高三数学一轮基础巩固(新人教B版)第2章第4节指数与指数函数(含解析).doc

【走向高考】2016届 高三数学一轮基础巩固 第2章 第4节 指数与
指数函数 新人教B 版
一、选择题 1．(文)(2015·河南省实验中学期中)函数y ＝(a2－4a ＋4)·ax 是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1 [答案] C
[解析] 由条件知⎩
⎪⎨⎪⎧
a2－4a ＋4＝1，
a>0且a≠1.∴a ＝3.
(理)(2014·东北三校联考)函数f(x)＝ax －1(a>0，a≠1)的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点
A 的是( )
A ．y ＝1－x
B ．y ＝|x －2|
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝log2(2x) [答案] A
[解析] f(x)＝ax －1的图象过定点(1,1)，在函数y ＝1－x 中当x ＝1时，y ＝0，故选A.
2．(文)(2014·西安模拟)函数f(x)＝e2x ＋1
ex 的图象( ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝x 对称 C ．关于x 轴对称 D ．关于y 轴对称 [答案] D
[解析] ∵f(x)＝ex ＋e －x ，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故选D. (理)(2013·东营质检)函数y ＝3x 与y ＝－3－x 的图象关于( )对称．( ) A ．x 轴 B ．y 轴
C ．直线y ＝x
D ．原点
[答案] D
[解析] ∵y ＝－3－x ，即－y ＝3－x ，将x 用－x 替换，y 用－y 替换，即得y ＝3x ，∴选D. 3．(2014·浙江绍兴一中月考)函数f(x)＝a|x ＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的关系是( )
A ．f(－4)>f(1)
B ．f(－4)＝f(1)
C ．f(－4)<f(1)
D ．不能确定 [答案] A
[解析] 由题意知a>1，∴f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由y ＝ax 的单调性知a3>a2，∴f(－4)>f(1)． 4．(2014·陕西理，7)下列函数中，满足“f(x ＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( ) A ．f(x)＝x 1
3 B ．f(x)＝x3 C ．f(x)＝(1
2)x D ．f(x)＝3x
[答案] D
[解析] 由于ax·ay ＝ax ＋y ，所以指数函数f(x)＝ax 满足f(x ＋y)＝f(x)f(y)，且当a>1时单调递增，0<a<1时单调递减，所以f(x)＝3x 满足题意．
5．(2014·新泰摸底)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝ax(a>0且a≠1)，且f(log 12 4)＝－
3，则a 的值为( ) A. 3 B ．3
C ．9
D ．32
[答案] A
[解析] ∵f(log 12 4)＝f(log21
4)＝f(－2)＝－f(2)＝－a2＝－3，∴a2＝3，解得a ＝±3，又a>0，
∴a ＝ 3. 6．(文)(2015·山东师大附中模拟)若函数f(x)＝loga(x ＋b)的大致图象如图，其中a ，b 为常数，则函数g(x)＝ax ＋b 的大致图象是( )
[答案] B
[解析] 由函数f(x)＝loga(x ＋b)的图象知f(x)为减函数，∴0<a<1，再由图象平移的知识知，0<b<1，故y ＝g(x)单调递减，g(0)＝b ＋1>1，故选B. (理)(2013·山师大附中期中)已知a>0，a≠1，函数y ＝logax ，y ＝ax ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图象可能是( )
[答案] C
[解析] 函数y ＝ax 与y ＝logax 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称，排除B ；a>1时，y ＝x ＋a 与y 轴交点在点(0,1)上方，排除A ；0<a<1时，y ＝x ＋a 与y 轴交点在点(0,1)下方，排除D ，故选C. 二、填空题
7．如图所示的算法流程图中，若f(x)＝2x ，g(x)＝x2，则h(3)的值等于________．
[答案] 9
[解析] 由程序框图可知，h(x)的值取f(x)与g(x)的值中较大的，∵f(3)＝23＝8，g(3)＝32＝9,9>8，∴h(3)＝9.
8．若函数f(x)＝⎩⎨
⎧
1
x ，x<0，
⎝⎛⎭
⎫13x ，x≥0.则不等式|f(x)|≥1
3的解集为________．
[答案] [－3,1]
[解析] f(x)的图象如图． |f(x)|≥13⇒f(x)≥13
或f(x)≤－1
3.
∴⎝⎛⎭
⎫13x≥13或1x ≤－13 ∴0≤x≤1或－3≤x<0，∴解集为{x|－3≤x≤1}．
9．(2015·河南省实验中学期中)如果函数f(x)的图象与函数g(x)＝(1
2)x 的图象关于直线y ＝x 对称，则f(3x －x2)的单调递减区间是________． [答案] (0，32]
[解析] 由条件知f(x)为g(x)的反函数，∴f(x)＝log 12 x ，∴y ＝f(3x －x2)＝log 12 (3x －x2)，由
3x －x2>0得0<x<3，又二次函数u ＝－x2＋3x 的对称轴为x ＝3
2，∴函数的单调递减区间为(0，32]． 三、解答题
10．(文)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x
4x ＋1.
(1)求f(x)在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f(x)在(0,1)上是减函数． [解析] (1)∵f(x)是R 上的奇函数， ∴f(0)＝0，
又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， ∴f(－x)＝2－x 4－x ＋1＝2x
1＋4x ，
∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－
2x
1＋4x
， ∴f(x)在(－1,1)上的解析式为
f(x)＝⎩⎨⎧
2x
4x ＋1
x ∈0，1，－2x 4x ＋1 x ∈－1，0，
0 x ＝0.
(2)当x ∈(0,1)时，f(x)＝2x
4x ＋1.
设0<x1<x2<1，
则f(x1)－f(x2)＝2x14x1＋1－2x2
4x2＋1
＝
2x2－2x12x1＋x2－1
4x1＋1
4x2＋
1
，
∵0<x1<x2<1，∴2x2－2x1>0,2x1＋x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，
故f(x)在(0,1)上是减函数． (理)(2014·吉安一中月考)设函数f(x)＝1＋ax ＋ma2x ，其中a>0且a≠1，m ∈R. (1)若a ＝1
2，m ＝1，请用定义证明f(x)单调递减； (2)若a ＝2，∀x≤1恒有f(x)>0，求m 的取值范围． [解析] (1)由条件知f(x)＝1＋(12)x ＋(1
2)2x ， 设x1、x2∈R 且x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝(12)x1－(12)x2＋(14)x1－(1
4)x2 ＝(12)x1[1－(12)x2－x1]＋(14)x1[1－(1
4)x2－x1]， ∵x2>x1，∴x2－x1>0，∴(12)x2－x1<1，(1
4)x2－x1<1， ∴1－(12)x2－x1>0,1－(1
4)x2－x1>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在R 上为单调递减函数． (2)a ＝2时，f(x)＝1＋2x ＋m·4x ， ∵x≤1，∴0<2x≤2，∴(12)x≥12， f(x)>0，即1＋2x ＋m·4x>0， ∴m>－1＋2x 4x ＝－(12)2x －(12)x ， 令t ＝(12)x ，则t≥12，
由条件知m>－t2－t(t≥1
2)恒成立， ∵t≥12时，－t2－t ＝－(t ＋12)2＋14≤－34， ∴m>－3
4.
一、选择题
11．(文)(2013·湖北黄石一模)函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ax2＋1，x≥0，
a2－1eax ，x<0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取
值范围是( )
A ．(－∞，－2]∪(1，2]
B ．[－2，－1)∪[2，＋∞)
C ．(1，2]
D ．[2，＋∞) [答案] A
[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，a2－1>0，1≥a2－1或⎩⎪⎨⎪
⎧
a<0，a2－1>0，1≤a2－1，
解得1<a≤2或a≤－2，故选A.
(理)(2014·安徽省示范高中第一次联考)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x －3a ，x<0，ax －2，x≥0.
(a>0且a≠1)是R 上的
减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，2
3]
B ．(0，1
3]
C ．(0,1)
D ．(0,2] [答案] B
[解析] 由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，可得
⎩⎪⎨⎪⎧
0<a<1，f 0＝a0－2≤－3a ，
解得0<a≤1
3.
[易错警示] 本题考查的是分段函数在R 上的单调性，要注意本题需满足a0－2≤－3a. 12．(文)(2014·江西适应性考试)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
－12x ，a≤x<0，
－x2＋2x ，0≤x≤4的值域是[－8,1]，则实数
a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－3]
B ．[－3,0)
C ．[－3，－1]
D ．{－3} [答案] B
[解析] 当0≤x≤4时，f(x)∈[－8,1]，当a≤x<0时，f(x)∈[－(12)a ，－1)，所以[－1
2a ，－1)[－8,1]，即－8≤－1
2a <－1，即－3≤a<0.
(理)(2013·天津模拟)设函数f(x)＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋a ，x>2，
x ＋a2，x≤2.若f(x)的值域为R ，则常数a 的取值范围是
( )
A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)
B ．[－1,2]
C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)
D ．[－2,1] [答案] A
[解析] ∵x>2时，f(x)＝2x ＋a>a ＋4， x≤2时，f(x)＝x ＋a2≤a2＋2，
欲使f(x)的值域为R ，应有a2＋2≥a ＋4，即a2－a －2≥0，∴a≤－1或a≥2，故选A. 13．(2014·湖北荆门月考)已知a>b>1,0<x<1，以下结论中成立的是( ) A ．(1a )x>(1
b )x B ．xa>xb C ．logxa>logxb D ．logax>logbx
[答案] D
[解析] ∵a>b>1,0<x<1，∴0<1a <1
b <1， ∴(1a )x<(1
b )x ，故A 不成立；
∵a>b>1,0<x<1，∴xa<xb ，故B 不成立； ∵a>b>1,0<x<1，
∴logxa<logxb ，故C 不成立；
∵logxa<logxb<0，∴logax>logbx ，故D 成立，故选D.
14．(文)函数f(x)＝1＋log2x 与g(x)＝2－x ＋1在同一直角坐标系内的图象大致是( )
[答案] C
[分析] 函数f(x)＝1＋log2x 的图象可由函数y ＝log2x 的图象变换得到；函数y ＝2－x ＋1可由函数y ＝(1
2)x 的图象变换得到．
[解析] f(x)＝1＋log2x 的图象是由y ＝log2x 的图象向上平移一个单位长度得到的；g(x)＝2－x ＋1＝(12)x －1的图象可由y ＝(1
2)x 的图象向右平移一个单位长度得到．
[点评] 幂、指数、对数函数的图象与性质是高考又一主要命题点，解决此类题的关键是熟记一次函数、二次函数，含绝对值的函数、基本初等函数的图象特征分布规律，相关性质，掌握平移伸缩变换和常见的对称特征，掌握识、画图的主要注意事项，学会识图、用图． (理)(2014·山东德州期末)函数y ＝xax
|x|(0<a<1)的图象的大致形状是( )
[答案] D
[解析] 因为y ＝xax |x|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ax ，x>0，－ax ，x<0，且0<a<1，所以根据指数函数的图象和性质，当x ∈(0，
＋∞)时，函数为减函数，图象下降；当x ∈(－∞，0)时，函数是增函数，图象上升，故选D. 15．(2015·濉溪县月考)已知定义在R 上的函数f(x)，g(x)满足f x
g x ＝ax ，且f ′(x)g(x)> f(x)g ′(x)，f 1g 1
＋f －1g －1
＝52.若有穷数列{f n g n }的前n 项和为Sn ，则满足不等式Sn>2015的最小正整数n 等于( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 [答案] D
[分析] 观察题中各条件可以发现，令F(x)＝f x g x ，则易知F ′(x)>0，F(1)＋F(－1)＝5
2，问题即讨论数列{an}的前n 项和Sn>2015在n 取何值时开始成立． [解析] 令F(x)＝f x
g x ，则F(x)＝ax ， F ′(x)＝1
g2
x [f ′(x)g(x)－f(x)g ′(x)]>0，
∴F(x)为增函数，∴a>1.
又F(1)＋F(－1)＝52，∴a ＋1a ＝5
2，
解之得a ＝2，∴F(x)＝2x ，F(n)＝f n
g n ＝2n.
由条件知22n －1
2－1
>2015，即2n ＋1>2017，∴n≥10，故选D.
二、填空题 16．(文)(2013·北京市房山区一模)设f(x)是定义在R 上不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f(x)·f(y)＝f(x ＋y)，若a1＝1
2，an ＝f(n)(n ∈N*)，则数列{an}的前n 项和的取值范围是________． [答案] [1
2，1)
[解析] ∵对任意x 、y ∈R 都有f(x)·f(y)＝f(x ＋y)，∴f(2)＝f 2(1)，f(3)＝f(2＋1)＝f(2)·f(1)＝f 3(1)，易知f(n)＝fn(1)，∵a1＝12，an ＝f(n)，∴an ＝(1
2)n ，
∴数列{an}的前n 项和Sn ＝12[1－12n]1－12
＝1－(12)n ∈[1
2，1)．
(理)(2013·湖南)设函数f(x)＝ax ＋bx －cx ，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①∀x ∈(－∞，1)，f(x)>0；
②∃x ∈R ，使ax ，bx ，cx 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f(x)＝0. [答案] (1){x|0<x≤1} (2)①②③
[解析] (1)∵c>a>0，c>b>0，a ＝b ，且a 、b 、c 不能构成三角形的三边，∴0<a ＋a≤c ，∴c
a ≥2， 令f(x)＝0得，ax ＋bx ＝cx ，∵a ＝
b ，∴2ax ＝cx ， ∴(
c a )x ＝2，∴x ＝log a c
log c a 2，∴1x ＝log2c
a ≥1，∴0<x≤1.
(2)①∵a 、b 、c 是三角形的三边长，∴a ＋b>c ，∵c>a>0，c>b>0，∴0<a c <1,0<b
c <1，∴当x ∈(－∞，1)时，f(x)＝ax ＋bx －cx ＝cx[(a c )x ＋(b c )x －1]>cx(a c ＋b
c －1)＝cx·a ＋b －c c >0，∴①正确； ②令a ＝2，b ＝3，c ＝4，则a 、b 、c 构成三角形的三边长，取x ＝2，则a2、b2、c2不能构成三角形的三边长，故②正确；
③∵c>a ，c>b ，△ABC 为钝角三角形，∴a2＋b2－c2<0， 又f(1)＝a ＋b －c>0，f(2)＝a2＋b2－c2<0， ∴函数f(x)在(1,2)上存在零点，③正确． 17．(2014·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax －a －x(x ∈R ，a>0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是________．(只需写出所有真命题的编号) ①函数f(x)的图象关于原点对称； ②函数f(x)在R 上不具有单调性； ③函数f(|x|)的图象关于y 轴对称；
④当0<a<1时，函数f(|x|)的最大值是0； ⑤当a>1时，函数f(|x|)的最大值是0. [答案] ①③④
[解析] ∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称，①对；当a>1时，f(x)在R 上为增函数，当0<a<1时，f(x)在R 上为减函数，②错；y ＝f(|x|)是偶函数，其图象关于y 轴对称，③对；当0<a<1时，y ＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f(|x|)的最大值为0，④对；当a>1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，
∴当x ＝0时，y ＝f(x)的最小值为0，⑤错．综上，真命题是①③④. 三、解答题
18．(文)(2013·山东聊城一模)设k ∈R ，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ，x>0，
ex ，x≤0，
F(x)＝f(x)＋kx ，x ∈R.
(1)k ＝1时，求F(x)的值域； (2)试讨论函数F(x)的单调性．
[解析] (1)k ＝1时，F(x)＝f(x)＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＋x ，x>0，
ex ＋x ，x≤0.
可以证明F(x)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)和(－∞，0]上递增，
又f(0)＝1，f(1)＝2，所以F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)． (2)F(x)＝f(x)＋kx ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1x ＋kx ，x>0，
ex ＋kx ，x≤0.
若k ＝0，则F(x)在(0，＋∞)上递减，在(－∞，0)上递增；
若k>0，则F(x)在(0，1k ]上递减，在(1
k
，＋∞)上递增，在(－∞，0)上递增．
若k<0，则F(x)在(0，＋∞)上递减．
当x≤0时，F ′(x)＝ex ＋k ，若F ′(x)>0， 则x>ln(－k)，若F ′(x)<0，则x<ln(－k)．
若k≤－1，－k≥1，则F(x)在(－∞，0]上递减， 若－1<k<0,0<－k<1，则F(x)在(－∞，ln(－k))上递 减，在(ln(－k)，0)上递增．
(理)定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则
称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·⎝⎛⎭
⎫12x ＋⎝⎛⎭
⎫14x.
(1)当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，
请说明理由；
(2)若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f(x)＝1＋⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭
⎫14x. 因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，
即f(x)在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M 成立． 所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立． ∴－3≤f(x)≤3，即－4－⎝⎛⎭⎫14x≤a·⎝⎛⎭⎫12x≤2－⎝⎛⎭
⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x≤a≤2·2x －⎝⎛⎭
⎫12x 在[0，＋∞)上恒成立，
设2x ＝t ，h(t)＝－4t －1t ，p(t)＝2t －1
t ， 由x ∈[0，＋∞)得t≥1， 设1≤t1<t2，h(t1)－h(t2)＝t2－t1
4t1t2－1
t1t2
>0 p(t1)－p(t2)＝
t1－t2
2t1t2＋1
t1t2
<0 所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，
h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，
——————————新学期新成绩新目标新方向——————————所以实数a的取值范围为[－5,1]．
桑水。