2017-2018学年高二数学上学期第五周圆的习题课教学设计

例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ．
设圆心到直线01143=-+y x 的距离为，则324311
343322<=+-⨯+⨯=d ．
如图，在圆心同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．
又123=-=-d r ．
∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．
设所求直线为043=++m y x ，则14311
22=++=m d ，
∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即
06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．
设圆9)3()3(2
21=-+-y x O ：的圆心到直线、的距离为、，则 3436
3433221=+-⨯+⨯=d ，14316
3433222=+-⨯+⨯=d ．
∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心到直线01143=-+y x 的距离为，则324311
343322<=+-⨯+⨯=d ．
∴圆到01143=-+y x 距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
例 3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．
∵圆心在0=y 上，故0=b ．
∴圆的方程为222)(r y a x =+-．
又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r
a r a 解之得：1-=a ，202=r ．
所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心必在线段AB 的垂直平分线上，又因为13
124-=--=AB k ，故的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．
又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++==AC r ．
故所求圆的方程为20)1(22=++y x ．。