2020届江西省赣州市石城县石城中学高三下学期第一次月考数学(理)试卷

2020届江西省赣州市石城县石城中学高三下学期第一次月考数学（理）
试卷
一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A = {2|650x x x -+≤x | }， B = {x | y =|x y =}， A I
B = （ ）
A ． [1, +∞)
B ． [1, 3]
C ． (3, 5]
D ． [3, 5]
2.设复数z 满足1i z z -=-(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ). A.y x =- B.y x = C.()()2
2
111x y -+-= D.()()2
2
111x y +++=
3.“1a =”是“直线10x y ++=和直线()2
220a x a y -++=相互垂直”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-2
5.函数22cos x x
y x x
--=-的图象大致为( ).
6．5
122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中23x y 的系数是( ) A ．5
B ．－5
C ．－20
D ．20
7．设抛物线2
:12C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>u u u v u u u u v
，
若4MF =，则λ的值（ ） A ．
32
B ．2
C ．5 2
D ．3
8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为( )
A ．180
B ．200
C ．128
D ．162
9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1,2]上是减函数，
令ln 2a =，1
21()4
b -=，12log 2
c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）
A ．()()()f b f c f a <<
B ．()()()f a f c f b <<
C ．()()()f c f b f a <<
D ．()()()f c f a f b <<
10.已知函数()4sin(
)cos(
)(0)2
2x
x
f x ωωω=•>在区间2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )
A.(]0,1
B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
D.13,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
11．在四棱锥A BCDE -中，ABC △是边长为6的正三角形，BCDE 是正方形，平面ABC ⊥平面BCDE ，则该四棱锥的外接球的体积为 （ ） A
．
B
．
C
．
D ．84π
12.已知函数()f x 的定义域为R ，11
22
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对任意的x R ∈满足()4f x x '>.当[0,2]απ∈时，不等
式(sin )cos210f a a +->的解集为( )
A ． 711,66ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ B ． 45,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ C ． 2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知两个单位向量12,e e u r u u r
，满足122e e -=u r u u r 12,e e u r u u r
的夹角为____
14.若函数7,2()3log ,2
a x x f x x x -+<⎧=⎨
+≥⎩的值域是(5,)+∞，则实数a 的取值范围是________. 15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑
八卦)，每一卦由三根线组成(“ "表示一根阳线，“ ” 表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．
16．已知双曲线()22
2210,0y x a b a b
-=>>的上焦点为F ，上、下顶点分别为A ，B ，过点F 作y 轴的垂
线与双曲线交于P ，Q 两点，QF 的中点为N ，连接PB 交x 轴于点M ，若M ，A ，N 三点共线，则双曲线的离心率为______.
三、解答题：本大题共6大题，17-21每题12分，选做题10分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在ABC V 中，角A B C 、、所对边的长分别为a b c 、、，且cos cos sin A B C
a b c
+=
(1)求
sinC
sinA sinB
g 的值；
(2)若ABC V 的面积1
4
S =，ABC V 的外接圆的直径为1，求ABC V 的周长L .
18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，点O 为AD 的中点，90APD ︒∠=且
AD PB =.
（1）求证：OB ⊥平面PAD ；
（2）若AD PB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值.
19.（12分）已知12,F F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N 是平面内两点，
满足122F M MF =-u u u u r u u u u r
，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若与圆22
1x y +=相切的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅u u u r u u u r （其中O 为坐标原点)的取值范围. 20.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个项目可以选择，若投资甲项目一年后可获得利润1X （万元）的概率分布列如表所示： 且1X 的期望为1()120E X =万元；若投资乙项目一年后可获得的利润2X （万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品价格的调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为(01)P p <<和1P -，若乙项目一年内调整的次数X 与2X 的关系如表所示：
（1）求,a b 的值； （2）求2X 的分布列
（3）若该公司投资乙项目一年后能获得较甲项目更多的利润，求P 的取值范围。

21.已知(1)2ln(1)(1)k
f x x k x x
-=--
+> （1）判断当10k -≤≤时()f x 的单调性；
（2）若1212,()x x x x ≠为()f x 的两个极值点，求证[][]12()()(1)()22x f x f x x f x x +≥++- 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。

22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αα
αα
=+⎧⎨=-⎩（α为参数）．
（1）求曲线C 的普通方程；
（2）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 1
sin 042
πθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，已知直线
l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB ．
23．设函数()f x x a =-.
(1)当2a =时，解不等式()41f x x ≥--； (2)若()1f x ≤的解集为[0,2]，
11
2a m n
+=(0,0m n >>)，求证：24m n +≥
数学（理科）答案
13.
14.(1,2) 15.
16 .3
三、解答题 17.解：()1cos cos sin A B C a b c +=Q
，由正弦定理可得cos cos sin sin sin sin A B C
A B C
+=
即
cos sin cos sin 1sin sin A B B A A B +=，即sin 1
sin sin C
A B =⋅ （5分）
(2)ABC QV 外接圆直径为1，,,a sinA b sinB c sinC ∴===，又由(1)得sinC sinA sinB c ab =∴=g ，
∴ABC V 的面积21111
2224
S absinC csinC c =
===，2sin c C ∴== 由余弦定理得2222222222a b abcosC c ccosC c sinCcosC c sin C c +=+=+=+=+
2312c =±+=
或12-（12
-舍）()()2222
12121a b c ab c c c +=++=++=+∴
ABC V 的周长.2121L a b c c =++=+=+ （12分）
18.（1）证明：连结OP ，BD ，因为底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=， 故AD AB BD ==，又O 为AD 的中点，故OB AD ⊥． 在APD △中，90APD ︒∠=，O 为AD 的中点，所以1
2
PO AD AO ==． 设2AD PB a ==，则3OB a =
，PO OA a ==，
因为22222234PO OB a a a PB +=+==，
所以OB OP ⊥．（也可通过POB AOB ∆≅∆来证明OB OP ⊥），
又因为OP AD O =I ，OP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以OB ⊥平面PAD ； （5分） （2）因为AD PB ⊥，AD OB ⊥，
OB PB B =I ，PB ⊂平面POB ，PB ⊂平面POB ，
所以AD ⊥平面POB ，又PO ⊂平面POB ，所以PO AD ⊥．
由（1）得OB ⊥平面PAD ，又OP ⊂平面PAD ，故有OP OB ⊥，又由AD OB ⊥， 所以OA ，OB ，OP 所在的直线两两互相垂直．
故以O 为坐标原点，以OA ，OB ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴如图建系． 设2AD =，则()1,0,0A ，()1,0,0D -，()
0,
3,0B
，()0,0,1P ．
所以()0,3,1PB =-u u u v ，()2,0,0BC AD ==-u u u v u u u v
，()
0,3,0OB =u u u v ，
由（1）知OB ⊥平面PAD ，
故可以取与OB uuu v 平行的向量()0,1,0n =r
作为平面PAD 的法向量．
设平面PBC 的法向量为(),,m x y z r =，则20
30m BC x m PB y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
u u u
v r u u u v
r ，
令1y =，所以(m =r
．
设平面PBC 与平面PAD 所成二面角为θ，则1cos cos<,||||2
m n m n m n θ⋅=>==r r r r
r r
，
则sin θ=
，所以平面PBC 与平面PAD （12分） 20．【解析】（1）连接2PF ,Q 122F M MF =-u u u u r
u u u u r
,∴122F F F M =u u u u r
u u u u u r
，
∴2F 是线段1F M
的中点，Q P 是线段1F N 的中点，∴21
//2
PF MN
=，
由椭圆的定义知，12||||2PF PF a +=，
∴1F MN
△周长为111212||||||2(||||||)4412NF MN FM FP PF FF a c ++=++=+=，
由离心率为1
2
知，
1
2
c a =，解得2,1a c ==，∴2223b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=.（4分）
（2）当直线l 的斜率不存在时，直线1x =±，代入椭圆方程
22
143
x y +=解得32y =±，
此时
95
144
OA OB ⋅=-=-u u u r u u u r ，（5分） 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+， 由直线l 与圆221x y +=
1=，221m k ∴=+，（6分）
将直线l 方程y kx m =+代入椭圆C 的方程2234120x y +-=整理得， 222(34)84120k x kmx m +++-=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k -=+，
222222(8)4(34)(412)48(43)4832)0km k m k m k ∆=-+-=-+=+（＞，（8分）
1212()()y y kx m kx m =++=2222222
2
2
1212222
(412)8312()343434k m k m m k k x x km x x m m k k k --+++=-+=+++，
2221212224123123434m m k OA OB x x y y k k --⋅=+=+++u u u r u u u r 22222271212
5555344341612
m k k k k k --+==-=--+++，
Q 2161212k +≥，∴
2
110161212
k <
+≤，∴255
0121612k --<+≤， ∴
55
34
OA OB -⋅-u u u r u u u r ≤＜，（11分） 综上所述，OA OB ⋅u u u r u u u r 的取值范围为55
[,]34
--.（12分）
20.解：由题意得:0.41,1101200.4170120a b a b ++=+⨯+= 解得0.5,0.1a b == （3分）
（2）2X 的可能取值为41.2,117.6,204
[](41.2)(1)1(1)(1)
P P P P P =---=-
[]22
(117)1(1)(1)(1)(1)P P P P P P p =--+--=+-
(204)(1)P P P =- 所以2X 的分布列为
（8分）
（3）由（2）得222
2()41.2(1)117.6(1)204(1)1010117.6E X P p P P P P P P ⎡⎤=-++-+-=-++⎣⎦
由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润 所以21()()E X E X > 21010117.6120P P ∴-++>
解得0.40.6p << p ∴的取值范围为()0.4,0.6 （12分） 21. 解：(1)因为(1)
(1)2ln(1)(1)k x f x x x x
--=-+> 所以()2ln (0)1
kx
f x x x x =+
>+ 22
2
22(4)2
()(1)(1)k x k x f x x x x x +++'=+=++ （2分） 当10k -≤≤时2
(4)16(8)0,k k k ∆=+-=+≤2
2(4)20x k x +++>恒成立。

所以()f x 在定义域上为单调增函数 （5分）
(2) 证明：222
22(4)2
()(1)(1)
k x k x f x x x x x +++'=+=++Q 由题设知()0f x '=有两个不相等的实数根12,x x 则
12
122402
10
8(4)160k x x x x k k +⎧
+=->⎪⎪
•=>⇒<-⎨⎪∆=+->⎪⎩
（7分） 而12121212121212()()2ln 2ln 2ln()()1111
kx kx x x
f x f x x x x x k x x x x +=+
++=++++++ 1212
12121222ln()(
)1
x x x x x x k k x x x x ++=+•=+++ （9分）
又
[]
(1)()2ln x f x x k x
+-=，故欲证原不等式成立等价于证明不等式： []
[](1)()2ln (1)
()2(1)x f x x x f x x x
x
+-+≥
-- （10分） 也就是要证明：对任意0x >，有ln 1x x ≤-， （11分） 令()ln 1(0)g x x x x =-+>，由于(1)0g =，并且1()1g x x
'=- 当1x >时，()0,g x '<则()g x 在(1,)+∞上是减函数， 当01x <<时，()0,g x '>则()g x 在(0,1)上是增函数
则()g x 在(0,)+∞上有最大值(1)0g =，即()0g x ≤，故原不等式成立 （12分）
22．解：（1）由sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩得2212sin cos 12sin cos x y αααα
⎧=+⎨=-⎩，将两式相加得22
2x y +=，
故曲线C 的普通方程为2
2
2x y +=； 4分
（21
sin 042
πθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭得1cos sin 02ρθ-ρθ+=，
（3）化为直角坐标方程为1
02
x y -+
=， 6分
圆心到直线l 的距离
1
4d ==
， 8分
由垂径定理得AB == 10分 23．(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4. 当x ≥2时，原不等式化为2x －3≥4，解得x ≥72，所以x ≥7
2
； 当1≤x ＜2时，原不等式化为1≥4，无解； 当x <1时，原不等式化为3－2x ≥4， 解得x ≤－
12，所以x ≤－1
2
. 4分 所以原不等式的解集为17,,22⎛
⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣
⎭
U .
(2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1， 而f (x )≤1的解集是[0,2]，
所以
10
12
a
a
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得a＝1，所以
11
2
m n
+＝1(m>0，n>0)．
所以m＋2n＝(m＋2n)
11
2
m n
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＝2＋
2
24
2
n m
m n
+≥+=，
当且仅当m＝2n时，等号成立。