[推荐学习]2017_2018版高中数学第一章计数原理4简单计数问题学案北师大版选修2_3

4 简单计数问题
学习目标 1.进一步理解和掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.进一步深化排列与组合的概念.3.能综合运用排列、组合解决计数问题．
知识点一两个计数原理
1．分类加法计数原理(加法原理)
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么，完成这件事共有N＝__________种方法．2．分步乘法计数原理(乘法原理)
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么，完成这件事共有N＝____________种方法．
3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.
知识点二排列
1．排列
从n个________的元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的________排成一列，叫作从n个不同的元素中任意取出m个元素的一个排列．
2．排列数
知识点三组合
1．组合
一般地，从n个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素为一组，叫作从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合．
2．组合数
(1)组合数定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的____________，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号________表示．
(2)组合数公式
C m
n
＝
n ！
m ！n －m ！
特别提醒：1.排列组合综合题的一般解法
一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分类．
2．解决有限制条件的排列、组合问题的一般策略 (1)特殊元素优先安排的策略． (2)正难则反，等价转化的策略． (3)相邻问题捆绑处理的策略． (4)不相邻问题插空处理的策略． (5)定序问题除法处理的策略．
(6)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略． (7)平均分组问题，除法处理的策略． (8)构造模型的策略．
类型一 两个计数原理的应用 命题角度1 “类中有步”的计数问题
例1 电视台在某节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有________种不同的结果． 反思与感悟 用流程图描述计数问题，类中有步的情形如图所示：
具体意义如下：
从A 到B 算作一件事的完成，完成这件事有两类办法，在第1类办法中有3步，在第2类办法中有2步，每步的方法数如图所示． 所以，完成这件事的方法数为m 1m 2m 3＋m 4m 5， “类”与“步”可进一步地理解为：
“类”用“＋”号连接，“步”用“×”号连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”缺一不可．
跟踪训练1 现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
A．24种 B．30种 C．36种 D．48种
命题角度2 “步中有类”的计数问题
例2 有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测一人，则不同的安排方式共有________种．(用数字作答)
反思与感悟用流程图描述计数问题，步中有类的情形如图所示：
从计数的角度看，由A到D算作完成一件事，可简单地记为A→D.
完成A→D这件事，需要经历三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C这步又分为三类，这就是步中有类．
其中m i(i＝1,2,3,4,5)表示相应步的方法数．
完成A→D这件事的方法数为m1(m2＋m3＋m4)m5.
以上给出了处理步中有类问题的一般方法．
跟踪训练2 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式共有( )
A．11 B．12 C．20 D．21
类型二排列与组合的综合应用
命题角度1 不同元素的排列、组合问题
例3 有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？
反思与感悟(1)解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”，也就是先把符合题意的元素都选出来，再对元素或位置进行排列．
(2)解排列、组合综合问题时的注意点
①元素是否有序是区分排列与组合的基本方法，无序的问题是组合问题，有序的问题是排列问题．
②对于有多个限制条件的复杂问题，应认真分析每个限制条件，然后再考虑是分类还是分步，这是处理排列、组合综合问题的一般方法．
跟踪训练3 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数？
命题角度2 含有相同元素的排列、组合问题
例4 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有________种不同的方法．
反思与感悟针对对部分元素相同的n个不同元素进行排列的问题，有两种解决方法：(1)先把这些元素看作全不相同的元素进行排列，再设法消去相同元素的顺序．(2)从位置进行分析，因为位置全不相同，可以分别给相同的每一类元素找位置．
跟踪训练4 为减轻学生经济负担且又能满足学生求知要求，某班级利用班费买了4本相同的数学资料书、3本相同的外语资料书、2本相同的物理资料书作为班级图书供同学们学习使用．现有8人去借阅图书，每人只能借阅一本，则有多少种借阅方法？
1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳的不同的选择方式有( )
A．24种B．14种
C．10种D．9种
2．设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动的可能结果有a种，这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种，则(a，b)为( ) A．(34,34) B．(43,34)
C．(34,43) D．(A34，A34)
3．三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为凹数，如524,746等都是凹数，那么，各个数位上无重复数字的三位凹数有( )
A．72个B．120个
C．240个D．360个
4．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是公益宣传广告，且2个公益宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有________种．
5．已知x i∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，则满足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的数组(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的个数为________．
1．解排列、组合综合题一般是先选元素、后排元素，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个基本计数原理作最后处理．
2．对于较难直接解决的问题则可用间接法，但应做到不重不漏．
3．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．
答案精析
知识梳理 知识点一 1．m 1＋m 2＋…＋m n 2．m 1×m 2×…×m n 知识点二 1．不同 顺序
2．A m
n n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1) n ！
n －m ！
(n ，m ∈N ＋，m ≤n ) n ！ 1
知识点三
2．(1)所有组合的个数 C m
n (2)
n n －
n －n －m ＋
m ！
1
题型探究 例1 28 800
解析 在甲箱或乙箱中抽取幸运之星，决定了后边选幸运伙伴是不同的，故要分两类分别计算：(1)幸运之星在甲箱中抽，先确定幸运之星，再在两箱中各确定一名幸运伙伴，有30×29×20＝17 400(种)结果；(2)幸运之星在乙箱中抽，同理有20×19×30＝11 400(种)结果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(种)不同结果． 跟踪训练1 D 例2 264 跟踪训练2 D 例3 解 分三类：
第一类，当取出的4张卡片分别标有数字1,2,3,4时，不同的排法有C 1
2·C 1
2·C 1
2·C 1
2·A 4
4种． 第二类，当取出的4张卡片分别标有数字1,1,4,4时，不同的排法有C 2
2·C 2
2·A 4
4种． 第三类，当取出的4张卡片分别标有数字2,2,3,3时，不同的排法有C 2
2·C 2
2·A 4
4种． 故满足题意的所有不同的排法种数为C 1
2·C 1
2·C 1
2·C 1
2·A 4
4＋2C 2
2·C 2
2·A 4
4＝432. 跟踪训练3 解 (1)五位数中不含数字0. 第1步，选出5个数字，共有C 35C 2
4种选法．
第2步，排成偶数——先排末位数，有A 1
2种排法，再排其他四位数字，有A 4
4种排法． 所以N 1＝C 3
5·C 2
4·A 1
2·A 4
4. (2)五位数中含有数字0.
第1步，选出5个数字，共有C35·C14种选法．
第2步，排顺序又可分为两小类：
①末位排0，有A11·A44种排列方法；
②末位不排0.这时末位数有C11种选法，而因为0不能排在首位，所以首位有A13种排法，其余3个数字则有A33种排法．
所以N2＝C35·C14(A11·A44＋A13·A33)．
所以符合条件的偶数个数为
N＝N1＋N2＝C35C24A12A44＋C35C14(A11A44＋A13A33)
＝4 560.
例4 1 260
跟踪训练4 解第一类：剩下的一本书是数学资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为3,3,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有C38C35C22＝560(种)．第二类：剩下的一本书是外语资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,2,2的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有C48C24C22＝420(种)．
第三类：剩下的一本书是物理资料书，此时相当于把8个人分成个数分别为4,3,1的三堆，这三堆分别借阅数学、外语、物理资料书，其借法共有C48C34C11＝280(种)．
根据分类加法计数原理，可得借阅方法共有560＋420＋280＝1 260(种)．
当堂训练
1．B 2.C 3.C 4.36 5.90。