复合材料细观力学

总应变ij必须是相容的
ij

1 2
ui, j u j,i
(2-2)
弹性应变与应力通过Hooke’s law联系在一起
ij Cijklekl Cijkl
kl


* kl
或者
(2-3)
ij Cijkl
uk ,l


* kl
(2-4)
2. 弹性问题的基本方程
边界条件为
ij 0
lim x 0
(2-12)
2. 弹性问题的基本方程
将方程（2.4）代入方程（2.10）和（2.11）中可得
C u C ijkl k,lj
ijkl kl, j
和
(2-13)
Cijkluk,l n j

Cijkl
kl
n
j
(2-14)
由方程（2.13）和（2.14）可以看出，本征应变对 平衡方程和边界条件的贡献相当于体积力和面力。
对于给定的本征应变*ij，所要求解的基本方程为
C u C ijkl k,lj
ijkl kl, j
(3-1)
Fourier积分变换
三维空间内函数的Fourier积分变换及反变换分别为
F ξ

1
8 3


f
xexp
iξ

xdx
f
x



F
ξ
expiξ

(3-11)
对方程（3.6）进行Fourier反变换，并根据几何方
程和本构关系，我们有
ui x

i
C

jlmn mn
ξ
l N ij
ξD1ξexp iξ

xdξ
ij
x

1 2
C ξ

klmn mn
l
j Nik ξ i N jk ξ D1ξexpiξ xdξ
8
3


expiξ


x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

xdξ
(4-6)
将（4.5）和（4.6）两式代入方程（4.3）中，可发现

jlmn mn
x
Nij
ξ
D 1
ξ exp
iξ x x
dξdx

ij

x


1
16
3

C

klmn mn
x l
j Nik ξ i N jk ξ
D1 ξ
expiξ x xdξdx
ij
复合材料性能预报与设计
主讲人：吴林志 哈工大复合材料与结构研究所
2019/12/29
主要参考书
复合材料细观力学 杜善义、王彪编著
固体本构关系 黄克智、黄永刚编著
Micromechanics of defects in solids Toshio Mura
主要内容
细观力学的发展概况 夹杂理论初步 复合材料有效弹性模量
ij x Cijkl

C
pqmn
mn
ξ

q
l
N
kp
ξ
D
1
ξ
exp
iξ

x
dξ


kl
x

(3-12)
3. 弹性场的一般表示
式中，




dξ
d1
d 2
d3




dx
2. 弹性问题的基本方程
相容条件
应变张量ij有6个独立的应变分量，而位移矢量ui有3 个分量。它们通过几何方程（相容条件）联系在一起。 然而，相容方程一般是指由相容条件所导出的如下方 程
pki qlj ij,kl 0
(2-15)
式中，pki是置换张量，被定义为
1
ijk 1
夹杂理论初步
本征应变的定义 弹性问题的基本方程 弹性场的一般表达式 Green函数 弹性场的Eshelby解 非均匀体问题
1. 本征应变的定义
本征应变
本征应变是一个广义概念，是指所有非弹性应变， 例如热膨胀应变、相变应变、初始应变、塑性应变、失 配应变等。
本征应力
本征应力是由本征应变所引起的自平衡内应力，它 不同于由作用于物体的外载荷所引起的应力。
C G ijkl km,lj
x x
1
8 3

C N ijkl km
ξ D1
ξ
l j exp
iξ x x
dξ
1
8 3

ik
N
km

ξ
D
1

ξ

exp
iξ x x
dξ
(4-3)
4. 格林函数
相应的表达式可写为

ij

x



1 2

C klmn
mn
x
Gik,lj x x Gjk,li x x dx
ij x Cijkl
C

pqmn mn
x Gkp,ql
x x
xdξ
函数导数的Fourier积分变换为
F


m f x
xim


ii
m
F

f
x
3. 弹性场的一般表示
对方程（3.1）进行Fourier积分变换后可得
Cijklukl j

iCijkl
kl

j
(3-2)
在推导中用到了关系式(ix),l=il。方程（3.2）表示 三个方程，用于确定三个未知量ūi。引入符号
eshelby解??????????????????2213433161234321223431612343jkmnmnijkmmiiiijkijkikjjkiijkimmjkijkikjjkiijkimmjkijkikjjkicglllllllllllllllllllll??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????xxxxxx????????????2228123438112381ijkjkjkiijkikjjkiijkjkijkikjjkiijkllllllllllllllll????????????????????????????????????????????????????xxxxxx????????2122124121e??????????????ijkjkikjkjikjjklll???????????565
求解方程（3.5）可得
ui Aj Nij / D
(3-5) (3-6)
3. 弹性场的一般表示
式中，Nij是如下矩阵的代数余子式
11 12 13
21
22
23

31 32 33
(3-7)
而D()是()的行列式。注意有如下关系式
dx


kl
x
(3-19)
4. 格林函数
在前面，Green函数被定义为
Gij
x

x

1
8
3

Nij

ξ
D1

ξ

exp
iξ x x
dξ
(4-1)
在x'点沿xj方向施加一个单位力，在x点沿xi方向的位移
容易证明：
Gij x x Gji x x Gij x x Gij x x
ik Cijkl jl
Ai

iCijkl

kl
j
(3-3) (3-4)
3. 弹性场的一般表示
我们可将方程（3.2）写成
11 12 13 u1 A1
21
22
23

u
2



A2

31 32 33 u3 A3
式中，
ik Cijkl jl
(4-4)
由于Nkm是的代数余因子，所以我们有
ik Nkm D1 im
(4-5)
另一方面，Dirac Delta函数可以定义为
x x x1 x1 x2 x2 x3 x3

1
x

Cijkl
1
8
3
C

pqmn mn
x ql Nkp
ξ
D 1
ξ
exp
iξ


x

x
dξdx


kl

x

(3-15)
当Green函数被定义为
Gij
x

x

1
8
3

Nij
ξ
D1
ξ

exp
iξ x x
平衡条件
计算本征应力时，需假定材料D不受外载（体力和表面力） 作用。如果上述条件得不到满足，那么应力场可以通过自 由体的本征应力问题与相应的边值问题的叠加得到。
2. 弹性问题的基本方程
平衡方程
ij, j 0
(2-10)
无外力作用的边界条件
ijn j 0
(2-11)
式中，nj是弹性体D边界上的外单位法向量。方程（2.11） 是有限弹性体的边界条件。对于无限弹性介质，相应的
由方程(1)给出。
1. 本征应变的定义
当本征应变在均匀材料D的有限区域内给定，而 在区域D- 内为零时， 被叫做夹杂。这里，夹杂 与基体D- 的弹性模量相同。
当夹杂的弹性模量与基体的弹性模量不同时， 被叫做非均匀体(inhomogeneity)。此时，应力场将由非 均匀体扰动。对于非均匀体问题，扰动的应力场可由虚 构的本征应变表示。
dx1
dx2
dx3
将本征应变变换
(3-13)
ij
ξ


1
8
3


ij

x

exp

iξ

x

dx
(3-14)
代入到方程（3.12）中，经整理后可得
3. 弹性场的一般表示
ui
x


1
8 3
xl

C
ki Ckjil jl Cklijl j Cijkll j ik
N ij N ji
(3-9)
(3-8)
3. 弹性场的一般表示
D()和Nij()可显式表达为
D mnlm1n2l3
(3-10)
Nij

1 2

ikl
jmn kmln
dξ
(3-16)
3. 弹性场的一般表示
此时，（3.15）式中的位移分量为
ui
x



C jlmn
mn
x Gij,l
x xdx
式中
(3-17)
Gij ,l
x

x

xl
Gij
x

x


xl
Gij
x

x
(3-18)
有时，Green函数也称作基本解。对于应变和应力分量，
1. 本征应变的定义
如图1所示，当材料内部区域的温度升高度时， 外部区域的限制将导致区域D内的热应力ij。热膨胀 将组成热膨胀应变
ij

ijT
(1-1)
D

图1.1夹杂
式中，ij是Kronecker Delta，而是线热膨胀系数。当 区域不受外部约束，可以自由膨胀时，热膨胀应变就
式中，Cijkl是四阶弹性模量张量，有如下关系
Cijkl Cijlk C jikl Cklij
(2-5)
在区域D-内本征应变为零，此时方程（2-4）可表示为
ij Cijkluk,l
(2-6)
方程（2-3）的逆可表示为
ij


ij

C 1 ijkl
kl
(2-7)
式中，C-1ijkl是弹性柔度张量。
2. 弹性问题的基本方程
当自由弹性体D承受一个给定的本征应变分布时， 可通过基本方程给出任意点处的弹性场。这里所说的自 由弹性体是指不受任何外来的表面力和体积力。
Hooke’s law
对于小变形问题，总应变场ij是弹性应变场eij和本 征应变场ij之和
ij

eij

ij
(2-1)
2. 弹性问题的基本方程
2. 弹性问题的基本方程
对于各向同性材料，方程(2.3)和(2.7)可以表示为
ij

2
ij


ij
ij
kk


kk
(2-8)
ij


ij

ij
ij kk
/
1
/ 2
(2-9)
式中，和是Lame常数，而是Poisson’s ratio。
4. 格林函数
下面证明，Green函数满足如下基本方程
CijklGkm,lj x x im x x 0
(4-2)
(x-x')是三维Delta函数。（4.2）式类似于平衡方程
Gkm x x 相当于位移 im x x 相当于体积力
根据Green函数定义，我们有
细观力学的发展概况
Eshelby (1957, 1959, 1961)的三篇文章 Mura (1982, 1987)的专著
代表性工作
自洽理论 (Hill, 1965; Budiansky, 1965) 广义自洽理论 (Christensen and Lo, 1979) Mori-Tanaka方法 (Mori and Tanaka, 1973) 微分法 (Mclaughlin, 1977) 二阶上下限 (Hashin and Shtrikman, 1963) 高阶上下限 (Torquato, 1991)

0
i, j, k ep 1, 2,3 i, j, k op 1, 2,3
others
(2-16)
3. 弹性场的一般表示
在下面的推导中，考虑无限弹性介质D内含一夹杂， 且夹杂内具有本征应变*ij的一般情况。这样做的目的： 既是为了数学上处理简单，又是接近于实际。对于一般 的复合材料，增强或增韧相的细观几何尺寸远小于复合 材料的宏观尺寸，这样将复合材料作为无限大弹性体处 理具有足够的精度。