24.4 解直角三角形第1课时 初中数学华东师大版九年级上册教学课件
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第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形 第1课时
学习目标
1.会运用勾股定理解直角三角形；（重点） 2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三
角形；（重点） 3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点）
观察与思考
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中 ∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
AB
6
α A 2.4 C
A B 90 B 90 A 90 66 24
问题（2）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地 面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（2）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，
斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
由 sin A BC 得
B
C
课堂小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a2
b2
c
2（勾股定理） A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
b
c
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
Ca
B
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边ຫໍສະໝຸດ a ctan对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地
面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC
＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于 cos a AC 2.4 0.4 AB 6
B
利用计算器求得
a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与
α
A
C
地面所成的角大约是66°.
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示 意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出 直角三角形.
AB
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
B
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素 的过程．
事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素．
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2
CAD 30
A 6 43
因为AD平分∠BAC
CD
B
CAB 60, B 30
AB 12, BC 6 3
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 ， b = 20 ;
B
解：根据勾股定理
c a2 b2 302 202 10 13 tan A a 30 3 1.5
A
b
c
Ca B
当堂练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6 ，
解这个直角三角形.
解： tan A BC 6 3 AC 2
A 60
A
2
C
6
B
B 90 A 90 60 30
AB 2AC 2 2
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分 线 AD 4 3 ，解这个直角三角形.
(1) 三边之间的关系:a2+b2=___c_2_；
B
c
a
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=__9_0_°_； A
b
C
a
b
(3)边角之间的关系：sinA=___c__，cosA=___c__，
a
tanA=____b_.
已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用
比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直
α=75°
A
C
A B 90 B 90 A 90 75 15 .
在图中的Rt△ABC中，
（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？ B
AB2 AC 2 BC 2 BC AB2 AC 2 62 2.42 5.5
6
cos A AC cos A 2.4 0.4 A 66
b 20 2
A 56.3 B 90 A 90 56.3 33.7
c a=30
A b=20 C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； (2) ∠B＝72°，c = 14.
解： sin B b c
b c sin B 14 sin 72 13.3
cos B a c
中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点
C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝
54.5m.
CB
sin A BC 5.2 0.0954 AB 54.5
所以∠A≈5°28′
A
可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直
中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成 的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少 （精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ （2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
已知一边和一锐角解直角三角形
在图中的Rt△ABC中，
（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？ sin A BC BC AB sin A 6 sin 75 AB
B 6
cos A AC AC AB cos A 6 cos 75 AB
a c cos B 14 cos 72 4.33
A c=14 b B aC
A 90 72 18
4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾 斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险， 那么梯子的长至少为多少米? 解：如图所示，依题意可知，当∠B=60°时，
A
答：梯子的长至少3.5米
24.4 解直角三角形 第1课时
学习目标
1.会运用勾股定理解直角三角形；（重点） 2.会运用直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三
角形；（重点） 3.能够把实际问题转化成解直角三角形的问题.（难点）
观察与思考
在Rt△ABC中，共有六个元素（三条边，三个角），其中 ∠C=90°，那么其余五个元素之间有怎样的关系呢？
AB
6
α A 2.4 C
A B 90 B 90 A 90 66 24
问题（2）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地 面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
问题（2）可以归结为：在Rt △ABC中，已知∠A＝75°，
斜边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
由 sin A BC 得
B
C
课堂小结
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系
a2
b2
c
2（勾股定理） A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
（3）边角之间的关系
b
c
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
b c
Ca
B
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边ຫໍສະໝຸດ a ctan对于问题（1），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地
面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC
＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
由于 cos a AC 2.4 0.4 AB 6
B
利用计算器求得
a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与
α
A
C
地面所成的角大约是66°.
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想.
方法：把数学问题转化成解直角三角形问题，如果示 意图不是直角三角形，可添加适当的辅助线，构造出 直角三角形.
AB
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
B
α
A
C
所以 BC≈6×0.97≈5.8
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素 的过程．
事实上，在直角三角形的六个元素中， 除直角外，如果再知道两个元素（其 中至少有一个是边），这个三角形就 可以确定下来，这样就可以由已知的 两个元素求出其余的三个元素．
解：cos CAD AC 6 3
AD 4 3 2
CAD 30
A 6 43
因为AD平分∠BAC
CD
B
CAB 60, B 30
AB 12, BC 6 3
3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；
（1）a = 30 ， b = 20 ;
B
解：根据勾股定理
c a2 b2 302 202 10 13 tan A a 30 3 1.5
A
b
c
Ca B
当堂练习
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6 ，
解这个直角三角形.
解： tan A BC 6 3 AC 2
A 60
A
2
C
6
B
B 90 A 90 60 30
AB 2AC 2 2
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分 线 AD 4 3 ，解这个直角三角形.
(1) 三边之间的关系:a2+b2=___c_2_；
B
c
a
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=__9_0_°_； A
b
C
a
b
(3)边角之间的关系：sinA=___c__，cosA=___c__，
a
tanA=____b_.
已知两边解直角三角形及解直角三角形的应用
比萨铁塔倾斜问题，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直
α=75°
A
C
A B 90 B 90 A 90 75 15 .
在图中的Rt△ABC中，
（2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？ B
AB2 AC 2 BC 2 BC AB2 AC 2 62 2.42 5.5
6
cos A AC cos A 2.4 0.4 A 66
b 20 2
A 56.3 B 90 A 90 56.3 33.7
c a=30
A b=20 C
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； (2) ∠B＝72°，c = 14.
解： sin B b c
b c sin B 14 sin 72 13.3
cos B a c
中心线的夹角为∠A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点
C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝
54.5m.
CB
sin A BC 5.2 0.0954 AB 54.5
所以∠A≈5°28′
A
可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直
中心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成 的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少 （精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？ （2）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
已知一边和一锐角解直角三角形
在图中的Rt△ABC中，
（1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角
形的其他元素吗？ sin A BC BC AB sin A 6 sin 75 AB
B 6
cos A AC AC AB cos A 6 cos 75 AB
a c cos B 14 cos 72 4.33
A c=14 b B aC
A 90 72 18
4. 如下图，某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾 斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险， 那么梯子的长至少为多少米? 解：如图所示，依题意可知，当∠B=60°时，
A
答：梯子的长至少3.5米