC =，△BD AC ⊥，即90BDC BDA ∠=∠=︒.△EDA FDB ∠=∠，△
EDA BDA FDB BDC ∠+∠=∠+∠，即EDB CDF ∠=∠.由旋转的性质得到BD FD =，DA DC DE ==，△EDB CDF ∆≅∆，△BE CF =.
3．在△ABC 中，AB =AC ，点D 与点E 分别在AB 、AC 边上，DE //BC ，且DE =DB ，点F 与点G 分别在BC 、AC 边上，△FDG 1
2
=
△BDE ． （1）如图1，若△BDE =120°，DF △BC ，点G 与点C 重合，BF =1，直接写出BC = ； （2）如图2，当G 在线段EC 上时，探究线段BF 、EG 、FG 的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当G 在线段AE 上时，直接写出线段BF 、EG 、FG 的数量关系：_____________．
【解析】（1）△DE△BC ， △△BDE+△ABC=180°， △△BDE=120°， △△ABC=60°， △DF△BF ， △△BFD=90°，
△DF=BF•tan60°1==
△△CDF 1
2
=
△BDE=60°，△DFC=90°，
△CF=DF•tan60°3=
=，
△BC=BF+CF=1+3=4；
（2）如图2中，结论：FG=BF+EG ． 理由：在EA 上截取EH ，使得EH=BF ．
△AB=AC ， △△B=△C ， △DE△BC ，
△△ADE=△B ，△AED=△C ， △△ADE=△AED ， △△DEH=△B ， 在△DBF 和△DEH 中，
BF EH B DEH BD DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， △△DBF△△DEH （SAS ）， △DF=DH ，△BDF=△EDH ， △△FDG 1
2
=
△BDE ， △△BDF+△EDG=△EDH+△EDG=△GDH 1
2
=△BDE ， △△GDF=△GDH ， 在△DGF 和△DGH 中，
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DF DH GDF GDH DG DG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， △△DGF△△DGH （SAS ）， △FG=HG ，
△HG=EG+HE=EG+BF ， △FG=BF+EG ；
（3）如图3中，结论：FG=BF -EG ． 理由：在射线EA 上截取EH ，使得EH=BF ．
△AB=AC ， △△B=△C ， △DE△BC ，
△△ADE=△B ，△AED=△C ， △△ADE=△AED ， △△DEH=△B ， 在△DBF 和△DEH 中，
BF EH B DEH BD DE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， △△DBF△△DEH （SAS ）， △DF=DH ，△BDF=△EDH ，
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△△BDE=△FDH ， △△FDG 12=
△BDE 1
2
=△FDH ， △△GDF=△GDH ， 在△DGF 和△DGH 中，
DF DH
GDF GDH DG DG =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， △△DGF△△DGH （SAS ）， △FG=HG ，
△HG=HE -GE=BF -EG ， △FG=BF=-EG ．
4．如图，点A 的坐标为()16,0，点B 的坐标为()0,12，将
AOB 沿直线CD 对折，使点A 与点B 重合，
直线CD 与x 轴交于点C 与AB 交于点D ．
（1）求出AB 的长度； （2）求ADC 的面积；
（3）在平面上是否存在点P ，使得PAB △是等腰直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）△点A 的坐标为()16,0，点B 的坐标为()0,12，
△OA ＝16，OB ＝12，
在Rt AOB
中，AB
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=20=，
△AB ＝20；
（2）如图，连接BC ，
△折叠，
△AC ＝BC ，△ADC ＝△BDC ＝90°，AD ＝BD ＝10， 设AC ＝BC ＝x ，则OC ＝16－x ， 在Rt BOC 中，222OC OB BC +=， △222(16)12x x -+=，
解得252
x =
， △252
AC =
，
△在Rt ACD 中，CD =
=152
=
△1
2
ADC S AD CD =
⋅△
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115
10
22
=⨯⨯
75
2
=，
△ADC的面积为75
2
；
（3）如图1，当点P在第一象限，PB＝AB且△PBA＝90°时，
过点P作PE△OB交y轴于点E，
则△PEB＝△AOB＝90°，
△△PBE＋△BPE＝90°，
△△PBA＝90°，
△△PBE＋△ABO＝90°，
△△BPE＝△ABO，
△△PEB＝△AOB，△BPE＝△ABO，PB＝AB，
△PEB△BOA，
△PE＝OB＝12，BE＝OA＝16，
△OE＝BE＋OB＝28，
△点P的坐标为（12，28），
如图2，当点P在第三象限，PB＝AB且△PBA＝90°时，
过点P作PF△OB交y轴于点F，
则△PFB＝△AOB＝90°，
△△PBF＋△BPF＝90°，
△△PBA＝90°，
△△PBF＋△ABO＝90°，
△△BPF＝△ABO，
△△PFB＝△AOB，△BPF＝△ABO，PB＝AB，
△PFB△BOA，
△PF＝OB＝12，BF＝OA＝16，
△OF＝BF－OB＝4，
△点P的坐标为（－12，－4），
如图3，当点P在第一象限，PA＝AB且△PAB＝90°时，
过点P作PG△OA交x轴于点G，
则△PGA＝△AOB＝90°，
△△PAG＋△APG＝90°，
△△PAB＝90°，
△△PAG＋△BAO＝90°，
△△APG＝△BAO，
△△PGA＝△AOB，△APG＝△BAO，PA＝AB，
△PAG△ABO，
△PG＝OA＝16，AG＝OB＝12，
△OG＝OA＋AG＝28，
△点P的坐标为（28，16），
如图4，当点P在第四象限，PA＝AB且△PAB＝90°时，
过点P作PH△OA交x轴于点H，
则△PHA＝△AOB＝90°，
△△PAH＋△APG＝90°，
△△PAB＝90°，
△△PAH＋△BAO＝90°，
△△APH＝△BAO，
△△PHA＝△AOB，△APH＝△BAO，PA＝AB，
△PAH△ABO，
△PH＝OA＝16，AH＝OB＝12，
△OH＝OA－AH＝4，
△点P的坐标为（4，－16），
如图5，当点P在第四象限，PA＝PB且△APB＝90°时，
过点P作PM△OB交y轴于点M，过点A作AN△PM，交MP的延长线于点N，则△PNA＝△PMB＝90°，
△△PAN＋△APN＝90°，
△△APB＝90°，
△△APN＋△BPM＝90°，
△△PAN＝△BPM，
△△PNA＝△PMB，△PAN＝△BPM，PA＝PB，
△PAN△BPM，
△PM＝AN，BM＝PN，
设PM＝AN＝a，
则PN＝BM＝12＋a，
△MN＝OA＝16，
△a＋12＋a＝16
解得a＝2，
△PM＝2，OM＝AN＝2，
△点P的坐标为（2，－2），
如图6，当点P在第一象限，PA＝PB且△APB＝90°时，
过点P作PI△OB交y轴于点I，过点A作AJ△PI，交IP的延长线于点J，则△PJA＝△PIB＝90°，
△△PAJ＋△APJ＝90°，
△△APB＝90°，
△△APJ＋△BPI＝90°，
△△PAJ＝△BPI，
△△PJA＝△PIB，△PAJ＝△BPI，PA＝PB，
△PAJ△BPI，
△PI＝AJ，BI＝PJ，
设PI＝AJ＝b，
则PJ＝BI＝b－12，
△IJ＝OA＝16，
△b＋b－12＝16，
解得b＝14，
△PI＝14，OI＝AJ＝14，
△点P 的坐标为（14，14），
综上所述，点P 的坐标为（12，28），（－12，－4），（28，16），（4，－16），（2，－2），（14，14）． 5．已知2n ≥，且n 自然数，对2n 进行如下“分裂”，可分裂成n 个连续奇数的和，如图：
即如下规律：
22=1+3, 23=1+3+5 24=1+3+5+7… …；
（1）按上述分裂要求，25= ，210可分裂的最大奇数为 （2）按上述分裂要求，2n 可分裂成连续奇数和的形式是：2n = ； （3）用上面的规律求：()2
21n n +-
【解析】解：（1）通过观察已知算式可得平方数的分裂规律有：平方数的底数是多少，分裂后的奇数加数就有多少个；奇数加数是从1开始算起的连续奇数， △2513579=++++，
又210135791113151719=+++++++++， 所以2
10可分裂的最大奇数为19；
故答案为25=1+3+5+7+9，19；
（2）由（1）可以进一步得知，一个平方数分裂后的最大奇数等于平方数底数的2倍减去1， △2n 可分裂的最大奇数为2n -1，
△()2
135?·
·21n n =++++-， 故答案为()2
135?·
·21n n =++++-； （3）由（2）得：
()
()()2
1135?··21221n n n +=++++-++-
=()()135?·
·2121n n ++++-++， ()2135?··21n n =++++-，
△()()()()2
2
1135?··2121135?··21n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-=++++-++-++++-⎣⎦⎣⎦ =2n+1．
6．如图，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，点E 在BC 上，AE 的延长线交BD 于点F ． （1）求证：△ACE△△BCD ； （2）探究CFD ∠的度数；
（3）探究EF 、DF 、CF 之间的关系．
【解析】解：（1）△△ABC 和△CDE 都为等边三角形， △△ACE=△BCD=60°，AC=BC ，CE=CD ， 在△ACE 和△BCD 中
AC BC
ACE BCD CE CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
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△△ACE△△BCD ；
（2）延长AF 到Q ，使FQ=DF ，连接DQ ， △△ACE△△BCD ， △△CAE=△CBD ， 又△△AEC=△BEF ， △△AFB=△ACB=60°． △△DFQ=60°，
△△DFQ 是等边三角形， △△FDQ=△FQD=60°，DF=DQ ， △△CDF=△EDQ ， 在△CDF 和△EDQ 中
CD DE CDF EDQ DF DQ =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， △△CDF△△EDQ ， △△CFD=△DQF=60°；
（3）△△CDF△△EDQ ， △CF=EQ ，
韩哥智慧之窗-精品文档△EQ=DF+FQ=EF+DF，
△CF=EF+DF．
7．（1）问题发现:如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，△AOB＝△COD＝36°，连接AC，
BD交于点M．△AC
BD
的值为；△△AMB的度数为；
（2）类比探究:如图（2），在△OAB和△OCD中，△AOB＝△COD＝90°，△OAB＝△OCD＝30°，连接AC，
交BD的延长线于点M．请计算AC
BD
的值及△AMB的度数．
（3）拓展延伸:在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，
OB C与点M重合时AC的长．
【解析】解：（1）△△△AOB=△COD=36°，
△△AOB+△DOA=△COD+△DOA，
△△COA=△DOB，
又△OA=OB，OC=OD，
△△COA△△DOB（SAS），
△AC=BD，
△AC
BD
=1，
故答案为：1；
△设AO与BD交于点E，由△知，△COA△△DOB，
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△△CAO=△DBO ， △△AOB+△DBO=△DEO ， △AMB+△CAO=△DEO ， △△AOB=△AMB=36°， 故答案为：36°；
（2）在△OAB 和△OCD 中，
△△AOB=△COD=90°，△OAB=△OCD=30°， △tan30°=
3
OD OB OC OA ==
， △△AOB+△DOA=△COD+△DOA ， 即△DOB=△COA ， △△DOB△△COA ， △
3AC OC BD OD
==， △DBO=△CAO ，
△△DBO+△OEB=90°，△OEB=△MEA ， △△CAO+△MEA=90°， △△AMB=90°， △
AC
BD
=3，△AMB=90°；
韩哥智慧之窗-精品文档（3）△如图3-1，当点M在直线OB左侧时，
在Rt△OCD中，△OCD=30°，OD=1，
△CD=2，
在Rt△OAB中，△OAB=30°，OB=13，
△AB=213，
由（2）知，△AMB=90°，且AC
BD
=3，
△设BD=x，则AC=AM=3x，
在Rt△AMB中，
AM2+MB2=AB2，
△（3x）2+（x+2）2=（213）2，解得，x1=3，x2=-4（舍去），
△AC=AM=33；
△如图3-2，当点M在直线OB右侧时，在Rt△AMB中，
AM2+MB2=AB2，
△（3x）2+（x-2）2=（213）2，
解得，x1=4，x2=-3（舍去），
△AC=AM=43，
综上所述，AC 的长为33或43 ． 8．综合与实践
（1）观察理解：如图1，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，点A ，B 在直线l 同侧，BD l ⊥，AE l ⊥，
垂足分别为D ，E ，由此可得：90AEC CDB ∠=∠=︒，所以90CAE ACE ∠+∠=︒，又因为90ACB ∠=︒，所以90BCD ACE ∠+∠=︒，所以CAE BCD ∠=∠，又因为AC BC =，所以AEC CDB ∆≅∆（ ）；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2，AE AB ⊥，且AE AB =，BC CD ⊥，且BC CD =，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S =______；
（3）类比探究：如图3，Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，将斜边AB 绕点A 逆时针旋转90︒至AB '，连接B C '，求AB C '∆的面积．
（4）拓展提升：如图4，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，点E ，F 在MAN ∠内部的射线AD 上，
1∠、2∠分别是ABE ∆、CAF ∆的外角．已知AB AC =，12BAC ∠=∠=∠．求证：CF EF BE +=；
【解析】（1）在AEC ∆和CDB ∆中，
AEC CDB CAE BCD AC BC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
AEC CDB ∴∆≅∆()AAS ，
故答案为：AAS ； （2）
AE AB =，90EAB ∠=︒，BC CD =，90BCD ∠=︒，
由（1）得：EFA AGB ∆≅∆，BGC CHD ∆≅∆，
6AG EF ∴==，3AF BG ==，4CG DH ==，3CH BG ==，
111
22(46)1626324380181250222
AEF CHD EFHD S S S S ∆∆∴=--=+⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=--=梯形.
（3）如图3，过B '作B E AC '⊥于E ，
由旋转得：AB AB ='，
90BAB '∠=︒，AEB BCA '∴∆≅∆， 4AC B E '∴==，11
44822
AB C S AC B E '∆'∴=
⋅=⨯⨯=； （4）12BAC ∠=∠=∠，1BAE ABE ∠=∠+∠，BAC BAE CAF ∠=∠+∠，2FCA CAF ∠=∠+∠，
ABE CAF ∴∠=∠，BAE FCA ∠=∠，
在ABE ∆和CAF ∆中，
ABE CAF AB AC
BAE ACF ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
ABE CAF ∴∆≅∆()ASA ； BE AF ∴=，CF AE =
CF EF AE EF AF BE ∴+=+==
9．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标是()5,4，M 与y 轴相切于点C ，与x 轴相交于A 、B 两
点.
（1）点A 、B 、C 的坐标分别是A （ ， ），B （ ， ），C （ ， ）. （2）设经过A 、B 两点的抛物线的关系式为()2
154
y x k =-+，它的顶点为F ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D ，求证：直线FA 与
M 相切.
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P （点P 在x 轴的上方），使PBC ∆是等腰三角形.如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由. 【解析】（1）()2,0A ，()8,0B
，()0,4C .
提示：连结MC ，则MC 垂直于y 轴.△点M 的坐标是()5,4，△5MA MC ==，4MD =.在Rt AMD ∆
中，3AD =
=，同理在Rt BMD ∆中，3BD =，△()2,0A ，()8,0B ，()0,4C .
（2）把()2,0A 代入()2154y x k =
-+，解得94k =-，△()2
19544y x =--，95,4F ⎛⎫- ⎪⎝
⎭.如图2，
连结MA ，则925444
MF =+
=，15
4
AF ==
. △5MA =，△222625
16
FA MA MF +==，△90MAF ∠=︒， 即MA AF ⊥，△FA 与
M 相切.
（3）△()8,0B ，
()0,4C ，△4OC =，8OB =.在Rt OBC ∆中，2
2280BC OC OB =+=.设()5,P
y ，0y >，
如图3.
△当CP CB =时，在1Rt CMP ∆中，()22
1254CP y =+-，△()2
25480y +-=，4y =±
△0y >，
△4y =△(15,4P +
；
△当BP BC =时，在2Rt BDP ∆中，2
22
9BP y =+，△2980y +=，y =，△0y >，△y =
△(2P ； △当PB PC =时，P 和M 重合，()3
5,4P .
综上当(5,4P +、(或()5,4时，PBC ∆是等腰三角形.
10．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC，若△BAD＝α，△BCD＝β（1）如图1，若α+β＝150°，求△MBC+△NDC的度数；
（2）如图1，若BE与DF相交于点G，△BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；
（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．
【解析】解：（1）在四边形ABCD中，△BAD+△ABC+△BCD+△ADC＝360°，
△△ABC+△ADC＝360°﹣（α+β），
△△MBC+△ABC＝180°，△NDC+△ADC＝180°
△△MBC+△NDC＝180°﹣△ABC+180°﹣△ADC＝360°﹣（△ABC+△ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β，△α+β＝150°，
△△MBC+△NDC＝150°，
（2）β﹣α＝90°
理由：如图1，连接BD，
由（1）有，△MBC+△NDC＝α+β，
△BE、DF分别平分四边形的外角△MBC和△NDC，
△△CBG＝1
2
△MBC，△CDG＝
1
2
△NDC，
△△CBG+△CDG＝1
2
△MBC+
1
2
△NDC＝
1
2
（△MBC+△NDC）＝
1
2
（α+β），
在△BCD中，在△BCD中，△BDC+△DBC＝180°﹣△BCD＝180°﹣β，在△BDG中，△BGD＝45°，
△△GBD+△GDB+△BGD＝180°，
△△CBG+△CBD+△CDG+△BDC+△BGD＝180°，
△（△CBG+△CDG）+（△BDC+△CDB）+△BGD＝180°，
△1
2
（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，
△β﹣α＝90°，
（3）平行，
理由：如图2，延长BC交DF于H，
由（1）有，△MBC +△NDC ＝α+β，
△BE 、DF 分别平分四边形的外角△MBC 和△NDC ， △△CBE ＝
12△MBC ，△CDH ＝1
2
△NDC ， △△CBE +△CDH ＝
12△MBC +12△NDC ＝12（△MBC +△NDC ）＝1
2
（α+β）， △△BCD ＝△CDH +△DHB ，
△△CDH ＝△BCD ﹣△DHB ＝β﹣△DHB ， △△CBE +β﹣△DHB ＝1
2
（α+β）， △α＝β，
△△CBE +β﹣△DHB ＝1
2
（β+β）＝β， △△CBE ＝△DHB ， △BE △DF ．
11．在平面直角坐标系xOy 中，对于平面中的点P ，Q 和图形M ，若图形M 上存在一点C ，使
90PQC ∠=︒，则称点Q 为点P 关于图形M 的“折转点”，称PCQ △为点P 关于图形M 的“折转三角形”
（1）已知点()4,0A ，()2,0B
△在点()12,2Q ，(21,Q ，()34,1Q -中，点O 关于点A 的“折转点”是______；
△点D 在直线y x =-上，若点D 是点O 关于线段AB 的“折转点”，求点D 的横坐标D x 的取值范围； （2）T 的圆心为(),0t ，半径为3，直线2y x =+与x ，y 轴分别交于E ，F 两点，点P 为T 上一点，若线段EF 上存在点P 关于T 的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出
t 的取值范围．
【解析】（1）△根据“折转点”的定义，要使得90OQA ∠=︒的Q 才是点O 关于点A 的“折转点”， 如图，根据各个点的坐标，
1OQ =1AQ =4OA =，则222
11OQ AQ OA +=，
△190OQ A ∠=︒，1Q 是点O 关于点A 的“折转点”，
22OQ =，2AQ =，4OA =，则22222OQ AQ OA +=，
△290OQ A ∠=︒，2Q 点O 关于点A 的“折转点”，
△390OAQ ∠=︒，△3Q 不是， 故答案是：1Q ，2Q ；
△如图，点D 为点O 关于线段AB 的折转点，则在线段AB 上存在点C ，使得90ODC ∠=︒，即D 在以OC 为直径的圆上（不含O ，C 点），因此，当点C 在AB 上运动时，所有可能的D 点组成的图形为： 以()1,0为圆心，半径为1的圆，和以()2,0为圆心，半径为2的圆及其之间的部分，（不含x 轴上的点）．直线y x =-与内圆交于E ，与外圆交于F ，线段EF 即为直线上D 点可能的位置，
过点E 作EH x ⊥轴于H ，连接BE ，则90OEB ∠=︒，因为直线y x =-，45AOE ∠=︒，因此OEB 为等腰直角三角形，OE BE =，由三线合一，知OH HB =，H 为()1,0，即E 点横坐标为1， 同理可得，F 点横坐标为2，
△点D 的横坐标取值范围是12D x ≤≤；
（2）根据题意，记线段EF 上的点是Q ，当T 上存在一点C ，使=90PQC ∠︒的时候，则线段EF 上存在点P 关于T 的“折转点”， △“折转三角形”是等腰直角三角形， △Q 点一定在线段PC 的垂直平分线上， △点P 、C 都是圆上的点，线段PC 是T 的弦， △圆心T 也在线段PC 的垂直平分线上，
△T 和Q 是共线的，且它们之间的距离是固定的， △等腰直角三角形的底是2， △Q 到线段PC 的距离是1， △T 的半径是3，弦长PC 是2，
△根据垂径定理可以算出圆心T 到线段PC 的距离是
△1QT =+
根据直线2y x =+求出()2,0E -、()0,2F ，
如图，当点Q 在点F 的位置上的时候，
△2OQ ，11QT =+1OT =t =；
△同上3OT =，则t =；
当点Q 在点E 的位置上的时候，
△21ET =+121t =+=；
△41ET =+(123t =-+-=--
综上，t 的范围是：3t -≤≤1t ≤≤．
12．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是
1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿CB 方向，
在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．
（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；
（2）设PQE 的面积为2()s cm ，求s 与t 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932
； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．
【解析】（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ， 又△PD QC ，
△四边形CDPQ 为平行四边形，
△PD CQ =，
即82t t -=， △83
t = （2）△PE AC ∥， △=DP DE DA DC
， 即886
-=t DE ， △364=-
DE t ，
△336644
=-+=CE t t ， △21133(8)66242248⎛⎫=⋅=--=-+ ⎪⎝
⎭△PDE S PD DE t t t t ， 2113322244
=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ， S 梯形11()(28)632422
=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ， △S S =梯形2
9
9(08)8--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t （3）由题意，29
9986832
-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =
所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932
． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， △22=EQ PE ， 在Rt CEQ 中，222+=CE CQ EQ ，
在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=，
△2222+=+CE CQ PD DE ， 即222233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭t t t t
解得1256-=
t ，2256+=-t （舍）
所以当
25
6
-
=
t时，点E在线段PQ的垂直平分线上．。