2019九年级数学二次函数的图象与性质课后巩固提升练习题3(附答案)

2019九年级数学二次函数的图象与性质课后巩固提升练习题3（附答案） 1．顶点为()6,0，开口向下，开口的大小与函数2
13
y x =的图象相同的抛物线所对应的函数是（ ）
A.21
(6)3y x =+ B.21
(6)3y x =
- C.2
1(6)3
y x =-+
D.2
1(6)3
y x =--
2．函数 的图象是抛物线，则的值（ ）
A.4
B.-4
C.2
D.-2
3．抛物线2y 3x 2=+是由抛物线2y 3x =经怎样平移得到（ ） A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位 C ．向上平移2个单位
D ．向下平移2个单位
4．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A.a>0
B.b>0
C.c>0
D.abc<0
5．y=x 2﹣2x ﹣3的顶点坐标和对称轴（ ） A.（﹣1，﹣4），直线x=﹣1 B.（1，﹣4），直线x=1 C.（﹣1，4），直线x=﹣1
D.（1，4），直线x=1
6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋2的图象经过点(1，0)，则代数式2－a －b 的值为( ) A ．－3 B ．0 C ．4 D ．－4
7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ c 的图象如图，有以下结论：①a ＋b ＋c ＜0； ②a －b ＋c ＞2；③abc ＞0；④4a －2b ＋c ＜0；⑤c －a ＞1．其中所有正确结论的序号是（ ）
A.①②
B.①③④
C.①②③⑤
D.①②③④⑤
8．设a ，b ，c 是ABC 的三边长，二次函数222
b b y a x cx a ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭在1x =时取最小值8
5
b -，则ABC 是（ ） A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形
D.直角三角形
9．已知函数f （x ）=x 2+λx ，p 、q 、r 为△ABC 的三边，且p ＜q ＜r ，若对所有的正整数p 、q 、r 都满足f （p ）＜f （q ）＜f （r ），则λ的取值范围是（ ） A ．λ＞﹣2 B ．λ＞﹣3 C ．λ＞﹣4 D ．λ＞﹣5 10．关于二次函数2
12
y x =-的图象及其性质的说法错误的是（ ） A.开口向下 B.顶点是原点 C.对称轴是y 轴
D.y 随x 的增大而减小
11．抛物线y ＝－x 2＋2x －2的顶点坐标为________．
12．已知点A （1x ，1y ）B （2x ，2y ）为函数y ＝-2（x-1）²+3图像上的两点，若1x ＞
2x ＞1，则1y ，2y 的大小关系是____________。

13．如图，已知二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图形经过点()1,2，且与x 轴交点的
横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -<<，212x <<，下列结论：①0abc <；②2a b a <<-；③284b a ac +<；④10a -<<．其中正确结论的序号是________．
14．将函数2254y x x =-+配方成2()y a x m k =++的形式，则m =________；
k =________．
15．已知二次函数y=ax 2+bx+c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：
若A （m ，y 1），B （m ﹣1，y 2）两点都在该函数的图象上，当m 满足范围_____时，y 1＜y 2．
16．点A （2，y 1），B （3，y 2）是二次函数y=（x ﹣1）2+3的图象上两点，则y 1_____y 2
（填“＞”、“＜”或“=”）
17．如果二次函数2111y a x b x c =++（10a ≠，1a 、1b 、1c 是常数）与2222y a x b x c =++（20a ≠，2a 、2b 、2c 是常数）满足1a 与2a 互为相反数，1b 与2b 相等，1c 与2c 互为倒数，那么称这两个函数为“亚旋转函数”．请直接写出函数232y x x =-+-的“亚旋转函数”为_________．
18．已知二次函数22y m x =-（）的图象开口向下，则m 的取值范围是________ 19．如图，二次函数()2
0y ax bx c a =++≠的图象经过点()1,2-且与x 轴交点的横坐
标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0b <；②0a b c ++<；③420a b c -+<；④20a b -<，其中正确的有________．（填代号）
20．函数y=x 2－4x+3 (－3≤x≤3)的最小值是_________, 最大值是__________.
21．如图，已知抛物线y=﹣x 2﹣2x+m+1与x 轴交于A （x 1 ， 0）、B （x 2 ， 0）两点，且x 1＜0，x 2＞0，与y 轴交于点C ，顶点为P ．（提示：若x 1 ， x 2是一元二次方
程ax 2
+bx+c=0（a≠0）的两个实根，则x 1+x 2=﹣
b a ，x 1•x 2=
c a
） (1)求m 的取值范围；
(2)若OA=3OB ，求抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴PD 上，存在点Q 使得△BQC 的周长最短，试求出点Q 的坐标．
22．已知直线y ＝﹣
12x+2与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，抛物线y ＝﹣2
12
x +bx+c 过点A 、C ，且与x 轴交于另一点B ，在第一象限的抛物线上任取一点D ，分别连接CD 、AD ，作DE ⊥AC 于点E ． (1)求抛物线的表达式； (2)求△ACD 面积的最大值；
(3)若△CED 与△COB 相似，求点D 的坐标．
23．如图，二次函数y=ax 2﹣4x+c 的图象经过坐标原点，与x 轴交于点A （﹣4，0） （1）求此二次函数的解析式，并求出抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上存在点P ，使△AOP 的面积为10？求出点P 的坐标．
24．用配方法把二次函数y=﹣2x 2+6x+4化为y=a （x+m ）2+k 的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 25．已知抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)． (1)求a 的值；
(2)当x ＝3时，求y 的值； (3)说出此二次函数的三条性质．
26．若抛物线y=x 2+6x+k 2的顶点M 在直线y=﹣4x ﹣5上，求k 的值．
27．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(－1，0)，(1，－2)，求函数图象与x 轴的另一个交点坐标．
28．已知二次函数2y ax ax x =--（a 为非零常数）． （1）若对称轴是直线1x =． ①求二次函数的解析式．
②二次函数2y ax ax x t =---（t 为实数）图象的顶点在x 轴上，求t 的值． （2）把抛物线21:k y ax ax x =--向上平移1个单位得到新的抛物线2k ，若0a <，求2k 的图像落在x 轴上方的部分对应的x 的取值范围．
参考答案
1．D 【解析】 【分析】
已知抛物线的顶点为()6,0，可设抛物线的解析式为2(6)y a x =- ，再由抛物线开口向下，开口的大小与函数213y x =的图象相同，可求得a=1
3
-，即可得该抛物线的解析式. 【详解】
∵抛物线的顶点为()6,0，
∴设抛物线的解析式为：2(6)y a x =- ， ∵抛物线开口向下，开口的大小与函数2
13
y x =的图象相同， ∴a=13
-.
∴该抛物线的解析式为：2
1(6)3
y x =--. 故选D. 【点睛】
本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单． 2．D 【解析】 【分析】
根据二次函数最高次数是二次，二次项的系数不等于零，列式求解. 【详解】 解：∵函数的图象是抛物线，
∴
，
解得：m=-2， 故选：D. 【点睛】
本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义：形如y=ax 2
+bx+c （a≠0）是二次函
数，注意二次项的系数不等于零是解题关键．
3．C
【解析】
【分析】
根据二次函数平移的性质“左加右减，上加下减”进而得出即可．
【详解】
抛物线y＝3x2向上平移2个单位，即可得出抛物线y＝3x2+2．
故选C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，根据平移规律得出结论是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
首先根据抛物线向下开口，可得a＜0；然后根据对称轴在y轴左边，可得a与b同号，所以b＜0；最后根据抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，可得c＜0，所以abc＜0，据此判断即可．
【详解】
∵抛物线向下开口，
∴a＜0；
∵对称轴在y轴左边，
∴a与b同号，
∵a＜0，
∴b＜0；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∵a＜0，b＜0，c＜0，
∴abc＜0．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①
二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）． 5．B 【解析】
试题解析：2
2
2
2
232113214(1)4y x x x x x x x =--=-+--=-+-=--， 所以抛物线的对称轴为直线x =1,顶点坐标为(1,−4). 故选B.
点睛：用配方法把一般式配成顶点式，就可求出对称轴和顶点坐标． 6．C 【解析】 【分析】
把点(1，0)的坐标代入y ＝ax 2
＋bx ＋2，可得a ＋b ＝－2，然后整体代入2－a －b 进行求解即
可得. 【详解】
将点(1，0)的坐标代入y ＝ax 2
＋bx ＋2，
得0＝a ＋b ＋2， 故a ＋b ＝－2，
故2－a －b ＝2－(－2)＝4， 故选C. 【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及代数式求值，熟知二次函数图象上点的坐标满足其解析式以及运用整体代入思想是解题的关键. 7．C 【解析】 【分析】
由二次函数的图象可得：a ＜0，b ＜0，c=2＞0，对称轴x=-1，再结合图象判断各结论即可． 【详解】
由图象可得：a ＜0，b ＜0，c=2＞0，对称轴x=-1， ①x=1时，a+b+c ＜0，故①正确； ②x=-1时，a-b+c ＞2，故②正确； ③abc ＞0，故③正确；
④x=-2时，4a-2b+c ＞0，故④错误； ⑤x=-1时，a-b+c ＞2，又−2b
a
=-1，b=2a ，c-a ＞2>1，故⑤正确， 故选C ． 【点睛】
本题考查了抛物线与二次函数系数之间的关系，解题的关键是从图象中找出重要信息，注意数形结合思想的运用. 8．D 【解析】 【分析】
根据二次函数的最值问题，利用对称轴公式列出方程，再把x=1代入函数关系式，然后求解得到a 、b 、c 的关系，再利用勾股定理逆定理解答． 【详解】
由题意得，x=-22c
b a -⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭=1， 整理得，c=2a-b ，
x=1时，a-2b -c-a-2b =-8
5b ， 整理得，c=3
5
b ，
设b=5k ，则c=3k ， a=4k ，
∵（3k ）2+（4k ）2=25k 2， ∴c 2+a 2=b 2，
∴△ABC 是直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，理解题意并得到两个关于a、b、c的等式是解题的关键．9．D
【解析】
∵f（r）﹣f（q）＞0，
r2+λr﹣（q2+λq）=r2﹣q2+λr﹣λq=（r+q）（r﹣q）+λ（r﹣q），
=（r﹣q）（r+q+λ）＞0①
又∵q＜r，
∴（r+q+λ）＞0，λ＞﹣（r+q），
同理，（q﹣p）（q+p+λ）＞0②，
又∵p＜q，
∴（q+p+λ）＞0，λ＞﹣（p+q），
（r﹣p）（r+p+λ）＞0③
又∵p＜r，
∴（r+p+λ）＞0，λ＞﹣（r+q）
又∵p＜q＜r，
∴λ最大为﹣（p+q），
p、q、r三者均为正整数，p＜q＜r，且p、q、r为△ABC的三边，即需满足p+q ＞r，
∴p的最小值应为2（如P为1，q可为2，r可为3，1+2=3，不满足p+q＞r的条件），则q的最小值应为3，
∴λ＞﹣5
故选：D．
【点睛】运用了二次函数的增减性（单调性）．
10．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质逐一判断可得．
【详解】
A、由a=-1
2
＜0知开口向下，此选项正确；
B 、顶点坐标为（0，0），此选项正确；
C 、对称轴是直线x=0，即y 轴，此选项正确；
D 、当x>0时，y 随x 的增大而减小，此选项错误； 故选：D ． 【点睛】
此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数的顶点式顶点坐标和对称轴，以及增减性． 11．（1，-1） 【解析】
∵2222(1)1y x x x =-+-=---，
∴抛物线222y x x =-+-的顶点坐标为（1，-1）. 故答案为：（1，-1）. 12．1y <2y , 【解析】 【分析】
根据函数y ＝--2（x -1）²+3可得二次函数图象开口方向向下,对称轴是直线x =1,函数图象上的点距离
对称轴越近函数值越大,距离对称轴越远,函数值越小. 【详解】
因为二次函数y ＝-2（x -1）²+3的开口方向向下,对称轴是直线x =1, 所以当x >1时,y 随x 的增大而减小
因为点A （1x ，1y ）B （2x ，2y ）为函数y ＝-2（x -1）²+3图像上的两点,且1x ＞2x ＞1, 所以1y <2y , 故答案为:1y <2y . 【点睛】
本题主要考查二次函数增减性,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的增减性. 13．①② 【解析】
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，根据对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号，b ＞0，判断①；根据对称轴小于1，判断②；根据顶点的纵坐标大于2判断③，根据图象经过（1，2）判断④．
【详解】
∵抛物线的开口向下，∴a ＜0，
∵抛物线与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，
∵对称轴在y 轴的右侧，a ，b 异号，∴b ＞0，
∴①abc ＜0，正确；
∵-2b a
＜1， ∴b ＜-2a ，
∴②a ＜b ＜-2a 正确；
由于抛物线的顶点纵坐标大于2，即：2
44ac b a
-＞2， 由于a ＜0，所以4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故③错误，
由题意知，a+b+c=2，（1）
a-b+c ＜0，（2）
4a+2b+c ＜0，（3）
把（1）代入（3）得到：4a+b+2-a ＜0，
则a ＜23
b --． 由（1）代入（2）得到：b ＞1．
则a ＜-1．故④错误．
综上所述，正确的结论是①②．
故答案为①②．
【点睛】
本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
14．54- 78
【解析】
根据配方法将2y 2x 5x 4=-+配成2y a(x m)k =++的形式，即可解答.
【详解】
2y 2x 5x =-+4
= 2
52(2)2
x x -+ =2525252(2)21616x x -+-+ =2572()416x ⎡⎤-+
⎢⎥⎣⎦ =2572()48
x -+ ∴m=54-，n=78
. 故答案为：54-， 78
. 【点睛】
本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，利用配方法把y=ax 2+bx+c 化为
2y a(x h)k =-+的形式是解决问题的关键.
15．m ＜52
． 【解析】
由表中数据可知，抛物线过点（0，5）和（4，5），且当2x >时，y 随x 的增大而增大， ∴抛物线的对称轴为直线0422x +=
=，且抛物线开口向上， ∵12y y <，
∴点A 比点B 离对称轴2x =更近，
又∵m ＞m ﹣1，
∴点A 在对称轴2x =的右侧，点B 在对称轴2x =的左侧，
∴2﹣（m ﹣1）＞m ﹣2，
∴m
＜52
．
即当：m ＜
52
时，12y y <． 16．＜ 【解析】解：当x =2时，y 1=（x ﹣1）2+3=4；
当x =3时，y 2=（x ﹣1）2+3=7；
∵7＞4，∴y 1＜y 2，故答案为：＜．
点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
17．2132
y x x =+- 【解析】
解：∵－1的相反数是1，－2的倒数是12
-，∴函数232y x x =-+-的“亚旋转函数”为2132y x x =+-．故答案为：2132
y x x =+-． 18．m ＜2
【解析】
由二次函数22y m x =
-（）的图象的开口方向，知m-2＜0，确定m 的取值范围m ＜2． 故答案为：m ＜2．
点睛：此题主要考查了二次函数的性质，明确二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，小于零开口向下，是解题关键．
19．①②③④
【解析】
【分析】
观察图象，通过抛物线的开口方向，对称轴x ＝−b2a ＞−1，以及与x 轴交于两点这些条件，即可解答出该题．
【详解】
①∵抛物线的开口方向向下，
∴a ＜0，由图象可看出抛物线的对称轴x ＝b 2a
-
＜0， ∴b ＜0，故①正确．
②由图象看出当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，故②正确．
③由图象看出当x ＝−2时，y ＝4a−2b ＋c ＜0，故③正确．
④∵抛物线的对称轴大于−1，即x ＝
b 2a ＞−1，得出2a−b ＜0，故④正确． 故答案为：①②③④．
【点睛】
本题综合考查了抛物线的性质，体现了数形结合的思想，同学们要熟练掌握．
20．-1 24
【解析】
【分析】
先求出二次函数的对称轴为直线x =2，再根据二次函数的增减性即可得出答案.
【详解】
根据题意得：抛物线的对称轴为x =2b a
=2, ∵a =1＞0，抛物线开口向上；
∴当－3≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小；当2＜x ≤3时，y 随x 的增大而增大，
∴当x =2时，y 有最小值y =4－8+3=﹣1；
当x =﹣3时，y 有最大值y =9+12+3=24.
故答案为﹣1；24.
21．(1)m ＞﹣1；(2)y=﹣x 2﹣2x+3；(3)存在点Q （﹣1，2）使得△BQC 的周长最短.
【解析】
【分析】
（1）将抛物线的问题转化到一元二次方程中，利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系解决；
（2）先用一元二次方程的两根表示出OA ，OB ，再用根与系数的关系即可；
（3）先由于点A ，B 关于抛物线的对称轴PD 对称，连接AC 与PD 的交点就是使△BQC 的周长最短，然后确定出直线AC 解析式，最后将抛物线的对称轴代入直线AC 解析式中即可．
【详解】
(1)令y=0，则有﹣x 2﹣2x+m+1=0，
即：x 1 ， x 2是一元二次方程x 2+2x ﹣（m+1）=0， ∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+m+1与x 轴交于A （x 1 ， 0）、B （x 2 ， 0）两点，
∴x1•x2=﹣（m+1），x1+x2=﹣2，
△=4+4（m+1）＞0，
∴m＞﹣2
∵x1＜0，x2＞0，
∴x1•x2＜0，
∴﹣（m+1）＜0，
∴m＞﹣1，
即m＞﹣1
(2)解：∵A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，
∴OA=﹣x1，OB=x2，
∵OA=3OB，
∴﹣x1=3x2，①
由(1)知，x1+x2=﹣2，②
x1•x2=﹣（m+1），③
联立①②③得，x1=﹣3，x2=1，m=2，
∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3
(3)存在点Q，
理由：如图，
连接AC交PD于Q，点Q就是使得△BQC的周长最短，（∵点A，B关于抛物线的对称轴PD对称，）
连接BQ，
由(2)知，抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3；x1=﹣3，
∴抛物线的对称轴PD为x=﹣1，C（0，3），A（﹣3，0），
∴用待定系数法得出，直线AC解析式为y=x+3，
当x=﹣1时，y=2，
∴Q （﹣1，2），
∴点Q （﹣1，2）使得△BQC 的周长最短
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，极值的确定，解本题的关键是将函数问题转化到一元二次方程中去，此种方法是解二次函数中求与线段长度有关的题目中常用的方法．
22．（1）213222y x x =-+
+；（2）4；（3）点D 的坐标为D 1(3，2)、D 2(23，258)． 【解析】
分析：(1)根据直线y ＝－12
x ＋2与x 轴，y 轴相交于点A ，C ，求点A ，C 的坐标，用待定系数法求抛物线的解析式；(2)过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点F ，设D (t ，213222
t t -＋＋)，由S △ACD ＝S △CDF ＋S △ADF ，用含t 的代数式表示S △ACD ，结合二次函数的性质求解；(3)除了∠BOC ＝∠CED 外，△BOC 与△CDE 的对应关系不确定，所以需要分两
类讨论，①当∠DCE ＝∠BCO 时，可得CD ∥AB ，点C ，
D 的纵坐标相等；②当∠DC
E ＝∠CBO 时，将△OCA 沿AC 翻折得△MCA ，点O 的对称点为点M ，过点M 作MH ⊥y 轴于点H ，AN ⊥MH 于点N ，利用相似三角形的性质和勾股定理求出点M 的坐标后，再由直线CM 与抛物线的交点列方程组求解.
详解：(1)∵直线122
y x -＝＋与x 轴.y 轴分别交于点A .C ， ∴A (4，0)，C (0，2)，OA ＝4，OC ＝2， 将A (4，0)，C (0，2)分别代入212y x bx c -
＝＋＋中， 0842? b c c ＝＋＋＝-⎧⎨⎩，解得322
b c ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝. ∴213222
y x x ＝＋＋-. (2)如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，交AC 于点F ，
设D (t ，213222t t -
＋＋)，其中04t <<，则F (t ，122
t -＋). ∴DF ＝213222t t -＋＋－(122t -＋)＝2122t t -＋，
S △ACD ＝S △CDF ＋S △ADF ＝11
·
(22)
DF OG DF AG ＋ ＝()1··2
DF OG AG ＋ ＝1··2DF OA ＝2114222t t ⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭
＋ ＝()2
24t --＋.
∴当t ＝2时，S △ACD 最大＝4．
(3)设y ＝0，则213222
t t -＋＋＝0，解得14x ＝，21x -＝， ∴B (－1，0)，OB ＝1. ∵12OB OC ＝，2142OC OA ＝＝，∴OB OC OC OA
＝. ∵∠BOC ＝∠COA ＝90°，
∴△BOC ∽△COA ，
∴∠OCB ＝∠OAC ，∴∠OCA ＝∠OBC.
①当∠DCE ＝∠BCO 时，∠DCE ＝∠OAC ，
∴CD ∥OA ，点D 的纵坐标与点C 纵坐标相等，
令y ＝2，则213222
t t -
＋＋＝2，解得10x ＝，23x ＝， ∴D 1(3，2).
②如图2，当∠DCE ＝∠CBO 时，∠DCE ＝∠OCA ，
将△OCA 沿AC 翻折得△MCA ，点O 的对称点为点M ，
过点M 作MH ⊥y 轴于点H ，AN ⊥MH 于点N ，
则CM ＝CO ＝2，AM ＝AO ＝4，
设HM ＝m ，MN ＝HN －HM ＝OA －HM ＝4－m ，
由∠AMC ＝∠AOC ＝∠ANM ＝∠MHC ＝90°易证△CHM ∽△MNA ，且相似比
12
CM AM ＝， ∴AN ＝2MH ＝2m ，CH ＝12MN ＝2－12
m ， 在Rt △CMH 中，由勾股定理得：2
221222m m ⎛⎫- ⎪⎝
⎭＋＝，解得10m ＝，285m ＝， ∴MH ＝85，OH ＝165，M (85，165
). 设直线CM 的表达式为y ＝kx ＋n ，则216855
n k n ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＋，解得342k n ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝， ∴3
24
y x ＝＋， 由232413222y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＋＝＋＋，解得1202x x ⎧⎨⎩＝＝，1232258x x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
＝＝， ∴D 2(32，258
). 综上所述，点D 的坐标为D 1(3，2).D 2(
32，258)．
点睛：形如“△ABC 和△DEF 相似”的描述时，这两个三角形的对应关系不确定，
一般需要分类讨论，当其中有确定的角或边的关系时，可减少分类，对每一个分类都要画出图形，根据图形中的全等三角形，相似三角形和勾股定理及函数解析式，函数图象的交点解题.
23．（1）y=﹣x 2﹣4x ；（2）P 坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．
【解析】
（1）把原点与A 坐标代入解析式求出a 与c 的值，即可确定出解析式；
（2）由A 与O 坐标求出AO 的长，根据三角形AOP 面积为10，利用面积公式求出P 纵坐
标的绝对值为5，即P 纵坐标为5或-5，把y =5或y =-5代入抛物线解析式求出x 的值，即可确定出P 坐标．
解：（1）把（0，0）与（﹣4，0）代入得：016160
c a =⎧⎨
+=⎩， 解得：a =﹣1，c =0，
则抛物线解析式为y =﹣x 2﹣4x ；
（2）∵AO =4，S △AOP =10，
∴|y P 纵坐标|=5，即y P 纵坐标=5或y P 纵坐标=﹣5，
把y =5代入抛物线解析式得：x 2+4x +5=0，方程无解；
把y =﹣5代入抛物线解析式得：x 2+4x ﹣5=0，解得x =﹣5或x =1， 此时P 坐标为（﹣5，﹣5），（1，﹣5）．
24．开口向下，对称轴为直线32x =，顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析:先通过配方法对二次函数的一般式进行配方成顶点式,再根据二次函数图象性质写出开口方向,对称轴,顶点坐标.
试题解析:2264y x x =-++, =29923442x x ⎛⎫--+
++ ⎪⎝⎭, =22317317222222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
, 开口向下,对称轴为直线32x =,顶点317,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 25．(1) 3；(2) 27；(3)答案不唯一，
【解析】试题分析：抛物线y ＝ax 2
经过点(1，3)，将点代入即可求得a=3,将x=3代入函数中求得y=27.二次函数的性质可以通过从开口方向，对称轴，顶点坐标，增减性等方面进行分析.
解：(1)∵抛物线y ＝ax 2经过点(1，3)， ∴a·1＝3.∴a ＝3.
(2)把x ＝3代入抛物线y ＝3x 2，得y ＝3×32＝27.
(3)答案不唯一，如：抛物线的开口向上；坐标原点是抛物线的顶点；当x ＞0时，y 随着x 的增大而增大；抛物线的图象有最低点，当x ＝0时，y 有最小值，是y ＝0等．
26．±4．
【解析】分析：把抛物线解析式化为顶点式，可求得其顶点坐标，再代入直线y =﹣4x ﹣5可求得k 的值．
详解：∵y =x 2+6x +k 2=（x +3）2+k 2﹣9，∴抛物线顶点坐标为M （﹣3，k 2﹣9）．
∵顶点M 在直线y =﹣4x ﹣5上，∴k 2﹣9=12﹣5，解得：k =±4．
点睛：本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式方程是解题的关键．
27．函数图象与x 轴的另一个交点坐标为(2，0)．
【解析】
【分析】
将已知两点代入抛物线解析式求出b 与c 的值,再令抛物线解析式中y=0求出x 的值，即可确定出另一交点坐标；
【详解】
把点(－1，0)，(1，－2)分别代入y ＝x 2＋bx ＋c 得:
1012b c b c -+⎧⎨++-⎩
＝＝ 解得：b=-1，c=-2,
∴函数表达式为y ＝x 2－x －2.
令y ＝0得x 2－x －2＝0，解之得x ＝－1或2.
∴函数图象与x 轴的另一个交点坐标为(2，0)．
【点睛】
考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点，以及二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
28．（1）①22y x x =-；②1t =-；（2）11x a
<<． 【解析】
试题分析：（1）①由对称轴是直线x =1，得到()
11a a -+-=，于是得到结论；②∵二次函
数21322y x x t =--图象的顶点在x 轴上，列方程得到98
t =-； （2）由y =ax 2-ax -x 向上平移1个单位得到新的抛物线k 2，得到新的抛物线k 2的解析式为y =ax 2-ax -x +1，解方程得到x 1=1，x 2=
1a ，于是得到结论． 解：（1）①∵对称轴为直线1x =，
∴()
112a a -+-=，∴1a =，
∴二次函数的解析式为22y x x =-．
②∵二次函数22y x x t =--图象的顶点在x 轴上，
∴21210t -⨯-=，1t =-．
（2）∵2y ax ax x =--向上平移一个单位长度得到新的抛物线2k ， ∴2k 的解析式为21y ax ax x =--+，
∴当0y =时，210ax ax x --+=
解得11x =，21x a
=， ∴2k 落在x 轴上方部分对应的x 的取值范围为
11x a <<．。