《一元一次不等式的解法》 讲义

《一元一次不等式的解法》讲义
一、一元一次不等式的定义
在数学的世界里，我们常常会遇到各种各样的式子，其中一元一次不等式就是一个重要的成员。

那么，到底什么是一元一次不等式呢？
一元一次不等式，简单来说，就是含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，同时用不等号（大于“＞”、小于“＜”、大于等于“≥”、小于等于“≤”）连接的式子。

比如，3x ＞ 5 ，2y ＋ 1 ＜ 7 ，4z 3 ≥ 2 等等，这些都是一元一次不等式。

二、一元一次不等式的解法步骤
要想解决一元一次不等式，就得按照一定的步骤来，就像我们按照菜谱做菜一样，一步一步来，才能做出美味的菜肴。

第一步：去分母（如果有分母的话）
这一步的目的是为了消除分数，让式子变得更简洁。

怎么做呢？我们找到分母的最小公倍数，然后给不等式两边同乘这个最小公倍数。

举个例子，对于不等式（x ＋ 1)／2 ＞ 3 ，分母 2 和 1 的最小公倍数是 2 ，所以我们给不等式两边同时乘以 2 ，得到 x ＋ 1 ＞ 6 。

第二步：去括号（如果有括号的话）
如果不等式中有括号，我们就需要运用乘法分配律把括号去掉。

比如，对于 2(x 3) ＜ 5 ，我们使用乘法分配律，得到 2x 6 ＜ 5 。

第三步：移项
把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边。

记住，移项的时
候要变号哦！
比如，对于 3x ＋ 5 ＞ 8x 1 ，我们把 8x 移到左边，变成 3x 8x ＞
－1 5 。

第四步：合并同类项
把同类项合并起来，让式子更简单。

接着上面的例子，3x 8x ＞－1 5 ，合并同类项得到－5x ＞－6 。

第五步：系数化为 1
这是最关键的一步，我们要根据不等式两边同时除以一个正数或负数，不等号方向是否改变来进行操作。

如果不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变；如果除以一
个负数，不等号方向要改变。

比如，对于－5x ＞－6 ，两边同时除以－5 ，因为除以的是负数，所以不等号方向改变，得到 x ＜ 6/5 。

三、解一元一次不等式的注意事项
在解一元一次不等式的过程中，有一些小细节需要我们特别注意，
不然就容易出错哦！
1、去分母时，要注意给每一项都乘以最小公倍数，不要漏乘。

2、移项时，一定要变号，千万别忘记。

3、系数化为 1 时，要注意不等号方向是否改变。

四、一元一次不等式的解集
解一元一次不等式的结果，我们叫做解集。

解集可以用区间的形式
表示，也可以用数轴来表示。

比如，x ＜ 3 ，用区间表示就是（∞， 3) ，用数轴表示就是在数轴
上把 3 这点画空心圆圈（因为不包括 3 ），然后从 3 往左的方向画一
条线。

五、一元一次不等式的应用
一元一次不等式在我们的生活中有着广泛的应用。

比如，在购物时，我们可以根据预算来确定购买商品的数量范围；在安排工作时，可以
根据工作时间和任务量来确定人员的数量范围。

例如，某工厂要生产一批零件，已知每个工人每天能生产 10 个零件，现需要生产的零件数量不少于 100 个，而工作时间不能超过 10 天，那么至少需要安排多少个工人？
设需要安排 x 个工人，根据题意可列出不等式10x ≥ 100 ，解得x ≥ 10 。

所以至少需要安排 10 个工人。

六、一元一次不等式与一元一次方程的联系与区别
一元一次不等式和一元一次方程有很多相似的地方，也有一些不同之处。

相似点：
1、都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 。

2、解法的前几步，比如去分母、去括号、移项、合并同类项，基本相同。

不同点：
1、一元一次方程的解是一个确定的值，而一元一次不等式的解是一个范围。

2、解一元一次方程时，等号两边同乘或同除一个数，结果不变；解一元一次不等式时，同乘或同除一个正数，不等号方向不变，同乘或同除一个负数，不等号方向改变。

七、练习题
为了更好地掌握一元一次不等式的解法，我们来做几道练习题吧！
1、解不等式 2(x ＋ 5) 3(2x 1) ＞ 11 。

2、已知 x ＋ 3 ＜ 2x ＋ 1 ，求 x 的取值范围。

3、某商场促销，一件商品原价为 x 元，现打 8 折出售，价格不低于 50 元，求这件商品原价的范围。

八、总结
通过以上的学习，我们对一元一次不等式的解法有了比较全面的了解。

只要我们按照步骤，注意细节，多做练习，就一定能够熟练掌握一元一次不等式的解法，并且能够运用它来解决生活中的实际问题。

加油，相信大家都能学好这部分知识！。