2021-2022学年七年级第二学期期末数学试卷

2021-2022学年七年级第二学期期末数学试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．计算：a2•a的结果是（）
A．a B．a2C．a3D．2a2
解：a2•a＝a3．
故选：C．
2．不等式3（x﹣1）≤5﹣x的正整数解有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：3（x﹣1）≤5﹣x
3x﹣3≤5﹣x，
则4x≤8，
解得：x≤2，
故不等式3（x﹣1）≤5﹣x的正整数解有：1，2共2个．
故选：B．
3．把多项式a3﹣a分解因式，结果正确的是（）
A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2
C．a（a+1）2D．a（a+1）（a﹣1）
解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），
故选：D．
4．下列说法不正确的是（）
A．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
C．底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等
D．两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
解：A、两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，所以A选项的说法正确；
B、两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，所以B选项的说法正确；
C、底边和顶角分别相等的两个等腰三角形全等，所以C选项的说法正确；
D、两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，所以D选项的说法不正
确．
故选：D ．
5．如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点C 、D 分别落在M 、N 的位置．若∠EFB ＝65°，
则∠AEN 等于（ ）
A ．25°
B ．50°
C ．65°
D ．70°
解：∵∠EFB ＝65°，AD ∥CB ，
∴∠DEF ＝65°，
由折叠可得∠NEF ＝∠DEF ＝65°，
∴∠AEN ＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：B ．
6．下列语句不是命题的是（ ）
A ．连结AB
B ．对顶角相等
C ．相等的角是对顶角
D ．同角的余角相等 解：A 、连结AB ，不是命题，符合题意；
B 、对顶角相等，是命题，不符合题意；
C 、相等的角是对顶角，是命题，不符合题意；
D 、同角的余角相等，是命题，不符合题意；
故选：A ．
7．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
①x 2﹣2x ﹣1；②
x 24−x +1；③﹣a 2﹣b 2；④﹣a 2+b 2；⑤x 2﹣4xy +4y 2 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
解：①x 2﹣2x ﹣1，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
②x 24−x +1＝（12x ﹣1）2，故此选项符合题意； ③﹣a 2﹣b 2，无法运用公式法分解因式，故此选项不符合题意；
④﹣a 2+b 2＝（b ﹣a ）（b +a ），故此选项符合题意；
⑤x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，故此选项符合题意；
故选：C．
8．如图，AC与DB交于点O，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）
A．AB＝DC，AC＝DB B．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB C．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠ACB＝∠DBC 解：A．在△ABC和△DCB中，
∵{AB=DC AC=BD BC=BC
，
∴△ABC≌△DCB（SSS），故A选项不合题意；B．在△ABC和△DCB中，
∵{∠A=∠D
∠ABC=∠DCB BC=BC
，
∴△ABC≌△DCB（AAS），故B选项不合题意；C．∵BO＝CO，
∴∠ACB＝∠DBC，
在△ABC和△DCB中，
∵{∠A=∠D
∠ACB=∠DBC BC=BC
，
∴△ABC≌△DCB（AAS），故C选项不合题意；
D．∵AB＝DC，∠ACB＝∠DBC，不能证明△ABC≌△DCB，故D选项符合题意；
故选：D．
9．已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（）A．x＜1B．x＜﹣1C．x＜2D．x＞﹣1
解：∵（k +3）x |k |﹣
2+5＜k ﹣4是关于x 的一元一次不等式， ∴k +3≠0且|k |﹣2＝1，
解得k ＝3，
则不等式为6x +5＜3﹣4，
解得x ＜﹣1，
故选：B ．
10．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作
AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ．若AC ＝4，AB ＝6，则四边形ADCF 的面积为（ ）
A ．12√13
B ．24
C ．6 √13
D ．12 解：∵AF ∥BC ，
∴∠AFB ＝∠DBF ，
在△AEF 和△DEB 中，
{∠AFE =∠DBE ∠AEF =∠DEB AE =DE
，
∴△AEF ≌△DEB （AAS ），
∴AF ＝BD ，
∵AF ∥BC ，
∴△AFC 的面积＝△ABD 的面积，
∴四边形ADCF 的面积＝△ADC 的面积+△AFC 的面积
＝△ADC 的面积+△ABD 的面积
＝△ABC 的面积
=12×4×6
＝12，
故选：D ．
二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．已知一个正多边形的每个内角都是150°，则这个正多边形是正 十二 边形．
解：外角是：180°﹣150°＝30°，
360°÷30°＝12．
则这个正多边形是正十二边形．
故答案为：十二．
12．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30
日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为 3.6×104 ．
解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104，
故答案为：3.6×104．
13．学完“里程碑上的数”之后有这样一个问题：“小明家离学校1000米，其中有一段为上
坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用时18分钟，已知小明上坡的平均速度为30米/分，下坡的平均速度为80米/分，小明上坡和下坡各用了多长时间？”小亮同学设出
未知数x ，y 后列出了方程组{x +y =1880x +30y =1000
，小颖也设出未知数后却列了和小亮不同的方程组：{x +y =1000−−−−−，则横线上应填的方程是 x 80+y 30=18（或x 30+y 80=18） ．（写一个即可）
解：根据题意得出x ，y 分别表示上坡距离和下坡距离，
由题意可得：
横线上应填的方程是：
x 80+y 30=18（或x 30+y 80=18）． 故答案为：x 80+y 30=18（或x 30+y 80=18）．
14．如图，在△ABC 中，∠C ＝30°，∠B ＝50°，AD 平分∠CAB ，那么∠ADC 的度数是
100° ．
解：在△ABC 中，∵∠C ＝30°，∠B ＝50°，
∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝100°，
∵AD 平分∠CAB ，
∴∠DAB =12
∠BAC ＝50°，
∴∠ADC ＝∠DAB +∠B ＝100°．
故答案为：100°．
15．若a m ＝2，a n ＝5，则a 2m +n ＝ 20 ．
解：∵a m ＝2，a n ＝5，
∴原式＝（a m ）2×a n ＝20，
故答案为：20
16．如图，把一张三角形纸片（△ABC ）进行折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，折痕为
DE ，点D ，点E 分别在AB 和AC 上，DE ∥BC ，若∠B ＝75°，则∠BDF 的度数为 30° ．
解：∵DE ∥BC ，
∴∠ADE ＝∠B ＝75°，
又∵∠ADE ＝∠EDF ＝75°，
∴∠BDF ＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故答案为30°．
17．若关于x 的不等式组{x −a ＜05−2x ＜1
的整数解只有1个，则a 的取值范围是 3＜a ≤4 ． 解：{x −a ＜0①5−2x ＜1②
， 解不等式①得：x ＜a ，
解②得：x ＞2．
则不等式组的解集是2＜x ＜a ．
∵不等式组只有1个整数解，
∴整数解是3．
则3＜a ≤4．
故答案为：3＜a ≤4．
18．如图，∠1＝∠2，请添加一个条件使△ABC ≌△ABD ： AD ＝AC ．
解：∵∠1＝∠2，AB ＝AB ，
∴若添加条件AD ＝AC ，则△ABC ≌△ABD （SAS ），
若添加条件∠D ＝∠C ，则△ABC ≌△ABD （AAS ），
若添加条件∠ABD ＝∠ABC ，则△ABC ≌△ABD （ASA ），
故答案为：AD ＝AC ．
三．解答题（共10小题，满分76分）
19．（8分）计算：
（1）（12
）﹣3+（π﹣3.14）0﹣（﹣3）2； （2）（a +2）（a ﹣2）﹣（a ﹣2）2．
解：（1）（12
）﹣3+（π﹣3.14）0﹣（﹣3）2＝8+1﹣9＝0； （2）（a +2）（a ﹣2）﹣（a ﹣2）2＝a 2﹣4﹣a 2+4a ﹣4＝4a ﹣8．
20．（8分）将下列多项式因式分解：
（1）﹣a 3+2a 2b ﹣ab 2
（2）x 2（m ﹣n ）+y 2（n ﹣m ）
解：（1）﹣a 3+2a 2b ﹣ab 2
＝﹣a （a 2﹣2ab +b 2）
＝﹣a （a ﹣b ）2；
（2）x 2（m ﹣n ）+y 2（n ﹣m ）
＝x 2（m ﹣n ）﹣y 2（m ﹣n ）
＝（m ﹣n ）（x 2﹣y 2）
＝（m ﹣n ）（x ﹣y ）（x +y ）．
21．（6分）解方程组：{x −y =34x +3y =5
．
解：{x −y =3①4x +3y =5②
， ①×3+②，得7x ＝14，解得x ＝2，
把x ＝2代入①，得2﹣y ＝3，解得y ＝﹣1．
故方程组的解为{x =2y =−1
． 22．（6分）解不等式组．{2x +5≤3(x +2)2x −1+3x 2
＜1，把不等式组的解集在数轴上表示出来． 解：解不等式2x +5≤3（x +2），得：x ≥﹣1，
解不等式2x −1+3x 2
＜1，得：x ＜3， 则不等式组的解集为﹣1≤x ＜3，
将解集表示在数轴上如下：
23．（6分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解一元二次不等式x 2﹣9＞0．
解：∵x 2﹣9＝（x +3）（x ﹣3），
∴（x +3）（x ﹣3）＞0．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1）{x +3＞0x −3＞0（2）{x +3＜0x −3＜0
解不等式组（1），得x ＞3，
解不等式组（2），得x ＜﹣3，
故（x +3）（x ﹣3）＞0的解集为x ＞3或x ＜﹣3，
即一元二次不等式x 2﹣9＞0的解集为x ＞3或x ＜﹣3．
问题：
（1）求关于x 的两个多项式的商组成不等式3x−72x−9＜0的解集；
（2）若a ，b 是（1）中解集x 的整数解，以a ，b ，c 为△ABC 为边长，c 是△ABC 中的最长的边长．
①求c 的取值范围．
②若c 为整数，求这个等腰△ABC 的周长．
解：（1）∵不等式3x−72x−9＜0，
∴①{3x −7＞02x −9＜0，②{3x −7＜02x −9＞0
， 解①得：73＜x ＜92；
解②得：无解，
故关于x 的两个多项式的商组成不等式
3x−72x−9＜0的解集为：73＜x ＜92；
（2）∵73＜x ＜92， ∴x 的整数解是x ＝3，4，
a 、
b 是此不等式组的整数解，
∴a ＝3，b ＝3；a ＝3，b ＝4；a ＝4，b ＝4．
∵c 是△ABC 的最大边，
当a ＝3，b ＝3时，3＜c ＜6，
∴c ＝4或5，
∴C △ABC ＝10或11，
当a ＝3，b ＝4时，4≤c ＜7，
∴c ＝4，
∴C △ABC ＝11
当a ＝4，b ＝4时
∴4＜c ＜8，
∴c ＝5，6，7，
∴C △ABC ＝13，14，15．
24．（8分）关于x 的方程3x +2（3a +1）＝6x +a 的解大于1，求a 的取值范围．
解：由3x +2（3a +1）＝6x +a ，得到x =
5a+23， 根据题意列得：
5a+23＞1， 解得：a ＞15．
25．（8分）如图所示，已知△ABC 中，点D 为BC 边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC ＝AE ，
（1）求证：△ABC ≌△ADE ；
（2）若AE ∥BC ，且∠E =13∠CAD ，求∠C 的度数．
解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，
∴∠1+∠DAC ＝∠DAC +∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和） 即∠BAC ＝∠DAE ，
又∵∠1+∠B ＝∠ADE +∠3，则可得∠B ＝∠ADE ，
在△ABC 和△ADE 中
{∠BAC =∠DAE ∠B =∠ADE AC =AE
，
∴△ABC ≌△ADE （AAS ）；
（2）∵AE ∥BC ，
∴∠E ＝∠3，∠DAE ＝∠ADB ，∠2＝∠C ，
又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E ＝x ，
则有：∠DAE ＝3x +x ＝4x ＝∠ADB ，
又∵由（1）得 AD ＝AB ，∠E ＝∠C ，
∴∠ABD ＝4x ，
∴在△ABD 中有：x +4x +4x ＝180°，
∴x ＝20°，
∴∠E ＝∠C ＝20°．
26．（8分）已知13x 2﹣6xy +y 2﹣4x +1＝0，求（x +y ）13•x 10的值．
解：∵13x 2﹣6xy +y 2﹣4x +1＝0，
∴9x 2﹣6xy +y 2+4x 2﹣4x +1＝0，
即（3x ﹣y ）2+（2x ﹣1）2＝0，
∴3x ﹣y ＝0，2x ﹣1＝0，
解得x =12，y =32
，
当x =12，y =32时，
原式＝（12+32）13•（12）10＝（2×12）10×23＝8． 27．（8分）春天来了，我校计划组织师生共1600人坐A 、B 两种型号的大巴车外出春游，
且A 型车每辆租金为580元，B 型车每辆租金为700元，为了保证安全，校方要求必须保证人人都有座位．学生南南发现若租2辆A 型与3辆B 型大巴车恰好能坐下195人，若租3辆A 型与2辆B 型大巴车恰好能坐下180人．
（1）请问1辆A 型与1辆B 型大巴车各有几座？
（2）现学校决定租两种型号的大巴车共50辆作为出行交通工具，但政教主任蒋老师发现租车总经费不能超过32000元．他想运用函数的知识进行分析，为学校寻找最节省的租车方案．现蒋老师设学校租了A 型大巴车x 辆，租车总费用为w 元．请你帮蒋老师完成分析过程，确定共有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？并求出最低费用．
解：（1）设每辆A 型客车有x 个座位，每辆B 型客车有y 个座位，
{2x +3y =1953x +2y =180
， 解得，{x =30y =45
， 答：每辆A 型客车有30个座位，每辆B 型客车有45个座位；
（2）根据题意，得
{580x +700(50−x)≤3200030x +45(50−x)≥1600
， 解得，25≤x ≤4313， ∵x 为整数，
∴25≤x ≤43，
∵43﹣25+1＝19，
∴有19种租车方案，
w＝580x+700（50﹣x）＝﹣120x+35000，
∴当x＝43时，w取得最小值，此时w＝﹣120×43+35000＝29840，50﹣x＝7，
答：共有19种租车方案，租A型客车43辆，B型客车7辆最省钱，最低费用为29840元．
28．（10分）如图，由32个边长为1的小正三角形组成的网格ABCD中，请按要求画图，且所画格点三角形与格点四边形的顶点均不与点A，B，C，D重合，
（1）在图1中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，MP与NQ互相平分但不相等．
（2）在图2中画一个格点四边形MNPQ，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，MP与NQ互相平分且相等．
解：（1）如图1所示：
（2）如图2所示．。