直觉对偶犹豫模糊集的集结算子及其应用

直觉对偶犹豫模糊集的集结算子及其应用
吴婉莹;何迎东;郭甦;陈华友;周礼刚
【摘要】In the intuitionistic dual hesitant fuzzy set , the definition and the basic operation laws of the intuitionistic dual hesitant fuzzy set were proposed based on the definition of dual hesitant fuzzy set .The arithmetic weighted averaging operator and geometric weighted averaging operator of intuitionistic dual hesitant fuzzy set were constructed ; then the corresponding formula were presented while the order and general situation were taken into consideration .At the same time, for some special properties of the operators , the detailed description and proof were
given .A new multi-attribute group decision making method was pro-posed for fuzzy set .The method was based on set operators of intuitionistic dual hesitant fuzzy set .The operators are practical and effective to solve multi-attribute group decision making problem .%在对偶犹豫模糊集与直觉模糊集的基础上，提出了直觉对偶犹豫模糊集的概念和基本运算，构造了直觉对偶犹豫模糊集的算术加权平均集结算子和几何加权平均算子，并考虑有序和广义的情况，分别给出相对应的公式。

同时针对某些算子的特殊性质，给出了详细描述和证明。

针对模糊集的多属性群决策问题，提出了一种新的基于直觉对偶犹豫模糊集的集结算子的多属性群决策方法，通过一个实例说明了该方法的实用性和有效性。

【期刊名称】《武汉理工大学学报（信息与管理工程版）》
【年(卷),期】2014(000)002
【总页数】4页(P225-228)
【关键词】对偶犹豫模糊集;直觉模糊集;算术加权平均算子;几何加权平均算子
【作者】吴婉莹;何迎东;郭甦;陈华友;周礼刚
【作者单位】安徽大学数学科学学院，安徽合肥 230601;安徽大学数学科学学院，安徽合肥 230601;安徽大学数学科学学院，安徽合肥 230601;安徽大学数学科
学学院，安徽合肥 230601;安徽大学数学科学学院，安徽合肥 230601
【正文语种】中文
【中图分类】O224
直觉对偶犹豫模糊集建立在直觉模糊集［1－2］与对偶犹豫模糊集［3］的基础上，用一个实数对构成的集合表示隶属度与非隶属度。

将直觉对偶犹豫模糊集运用到决策过程中是非常实用的，可以更加具体地描述模糊性的本质，对事物属性的描述提供了更多的方式，使得在处理不确定信息时具有更强的表现能力。

多属性群决策［4－5］广泛存在于社会、经济和管理等领域，其实质就是利用已
有的决策信息，通过一定的方式对一组备选方案进行排序或择优。

模糊多属性决策已成为当前国内外研究的一个热点。

笔者首先提出直觉对偶犹豫模糊集的概念，并在直觉对偶犹豫模糊集定义的基础上构造其基本运算，接着给出直觉对偶犹豫模糊集的加权平均集结算子［6－9］，
最后，将直觉对偶犹豫模糊集的加权平均集结算子应用到多属性群决策中，给出多属性群决策方法，并通过实例说明该方法的可行性和有效性。

1 模糊集定义及运算
定义1 令X是一个固定的集合，X上的直觉模糊集A定义如下:
式中，μA(x):X→［0，1］和νA(x):X→［0，1］分别为A的隶属函数和非隶属函数，且对任意的x∈X，0≤μA(x)+νA(x)≤1。

对于 X 中的每个直觉模糊集，称
πA(x)=1－μA(x)－νA(x)为x在A中的犹豫度，表示x对A的犹豫程度。

显然，
对于任意的x∈X，有0≤πA(x)≤1。

定义2［10－11］令 X为一个给定的集合。

形如A={＜x，hA(x)＞|x∈X}的二元组称为X上的犹豫模糊集(HFS)。

其中，hA(x)为由区间［0，1］上若干个不同
的数构成的集合，表示元素x属于A的若干种可能隶属度构成的集合。

为了书写
方便，记hA(x)为犹豫模糊元(HFE)。

定义3 令X是一个固定的集合，在X上的对偶犹豫模糊集H定义为:
其中，f(x)和 g(x)是两个集合，f(x)⊂［0，1］，g(x)⊂［0，1］，f(x)为x∈H
的可能隶属度，g(x)为x∈H的可能非隶属度。

为方便起见，称H(x)=(f(x)，g(x))为对偶犹豫模糊元，简记为H=(f，g)。

定义4 令X为一个给定的集合，在X上的直觉对偶犹豫模糊集A定义为:
其中，HA(x)为由若干个不同的实数对(fA(x)，gA(x))组成的集合，fA(x):X→［0，1］为A的隶属函数，gA(x):X→［0，1］为A的非隶属函数，且对任意的x∈X，0≤fA(x)+gA(x)≤1。

为方便起见，称h=HA(x)是一个直觉对偶犹豫模糊元。

定义5 设X上的直觉对偶犹豫模糊集A={＜x，HA(x) ＞|x∈X}，犹豫度
πA(x)为由区间［0，1］上若干个不同的数构成的集合，πA(x)=1－fA(x)－gA(x)。

显然，对于任意的x∈X，有0≤πA(x)≤1。

定义6 设A、A1、A2是论域X上的3个直觉对偶犹豫模糊集，则直觉对偶犹豫
模糊集的基本运算法则如下:
为了比较两个直觉对偶犹豫模糊元的大小，引入直觉对偶犹豫模糊元的得分函数。

定义7 设X上的直觉对偶犹豫模糊元h=HA(x)，其得分函数定义为，其中#h 为 h 中的元素个数。

对于两个直觉对偶犹豫模糊元h1和h2，若s(h1) ＞
s(h2)，则h1＞ h2;若s(h1) =s(h2)，则 h1=h2。

2 直觉对偶犹豫模糊集的集结算子
XU和YAGER曾给出了直觉模糊集的有序加权平均算子(OWA)，有序加权几何平均算子，有序加权调和平均算子，以及广义的有序加权平均算子。

在这些理论基础上，这里给出直觉对偶犹豫模糊集的一些集结算子。

定义8 设hi(i=1，2，…，n)是论域 X上的一组直觉对偶犹豫模糊元，直觉对偶犹豫模糊集的一些集结算子如下:
(1)直觉对偶犹豫模糊算术加权平均算子:
(2)直觉对偶犹豫模糊有序加权算术平均算子:
(3)广义的直觉对偶犹豫模糊有序加权算术平均算子:
(4)直觉对偶犹豫模糊加权几何平均算子:
(5)直觉对偶犹豫模糊有序加权几何平均算子:
(6)广义直觉对偶犹豫模糊有序加权几何平均算子:
式中:hσ(j)为 hi(i=1，2，…，n) 中第 j大的数;λ ＞ 0;w=(w1，w2，…，wn)T
为 h1，h2，…，hn的权重向量，满足wj∈［0，1］，j=1，2，…，n，且
定理1 直觉对偶犹豫模糊加权几何平均算子具有以下性质:
(1)单调性。

设是两个直觉对偶犹豫模糊元，若对任意的i，有
(2)幂等性。

设(h1，h2，…，hn)为直觉对偶犹豫模糊元，若对任意的i，有hi=h，则IDHFWG(h1，h2，…，hn)=h。

(3)介值性。

直觉对偶犹豫模糊加权几何平均算子介于 max算子与 min算子之间，即min(hi)≤IDHFWG(h1，h2，…，hn)≤max(hi)。

其中max(hi)={max fi，min gi} ，min(hi)={min fi，max gi}。

(4)若 w=(1/n，1/n，…，1/n)T，则相应的直觉对偶犹豫模糊加权几何平均算子
即为几何平均算子:
证明，结合直觉对偶犹豫模糊集的得分函数可得 IDHFWG(h1，h2，…，hn) ≤IDHFWG(h^1，h^2，…，h^n)。

(4)将权重 w=(1/n，1/n，…，1/n)T代入直觉对偶犹豫模糊加权几何平均算子的计算公式即可。

3 直觉对偶犹豫模糊集的多属性群决策
在实际问题中，为了保护决策者的隐私以及避免相互影响，往往采取匿名的形式，如总统选举或论文盲审。

这里，将直觉对偶犹豫模糊集的集结算子应用于匿名的多属性群决策中［12］。

假设Yi(i=1，2，…，m) 为方案集，Gj(j=1，2，…，n)为属性集，权重向量为 w=(w1，w2，…，wn)T。

决策者采取匿名的形式对方案Yi
在属性Gj给出评价值，且评价值以直觉对偶犹豫模糊元hij的形式给出。

通过1
个实例说明具体的决策方法。

例如银行打算贷款给公司进行运作，在对市场进行考察后，有3家公司在考虑范
围内:①制药公司Y1;②食品公司Y2;③家具公司Y3。

在进行对比时，主要考虑以
下3个方面:①短期收益G1;②长期收益G2;③投资风险G3。

专家组由3名成员组成，每位成员均采取直觉对偶犹豫模糊元的形式表达自己的观点。

结果如表1所示，属性的权重向量 w=(0.33，0.41，0.26)T。

(1)为了避免相互影响，决策者采取匿名的方式给出评价值，决策矩阵
H=(hij)m×n如表1所示，hij均为直觉对偶犹豫模糊元的形式，表示方案Yi在属性Gj下的评价值。

(2)使用GIDHFOWA算子和GIDHFOWG算子对方案Yi的属性值进行集结，取
λ=2，得到相应的直觉对偶犹豫模糊元hi(i=1，2，…，m)。

(3)计算得分函数s(Yi)的值，GIDHFOWA算子的结果为:s(Y1)=0.7876，
s(Y2)=0.8554，ns(Y3)=0.833 6;GIDHFOWG 算子的结果为:s(Y1)=0.656 8，s(Y2)=0.847 8，s(Y3)=0.798 5。

表1 决策矩阵G1 G2 G3 Y1{(0.5，0.3)，(0.5，0.5)，(0.6，0.2)}{(0.7，0.2)，(0.6，0.3)，(0.4，0.5)}{(0.6，0.2)，(0.5，0.3)，(0.4，0.5)}Y2{(0.4，0.5)，(0.6，0.2)，(0.3，0.5)}{(0.7，0.1)，(0.8，0.2)，(0.4，0.2)}{(0.3，0.2)，(0.5，0.1)，(0.8，0.1)}Y3{(0.6，0.1)，(0.4，0.2)，(0.6，0.2)}{(0.5，0.2)，(0.6，0.3)，(0.7，0.2)}{(0.7，0.1)，(0.5，0.3)，(0.3，0.4)}
(4)将s(Yi)的值按照降序进行排列s(Y2)＞s(Y3)＞s(Y1)，则得到最优方案为投资食品公司是Y2。

在直觉模糊集环境下，根据集结算子和得分函数的运算，得到最优
方案也是Y2。

4 结论
笔者给出了直觉对偶犹豫模糊集的定义，构造了其基本运算，提出了直觉对偶犹豫模糊集的信息集结算子，并将其应用于解决多属性群决策问题，通过一个实例说明该方法的实用性和可行性。

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