2019年4月上海青浦区九年级初三二模数学试卷及参考答案、评分标准(word版)

2019年上海市青浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）
【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】
1．下列单项式中，与ab2是同类项的是（▲）
（A）a2b；（B）a2b2；（C）－ab2；（D）2ab．
2．如果一次函数y= kx+b（k、b是常数，k≠ 0）的图像经过第一、二、三象限，那么k、b应满足的条件是（▲）
（A）k>0，且b>0；（B）k>0，且b<0；（C）k<0，且b>0；（D）k<0，且b<0．3．抛物线y=2(x+1)2－1的顶点坐标是（▲）
（A）（1， 1）；（B）（-1，-1）；（C）（1，-1）；（D）（-1，1）．4．一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（▲）（A）平均数；（B）中位数；（C）众数；（D）方差．5．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（▲）
（A）平行四边形；（B）矩形；（C）菱形；（D）等腰梯形6．如图1，在梯形ABCD中，AD //BC，∠B=90°，AD=2， AB=4，BC=6．点O是边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的⊙O，与边AD只有一个公共点时，则OC的取值范围是（▲）
（A）
13
4
3
<≤
OC；（B）
13
4
3
≤≤
OC；
（C）
14
4
3
<≤
OC；（D）
14
4
3
≤≤
OC．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
7．计算：(−2x2)3=▲．
8．在实数范围内分解因式：a3－9a = ▲．
9．如果二次根式√x−3有意义，那么x的取值范围是▲．
10．方程√x2−1=1的解是▲．
11．如果关于x的方程x2−2x+m=0有两个相等的实数根，那么实数m的值是▲．
12．已知反比例函数y= k
x
（k ≠ 0），如果在这个函数图像所在的每一个象限内，y 的值随
着x 的值增大而增大，那么k 的取值范围是 ▲ ．
13．将分别写有“创建”、“智慧”、“校园”的三张大小、质地相同的卡片随机排列，那么恰
好排列成“创建智慧校园”的概率是 ▲ ．
14．A 班学生参加“垃圾分类知识”竞赛，已知竞赛得分都是整数，竞赛成绩的频数分布直方图如图2所示，那么成绩高于60分的学生占A 班参赛人数的百分率为 ▲ ．
15．如图3，△ABC 的中线AD 、BE 相交于点G ，若A B ______
=a ，B C ______
=b ，用a 、b 表示 D G ______
=
▲ ．
16．如图4，在⊙O 中，OA 、OB 为半径，联结AB ，已知AB =6，∠AOB =120°，那么圆心O 到AB
的距离为 ▲ ．
17．如图5，在矩形ABCD 中，AB =3，E 为AD 的中点，F 为CD 上一点，且DF =2CF ，沿BE 将
△ABE 翻折，如果点A 恰好落在BF 上，则AD = ▲ ．
18．我们把满足某种条件的所有点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如图6，在
Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，BC =12，动点P 从点A 开始沿射线AC 方向以1个单位/秒的速度向点C 运动，动点Q 从点C 开始沿射线CB 方向以2个单位/秒的速度向点B 运动，P 、Q 两点分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，在整个运动过程中，线段PQ 的中点M 运动的轨迹长为 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．（本题满分10分）
计算：
20．（本题满分10分）
解方程组：
21.（本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）
如图7，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线分别交边BC 、AB 于点D 、E ，联结AD ． （1）如果∠CAD ∶∠DAB =1∶2，求∠CAD 的度数； （2）如果AC =1，tan ∠
B =
12
，求∠CAD 的正弦值.
①
② 22602 1.
x xy y x y ⎧+-=⎨+=⎩；
22．（本题满分10分）
如图8，一座古塔AH 的高为33米，AH ⊥直线l ．某校九年级数学兴趣小组为了测得该古塔塔刹AB 的高，在直线l 上选取了点D ，在D 处测得点A 的仰角为26.6°，测得点B 的仰角为22.8°，求该古塔塔刹AB 的高．（精确到0.1米）
[参考数据：
sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.5， sin22.8°=0.39，cos22.8°=0.92，tan22.8°=0.42]
23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）
已知：如图9，在菱形ABCD 中，AB =AC ，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE =BF ，CE 与AF 相交于点G ．
（1）求证：∠FGC =∠B ；
（2）延长CE 与DA 的延长线交于点H ，求证：．
BE CH AF AC ⋅=
⋅
24.（本题满分12分，每小题满分各4分）
已知：如图10，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2
+ bx （a ≠0）经过点A （6,-3），对称轴是直线x =4，顶点为B ，OA 与其对称轴交于点M ， M 、N 关于点B 对称． （1）求这条抛物线的表达式和点B 的坐标； （2）联结ON 、AN ，求△OAN 的面积；
（3）点Q 在x 轴上，且在直线x =4右侧，当∠ANQ =45°时，求点Q 的坐标．
25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）
已知：在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，D 是AB 的中点. 以CD 为直径的⊙Q 分别交
BC 、BA 于点F 、E ，点E 位于点D 下方，联结EF 交CD 于点G ．
（1）如图11，如果BC =2，求DE 的长； （2）如图12，设BC =x ，
，求关于的函数关系式及其定义域； （3）如图13，联结CE ，如果CG =CE ，求BC 的长．
=GD
y GQ
y
x
2019年上海市青浦区中考数学二模试卷评分参考
一、选择题：
1．C ； 2．A ； 3．B ； 4．D ； 5．A ； 6．B ． 二、填空题：
7．6
8-x ； 8．()()+33-a a a ； 9．3≥x ； 10
．=x 11． 1； 12．0<k ；
13．16； 14．77.5%； 15．1136
--r r
a b ；16
17
．18
．．
三、解答题： 19．解：原式
=
)
11--
． ················· （8分）
=10． ·························· （2分）
20．解：由①得+30=x y 或20-=x y ． ················· （2分）
原方程组可化为302 1.，+=⎧⎨
+=⎩x y x y 或202 1.，
-=⎧⎨+=⎩
x y x y ············ （4分）
解得原方程的解是113515，；⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩x y 2225
15，.⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
x y ·············· （4分） 21．解：（1）∵DE 垂直平分AB ，
∴DA = DB ， ························ （1分） ∴∠DAB =∠B ． ······················· （1分） ∵∠CAD ∶∠DAB =1∶2，
∴∠B =2∠CAD ， ······················ （1分） ∵∠C =90°，
∴∠CAD +∠DAB +∠B =90°， ················· （1分） ∴5∠CAD =90°， ∴∠CAD =18°． ······················ （1分）
（2）∵∠C =90°，AC =1，，
∴BC =2． ························· （1分） 设DB =x ，则DA =x ，CD =2-x ，
∵∠C =90°，∴222+=AC CD AD ，∴()2
2
12+-=x x ． ··· （1分）
解得 5
4
=x ， ······················ （1分） ∴CD =
3
4
， ························ （1分） 1
tan 2
B ∠=
∴33
4sin 554
∠===CD CAD AD ． ···············
（1分） 22．解：由题意，得∠ADH =26.6°，∠BDH =22.8°，AH =33． ········· （1分）
在Rt △AHD 中，
∵tan ∠=
AH ADH HD ，∴33tan 26.6︒=HD ， ∴33
660.5
==HD ． ·· （4分）
在Rt △BHD 中， ∵tan ∠=
BH BDH HD ，∴tan 22.866
︒=BH
，∴0.426627.7=⨯≈HB ．（4分） ∵=-AB AH BH ，∴3327.7 5.3=-=AB ． ·········· （1分）
答：该古塔塔刹AB 的高约为5.3米．
23．证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =BC ． ························ （1分）
∵AB =AC ，∴AB =BC =AC ，∴∠B =∠BAC =60°． ········· （1分） 在△EAC 与△FBA 中，
∵EA =FB ，∠EAC =∠FBA ，AC =BA ，
∴△EAC ≌△FBA ， ···················· （1分） ∴∠ACE =∠BAF ， ····················· （1分） ∵∠BAF+∠FAC =60°，∴∠ACE +∠FAC =60°，∴∠FGC =60°， · （1分） ∴∠FGC =∠B ． ······················ （1分） （2）∵四边形ABCD 是菱形，
∴∠B =∠D ，AB =DC ，AB //DC ， ··············· （1分） ∴∠BEC =∠HCD ， ····················· （1分） ∴△BEC ∽△DCH ， ···················· （1分）
∴
=
BE EC
DC CH
， ····················· （1分） ∴⋅=⋅BE CH EC DC ．
∵AB =AC ，∴CD =AC ， ··················· （1分） ∵△EAC ≌△FBA ， ∴EC =FA ，
∴⋅=⋅BE CH AF AC ． ················· （1分）
24．解：（1）∵抛物线经过点A （6，−3），对称轴是直线x =4，
∴366=34.2，
+-⎧⎪
⎨-=⎪⎩a b b a
……（2分）解得1=42.，⎧⎪⎨⎪=-⎩a b ········· （1分）
∴抛物线的解析式为2
124
=
-y x x ． 把x =4代入抛物线的解析式，得y =−4， ∴B （4，−4）． ···· （1分）
（2）设直线OA 的解析式为=y kx （0≠k ），
把点A （6，−3）代入得6=3-k ，解得1=2-k ，1
2
=-y x ． ·· （1分）
∴M （4，−2），N （4，−6）． ················· （2分） ∴11
44421222
=+=⨯⨯+⨯⨯=V V V OAN
MNO MNA S S S ． ······ （1分）
（3）记抛物线与x 轴的另外一个交点为C ，可得C （8，0）．
设直线AN 的解析式为1=+y k x b （10≠k ），
把A （6，−3），N （4，−6）代入得1
1366=4.，-=+⎧⎨-+⎩k b k b 解得132=12.，⎧=⎪⎨
⎪-⎩
k b ∴3122=-y x ． ∵当x =8时，y =0，∴点C 在直线AN 上． ············ （1分） ∵tan ∠CNM =
2
13
<，∴∠CNM<45°，∴点Q 在点C 右侧． ····· （1分） 过点Q 作QH ⊥NC ，交NC 的延长线于点为H ． ∵∠OCN =∠HCQ ，∴tan ∠OCN =tan ∠HCQ ，
∵tan ∠OCN =32，∴tan ∠HCQ =3
2
， ··············· （1分）
设CH =2x ，则QH =3x ，QC
．∵N （4，−6），C （8，0），∴NC
= ∵∠HNQ =45°，∴HQ = HN ，∴3x =2
x+x
=，∴QC =26，∴QO =34， ∴Q （34，0）．
······················ （1分）
25．解：（1）联结CE ，QE ．∵QC =QD =QE ，∴∠QCE =∠QEC ，∠QED =∠QDE ，
∵∠QCE +∠QEC +∠QED +∠QDE=180°，
∴2∠QEC +2∠QED =180°，∴∠QEC +∠QED =90°，即∠CED =90°． （1分） ∵∠ACB =90°，AC =1，BC =2，∴AB
BD = ． ···· （1分）
∵ ，∴
． ·········· （1分） ∴ ． ··········· （1分）
（2）联结CE ，QF ．∵QF =QC ，∴∠QCF =∠QFC ．
∵∠ACB =90°，DB =DA ，∴DB =DC ，∴∠B =∠DCB ，∴∠B =∠QFC ， ∴QF //BD ， ························· （1分）
2
210
=-==DE BE BD cos ∠==BE
BC B BC
AB =BE
∴
=
GD DE GQ
FQ
． ······················· （1分）
同理可证∠CED =90°．∵CB =x ，∴
AB ∴ ．
∵ cos BE
BC
B B
C AB ∠==，∴2=BE 2
2=DE ．（1分）
∴22222
21=⎛⎫-==-⎪⎪+⎭
GD
DE
GQ FQ x y x （1>x ）．（2分）
（3）联结FQ ．同理可证QF //BD ，∴CQ ∶QD = CF ∶BF ，∵CQ = QD ，∴BF = CF ．
∵∠CED=90°，∴FC =FE =FB ，∴∠FCE =∠FEC ，∠B =∠FEB ．
∵BD = CD ，∴∠B =∠BCD ，∴∠FEB =∠BCD ． ··········· （1分） ∵CG =CE ，∴∠CGE =∠CEG ，∴∠CGE =∠FCE ． ··········· （1分） ∵∠FCE =∠FCD+∠GCE ，∠CGE =∠DEG+∠GDE ，
∴∠GCE =∠GDE ，∴EC =ED ． ·················· （1分）
设CE =m ，则DE =m ，DC m ，BD m ． ∵tan ∠=
=CE AC
B BE B
C 1=BC
， ·········· （1分）
∴BC 1． ························ （1分）
BD CD ==。