高考数学一轮复习第八章解析几何课时分层作业五十六8.7双曲线理
(江苏专用)2021新高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.7双曲线练习
8.7 双曲线1．(2020·衡水质检)对于实数m ，“1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线，则(m －1)(m －2)<0，得1<m <2， 则“1<m <2”是“方程x 2m －1＋y 2m －2＝1表示双曲线”的充要条件．2．(2019·北京)已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率是5，则a 等于( )A. 6 B ．4 C ．2 D.12答案 D解析 由双曲线方程x 2a2－y 2＝1，得b 2＝1，∴c 2＝a 2＋1.∴5＝e 2＝c 2a 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a2.结合a >0，解得a ＝12.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C.3x ±y ＝0 D ．2x ±y ＝0 答案 C解析 ∵双曲线的方程是x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .又∵离心率e ＝c a＝2， ∴c ＝2a ，∴b ＝c 2－a 2＝3a . 由此可得双曲线的渐近线方程为y ＝±3aax ＝±3x ，即3x ±y ＝0.故选C.4．(2020·西南大学附中月考)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(0<a <2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为( ) A.233 B.263C. 3 D ．2 答案 D解析 由双曲线方程可知渐近线方程为y ＝±2ax ，由两条渐近线夹角为π3，0<a <2，可知其中一条渐近线的倾斜角为π3，∴2a＝3，∴a ＝63，c ＝a 2＋b 2＝263， ∴e ＝ca ＝26363＝2.5．(2019·全国Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若OP ＝OF ，则△OPF 的面积为( )A.32B.52C.72D.92 答案 B解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知OF ＝3，所以OP ＝OF ＝3.不妨设点P 在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2143，53， 所以S △OPF ＝12OF ·y 0＝12×3×53＝52.6．已知离心率为52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若2OMF S △＝16，则双曲线的实轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4 答案 B解析 由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝bax 上，由题意可知F 2M ＝bca 2＋b 2＝b ，所以OM ＝c 2－b 2＝a .由2OMF S △＝16，可得12ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，c a ＝52，所以a ＝8，b ＝4，c ＝45，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.7．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，则双曲线C 的方程可能为( ) A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 AD解析 在椭圆x 29＋y 24＝1中，c ＝9－4＝ 5.因为双曲线C 与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x －2y ＝0，所以可设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x 24λ－y 2λ＝1.当λ>0时，c ＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1， 则双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1；当λ<0时，c ＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，则双曲线C 的方程为y 2－x 24＝1.综上，双曲线C 的方程为x 24－y 2＝1或y 2－x 24＝1，故选AD.8．(多选)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：y 2－x 2＝1的上、下焦点，点P 是其一条渐近线上一点，且以线段F 1F 2为直径的圆经过点P ，则( ) A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x B ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝1 C ．点P 的横坐标为±1 D ．△PF 1F 2的面积为 2 答案 ACD解析 等轴双曲线C ：y 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±x ，故A 正确； 由双曲线的方程可知F 1F 2＝22，所以以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2，故B 错误； 点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上， 不妨设点P (x 0，y 0)在直线y ＝x 上，所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝2，y 0＝x 0，解得|x 0|＝1，则点P 的横坐标为±1，故C 正确；由上述分析可得△PF 1F 2的面积为12×22×1＝2，故D 正确．故选ACD.9．(2019·华中师大附中月考)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________． 答案2解析 由题意知b a＝1， ∴e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 2.10．(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F 1，F 2的双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x －2y ＝0相互垂直，点P 在双曲线C 上，且PF 1－PF 2＝3，则双曲线C 的焦距为________．答案 3 5解析 双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线为y ＝±bax ，一条渐近线与直线l ：x －2y ＝0相互垂直，可得b a＝2， 即b ＝2a ，由双曲线的定义可得2a ＝PF 1－PF 2＝3， 可得a ＝32，b ＝3，即有c ＝a 2＋b 2＝94＋9＝352， 即焦距为2c ＝3 5.11.如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________．答案3＋1解析 设F 1F 2＝2c ，连接AF 1，∵△F 2AB 是等边三角形，且F 1F 2是⊙O 的直径， ∴∠AF 2F 1＝30°，∠F 1AF 2＝90°， ∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ， 2a ＝3c －c ，e ＝c a＝23－1＝3＋1. 12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1,2)，使得P i A 1—→·P i A 2—→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 解析 设c 为半焦距，则F (c ，0)，又B (0，b )， 所以BF ：bx ＋cy －bc ＝0，以A 1A 2为直径的圆的方程为⊙O ：x 2＋y 2＝a 2， 因为P i A 1—→·P i A 2—→＝0，i ＝1,2，所以⊙O 与线段BF 有两个交点(不含端点)，所以⎩⎪⎨⎪⎧bc b 2＋c2<a ，b >a ，即⎩⎪⎨⎪⎧c 4－3a 2c 2＋a 4<0，c 2>2a 2，故⎩⎪⎨⎪⎧e 4－3e 2＋1<0，e 2>2，解得2<e <5＋12.13．(2020·长沙模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．2 2 答案 C解析 因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A 在左支，点B 在右支，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ,0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，3x 2－x 1＝2c ，因为x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ,3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，c a≥2，即e ≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.14．(2019·江南十校联考)已知双曲线C 1，C 2的焦点分别在x 轴，y 轴上，渐近线方程都为y ＝±1ax (a >0)，离心率分别为e 1，e 2，则e 1＋e 2的最小值为________．答案 2 2解析 由题意得双曲线C 1的方程为x 2a 2－y 2＝t (a >0，t >0)，双曲线C 2的方程为y 2－x 2a2＝λ(a >0，λ>0)，所以e 1＝t ＋a 2t a t ＝a 2＋1a ，e 2＝λ＋a 2λλ＝a 2＋1，所以e 1＋e 2＝a 2＋1a＋a 2＋1≥2a 2＋1a＝2a ＋1a≥22(当且仅当a ＝1时等号成立)．15．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c ,0)作圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2＝4cx 于点P ，O 为坐标原点，若OE→＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率为( ) A.1＋52 B.52 C.1＋32D. 5 答案 A解析 ∵OF ＝c ，OE ＝a ，OE ⊥EF ，∴EF ＝c 2－a 2＝b ， ∵OE →＝12(OF →＋OP →)，∴E 为PF 的中点，OP ＝OF ＝c ，PF ＝2b ，设F ′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点， 则EO 为△PFF ′的中位线，则PF ′＝2OE ＝2a ，可设P 的坐标为(m ，n )， 则有n 2＝4cm ，由抛物线的定义可得PF ′＝m ＋c ＝2a ，m ＝2a －c ，n 2＝4c (2a －c )，又OP ＝c ，即有c 2＝(2a －c )2＋4c (2a －c )， 化简可得，c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， 由于e >1，解得e ＝5＋12. 16．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0,66)，当△APF 周长最小时，则点P 的坐标为________．答案 (－2,26)解析 如图，由双曲线C 的方程可知a 2＝1，b 2＝8，∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，∴c＝3，∴左焦点E(－3,0)，右焦点F(3,0)，∵AF＝32＋(66)2＝15，∴当△APF的周长最小时，PA＋PF最小．由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2，∴PF＝PE＋2，又PE＋PA≥AE＝AF＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负值已舍)，∴点P的坐标为(－2,26)．。
数学(理)一轮复习 第八章 平面解析几何 第讲 双曲线
第6讲 双曲线1．双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F 1,F 2M 点的 轨迹为 双曲线 F 1、F 2为双曲线的焦点 |｜MF 1｜－|MF 2|｜＝2a｜F 1F 2｜为双曲线的焦距 2a <|F 1F 2|2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 错误!－错误!＝1 （a ＞0，b ＞0) 错误!－错误!＝1 （a ＞0，b ＞0)图形性质 范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R y ≤－a 或y ≥a ,x ∈R 对称性 对称轴:坐标轴，对称中心:原点顶点 A 1(－a ，0），A 2（a ，0) A 1(0，－a ），A 2(0，a )渐近线y＝±ba xy＝±错误!x离心率e＝错误!,e∈（1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长｜B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0）1．辨明三个易误点（1）双曲线的定义中易忽视2a＜|F1F2|这一条件．若2a＝|F1F2|,则轨迹是以F1,F2为端点的两条射线，若2a＞｜F1F2|,则轨迹不存在．（2）区分双曲线中a，b,c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2。
(3）双曲线的离心率e∈（1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．2．求双曲线标准方程的两种方法（1）定义法根据题目的条件,判断是否满足双曲线的定义，若满足,求出相应的a，b，c，即可求得方程．（2）待定系数法①与双曲线错误!－错误!＝1共渐近线的可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0);②若渐近线方程为y ＝±b ax ,则可设为错误!－错误!＝λ（λ≠0)； ③若过两个已知点，则可设为错误!＋错误!＝1(mn ＜0）．3．双曲线几何性质的三个关注点（1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;(2)“四线”：两对称轴（实、虚轴）、两渐近线；（3）“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形;双曲线上的一点（不包括顶点）与两焦点构成的三角形．1。
近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7抛物线课后作业理(2021年整理)
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7 抛物线课后作业理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.7 抛物线课后作业理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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8.7 抛物线[重点保分两级优选练］A级一、选择题1．（2017·皖北协作区联考）已知抛物线C：x2＝2py(p〉0），若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4错误!，则抛物线C的方程为( ）A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝2y D．x2＝y答案C解析由错误!得错误!或错误!即两交点坐标为(0，0)和(4p,8p），则错误!＝4错误!，得p＝1(舍去负值），故抛物线C的方程为x2＝2y。
故选C。
2．（2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C:y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则｜AB｜＝（）A。
错误!B．6C．12 D．7错误!答案C解析抛物线C：y2＝3x的焦点为F错误!，所以AB所在的直线方程为y ＝错误!错误!,将y＝错误!错误!代入y2＝3x，消去y整理得x2－错误!x＋错误!＝0。
设A（x1,y1),B（x2,y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝错误!，由抛物线的定义可得｜AB|＝x1＋x2＋p＝错误!＋错误!＝12.故选C.3．（2018·广东广州模拟)如果P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1,x2,…,x n，F是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋…＋x n＝10,则|P1F｜＋|P2F|＋…＋|P n F|＝（）A．n＋10 B．n＋20C．2n＋10 D．2n＋20答案A解析由抛物线的方程y2＝4x可知其焦点为(1,0）,准线为x＝－1,由抛物线的定义可知｜P1F|＝x1＋1，｜P2F|＝x2＋1,…，|P n F|＝x n＋1，所以｜P1F|＋｜P2F｜＋…＋|P n F｜＝x1＋1＋x2＋1＋…＋x n＋1＝(x1＋x2＋…＋x n）＋n＝n ＋10.故选A.4．(2017·江西赣州二模）抛物线C：y2＝2px(p〉0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍,且三角形OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为( )A．1 B．2C．3 D．4答案B解析不妨设A(x0,y0)在第一象限,由题意可知错误!即错误!∴A错误!，又∵点A的抛物线y2＝2px上，∴错误!＝2p×错误!，即p4＝16,又∵p〉0，∴p＝2，故选B.5．过抛物线y2＝8x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，交抛物线的准线于点C，若｜AF｜＝6,错误!＝λ错误!（λ〉0)，则λ的值为（) A。
高考数学一轮总复习第八章解析几何8.6双曲线课时训练理(2021年整理)
2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.6 双曲线课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第八章解析几何8.6 双曲线课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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8.6 双曲线[课时跟踪检测][基础达标］1．（2017届合肥质检）若双曲线C1：错误!－错误!＝1与C2：错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4错误!，则b＝（）A．2 B．4C．6 D．8解析:由题意得错误!＝2⇒b＝2a,C2的焦距2c＝4错误!⇒c＝错误!＝2错误!⇒b＝4，故选B。
答案：B2．若双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b>0)的离心率为错误!，则其渐近线方程为( )A．y＝±2x B．y＝±错误!xC．y＝±错误!x D．y＝±错误!x解析：由条件e＝错误!＝错误!，得错误!＝错误!＝1＋错误!＝3,所以错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.故选B。
答案：B3．已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）的焦点为F1，F2，且C上点P满足错误!·错误!＝0，|错误!|＝3，｜错误!｜＝4，则双曲线C的离心率为( ）A。
错误!B．错误!C.错误!D．5解析:依题意得，2a＝|PF2｜－|PF1|＝1，|F1F2|＝错误!＝5，因此该双曲线的离心率e＝错误!＝5。
答案：D4．(2017届长春质检）过双曲线x2－错误!＝1的右支上一点P,分别向圆C：（x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4）2＋y2＝1作切线，切点分别为M,N，则|PM|2 1－｜PN｜2的最小值为（)A．10 B．13C．16 D．19解析：由题可知,｜PM|2－｜PN｜2＝(｜PC1|2－4)－(｜PC2|2－1）＝｜PC1|2－｜PC2|2－3＝（|PC1|－|PC2|）(｜PC1｜＋｜PC2|）－3＝2（|PC1|＋｜PC2｜)－3≥2｜C1C2｜－3＝13。
高考数学一轮总复习 第八章 平面解析几何 第六节 双曲线练习 理-人教版高三全册数学试题
第六节双曲线1．双曲线的定义平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．注意：(1)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(2)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝2.1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”错误的打“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)方程x 2m －y2n＝1(mn>0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．(2015·某某卷)若双曲线E ：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由题意知a ＝3，b ＝4，∴c ＝5.由双曲线的定义有||PF 1|－|PF 2||＝|3－|PF 2||＝2a ＝6，∴|PF 2|＝9.答案：B3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x解析：由e ＝52，得c a ＝52， ∴c ＝52a ，b ＝c 2－a 2＝12a. 又x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y ＝±b ax ，∴所求渐近线方程为y ＝±12x.答案：C4．(2015·某某卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1 B.x 29－y216＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 23－y24＝1 解析：∵e＝c a ＝54，F 2(5，0)，∴c ＝5，∴a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴双曲线C 的标准方程为x 216－y29＝1.答案：C5．(2015·某某卷)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是________，渐近线方程是________．解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x 轴上，且a 2＝2，b 2＝1， ∴c 2＝a 2＋b 2＝3，即c ＝3，∴焦距2c ＝23， 渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±22x.答案：2 3 y ＝±22x两条规律1．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±bax ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程是y ＝±a bx. 两种方法求双曲线标准方程的方法1．定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a 2，b 2，写出方程．2．待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y2b 2＝λ(λ≠0)．(3)若过两个已知点，则设为x 2m ＋y2n ＝1(mn<0)．两点注意1．区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.2．双曲线的离心率大于1，椭圆的离心率e∈(0，1)．一、选择题1．“m<8”是“方程x 2m －10－y2m －8＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：方程x 2m －10－y2m －8＝1表示双曲线，则(m －8)·(m－10)>0，解得m<8或m>10.故“m<8”是“方程x 2m －10－y2m －8＝1表示双曲线”的充分不必要条件．答案：A2．(2015·某某卷)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1解析：A 中的渐近线方程为y ＝±2x；B 中的渐近线方程为y ＝±12x ；C 中的渐近线方程为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±22x. 答案：A3．(2015·某某卷)若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54C.43D.53解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169. 又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.答案：D4．已知双曲线y 2a 2－x2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点是(4，3)．则此双曲线的方程为( )A.y 29－x 216＝1 B.y 24－x23＝1 C.y 216－x 29＝1 D.y 23－x24＝1 解析：由题意，c ＝32＋42＝5， ∴a 2＋b 2＝c 2＝25.①又双曲线的渐近线为y ＝±a b x ，∴a b ＝34.②则由①②解得a ＝3，b ＝4，∴双曲线方程为y 29－x216＝1.答案：A5．双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于( )A ．2B ．22C ．4D ．4 2 解析：∵e＝2，∴ca＝2.设焦点F 2(c ，0)到渐近线y ＝ba x 的距离为3，渐近线方程为bx －ay ＝0，∴|bc －a×0|b 2＋a 2＝ 3. ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝ 3.由c a ＝2，得c c 2－b 2＝2， ∴c2c 2－3＝4，解得c ＝2.∴焦距2c ＝4. 答案：C6．(2015·课标全国Ⅰ卷)已知M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M(x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 答案：A二、填空题7．(2015·卷)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a>0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________．解析：直接求解双曲线的渐近线并比较系数．双曲线x 2a 2－y 2＝1的渐近线为y ＝±x a ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，因为a>0，所以1a ＝3，所以a ＝33.答案：338．设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x.设与双曲线y 24－x 2＝1有共同渐近线的方程为y 24－x 2＝λ，又(2，2)在双曲线上，故224－22＝λ，解得λ＝－3.故所求双曲线方程为y 24－x 2＝－3即x 23－y 212＝1，所求双曲线的渐近线方程为y ＝±2x. 答案：x 23－y212＝1 y ＝±2x9．F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点．若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为________．解析：如图，由双曲线定义得，|BF 1|－|BF 2|＝|AF 2|－|AF 1|＝2a.因为△ABF 2是正三角形，所以|BF 2|＝|AF 2|＝|AB|，因此|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，且∠F 1AF 2＝120°，在△F 1AF 2中，4c 2＝4a 2＋16a 2＋2×2a×4a×12＝28a 2，所以e ＝7.答案：7 三、解答题10．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5. 设双曲线G 的方程为x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. ∴|5a|b 2＋a2＝3，得a ＝3，b ＝4，∴双曲线G 的方程为x 29－y216＝1.11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m )在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．(1)解：∵e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等．∴设双曲线方程为x 2－y 2＝λ.∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵MF 1→＝(－3－23，－m)， MF 2→＝(23－3，－m)．∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)解：△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m|＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。
双曲线(高三一轮复习)
双曲线C的左支上，所以|PF2|－|PF1|＝2a，则|PF2|＝|PF1|＋2a＝7＋6＝13.
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5．(易错题)若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的焦距为2 10，则该双曲线的
标准方程为 x2－y92＝1或y92－x2＝1
.
解析 双曲线的焦距为2 10，所以c＝ 10. 当双曲线的焦点在x轴时， 因为双曲线的渐近线方程为y＝±3x， 所以ba＝3⇒b＝3a，
tan 2
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(5)与双曲线
ห้องสมุดไป่ตู้
x2 a2
－
y2 b2
＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为
x2 a2
－
y2 b2
＝
t(t≠0)．
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基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程xm2－yn2＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × ) (3)双曲线mx22－ny22＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是mx ±ny＝0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )
y2 9
－x2＝1.因此该
双曲线的标准方程为x2－y92＝1或y92－x2＝1.
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关键能力 互动探究
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命题点1 双曲线的定义及应用
例1 (1)与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆P的圆心在( D )
2024届高考数学一轮复习第八章《平面解析几何》第六节+双曲线
，
[解析] 根据题意，设所求双曲线的方程为 ，由双曲线 经过点 ，得 ，即 ，所以双曲线的方程为 ，其标准方程为 ，顶点坐标为 ， .
√
2. （2022山东淄博模拟）双曲线 的离心率为( )
A. B. C. D.
D
[解析] 由题意得 , ，故 ， ，故选D.
3. 易错题 若点 为双曲线 上的一点， , 为双曲线的焦点，且 ，则 _______.
4或16
[解析] 双曲线 中 ， ， 在双曲线上，∴由双曲线的定义可得 ， 或16.
[解析] 以冷却塔的轴截面的最窄处所在的直线为 轴，其垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系（图略），设双曲线的方程为 ，由题意知 ，点 ， 在双曲线上，所以 解得 所以 ，所以 .
方法感悟双曲线定义的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点的轨迹是不是双曲线;二是在“焦点三角形”中,利用正弦定理、余弦定理,结合 ,建立与 的联系.
3. 平面内到点 和 的距离之差等于6的点的轨迹是________________________.
双曲线 的右支
4. （2022湖北武汉二模）如图，发电厂的冷却塔外形可以抽象成双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为70米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径为25米，塔底部塔口半径为 米，则该双曲线的离心率为____.
标准方程
性质
范围
对称性
对称轴：___________，对称中心：______
顶点
轴、 轴
原点
续表
标准方程
2024版高考数学一轮复习教材基础练第八章平面解析几何第五节双曲线教学课件
10. (1)若双曲线的焦点在x轴上,焦距为2,且双曲线过点(-5,2),则双曲线的标准方程为 . (2)若双曲线过点(2,0),且与双曲线-=1的离心率相等,则双曲线的标准方程为 . (3)若双曲线过点P1(-2,)和P2(,4),则双曲线的标准方程为 .
教材素材变式
如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线.
性质
（1）它们有共同的渐近线；（2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.
知识点103：双曲线的几何性质
常用结论与双曲线有关的常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ，双曲线的顶点到渐近线的距离为 .（2）双曲线 的焦点为 , ，当点 在双曲线右支上时， , ;当点 在双曲线左支上时， , .（3）若 是双曲线右支上一点， ， 分别为双曲线的左、右焦点，则 , .
a,b,c的关系
c2=a2+b2
（2）标准方程
知识点102：双曲线的定义及标准方程
规律总结焦点位置的判断在双曲线的标准方程中，看 项与 项的系数的正负，若 项的系数为正，则焦点在 轴上;若 项的系数为正，则焦点在 轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
知识点102：双曲线的定义及标准方程
知识点103：双曲线的几何性质
方法技巧
（1）渐近线方程的求法：求双曲线 的渐近线的方法是令 ，即得两渐近线方程为 ，也就是 .
（2）在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线 中，离心率 与双曲线的渐近线的斜率 ，满足关系式 .
知识点103：双曲线的几何性质
第五节 双曲线
知识点102：双曲线的定义及标准方程
教材知识萃取
2025版新教材高考数学全程一轮总复习第八章解析几何第七节双曲线及其性质学生用书
第七节双曲线及其性质【课标标准】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.驾驭双曲线的简洁几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简洁应用．必备学问·夯实双基学问梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．2．双曲线的标准方程和简洁几何性质标准方程＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 图形性质范围________________________对称性对称轴：________，对称中心：________顶点________________________渐近线________________________离心率e＝∈____________实轴与虚轴实轴|A1A2|＝________；虚轴|B1B2|＝________；实半轴长________，虚半轴长________a，b，c的关系c2＝________(c>a>0，c>b>0)[常用结论](1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.(3)焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为.(4)与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程为＝λ(λ≠0)．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的肯定值等于8的点的轨迹是双曲线．( )(2)等轴双曲线的渐近线相互垂直，离心率等于.( )(3)双曲线＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是＝0，即±＝0.( )(4)关于x，y的方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( )2．(教材改编)双曲线2x2－y2＝8的渐近线方程是( )A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±x D．y＝±x3．(教材改编)经过点A(4，1)且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．4．(易错)已知双曲线x2－＝1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于________．5．(易错)以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为________．关键实力·题型突破题型一双曲线的定义及应用例1 (1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程( )A．x2－＝1(x≤－1)B．x2－＝1C．x2－＝1(x≥1)D．－x2＝1(2)[2024·河南郑州模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为3，焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上．若△AF1F2的周长为14a，则△AF1F2的面积是( ) A．a2B．15a2C．2a2D．2a2[听课记录]题后师说(1)①抓住“焦点三角形PF1F2”中的数量关系是求解此类题的关键；②利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的肯定值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．(2)利用双曲线定义求方程，要留意三点：①距离之差的肯定值；②2a＜|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．巩固训练1(1)一动圆P过定点M(－4，0)，且与已知圆N：(x－4)2＋y2＝16相切，则动圆P的轨迹方程是( )A．＝1(x≥2)B．＝1(x≤2)C．＝1 D．＝1(2)[2024·黑龙江齐齐哈尔模拟]设F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )A．14 B．7C．15 D．5题型二双曲线的标准方程例2 (1)双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1(2)[2024·山东济南历城二中模拟]由伦敦闻名建筑事务所Steyn Studio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完备结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线＝1(a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为3x＋y＝0，下焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为( )A．＝1 B．＝1C．－x2＝1 D．＝1(3)[2024·辽宁沈阳模拟]焦点在x轴上的双曲线C与双曲线＝1有共同的渐近线，且C的焦点到一条渐近线的距离为3，则双曲线C的方程为________．(4)经过点P(3，2)，Q(－6，7)的双曲线的标准方程为________________．[听课记录]题后师说求双曲线方程的两种方法巩固训练2(1)[2024·广东佛山模拟]已知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－5)，F2(0，5)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的肯定值等于6，则双曲线的标准方程为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1(2)[2024·河北保定期末]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：2x－y＝2垂直，若右焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为( )A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1(3)过点(2)且渐近线与双曲线C：y2－＝1的渐近线相同的双曲线方程为________．题型三双曲线的简洁几何性质角度一渐近线例3 (1)[2024·山东日照模拟]下列双曲线中，焦点在y轴上，且渐近线相互垂直的是( )A．y2－x2＝4 B．－y2＝1C．－x2＝1 D．x2－y2＝1(2)[2024·河南洛阳模拟]已知双曲线C：－x2＝1(m>0)的离心率e＝，则双曲线C 的渐近线方程为( )A．y＝±2x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x[听课记录]题后师说求双曲线渐近线方程的两种常用方法巩固训练3(1)[2024·广东汕头模拟]双曲线＝1的一条渐近线斜率为，则m＝( )A．2 B．C．3 D．(2)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦点到一条渐近线的距离为a，则双曲线C的渐近线方程是________．角度二离心率例 4 (1)[2024·广东汕尾期末]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．2(2)[2024·安徽巢湖模拟]已知F1，F2是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且2|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，∠F1PF2＝90°，则双曲线C的离心率是( )A．B．C．D．(3)[2024·河北保定模拟]已知双曲线＝1的右焦点为F，在右支上存在点P，Q，使得POQF为正方形(O为坐标原点)，设该双曲线离心率为e，则e2＝( ) A． B．3＋C．D．9＋(4)[2024·江西临川一中模拟]已知双曲线＝1(a>0，b>0)左，右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线右支上存在点P使得＝，则离心率的取值范围为( )A．[＋1，＋∞) B．(1，＋1]C．(1，＋1) D．(＋1，＋∞)[听课记录]题后师说求双曲线离心率(或其范围)的两种常用方法巩固训练4(1)[2024·山东潍坊模拟]已知双曲线C的顶点为A1，A2，虚轴的一个端点为B，且△BA1A2是一个等边三角形，则双曲线C的离心率为( )A．2 B．C．3 D．(2)[2024·河南商丘模拟]已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)经过点(－1，－1)，且C的实轴长大于，则C的离心率的取值范围为( )A．(1，) B．(1，)C．(，＋∞) D．(，＋∞)(3)[2024·山东济南模拟]已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，若PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则双曲线的离心率为________________．真题展台1.[2024·全国甲卷] 若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________．2．[2024·北京卷]已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________．3．[2024·全国乙卷] 双曲线C的两个焦点为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且＝，则C的离心率为( ) A． B． C． D．4．[2024·全国甲卷]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为( )A． B． C． D．5．[2024·全国乙卷]已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C 的焦距为__________．6．[2024·新高考Ⅱ卷]已知双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________.7．[2024·新高考Ⅰ卷](多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( )A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝± xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线第七节双曲线及其性质必备学问·夯实双基学问梳理1．差的肯定值焦点焦距2．x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)y＝±x y＝±x(1，＋∞)2a2b a b a2＋b2夯实双基1．(1)×(2)√(3)√(4)×2．解析：由题意，＝1的渐近线方程为y＝± x＝±x.故选C.答案：C3．解析：由题意，设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)代入点A(4，1)的坐标得42－12＝λ，解得λ＝15，所以所求双曲线的方程为＝1.答案：＝14．解析：设双曲线x2－＝1的左右焦点分别为F1，F2，∴a＝1，b＝4.则||PF1|－|PF2||＝2，可设|PF2|＝4，则|PF1|＝2或|PF1|＝6，∵c＝>4，∴|PF1|>2，∴|PF1|＝2(舍去)，∴|PF1|＝6.答案：65．解析：由题意知＝tan ＝或＝tan ＝，当＝时，e＝＝＝2；当＝时，e＝＝＝.答案：2或关键实力·题型突破例1 解析：(1)如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B.依据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C1，C2的距离之差是常数且小于|C1C2|.又依据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离比到C1的距离大)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8，故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．故选A.(2)不妨令A在双曲线右支，依题意可得|F1A|＋|F2A|＋2c＝14a，|F1A|－|F2A|＝2a，c＝3a，解得|F1A|＝5a，|F2A|＝3a，又|F1F2|＝2c＝6a，由余弦定理|F1F2|2＝，即36a2＝25a2＋9a2－2×5a×3a cos ∠F1PF2，解得cos ∠F1PF2＝－，所以sin ∠F1PF2＝＝，所以△AF1F2的面积S＝×3a×5a×＝2a2.故选C.答案：(1)A (2)C巩固训练1 解析：(1)设动圆P的半径为r，由题意知|PM|＝r，圆N的圆心坐标为(4，0)，半径为4.动圆P与圆N相切有两种状况，即内切或外切，所以|PN|＝r±4，所以||PN|－|PM||＝4，即动点P到两定点的距离之差为常数4，所以点P在以M，N为焦点的双曲线上，所以2a＝4，2c＝8，所以b＝2，所以动圆P的轨迹方程是＝1.故选D.(2)设|PF1|＝5x，|PF2|＝3x，则由双曲线的定义可得：|PF1|－|PF2|＝5x－3x＝2x＝2a ＝4，所以x＝2，故|PF1|＝10，|PF2|＝6，又|F1F2|＝14，故cos ∠F1PF2＝＝－，故sin ∠F1PF2＝，所以△PF1F2的面积为×10×6×＝15.故选C.答案：(1)D (2)C例2 解析：(1)2a＝||＝4，所以a＝2，又c＝6，所以b2＝c2－a2＝36－20＝16.所以双曲线的标准方程为＝1.故选B.(2)因为双曲线＝1的渐近线方程为±ax＋by＝0，又双曲线的一条渐近线为3x＋y＝0，所以－＝－，即a＝3b，又下焦点到下顶点的距离为1，所以c－a＝1，结合c2＝a2＋b2解得a2＝9，b2＝7.故选A.(3)由题意可设双曲线C的方程为：＝λ，即＝1；则a2＝4λ，b2＝9λ，∵双曲线焦点到渐近线距离为b，∴3＝，解得：λ＝2，∴双曲线C的方程为＝1.(4)设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为所求双曲线经过点P(3，2)，Q(－6，7)，所以解得故所求双曲线的方程为＝1.答案：(1)B (2)A (3)＝1 (4)＝1巩固训练2 解析：(1)由题意，c＝5，2a＝6⇒a＝3，则b＝＝4，结合条件可知，双曲线的标准方程为＝1.故选C.(2)依据题意得：双曲线C的渐近线方程为y＝±x，因为其一条渐近线与直线l：2x－y＝2垂直，所以－×2＝－1，解得＝，即a＝2b，又右焦点到渐近线的距离为2，则＝2，解得b＝2，则a＝4，所以双曲线的方程为＝1.故选A.(3)依据题意，双曲线C：y2－＝1渐近线方程为y＝±x，所以要求的双曲线方程为y2－＝λ(λ≠0)，又过点(2)，代入方程可得λ＝－3，因此双曲线方程为＝1.答案：(1)C (2)A (3)＝1例3 解析：(1)由于双曲线的焦点在y轴上，所以选项BD不满意题意；选项A中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积为－1，所以两渐近线相互垂直，所以选项A满意题意；选项C中双曲线的渐近线为y＝±x，两渐近线的斜率乘积不为－1，所以两渐近线不相互垂直，所以选项C不满意题意．故选A.(2)由题意，双曲线C：－x2＝1(m>0)，可得a2＝m，b2＝1，因为双曲线C的离心率e＝，可得＝＝＝，可得m＝4，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±2x.故选A.答案：(1)A (2)A巩固训练3 解析：(1)由题意可知m>0，所以双曲线＝1(m>0)的渐近线方程为y＝± x.∵双曲线＝1的一条渐近线斜率为，∴＝，解得m＝2.故选A.(2)设双曲线的半焦距为c，则焦点坐标为(0，±c)，而双曲线的渐近线方程为：ax±by＝0，故焦点到渐近线的距离为＝b，故b＝a，故渐近线方程为x±y＝0.答案：(1)A (2)x±y＝0例4 解析：(1)双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，＝，b＝a，离心率e＝＝＝＝2.故选D.(2)由题意可知，2|PF1|＋|PF2|＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a，∴，又∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即()2＋()2＝(2c)2，∴c2－2ac＋5a2＝0，即(c－a)2＝0，c＝a，∴e＝.故选C.(3)由题意，当POQF为正方形时，点P的坐标为()，代入＝1可得＝1，整理得b2c2－a2c2＝4a2b2，即(c2－a2)c2－a2c2＝4a2(c2－a2)，整理得c4－6a2c2＋4a4＝0，即e4－6e2＋4＝0，解得e2＝3＋.故选B.(4)由题意可得点P不是双曲线的顶点，否则＝无意义．在△PF1F2中，由正弦定理得＝，因为＝，所以＝，所以|PF1|＝·|PF2|，因为点P在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝，由双曲线的性质可得|PF2|>c－a，所以>c－a，化简得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得－＋1<e<＋1，因为e>1，所以1<e<＋1，即双曲线离心率的取值范围为.故选C.答案：(1)D (2)C (3)B (4)C巩固训练4 解析：(1)由△BA1A2是一个等边三角形，可得b＝a，即b2＝3a2，则有c2－a2＝3a2，即c2＝4a2，则双曲线C的离心率e＝＝2.故选A.(2)由题意可知，＝1，所以b2－a2＝a2b2，又b2＝c2－a2，所以c2－2a2＝a2(c2－a2)，所以a2＝＝>()2，解得e>.故选D.(3)不妨假设点P在双曲线右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，由于PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，故|PF1|＝2|PF2|，故|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，而tan ∠PF1F2＝＝＝，故e＝＝.答案：(1)A (2)D (3)真题展台——知道高考考什么？1．解析：由题意，得双曲线的一条渐近线方程为y＝，即x－my＝0.圆的方程可化为x2＋(y－2)2＝1，故圆心坐标为(0，2)，半径r＝1.由渐近线与圆相切，结合点到直线的距离公式，得＝1，解得m＝±.又因为m＞0，所以m＝.答案：2．解析：双曲线y2＋＝1的标准方程为＝1，其渐近线方程为±＝0，即y ＝±，∴＝，∴m＝－3.答案：－33．解析：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，所以OG⊥NF1，因为cos ∠F1NF2＝>0，所以N在双曲线的右支，所以|OG|＝a，|OF1|＝c，|GF1|＝b，设∠F1NF2＝α，∠F2F1N＝β，由cos ∠F1NF2＝，即cos α＝，则sin α＝，sin β＝，cos β＝，在△F2F1N中，sin ∠F1F2N＝sin (π－α－β)＝sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，由正弦定理得＝＝＝，所以|NF1|＝sin ∠F1F2N＝＝，|NF2|＝sin β＝＝又|NF1|－|NF2|＝＝＝2a，所以2b＝3a，即＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.故选C.答案：C4．解析：设|PF2|＝m，|PF1|＝3m，则|F1F2|＝＝m，所以C的离心率e＝＝＝＝＝.故选A.答案：A5．解析：双曲线－y2＝1(m>0)的渐近线为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得，m＝3.设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线的焦距2c＝2＝4.答案：46．解析：因为双曲线＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以e＝＝＝2，所以＝3，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.答案：y＝±x7．解析：对于选项A，∵m>n>0，∴0<<，方程mx2＋ny2＝1可变形为＝1，∴该方程表示焦点在y轴上的椭圆，正确；对于选项B，∵m＝n>0，∴方程mx2＋ny2＝1可变形为x2＋y2＝，该方程表示半径为的圆，错误；对于选项C，∵mn<0，∴该方程表示双曲线，令mx2＋ny2＝0⇒y＝± x，正确；对于选项D，∵m＝0，n>0，∴方程mx2＋ny2＝1变形为ny2＝1⇒y＝± ，该方程表示两条直线，正确．综上选ACD.答案：ACD。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.7双曲线课时提升作业理
课时提升作业五十六双曲线(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·铜仁模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为( )A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C.因为e==,故可设a=2k,c=k,则得b=k,所以渐近线方程为y=±x=±x.2.已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的( )A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【解析】选D.由双曲线C1知:a2=sin2θ,b2=cos2θ⇒c2=1,由双曲线C2知:a2=cos2θ,b2=sin2θ⇒c2=1.3.(2016·新乡模拟)如果双曲线-=1(m>0,n>0)的渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为双曲线方程为-=1(m>0,n>0),所以a2=m,b2=n,得a=,b=,因此双曲线的渐近线方程y=±x,即y=±x,所以=,得m=4n,所以c==.故双曲线的离心率e====.【加固训练】(2016·忻州模拟)已知双曲线C:-=1的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=±2xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选B.由双曲线的方程-=1知,双曲线的焦点在x轴上,所以=()2=3,所以n=, 所以a2=,b2=4-=,从而双曲线的渐近线方程是y=±x.4.(2014·全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C.m D.3m【解析】选A.双曲线C:-=1,则c2=3m+3,c=,设焦点F(,0),一条渐近线方程为y=x,即x-y=0,所以点F到渐近线的距离为d==.5.(2016·开封模拟)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【解析】选B.易知|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2=0,两边同除以a2,得3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍去).【加固训练】(2016·唐山模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦点为F1,F2,且C上点P满足·=0,||=3,||=4,则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.5【解析】选 D.依题意得,2a=|PF2|-|PF1|=1,|F1F2|==5,因此该双曲线的离心率e==5.6.过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、4。
高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第七节 双曲线教案(含解析)-高三全册数学教案
第七节双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.(1)当2a＜|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a＞|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线y＝±bax y＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)a，b，c的关系c2＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2ba叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长1．双曲线x 23－y 22＝1的焦距为________．解析：由双曲线x 23－y 22＝1，易知c 2＝3＋2＝5，所以c ＝5，所以双曲线x 23－y 22＝1的焦距为2 5.答案：2 52．(教材习题改编)以椭圆x 24＋y 23＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为________．解析：设要求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由椭圆x 24＋y 23＝1，得椭圆焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)． 所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)． 所以a ＝1，c ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝3，所以双曲线标准方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝13．(2018·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝________.解析：由e ＝ca＝a 2＋b 2a 2，得a 2＋4a 2＝54，∴a 2＝16. ∵a ＞0，∴a ＝4. 答案：41．双曲线的定义中易忽视2a ＜|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ＞|F 1F 2|，则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a ＞0，b ＞0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2；若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ∈(2，＋∞)．3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆中的a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b a，当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a b.[小题纠偏]1．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于________．解析：由题意知|PF 1|＝9＜a ＋c ＝10， 所以P 点在双曲线的左支， 则有|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8， 故|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17. 答案：172．以直线y ＝±2x 为渐近线，且过点(－3，2)的双曲线的标准方程为________． 解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ， 不妨可设该双曲线的方程为2x 2－y 2＝λ. 因为双曲线过点(－3，2),所以6－4＝λ＝2，所以双曲线的方程为2x 2－y 2＝2， 即其标准方程为x 2－y 22＝1.答案：x 2－y 22＝1考点一 双曲线的标准方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·金华调研)已知双曲线的一个焦点与圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心重合，且其渐近线的方程为3x ±y ＝0，则该双曲线的标准方程为( )A.x 23－y 2＝1 B.y 23－x 2＝1C.x 29－y 216＝1 D.y 216－x 29＝1解析：选B 由圆的方程知其圆心为(0,2)，故双曲线的焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，且a 2＋b 2＝4， ①又知渐近线方程为3x ±y ＝0，∴a b＝3，② 由①②得a 2＝3，b 2＝1，∴双曲线方程为y 23－x 2＝1.2．(2018·海口二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.x 29－y 23＝1C ．x 2－y 23＝1D.x 223－y 232＝1解析：选C ∵实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，∴ba＝tan 60°＝3，即b ＝3a ，∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点(2，3)，∴2a 2－3b 2＝1，即2a2－33a 2＝1，解得a 2＝1，∴b 2＝3，故双曲线C 的标准方程是x 2－y 23＝1. 3．(2018·温岭模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，且离心率等于32，则该双曲线的标准方程为____________；渐近线方程为____________．解析：因为c ＝3，所以e ＝c a ＝32，解得a ＝2，所以b 2＝5.所以双曲线的标准方程为x 24－y 25＝1，其渐近线方程为y ＝±52x . 答案：x 24－y 25＝1 y ＝±52x4．焦点在x 轴上，焦距为10，且与双曲线y 24－x 2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是________________．解析：设所求双曲线的标准方程为y 24－x 2＝－λ(λ＞0)，即x 2λ－y 24λ＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.答案：x 25－y 220＝1[谨记通法]求双曲线标准方程的2种方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 考点二 双曲线的定义重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43|PF 2|，则△F 1PF 2的面积为( )A ．48B ．24C ．12D ．6解析：选B 由双曲线的定义可得 |PF 1|－|PF 2|＝13|PF 2|＝2a ＝2，解得|PF 2|＝6，故|PF 1|＝8，又|F 1F 2|＝10，由勾股定理可知三角形PF 1F 2为直角三角形， 因此S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.[由题悟法]应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．[即时应用]1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14 B.35C.34D.45解析：选C 双曲线方程可化为x 22－y 22＝1，∴a ＝b ＝2，∴c ＝2.由⎩⎨⎧|PF 1|－|PF 2|＝22，|PF 1|＝2|PF 2|得|PF 1|＝42，|PF 2|＝22，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.2．(2018·余姚期初)已知△ABC 的顶点A ，B 分别为双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，顶点C 在双曲线上，则|sin A －sin B |sin C的值为____________．解析：由正弦定理知，BC sin A ＝AC sin B ＝AB sin C ，由双曲线的定义可知，|sin A －sin B |sin C＝||BC |－|AC |||AB |＝810＝45.答案：45考点三 双曲线的几何性质题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]双曲线的几何性质是每年高考命题的热点． 常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)； (2)求双曲线的渐近线方程； (3)求双曲线方程．[题点全练]角度一：求双曲线的离心率(或范围)1．(2016·山东高考)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．解析：如图，由题意知|AB |＝2b2a，|BC |＝2c .又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)． 答案：2角度二：求双曲线的渐近线方程2．(2018·乐清调研)以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________．解析：由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，故所求渐近线方程为y ＝±33x . 答案：y ＝±33x 角度三：求双曲线方程3．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1解析：选A 由题意知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝b ax ，因此可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可得c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12，故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.[通法在握]与双曲线几何性质有关问题的解题策略(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件，求出a ，b 的值或依据双曲线的定义，求双曲线的方程．(4)求双曲线焦点(焦距)、实虚轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解．[演练冲关]1．(2018·萧山六校联考)已知l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，若△ABF 为等腰直角三角形，则C 的离心率为( )A ．2 B.52C.53D.62解析：选D 由题意可设l 的方程为bx ＋ay ＝0. 已知圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2的圆心为(c,0)，半径为a ，∵l 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，l 与圆F ：(x －c )2＋y 2＝a 2(其中c 2＝a 2＋b 2)相交于A ，B 两点，△ABF 为等腰直角三角形，∴|AB |＝2a .又(c,0)到l 的距离d ＝|bc ＋0|b 2＋a 2＝bc c ＝b ，∴b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝a 2，将|AB |＝2a 代入上式，得a 2＝2b 2.又c 2＝a 2＋b 2，∴e ＝ca ＝62. 2．(2018·台州调研)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．解析：因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案：y ＝±22x 3．(2018·杭州二中适应)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上存在一点P ，与坐标原点O 、右焦点F 2构成正三角形，则双曲线的离心率为____________．解析：由题可得，要使三角形OPF 2为正三角形，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，32c 在双曲线上，所以c 24a 2－3c 24b 2＝1，结合b 2＝c 2－a 2及e ＝c a ，化简得e 4－8e 2＋4＝0，解得e 2＝4＋23或e 2＝4－2 3.因为e ＞1，所以e 2＝4＋23，所以e ＝4＋23＝3＋1.答案：3＋14．(2018·安阳二模)已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点F 到渐近线的距离的取值范围是________．解析：一般地，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，它的右焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .而双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1的焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧8－m ＞0，m －4＞0，解得4＜m ＜8，它的焦点F 到渐近线的距离为m －4∈(0,2)．答案：(0,2)考点四 直线与双曲线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ―→＋ON ―→＝t OD ―→，求t 的值及点D 的坐标．解：(1)由题意知a ＝23，∵一条渐近线为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0.∴由焦点到渐近线的距离为3， 得|bc |b 2＋a 2＝ 3.又∵c 2＝a 2＋b 2，∴b 2＝3， ∴双曲线的方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程y ＝33x －2代入双曲线方程x 212－y23＝1得x 2－163x ＋84＝0，则x 1＋x 2＝163， y 1＋y 2＝33(x 1＋x 2)－4＝12. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1.解得⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．[由题悟法]直线与双曲线的位置关系判断方法和技巧(1)判断方法：直线与双曲线的位置关系的判断与应用和直线与椭圆的位置关系的判断方法类似，但是联立直线方程与双曲线方程消元后，注意二次项系数是否为0的判断．(2)技巧：对于中点弦问题常用“点差法”，但需要检验．[即时应用]已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C 经过A (－7,5)，B (－1，－1)两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设直线l ：y ＝x ＋m 交双曲线C 于M ，N 两点，且线段MN 被圆E ：x 2＋y 2－12x ＋n ＝0(n ∈R)三等分，求实数m ，n 的值．解：(1)设双曲线C 的方程是λx 2＋μy 2＝1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧49λ＋25μ＝1，λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，所以所求双曲线的方程是2y 2－x 2＝1. (2)将l ：y ＝x ＋m 代入2y 2－x 2＝1， 得x 2＋4mx ＋(2m 2－1)＝0，①Δ＝(4m )2－4(2m 2－1)＝8m 2＋4＞0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4m ，x 1x 2＝2m 2－1， 所以x 0＝x 1＋x 22＝－2m ，y 0＝x 0＋m ＝－m ，所以P (－2m ，－m )．又圆心E (6,0)，依题意k PE ＝－1， 故m6＋2m＝－1，即m ＝－2. 将m ＝－2代入①得x 2－8x ＋7＝0， 解得x 1＝1，x 2＝7，所以|MN |＝1＋12|x 1－x 2|＝6 2. 故直线l 截圆E 所得弦长为13|MN |＝2 2.又E (6,0)到直线l 的距离d ＝22， 所以圆E 的半径R ＝222＋22＝10，所以圆E 的方程是x 2＋y 2－12x ＋26＝0. 所以m ＝－2，n ＝26.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江高考)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)解析：选B ∵双曲线方程为x 23－y 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上， ∴c ＝a 2＋b 2＝3＋1＝2，∴该双曲线的焦点坐标是(－2,0)，(2,0)．2．(2018·唐山期中联考)已知双曲线C ：x 2m 2－y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率与椭圆x 225＋y 216＝1的离心率互为倒数，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．4x ±3y ＝0B ．3x ±4y ＝0C ．4x ±3y ＝0或3x ±4y ＝0D ．4x ±5y ＝0或5x ±4y ＝0解析：选A 由题意知，椭圆中a ＝5，b ＝4，∴椭圆的离心率e ＝1－b 2a 2＝35，∴双曲线的离心率为1＋n 2m 2＝53，∴n m ＝43，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±n m x ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.故选A.3．(2018·湖南师大附中12月联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形AF 1F 2的一边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1＝4BF 1，则双曲线C 的离心率为( )A.32＋1B.3＋12 C.133＋1 D.13＋13解析：选D 不妨设点A 在x 轴的上方，由题意得，F 1(－c,0)，A (0，3c )，设B (x ，y )，∵AF 1＝4BF 1，∴(－c ，－3c )＝4(－c －x ，－y )，∴x ＝－3c 4，y ＝3c4，代入双曲线方程可得9c 216a 2－3c216c 2－a 2＝1，∴9e 4－28e 2＋16＝0，∴e ＝13＋13. 4．(2018·义乌质检)设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点，P 在双曲线的右支上，且满足|PF 1|·|PF 2|＝32，则∠F 1PF 2＝____________；S △F 1PF 2＝____________.解析：由题可得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，|F 1F 2|＝10.因为|PF 1|·|PF 2|＝32，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝100＝|F 1F 2|2，所以PF 1⊥PF 2，所以∠F 1PF 2＝π2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝32×12＝16.答案：π2165.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且双曲线过C ，D 两顶点．若|AB |＝4，|BC |＝3，则此双曲线的标准方程为________．解析：设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由题意得B (2,0)，C (2,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a 2＋b 2，4a 2－9b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 答案：x 2－y 23＝1二保高考，全练题型做到高考达标1．“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)＜0，∴k ＜9或k ＞25，∴“k ＜9”是“方程x 225－k ＋y 2k －9＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A. 2．(2018·杭州调研)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433B ．2 3C ．6D ．4 3解析：选D 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B 两点的坐标分别为(2,23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3.3．(2018·杭州五中月考)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若|AF 1|＝2a ，∠F 1AF 2＝2π3，则S △AF 1F 2S △ABF 2＝( )A ．1 B.12C.13D.23解析：选B 如图所示，由双曲线定义可知|AF 2|－|AF 1|＝2a . 因为|AF 1|＝2a ，所以|AF 2|＝4a ， 又∠F 1AF 2＝2π3，所以S △AF 1F 2＝12|AF 1|·|AF 2|·sin∠F 1AF 2＝12×2a ×4a ×32＝23a 2.由双曲线定义可知|BF 1|－|BF 2|＝2a ， 所以|BF 1|＝2a ＋|BF 2|，又|BF 1|＝2a ＋|BA |，所以|BA |＝|BF 2|.因为∠BAF 2＝π3，所以△ABF 2为等边三角形，边长为4a ，所以S △ABF 2＝34|AF 2|2＝34×(4a )2＝43a 2， 故S △AF 1F 2S △ABF 2＝23a 243a 2＝12. 4．(2018·浙大附中测试)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，经过右焦点F 2的直线与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，且|PF 2|＝2|F 2Q|，P Q ⊥F 1Q ，则双曲线C 的离心率是( )A. 2B. 3C.102D.173解析：选D 设|F 2Q|＝m ，则|F 1Q|＝2a ＋m ，|F 2P |＝2m ，|F 1P |＝2a ＋2m .因为 P Q ⊥F 1Q ，所以(2a ＋m )2＋(3m )2＝(2a ＋2m )2，解得6m 2＝4am ，解得m ＝23a ，所以|F 1Q|＝83a .所以在△F 1F 2Q中，|F 1F 2|＝2c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 32＝(2c )2，解得17a 2＝9c 2，所以e 2＝c 2a 2＝179，即e ＝173.5．(2018·宁波六校联考)已知点F 为双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，直线y ＝kx (k ＞0)与E 交于M ，N 两点，若MF ⊥NF ，设∠MNF ＝β，且β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．[2，2＋6]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋6]D ．[2，3＋1]解析：选D 设左焦点为F ′，令|MF |＝r 1，|MF ′|＝r 2，则|NF |＝|MF ′|＝r 2，由双曲线定义可知r 2－r 1＝2a ①，∵点M 与点N 关于原点对称，且MF ⊥NF ，∴|OM |＝|ON |＝|OF |＝c ，∴r 21＋r 22＝4c 2②，由①②得r 1r 2＝2(c 2－a 2)＝2b 2，又知S △MNF ＝2S △MOF ，∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2β，∴b 2＝c 2·sin2β＝c 2－a 2，∴e 2＝11－sin 2β，又∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2β∈[2，(3＋1)2]，又∵e ＞1，∴e ∈[2，3＋1]，故选D.6．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________________；其离心率为____________．解析：设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，ab＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝2b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.所以a ＝2，离心率e ＝ca＝52. 答案：y 24－x 2＝1 527．若点P 是以A (－3,0)，B (3,0)为焦点，实轴长为25的双曲线与圆x 2＋y 2＝9的一个交点，则|PA |＋|PB |＝________.解析：不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PA |＞|PB |.因为点P 是双曲线与圆的交点， 所以由双曲线的定义知，|PA |－|PB |＝25， ① 又|PA |2＋|PB |2＝36， ② 联立①②化简得2|PA |·|PB |＝16，所以(|PA |＋|PB |)2＝|PA |2＋|PB |2＋2|PA |·|PB |＝52，所以|PA |＋|PB |＝213.答案：2138．(2018·绍兴四校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若2MF ＝FN ，则双曲线C 的离心率e ＝________.解析：法一：由2MF ＝FN 知，|MF ||FN |＝12.由渐近线的对称性知∠NOF ＝∠MOF ，即OF 为∠NOM 的角平分线，则cos ∠NOM ＝|OM ||ON |＝|MF ||FN |＝12，所以∠NOM ＝π3，∠NOF ＝∠MOF ＝π6.因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，所以b a ＝tan π6＝33，所以e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233.法二：如图所示，双曲线C 的一条渐近线的方程为bx ＋ay ＝0，右焦点为F (c,0)，因此|FM |＝bca 2＋b 2＝b ，过点F 向ON 作垂线，垂足为P ，则|FP |＝|FM |＝b ，又因为2MF ＝FN ，所以|FN |＝2b .在Rt △FNP 中，sin∠FNP ＝12，所以∠FNP ＝π6，故在△OMN 中，∠MON ＝π3，所以∠FON ＝π6，所以b a ＝33，所以双曲线C 的离心率e ＝1＋b 2a 2＝233. 答案：2339．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)，点M (3，m )在双曲线上．(1)求双曲线的方程； (2)求证：MF 1·MF 2―→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：设MF 1―→＝(－23－3，－m )，MF 2―→＝(23－3，－m )．∴MF 1―→·MF 2―→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2， ∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0， ∴MF 1―→·MF 2―→＝0.(3)∵△F 1MF 2的底边长|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3，∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |.解：(1)∵双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点，∴⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝3，a ＝3，解得c ＝3，b ＝6，∴双曲线的方程为x 23－y 26＝1.(2)双曲线x 23－y 26＝1的右焦点为F 2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F 2且倾斜角为30°的直线的方程为y ＝33(x －3)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 26＝1，y ＝33x －3，得5x 2＋6x －27＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－275.所以|AB |＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－652－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－275＝1635.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·暨阳联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，点P 在双曲线上，且满足FP ―→FP ―→＝3FH ―→，则双曲线的离心率为( )A. 3 B ．2 3 C.132D.13解析：选C 不妨取渐近线方程为y ＝－b ax ，则|FH |＝|bc |a 2＋b2＝b .因为FP ―→＝3FH ―→，所以|FP |＝3b ，设双曲线的右焦点为F 2，则|F 2P |＝3b －2a .因为cos ∠PFF 2＝bc，|FF 2|＝2c .所以由余弦定理得：(3b －2a )2＝4c 2＋9b 2－2×2c ×3b ×b c，化简得2b ＝3a .若取a ＝2，则b ＝3，c ＝13.所以离心率为e ＝c a ＝132.2．(2018·浙大附中模拟)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实轴长为2 3. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围； (3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，m )，求m 的取值范围．解：(1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得，a ＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝1， ∴双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝361－k 2＞0，x A ＋x B ＝62k 1－3k 2＜0，x A x B ＝－91－3k 2＞0，解得33＜k ＜1.∴k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1. (3)由(2)得：x A ＋x B ＝62k1－3k 2，∴y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2) ＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2.∴AB 的中点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设直线l 0的方程为：y ＝－1kx ＋m ，将点P 的坐标代入直线l 0的方程，得m ＝421－3k 2.∵33＜k ＜1，∴－2＜1－3k 2＜0. ∴m ＜－2 2.∴m 的取值范围为(－∞，－22)．。
高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标51 双曲线 理
2018年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标51 双曲线理[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步．一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( D )A ．5x 2－45y 2＝1B ．x 25－y 24＝1C ．y 25－x 24＝1D ．5x 2－54y 2＝1解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为 F (1,0)，∴c ＝1，∴e ＝c a ＝1a ＝5，得a 2＝15，b 2＝c2－a 2＝45，则双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1，故选D.2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x 2m＋y 2＝1的离心率为( C )A ．63 B ．2C ．63或2 D ．22或 3 解析：根据条件可知m 2＝9，∴m ＝±3.当m ＝3时，e ＝c a ＝63；m ＝－3 时，e ＝2，故选C ．3．双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线与圆x 2＋(y ＋a )2＝1相切，则正实数a 的值为( C )A ．174 B ．17C ．52D ． 5解析：∵双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，圆心为(0，－a )，半径为1，∴由渐近线和圆相切，得|2a |5＝1，解得a ＝52.4．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( D )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析：因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋－k ＝234－k ，离心率为34－k 5，双曲线x225－k－y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2－k ＋9＝234－k ，离心率为34－k 25－k，故两曲线只有焦距相等，故选D.5．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0解析：由已知得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2·1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，所以b a ＝12，所以C 2的渐近线方程为y ＝±12x .6．点P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)左支上的一点，其右焦点为F (c,0)，若M 为线段FP 的中点，且M 到坐标原点的距离为c8，则双曲线的离心率e 的取值范围是( B )A ．(1,8]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53 D ．(2,3]解析：设左焦点为F ′，则|PF ′|＝2|MO |＝c4.由双曲线的定义知，|PF ′|＝|PF |－2a .又∵P 在双曲线左支上，∴|PF |≥a ＋c ，即c 4＋2a ≥a ＋c ，解得c a ≤43，故e 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43.二、填空题7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，C 的一个焦点到直线l 的距离为1，则C 的方程为x 2－y 23＝1.解析：∵双曲线的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，∴双曲线的渐近线的斜率为3，即b a＝ 3.①由题意知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得|c |2＝1，∴c ＝2，即a 2＋b 2＝4.②联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3 ， ∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.8．若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(1,2]．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝c 2a 2＝1＋b 2≤4，所以1<e ≤2.9．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线x 225－y 211＝1的左支上，则sin A －sin C sin B ＝56. 解析：由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12.又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝2R ，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56.三、解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．解析：(1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上， 可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3， 又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23， 0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝ (－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12|F 1F 2|×|m |＝12×43×|m |＝6.11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析：(1)由题意知a ＝23，∴一条渐近线为y ＝b23x ，即bx －23y ＝0，∴|bc |b 2＋12＝ 3.又c 2＝12＋b 2，即b 2(12＋b 2)＝3b 2＋36，∴b 2＝3，∴双曲线方程为x 212－y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0y 0＝433，x 212－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3.由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )， ∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1. (1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值． 解析：(1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2，解得－2<k <2且k ≠±1.故双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)， 由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.当A ，B 在双曲线的一支上且|x 1|>|x 2|时，S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD ＝12(|x 1|－|x 2|)＝12|x 1－x 2|；当A ，B 在双曲线的两支上且x 1>x 2时，S △OAB ＝S △ODA －S △OBD ＝12(|x 1|＋|x 2|)＝12|x 1－x 2|.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2，即⎝⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1， ∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。
全国通用近年高考数学一轮复习第八章平面解析几何课时作业五十二8.7抛物线文(2021年整理)
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课时分层作业五十二抛物线一、选择题(每小题5分，共35分）1。
已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M（2,y0）.若点M到该抛物线焦点的距离为3,则｜OM｜= (）A.2B.2C.4 D。
2【解析】选B。
设抛物线的标准方程为C：y2=2px（p〉0），由焦半径公式得2+=3,所以p=2，不妨设M（2，2)，如图，｜OM|=2.2。
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线y=2x—4与C交于A,B两点，则cos∠AFB=( ）A.B。
C。
—D。
-【解析】选D。
联立解得或不妨设A在x轴上方,所以A(4,4)，B（1，—2），因为F点坐标为（1，0),所以=(3，4),=(0,—2),cos∠AFB===-.【一题多解】选D.因为A(4,4),B（1，-2),|AB｜=3，｜AF|=5，｜BF|=2,由余弦定理知,cos∠AFB==-。
3.已知抛物线y2=2px(p>0）的准线经过点（-1，1),则该抛物线焦点坐标为（)A.B。
（1，0）C。
D。
(0,1)【解析】选B。
因为抛物线y2=2px(p〉0）的准线为x=-且过点(-1,1）,故—=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).【一题多解】选B。
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课时分层作业五十六双曲线一、选择题(每小题5分,共25分)1.双曲线-=1的渐近线方程是( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【解析】选C.双曲线-=1 中a=3,b=2,双曲线的渐近线方程为y=±x.2.(2018·石家庄模拟)若双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,则双曲线M的离心率为( )A.3B.2C.D.【解析】选D.P为双曲线M上一点,且|PF1|=15,|PF2|=7,|F1F2|=10,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,|F1F2|=2c=10,则双曲线的离心率为:e==.3.(2018·彭州模拟)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于点P,Q,若|PQ|=2|QF|,∠PQF=60°,则该双曲线的离心率为( )A. B.1+C.2+D.4+2【解析】选B.∠PQF=60°,因为|PQ|=2|QF|,所以∠PFQ=90°,设双曲线的左焦点为F1,连接F1P,F1Q,由对称性可知,四边形F1PFQ为矩形,且|F1F|=2|QF|,|QF1|=|QF|,故e====+1.【变式备选】(2018·齐齐哈尔模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,半径为a的圆与双曲线C的某条渐近线交于两点P,Q,若∠PAQ≥,则双曲线C的离心率的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.过A作AB⊥PQ,垂足为B,则B为PQ的中点,即∠PAB≥,点A到渐近线y=x的距离为:|AB|=,cos∠PAB≤,即≤,得到≤.所以≤×,≤,e≤,又e>1,所以双曲线C的离心率的取值范围为.4.已知双曲线C:x2-=1,经过点M的直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,则直线l的方程为( )A.8x-y-15=0B.8x+y-17=0C.4x+y-9=0D.4x-y-7=0【解析】选A.设点A,B,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k===8,所以直线l的方程为y-1=8,即8x-y-15=0.【变式备选】已知双曲线C:x2-=1,经过点M的直线l交双曲线C于A,B两点,且M为AB的中点,则直线l的方程为________.【解析】设点A,B,则有两式作差得-=0,即直线l的斜率k===1,所以直线l的方程为y-3=x-1,即y=x+2.答案:y=x+25.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为( )A.5B.5+4C.7D.9【解析】选D.如图所示,设双曲线的右焦点为E,则E(4,0).由双曲线的定义及标准方程得|PF|-|PE|=4,则|PF|+|PA|=4+|PE|+|PA|.由图可得,当A,P,E三点共线时,(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,从而|PF|+|PA|的最小值为9.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为________.【解析】因为e==,F2(5,0),所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线C的标准方程为-=1.答案:-=1【误区警示】利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是:设出双曲线方程的标准形式,根据已知条件,列出关于a,b,c的方程并求出a,b,c的值.与双曲线-=1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0).7.已知双曲线经过点,其一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为________.【解析】设双曲线方程为: mx2+ny2=1(mn<0),由题意可知: 解得:则双曲线的标准方程为: -y2=1.答案:-y2=1【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1 P61习题A组T2(1)“求焦点在x轴上,a=2,经过点A(-5,2)的双曲线的标准方程”.【变式备选】与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点A的双曲线的方程为________.【解析】设方程为-=λ(λ≠0),代入点A(,2),可得-=λ,所以λ=-9,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=18.(2018·唐山模拟)P是双曲线-=1右支上一点,F1,F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆圆心的横坐标是________.【解析】(利用定义解三角形)如图,内切圆圆心M到各边的距离分别为|MA|,|MB|,|MC|,切点分别为A,B,C,由三角形的内切圆的性质则有:|CF1|=|AF1|,|AF2|=|BF2|,|PC|=|PB|,所以|PF1|-|PF2|=|CF1|-|BF2|=|AF1|-|AF2|=2a,又|AF1|+|AF2|=2c,所以|AF1|=a+c,则|OA|=|AF1|-|OF1|=a.因为M的横坐标和A的横坐标相同,所以M的横坐标为a.答案:a三、解答题(每小题10分,共20分)9.直线l:y=(x-2)和双曲线C:-=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且|AB|=,又l关于直线l1:y=x对称的直线l2与x轴平行.(1)求双曲线C的离心率.(2)求双曲线C的方程.【解析】(1)设双曲线C:-=1过一、三象限的渐近线l1:-=0的倾斜角为α.因为l和l2关于l1对称,记它们的交点为P,l与x轴的交点为M.而l2与x轴平行,记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α.又l:y=(x-2)的倾斜角为60°,则2α=60°,所以tan 30°==.于是e2==1+=1+=,所以e=.(2)由于=,于是设双曲线方程为-=1(k≠0),即x2-3y2=3k2.将y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中,得x2-3×3(x-2)2=3k2.化简得到8x2-36x+36+3k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=2=2·= =,求得k2=1.故所求双曲线方程为-y2=1.10.已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程.(2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,在第二象限内取双曲线上一点P,连接BP交椭圆于点M,连接PA并延长交椭圆于点N,若=,求四边形ANBM的面积.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),则根据题意知双曲线的方程为-=1且满足解方程组得所以椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)由(1)得A(-5,0),B(5,0),|AB|=10,设M(x0,y0),则由=得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x0-5,2y0).将M,P坐标代入椭圆和双曲线方程,得消去y0,得2-5x0-25=0.解之,得x0=-或x0=5(舍去).所以y0=.由此可得M,所以P(-10,3).当P为(-10,3)时,直线PA的方程是y=(x+5),即y=-(x+5),代入+=1,得2x2+15x+25=0.所以x=-或-5(舍去),所以x N=-,x N=x M,MN⊥x轴.所以S四边形ANBM=2S△AMB=2××10×=15.【误区警示】注意区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系.【变式备选】已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程.(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=,求△AOB的面积.【解析】(1)依题意得解得故双曲线的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m>0,n>0,由=得点P的坐标为.将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1.设∠AOB=2θ,因为tan=2,则tan θ=,从而sin 2θ=.又|OA|=m,|OB|=n,所以S△AOB=|OA||OB|sin 2θ=2mn=2.1.(5分)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作圆x2+y2=a2的切线FM(切点为M),交y轴于点P.若M为线段FP的中点,则双曲线的离心率是( )A.B.C.2D.【解析】选A.因为OM⊥PF,且|FM|=|PM|,所以|OP|=|OF|,∠OFP=45°,|OM|=|OF|·sin 45°,即a=c·,所以e==,故选A.【变式备选】已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于( )A. B. C. D.【解析】选A.在△ABP中,由正弦定理知====.2.(5分)(2018·汉阳模拟)已知O为直角坐标系的坐标原点,双曲线C:-=1(b>a>0)上有一点P(m>0),点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点,过点P作双曲线C 两条渐近线的平行线,与两条渐近线的交点分别为A,B,若平行四边形PAOB的面积为1,则双曲线的标准方程是( )A.x2-=1B.-=1C.x2-=1D.-=1【解析】选A.设平行线方程为y-m=-,由解得x A=,则|OA|=·,又点P到直线y=x的距离d=,所以··=1,化简得=1,又-=1⇒5b2-a2m2=a2b2,所以ab=2,又c=,解得a=1,b=2,所以双曲线的标准方程是x2-=1.【变式备选】已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为 ( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.因为圆x2+y2-10x=0的圆心为(5,0),所以c=5,又双曲线的离心率等于,所以a=,b=2.所以双曲线的标准方程为-=1.3.(5分)(2018·开封模拟)F1,F2是双曲线C:-=1的两个焦点,点M 是双曲线C上一点,且∠F1MF2=60°,则△F1MF2的面积为________.【解析】因为F1,F2是双曲线C:-=1的两个焦点,所以m+4=16,所以m=12,设|MF1|=m′,|MF2|=n,因为点M是双曲线上一点,且∠F1MF2=60°,所以|m′-n|=4①,m′2+n2-2m′ncos 60°=64②,由②-①2得m′n=16,所以△F1MF2的面积S=m′nsin 60°=4.答案:44.(12分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为y=x,右焦点F到直线x=的距离为.(1)求双曲线C的方程.(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B,D两点,已知A(1,0),若·=1,证明:过A,B,D三点的圆与x轴相切.【解析】(1)依题意有=,c-=,因为a2+b2=c2,所以c=2a,所以a=1,c=2,b2=3.故双曲线C的方程为x2-=1.(2)设直线l的方程为y=x+m(m>0),B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,由得2x2-2mx-m2-3=0,所以x1+x2=m,x1x2=-,又因为·=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1.所以m=0(舍)或m=2.所以x1+x2=2,x1x2=-,M点的横坐标为=1,因为·=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0.所以AD⊥AB,所以过A,B,D三点的圆以点M为圆心,BD为直径,因为点M的横坐标为1,所以MA⊥x轴,所以过A,B,D三点的圆与x轴相切.5.(13分)已知动圆P过点N(2,0)并且与圆M:(x+2)2+y2=4相外切,动圆圆心P的轨迹为W,过点N的直线l 与轨迹W交于A,B两点.(1)求轨迹W的方程.(2)若2=,求直线l的方程.(3)对于l的任意一确定的位置,在直线x=上是否存在一点Q,使得·=0,并说明理由.【解析】(1)依题意可知|PM|=|PN|+2,所以|PM|-|PN|=2<|MN|=4,所以点P的轨迹W是以M,N为焦点的双曲线的右支,设其方程为-=1(a>0,b>0),则a=1,c=2,所以b2=c2-a2=3,所以轨迹W的方程为x2-=1(x≥1).(2)当l的斜率不存在时,显然不满足2=,故l的斜率存在,设l的方程为y=k(x-2),由得(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0,又设A(x1,y1),B(x2,y2),则由①②③解得k2>3.因为2=,所以2(2-x1,-y1)=(x2-2,y2),所以x2=6-2x1,代入①②得=6-x1,=x1(6-2x1),消去x1得k2=35,即k=±,故所求直线l的方程为y=±(x-2).(3)问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点,若直线l的斜率不存在,则以AB为直径的圆为(x-2)2+y2=9,可知其与直线x=相交, 若直线l的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),由(2)知k2>3且x1+x2=,x1x2=,则|AB|=|x1-x2|=,设以AB为直径的圆的圆心为S,点S到直线x=的距离为d,则d=-=-=,所以d-=-=-,因为k2>3所以d-<0,即d<,即直线x=与圆S相交.综上所述,以线段AB为直径的圆与直线x=相交,故对于l的任意一确定的位置,在直线x=上存在一点Q,使得·=0.。