【精讲优练】高中数学北师大选修1-1达标练：2.2.2 第1课时 抛物线的简单性质(含答案解析)

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课时自测·当堂达标
1.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为()
A.-2
B.2
C.-4
D.4
【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2，0)，抛物线y2=2px的焦点为，依题意，
=2，所以p=4.
2.已知抛物线y=ax2的准线方程是y=-2，则此抛物线上的点到准线距离的最小值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.因为抛物线y=ax2的准线方程是y=-2，所以此抛物线上的点到准线距离的最小值为顶点到准线的距离，即最小值为2.
3.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|=2，则|BF|=()
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选B.设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1，0)，|AF|=x1+1=2，x1=1，所以直线AF的方程是x=1，此时弦AB为抛物线的通径，故|BF|=|AF|=2.
4.已知O为原点，抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为3，则·=________. 【解析】设P(x，y)，依题意，得x+1=3，
所以x=2，y=±2，不妨取P(2，2)，=2，
在△OPF中，由余弦定理，
得cos∠OFP==-，
所以·=cos(π-∠OFP)=1×3×=1.
答案：1
5.已知抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，点P在抛物线上，则点P到直线12x-16y-29=0的距离的最小值为________.
【解析】因为抛物线y=ax2的焦点为F(0，1)，则a=，
所以抛物线方程为x2=4y，
设与直线12x-16y-29=0平行的直线为12x-16y+c=0(c≠-2a)，
将x2=4y代入直线方程，得12x-4x2+c=0，
令Δ=0，得144+16c=0，得c=-9，
所以直线12x-16y-9=0与抛物线相切，
由平行线间的距离公式，得d==1，
所以点P到直线12x-16y-29=0的距离的最小值为1.
答案：1
6.正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
【解析】如图，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则=2px1，=2px2，p>0.
又|OA|=|OB|，所以+=+.
即+2px1=+2px2，
(-)+2p(x1-x2)=0，
[(x1+x2)+2p](x1-x2)=0，
因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1=x2.
由此可得|y1|=|y2|，即线段AB关于x轴对称.
因为x轴垂直于AB，且∠AOx=30°，所以=tan30°=.
所以y1=2px1·=2p，|AB|=2y1=4p.
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