1958年普通高等学校招生全国统一考数学试题及答案

设 x + 1 = u, x + 2y −1 = v y
则原方程变形为
u + v = 4(3) u 2 + v2 = 8(4)
解方程组，可得 u = 2,v = 2.
C E
B
将 u,v 的值代回所设，可得
x+ 1 =2 y
x + 2y −1 = 2
两边平方, 得
x + 1 = 4(5) y x + 2 y −1 = 4(6)
分析：设⊙O 即为合于要求的圆（如 图）因⊙O 经过 A、M 两点且与直线
C P
BC 相切于点 P，这样，BP 为⊙O 的
O
切线，BA 为⊙O 的割线，所以，应 A 有
B M P＇
BP2=BM·BA 而 BM，BA 均为已知，因此，BP 的 A＇
B＇ M＇
长度可以作出，由此可得点 P，于是过 A、M、P 三点就可确定所求之
8sin x
证：sin 8x = 2sin 4x cos 4x
= 4sin 2x cos 2x cos 4x 8sin x cos x cos 2x cos 4x
cos x cos 2x cos 4x = sin 8x .
8sin x
⌒
⌒
丙、设 AB，AC 为一个圆的两弦，D 为 AB 的中点，E 为 AC 的中点，
(6) − (5)得2 y − 1 = 1,即y 2 − y −1 = 0, y
y1
= 1,
y2
=
−
1. 2
代入(5), x1 = 3, x2 = 6.
由检验可知xy11
= =
3, 1;
x2 = 6, 1
y2 = − 2
.
都是原方程组的解 新疆 王新敞 奎屯
3．设有二同心圆，半径为 R，r(R>r），今由圆心 O 作半径交大圆
B＇M＇=BM，所以 BP2=BM·BA，即 BP 为⊙O 的切线，BMA 为其割线，
且⊙O 经过 A、M、P 三点，故⊙O 适合所要求的条件 新疆 王新敞 奎屯
5．已知直角三角形的斜边为 2，斜边上的高为 3 ，求证此直角
2
三角形的两个锐角是下列三角方程的根
sin 2 x − 1 + 3 sin x + 3 = 0
2
AD 3 3
2
3
当 AD = k = 1 时， tgA = CD = 2 = 3, ∴A=600，B=300.
2
AD 1
2
总之，两锐角一为 300，一为 600.
当 x=300 时，代入原方程中得
sin 2 30 − 1+ 3 sin 30 + 3 = (1)2 − 1+ 3 1 + 3 = 0;
A A＇E
=Rcosα-（R-r）cosα=rcosα. B
O DC
OE=
OD2 + DE2 = R2 sin 2 + r 2 cos2 .
4．已知三角形 ABC，求作圆经过 A 及 AB 中点 M，并与 BC 直线相
切 新疆 王新敞 奎屯
已知：M 为△ABC 的 AB 的中点.
求作：一个经过 A、M 两点且与 BC 直线相切的圆.
AM=AN.
丁、求证正四面体 ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直
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证：因 ABCD 是正四面体，
D
各个面都是等边三角形，
过 A 作 AE⊥BC，联结 DE，
则 DE⊥BC，
A
∴BC 垂直平面 AED，
而 AD 在此平面内，
∴BC⊥AD
同理可证 AB⊥DC，AC⊥DB 新疆 王新敞 奎屯
圆 新疆 王新敞 奎屯
作法：1）作线段 A＇B＇M＇，
使 A＇B＇=AB，B＇M＇=BM
2）以 A＇M＇为直径作半圆
3）过 B＇作 A＇M＇的垂线 B＇P＇交半圆于点 P＇
4）在△ABC 的边 BC 上截取 BP=B＇P＇
5）经过 A、M、P 三点作⊙O 即为所求 新疆 王新敞 奎屯
证明：由作图可知 B＇P＇2= A＇B＇·B＇M＇，A＇B＇=AB，
作直线 DE 交 AB 于 M，交 AC 于 N，求证：AM=AN 新疆 王新敞 奎屯
证：联结 AD 与 AE（如图） ∵∠AMN=∠DAM+∠MDA， ∠⌒ANM⌒=∠EAN+∠NEA， 又∵A⌒D=D⌒B，∠DAB=∠AED， AE=EC，∠ADE=∠EAC，
A
D
E
MN
B C
∴∠AMN=∠ANM，
于 A，交小圆于 A＇，由 A 作直线 AD 垂直大圆的直径 BC，并交 BC 于
D;由 A＇作直线 A＇E 垂直 AD，并交 AD 于 E，已知∠OAD=
α，求 OE 的长 新疆 王新敞 奎屯
解：在直角△OAD 中，
OD=Rsinα，AD=Rcosα
在直角△A＇AE 中，
AE=（R-r）cosα ∴DE=AD-AE
戊、求解 sin x = 3 cos x. 解：sin x = 3 cos x,
tgx = 3, x = k + .(k为整数)
3
2．解方程组
x+ 2x +
1+ y 2y +
x 1
+ =
2 y −1 = 4(1) 9(2)
y
解 :由(2)式变形为
(x + 1 ) + (x + 2 y −1) = 8, y
2
4
证：设 AD=k（如图）
∵AB=2，∴DB=2-k.
C
由 CD2=AD·DB，
( 3 )2 = k(2 − k), 2
k 2 − 2k + 3 = 0, k = 3 或 1 .
4
22
在直角△ACD 中，
A
D
B
3
当 AD = k = 3 时， tgA = CD = 2 = 3 , ∴A=300，B=600.
2
42
2 24
当 x=600 时，代入原方程中得
sin 2 60 − 1+ 3 sin 60 + 3 = ( 3 )2 − 1+ 3 3 + 3 = 0.
2
42
2 24
故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根 新疆 王新敞 奎屯
1958 年普通高等学校招生全国统一考试
数学
1．甲、求二项式
(1
+
2
x)
5
展开式中
x
3
的系数
3;1 = C5r (2x)r = C5r 2r x r今r = 3, T4 = C53 23 x3 = 80x3.
乙、求证 cos x cos 2x cos 4x = sin 8x .