2019九年级数学二次函数的图象与性质课后巩固提升练习题(附答案)

2019九年级数学二次函数的图象与性质课后巩固提升练习题（附答案）
1．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，则下列说法：①c=0；②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1；③当x=1时，y=3a ；④am 2+bm+a ＞0（m≠﹣1），其中正确的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1 2．如图抛物线与轴交于A 、B 两点，其中B 点坐标为（4，0），直线DE 是抛物线的对称轴，且与轴交于点E ，CD ⊥DE 于D ，现有下列结论：
① a ＜0, ② b ＜0, ③
-4ac ＞0, ④ AE+CD=4，下列选项中选出的结论完全正确．．．．．．．．．．．．．．
的是．． .
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．①②
3．函数y=（m ﹣n ）x 2+mx+n 是二次函数的条件是（ ）
A ．m 、n 是常数，且m≠0
B ．m 、n 是常数，且m≠n
C ．m 、n 是常数，且n≠0
D ．m 、n 可以为任何常数
4．如图，是抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x 轴的一个交点是（﹣1，0）．下列结论：
①ac ＜0；②4a ﹣2b+c ＞0；③抛物线与x 轴的另一个交点是（4，0）；
④点（﹣3，y 1），（6，y 2）都在抛物线上，则有y 1＜y 2．其中正确的个数为（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 5．抛物线x x y --=22
1的顶点坐标是（ ）
A.1(1,)2-
B.1(1,)2-
C.1
(,1)2- D.(1，0)
6．现有A 、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点P （x ，
y ），那么它们各掷一次所确定的点P 落在已知抛物线y ＝﹣x 2+4x 上的概率为（ ）
A ．118
B ．112
C ．19
D ．16
7．二次函数2904(3)4y x =+-的顶点坐标为（ ）
A.(34)--，
B.(34)-，
C.(34)，
D.(34)-，
8．已知一个二次函数y=ax 2（a≠0）的图象经过（－2，6），则下列点中不在该函数的图象上的是（ ）
A.（2，6）
B.（1，1.5）
C.（-1，1.5）
D.（2，8）
9．下列不是二次函数的是（）
= B.213y x =- C.y = D.(1)(2)y x x =+- 10．已知y =x （x +5﹣a ）+2是关于x 的二次函数，当x 的取值范围在1≤x ≤4时，y 在x =1时取得最大值，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．a =10
B ．a =4
C ．a ≥9
D ．a ≥10
11．A （﹣2，y 1），B （1，y 2），C （2，y 3）是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则y 1，
y 2，y 3的大小关系为_______(用“＞”号连接) .
12．把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)配方成y ＝a (x －h )2＋k 形式为______，顶点坐
标是______，对称轴是直线______．当x ＝______时，y 最值＝______；当a ＜0时，x ______时，y 随x 增大而减小；x ______时，y 随x 增大而增大．
13．抛物线22(3)5y x =--+的顶点坐标是______
14．抛物线y ＝2(x ＋3)(x －2)与x 轴的交点坐标分别为 ______．
15．在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x 2的图像向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的函数关系式是____________________．
16．抛物线y ＝2x 2－bx ＋3的对称轴是直线x ＝1-，则b 的值为________．
17．对于二次函数y = x 2－2mx －3，有下列结论：①它的图象与x 轴有两个交点；②如
果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m =1；③如果当x = 2时的函数值与x = 8时的函数值相等，则m =5.其中一定正确的结论是____________.（把你认为正确结论的序号都填上）
18．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的三个顶点A ，B ，D 均在抛物线y=ax 2﹣4ax+3（a ＜0）上．若点A 是抛物线的顶点，点B 是抛物线与y 轴的交点，则点D 的坐标为__．
19．如图，抛物线)()13y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 为该抛物线的对称轴上一点，当点D 到直线BC 和到x 轴的距离相等时，则点D 的坐标为 ．
20．已知二次函数y ＝x 2＋6x －5．
（1）求这个二次函数的图像的顶点坐标；
（2）若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是 ．
21． 已知二次函数y ＝ax 2＋c.当x ＝1时，y ＝－1；当x ＝2时，y ＝5，求该二
次函数的表达式．
22．如图，已知抛物线的顶点坐标为E （1,0），与轴的交点坐标为（0,1）.
（1）求该抛物线的函数关系式.
（2）A、B是轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4，A在B的左边，过A作AD⊥轴交抛物线于D，
过B作BC⊥轴交抛物线于C．设A点的坐标为（,0），四边形ABCD的面积为S.
①求S与之间的函数关系式.
②求四边形ABCD的最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？
③当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P，使得△PAE的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由. 23．已知抛物线经过点（4，3），且当2
x=时，y有最小值1-.
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.
24．如图，已知抛物线y=﹣1
4
x2﹣
1
2
x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；
（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线y=x2﹣2x+1．
（1）求它的对称轴和顶点坐标；
（2）根据图象，确定当x＞2时，y的取值范围．
26．已知y是x的函数，该函数的图象经过A（1，6），B（3，2）两点．
（1）请写出一个符合要求的函数表达式；
（2）若该函数的图象还经过点C（4，3），自变量x的取值范围是0
x≥.
①如图，在给定的坐标系xOy中，画出一个
．．符合条件的函数的图象；
x 对应的函数值y约为；
②根据①中画出的函数图象，写出6
（3）写出（2）中函数的一条性质（题目中已给出的除外）．
参考答案1．A
【解析】
试题解析：抛物线与y轴交于原点，
c=0，（故①正确）；
该抛物线的对称轴是：
直线x=
20
2
-+
=-1，（故②正确）；
当x=1时，y=a+b+c
∵对称轴是直线x=-1，
∴-b/2a=-1，b=2a，
又∵c=0，
∴y=3a，（故③正确）；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=-1对应的函数值为y=a-b+c，
又∵x=-1时函数取得最小值，
∴a-b+c＜am2+bm+c，即a-b＜am2+bm，
∵b=2a，
∴am2+bm+a＞0（m≠-1）．（故④正确）．
故选A．
2．C
【解析】观察图象可知抛物线开口向下，可得a＜0；对称轴在y轴的右侧，根据“左同右异”可判定b＞0；抛物线与x轴有两个交点，可得-4ac＞0；由题意可知四边形CDEO是矩形，点A、B是关于对称轴DE的对称点，可得CD=OE，AE=BE，所以可得AE+CD=BE+OE=OB，因B点坐标为（4，0），所以AE+CD=4，正确的结论为①③④，故选C.
点睛：本题主要考查了抛物线的性质，难度适中，熟知抛物线的性质是解题的关键.
3．B
【解析】试题分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
解：根据二次函数的定义可得：m﹣n≠0，
即m≠n．
故选B．
考点：二次函数的定义．
4．B
【解析】
解∵抛物线开口向上，
∴a＞0，由图象知c＜0，
∴ac＜0，故①正确；
由抛物线的单调性知：当x=﹣2时，y＞0，
即4a﹣2b+c＞0，故②正确；
∵对称轴方程为x=2，与x轴的一个交点是（﹣1，0）．
∴抛物线与x轴的另一个交点是（5，0），故③错误；
∵抛物线的对称轴为x=2，点（﹣3，y1）到对称轴的距离为5，
（6，y2）到对称轴的距离为4，
∴点（6，y2）在点（﹣3，y1）的下方，
由抛物线的对称性及单调性知：y1＞y2，故⑤错误；
故正确的为①②，共2个．
故选B．
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，抛物线的对称性等知识点，灵活运用有关知识来分析、解答是关键. 5．B
【解析】
试题解析：∵y=﹣1
2
x2﹣x=﹣
1
2
（x+1）2+
1
2
，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，1
2），
故选：B 6．B
【解析】【详解】列表如下：
共有36种情况，其中（1，3）（2，4）（3，3）在双曲线y=-x 2+4x 上，所以概率是112
，故选B ．
7．A
【解析】
因为()2y 904x 3=+-4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为(−3，−4). 故选：A.
8．D
【解析】
试题解析：把（-2，6）代入y=ax 2（a≠0）中得：4a=6，解得a=32
， ∴这个二次函数的解析式为：y=
32x 2， A 、当x=2时，y=32
×22=6，所以点（2，6）在该函数的图象上； B 、当x=1时，y=32
×12=1.5，所以点（1，1.5）在该函数的图象上； C 、当x=-1时，y=32
×（-1）2=1.5，所以点（-1，1.5）在该函数的图象上； D 、当x=2时，y=32
×22=6，所以点（2，8）不在该函数的图象上； 故选D ．
9．C
【解析】
利用二次函数定义A,B,C 是二次函数，C 不是二次函数，选C.
10．D
【解析】试题解析：第一种情况：
当二次函数的对称轴不在1≤x≤4内时，此时，对称轴一定在1≤x≤4的右边，函数方能在这个区域取得最大值， x=＞4，即a ＞13，
第二种情况：
当对称轴在1≤x≤4内时，对称轴一定是在区间1≤x≤4的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x=4的地方取得最大值，即： x=≥，即a≥10（此处若x 取2.5的话，函数就在1和4的地方都取得最大值）． 综合上所述a≥10．
故选D ．
【点睛】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分对称轴不在1≤x ≤4和对称轴在1≤x ≤4内两种情况进行解答．本题考查了二次函数的最值确定与自变量x 的取值范围的关系，难度较大．
11．321y y y ＞＞
【解析】
试题分析：根据题意画出函数图象解直观解答．
解：如图：y 1＞y 2＞y 3．
故答案为y 1＞y 2＞y 3．
考点：二次函数图象上点的坐标特征．
12．224(),24b ac b y a x a a -=++ 2
4(,).24b ac b a a
-- 2b x a =-⋅ 2b x a =-⋅
244ac b a - 2b x a ≥- 2b x a
<-⋅ 【解析】
试题分析：提取a 得到y=2
()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+=2
24()24b ac b a x a a -++,所以顶点坐标为24,24b ac b a
a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2
b x a =-，当x=2b a -时，y 取最小值244a
c b a -，当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左边即2b x a <-
时，y 随x 增大而增大.在抛物线的右侧，即当2b x a ≥-
时，y 随x 增大而减小. 13．(3 , 5)
【解析】
∵抛物线()2
235y x =--+，
∴顶点坐标为：（3，5），
故答案为：（3，5）．
14．(－3，0)，(2，0)
【解析】令y =0，2(x ＋3)(x －2)=0，x =-3或2，所以抛物线与x 轴交点坐标分别为(－3，0)，(2，0).
点睛：要求二次函数与x 轴的交点坐标，令y =0，求出对应的x 写出交点坐标即可；要求二次函数与y 轴的交点坐标即令x =0，求出y 写出交点坐标即可.
15．y=2(x-1)2+3
【解析】
将二次函数y =2x 2的图像向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，根据“上加下
减，左加右减”的原则可得新函数的关系式为y =2(x -1)2+3. 16．-4．
【解析】
∵y=2x 2-bx+3，对称轴是直线x=1，
∴-b2a=1，即--b4=1，解得b=4．
17．①③④
【解析】分析：①根据函数与方程的关系解答；②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；③将m=-1代入解析式，求出和x 轴的交点坐标，即可判断；④根据坐标的对称性，求出m 的值.
解析：∵二次函数y = x 2－2mx －3，∴()()2
224134120m m =--⨯⨯-=+> ，∴它的图象与x 轴有两个交点，故①正确；如果当x ≤－1时，y 随x 的增大而减小，∴抛物线的对称轴小于等于-1即可，∴m ≤－1,故②错误；如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，平移后得()()()223233,6266,y x m x y x m x m =+-+-=+-+- 把（0，0）代入函数解析式得066,1m m =-= ，故③正确；如果当x = 2时的函数值与x = 8时的函数值相等，所以函数的对称轴为5x = ，∴25,52m m --
== ，故④正确.
故答案为：①③④.
点睛：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x 轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点.
18．（4，3）
【解析】分析：本题根据菱形的性质和抛物线的对称性得出即可.
解析：因为菱形ABCD 的对角线互相垂直平分，A 是抛物线的顶点，所以点B 与点D 关于对称轴对称，因为点B 是抛物线与y 轴的交点，所以B （0，3）,因为对称轴为直线x=2.所以点D 的坐标为（4，3）.
故答案为（4，3）.
19．⎛ ⎝或(1,- 【解析】试题分析：如图所示：
∵抛物线y=x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
（x+1）（x﹣3）=0时，x=﹣1，或x=3，
当x=0时，
∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，，对称轴x=1，
∴BM=3﹣1=2，
当点D到直线BC和到x轴的距离相等时，点D在∠ABC或∠ABE的平分线上，①点D在∠ABC的平分线上时，
∵tan∠ABC=
3
∴∠ABC=60°，
∴∠ABD=30°，
∴DM=，
∴D（1，）；
②点D在∠ABE的平分线上时，∠ABE=180°﹣60°=120°，
∴∠ABD=60°，
∴，
∴D（1，﹣）.
考点：抛物线与x轴的交点．
20．(1) （－3，－14）;（2）x ＜－3.
【解析】
试题分析：()1用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，确定顶点坐标即可；
()2求出二次函数的对称轴，即可知道x 取何值时，y 随x 的增大而减小．
试题解析：()2
16995,y x x =++-- 2 (3)14.x =+-
顶点坐标()3,14.--
(2)由(1)知此二次函数的对称轴为3x =-， ∵a =1>0，
∴当3x <-时，y 随x 的增大而减小．
故答案为： 3.x <-
21．y ＝2x 2－3.
【解析】
【分析】
将x 与y 的两对值代入二次函数解析式求出a 与c 的值，即可确定出解析式．
【详解】
解：由题意，得
145a c a c +=-⎧⎨+=⎩
解得23
a c =⎧⎨=-⎩ ∴该二次函数的表达式为y ＝2x 2－3.
【点睛】
考核知识点：用待定系数法求函数解析式.
22．（1）（2）①②四边形ABCD 是正方形③2+
【解析】试题分析：（1）先设抛物线的顶点式，然后把点（0，1）代入抛物线，可以求出抛物线的解析式．（2）①因为点A 的坐标为（t ，0），AB =4，所以点B 的坐标为（t +4，0），分别把A ，B 两点的坐标代入抛物线得到C ，D 两点的坐标，得到线段AD 和BC 的长，可以用含t 的式子表示直角梯形ABCD 的面积．②根据①得到S 关于t 的二次函数，利用二次
函数的性质，可以求出面积最小时t的值，并确定此时四边形的形状．③当四边形ABCD的面积最小时，ABCD是正方形，点A点C关于BD对称，根据两点之间线段最短，得到CE 与BD的交点就是点P，然后求出△P AE的周长．
试题解析：（1）∵抛物线顶点为F（1,0）
∴
∵该抛线经过点E（0,1）
∴
∴
∴，
即所求抛物线的函数关系式为.
（2）①∵A点的坐标为（,0）, AB=4，且点C、D在抛物线上，
∴B、C、D点的坐标分别为(+4,0)，(+4, (+3)2)，(,(-1)2).
∴
②.
∴当=-1时，四边形ABCD的最小面积为16，
此时AD=BC=AB=DC=4，四边形ABCD是正方形.
③当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，其对角线BD上存在点P, 使得ΔP AE的周长最小.
∵AE=4（定值），
∴要使ΔP AE的周长最小，只需PA+PE最小.
∵此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,
∴由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD对角线BD的交点.
∵点E、B、C、D的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）
∴直线BD，EC的函数关系式分别为：y=-x+3, y=2x-2.
∴P(,)
在Rt△CEB中，CE=,
∴△P AE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE=2+
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用顶点式求出抛物线的解析式．（2）①结合二次函数的图形，理解四边形ABCD是直角梯形，利用梯形的面积公式求出S关于t的函数．②利用①中求出的二次函数的性质，得到四边形面积最小时t的值，并确定ABCD的形状．③利用②的结论得到A，B，C，D的坐标，再根据两点之间线段最短，求出点P的坐标和△P AE的周长．
23．（1）y=x2-4x+3 ；（2）x<2.
【解析】
试题分析：（1）由已知得抛物线顶点坐标为（2，-1），设顶点式，将（4，3）代入顶点式求a即可．
（2）由二次函数的性质找相应的x的取值范围即可.
试题解析：（1）设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2-1，
把（4，3）代入，得4a-1=3,
∴a=1，
即y=(x-2)2-1 或y=x2-4x+3
（2）由y=(x-2)2-1知图形对称轴为x=2，且a=1>0，
∴y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是x<2.
24．（1）点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），点C坐标（0，2）；（2）；（3）M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．
【解析】
（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题；（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知
点E坐标（﹣7，﹣27
4
）或（5，﹣
27
4
），由此不难解决问题；（3）分A、C、M为顶点三
种情形讨论，分别求解即可解决问题．
解：（1）令y=0得﹣1
4
x2﹣
1
2
x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，
x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．
（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，
∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，
∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣27
4
）或（5，﹣
27
4
），此时点F（﹣1，
﹣27
4
）
∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×27
4
=
27
4
．
（3）如图所示，
①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，
在RT△CM1N中，
∴点M1坐标（﹣1，），点M2坐标（﹣1，2）．
②当M3为顶点时，
∵直线AC解析式为y=﹣x+2，线段AC的垂直平分线为y=x，
∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．
③当点A为顶点的等腰三角形不存在．
综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，）或（﹣1，2）．
“点睛”本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．25．（1）对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0）；（2）y＞1．
【解析】
试题分析：（1）把抛物线解析式化为顶点式即可得出对称轴和顶点坐标；
（2）利用描点法画出图象，根据图象利用数形结合的方法确定当x＞2时，y的取值范围即可．
试题解析：（1）y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，0）；
（2）抛物线图象如下图所示：
由图象可知当x＞2时，y的取值范围是y＞1．
26．（1）答案不唯一，例如
6
y
x
=，28
y x
=-+，2611
y x x
=-+等；
（2）见详解，答案不唯一，符合题意即可；（3）所写的性质与图象相符即可．
【解析】
【详解】
（1）答案不唯一，例如
6
y
x
=，28
y x
=-+，2611
y x x
=-+等；
（2）①
答案不唯一，符合题意即可；
②当x=6时，y=11.
（3）对称轴为x=3.当x=3时，y有最小值为y=2.所写的性质与图象相符即可．。