2018-2019学年陕西省延安市黄陵中学普通班高一(上)期中数学试卷(附答案详解)

2018-2019学年陕西省延安市黄陵中学普通班高一（上）
期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.下列关系式中，正确的是()
A. √2∈Q
B. {(a,b)}={(b,a)}
C. 2∈{1,2}
D. ⌀={0}
2.若f(x)=√x+1，则f(3)=()
A. 2
B. 4
C. 2√2
D. 10
3.已知集合A={x|0<x<√3}，B={x|1≤x<2}，则A∪B=()
A. {x|x≤0}
B. {x|x≥2}
C. {x|1≤x<√3}
D. {x|0<x<2}
4.与函数f(x)=|x|是相同函数的是()
A. y=√x2
B. y=x2
x
C. y=e lnx
D. y=log22x
5.设y1=40.9，y2=80.48，y3=(1
2
)−1.5，则()
A. y3>y1>y2
B. y2>y1>y3
C. y1>y3>y2
D. y1>y2>y3
6.函数y=2+log2x(x≥1)的值域为()
A. (2,+∞)
B. (−∞,2)
C. [2,+∞)
D. [3,+∞)
7.下列函数：①y=1
x3
；②y=3x−2；③y=x4+x2；④y=3x2，其中幂函数的个数为()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8.计算(lg2)2+(lg5)2+2lg2⋅lg5等于()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
9.已知函数y=f(n)，满足f(1)=8，且f(n+1)=f(n)+7，n∈N+.则f(3)=()
A. 7
B. 15
C. 22
D. 28
10.在下列区间中，函数f(x)=e x+4x−3的零点所在的区间为()
A. (−1
4,0) B. (0,1
4
) C. (1
4
,1
2
) D. (1
2
,3
4
)
11.函数y=x2与函数y=|lgx|图象的交点个数为()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
12. 函数f(x)=x 2+2(a −1)x +2在区间(−∞,4]上是单调递减的，则实数a 的取值范
围是( )
A. a ≤−3
B. a ≥−3
C. a ≤5
D. a ≥5
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知集合M 满足M ⊆{1,2,3,4}，求所有满足条件的集合M 有______个．
14. 函数f(x)=a x−1(a >0,a ≠1)的图象恒过点A ，则A 点的坐标为______．
15. 化简log 2(1+√2+√3)+log 2(1+√2−√3)=______．
16. 设f(x)={x +2(x ≤−1)
x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)
，若f(x)=3，则x =______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 求下列函数的定义域：
(1)y =√2x +1+√3−4x
(2)y =1|x+2|−1．
18. 已知(x,y)在映射f 的作用下的像是(x +y,xy)，求(−2,3)在f 作用下的像和(2,−3)在
f 作用下的原像．
19. 已知函数f(x)=−1+log 2(x −1)．
(Ⅰ)求函数f(x)的定义域；
(Ⅱ)求f(5)的值；
(Ⅲ)求函数f(x)的零点．
20.已知函数f(x)=x m−2
x ，且f(4)=7
2
．
(1)求实数m的值；
(2)判定函数f(x)的奇偶性．
21.已知函数f(x)=1
x2−1
．
(1)设f(x)的定义域为A，求集合A；
(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上单调性，并用定义加以证明．
22.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，满足f(0)=2，f(x+1)−f(x)=2x−1．
(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)当x∈[−1,2]时，求函数的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
利用元素与集合、集合与集合的关系直接求解．本题考查命题真假的判断，考查元素与集合、集合与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】
解：在A中，√2∉Q，故A错误；
在B中，{(a,b)}≠{(b,a)}，故B错误；
在C中，2∈{1,2}，故C正确；
在D中，⌀⊆{0}，故D错误．
故选C．
2.【答案】A
【解析】解：由f(x)=√x+1可得，
则f(3)=√3+1=2，
故选：A．
直接把函数式中的自变量换成3，即可求得所求的函数值．
本题考查求函数值的方法，直接代入法．
3.【答案】D
【解析】解：集合A={x|0<x<√3}，B={x|1≤x<2}，
所以A∪B={x|0<x<√3}∪{x|1≤x<2}={x|0<x<2}，
故选：D．
直接利用集合的并集的元素法则，求出集合的并集．
根据并集运算的定义，但是要注意“或”字，集合的运算题目为确保正确率最好数形结合来解．
4.【答案】A
【解析】解：函数y=|x|的定义域为R．
A.函数的定义域为R，由y=√x2=|x|可知两个函数的对应法则也相同，所以成立．
B.函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不成立．
C.函数的定义域为{x|x>0}，两个函数的定义域不同，所以不成立．
D.函数的定义域为R，y=log22x=x两个函数的对应法则不同，所以不成立．
故选：A．
分别判断函数的定义域和对应法则是否和函数y=|x|一致即可．
本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是两个函数的定义域和对应法则是否相同．
5.【答案】C
)−1.5=21.5，【解析】解：∵y1=40.9=21.8，y2=80.48=(23)0.48=21.44，y3=(1
2
函数y=2x在R上是增函数，1.8>1.5>1.44，
∴21.8>21.5>21.44，故y1>y3>y2，
故选C．
化简这三个数为2x的形式，再利用函数y=2x在R上是增函数，从而判断这三个数的大小关系．
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，体现了转化的数学思想，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数y=2+log2x可知其在[1,+∞)上单调递增，利用函数的单调性求得，当x=1时，y有最小值2，从而求得函数的值域．
此题是个基础题，考查对数函数的单调性和值域等基础问题，考查学生对基础知识的记忆和应用情况．
【解答】
解：∵函数y=2+log2x在[1,+∞)上单调递增，
∴当x=1时，y有最小值2，
即函数y=2+log2x(x≥1)的值域为[2,+∞)．
故选C．
7.【答案】B
【解析】解：①中y=x−3；④中y=x23符合幂函数定义；
而②中y=3x−2，③中y=x4+x2不符合幂函数的定义．
故选B
直接根据幂函数的定义即可求解
本题考查了幂函数的概念，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：(lg2)2+(lg5)2+2lg2⋅lg5=(lg2+lg5)2=1，
故选：B．
利用完全平方和公式进行化简后，再由lg2+lg5=1求出式子的值．
本题考查了对数的运算性质，对于以前学过的公式如：完全平方公式等都可以，还利用lg2+lg5=1求值．
9.【答案】C
【解析】解：∵f(1)=8，且f(n+1)=f(n)+7，n∈N+，
∴f(2)=f(1)+7=8+7=15，
f(3)=15+7=22．
故选：C．
由题设条件，利用递推思想能求出f(3)．
本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查函数零点存在性定理及函数的单调性．
判断函数f(x)=e x +4x −3单调递增，然后利用零点存在性定理求解即可．
【解答】
解：∵函数y =e x 和函数y =4x −3在R 上都单调递增，
∴函数f(x)=e x +4x −3在(−∞,+∞)上为增函数，
则f(x)最多一个零点，
∵f(14)=e 14
+1−3<0，
f(12)=√e +2−3=√e −1>0， ∴f(14)⋅f(1
2)<0， ∴函数f(x)=e x +4x −3的零点所在的区间为(14,1
2).
故选C ．
11.【答案】B
【解析】解：在同一坐标系内
画出函数y =x 2与y =|lgx|的
图象，如图所示：
由图象知，函数y =x 2与y =
|lgx|图象在(0,1)内有一个交点，
在[1,+∞)上无交点．
故选：B ．
在同一坐标系内画出函数y =
x 2与y =|lgx|的图象，可以得出图象交点的个数．
本题考查了一元二次函数与对数函数的图象与性质的问题，是容易题．
12.【答案】A
【解析】解：函数y =x 2+2(a −1)x +2的图象是开口朝上，且以直线x =1−a 为对称轴的抛物线，
若y =x 2+2(a −1)x +2在区间(−∞,4]上单调递减，
则1−a ≥4，
解得：a≤−3，
故选：A．
若y=x2+2(a−1)x+2在区间(−∞,4]上单调递减，则1−a≥4，解得答案．
本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的对称轴和区间的关系是解答的关键．
13.【答案】16
【解析】解：∵集合M满足M⊆{1,2,3,4}，
∴集合M是{1,2,3,4}的子集，
∴所有满足条件的集合M有24=16个．
故答案为：16．
由题意得集合M是{1,2,3,4}的子集，由此能求出所有满足条件的集合M的个数．
本题考查满足条件的集合的个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】(1,1)
【解析】解：由题意知，函数f(x)=a x−1(a>0,a≠1)，
令x−1=0得x=1，则f(1)=1，
所以函数f(x)的图象恒过点A(1,1)，
故答案为：(1,1)．
由题意令x−1=0求出x=1，代入解析式求出f(1)=1，即可得定点A的坐标．
本题考查指数函数的图象过定点问题，主要利用a0=1，属于基础题．
15.【答案】3
2
【解析】解：log2(1+√2+√3)+log2(1+√2−√3)
=log2(1+√2+√3) (1+√2−√3)
=log22√2
=3
2
故答案为32
由对数的运算法则转化为log 2(1+√2+√3) (1+√2−√3)，再求解即可． 本题考查对数的运算法则，属基本运算的考查．
16.【答案】√3
【解析】解：当x ≤−1时，即x +2=3，解得x =1(舍去)；
当−1<x <2时，即x 2=3，解得x =√3，或x =−√3(舍去)；
当x ≥2时，即2x =3，解得x =32(舍去)；
故当f(x)=3，则x =√3，
故答案为：√3
根据已知中分段函数的解析式f(x)={x +2(x ≤−1)
x 2(−1<x <2)2x(x ≥2)
，我们分x ≤−1时、−1<x <2
时、x ≥2时三种情况，分别构造方程，解出满足条件的x 值，即可得到答案．
本题考查的知识点是函数的值，分段函数分段处理，分别在若干个x 的不同取值范围内，构造满足条件的方程，并结合x 的不同取值范围进行求解是解决这类问题的通法．
17.【答案】解：(1)由{2x +1≥03−4x ≥0
，解得−12≤x ≤34， ∴y =√2x +1+√3−4x 的定义域为[−12,34]；
(2)由|x +2|−1≠0，得|x +2|≠1，
∴x ≠−1或x ≠−3，
∴y =1|x+2|−1的定义域为{x|x ≠−1或x ≠−3}．
【解析】(1)由根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解；
(2)由分式的分母不为0求解绝对值的不等式得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
18.【答案】解：①由映射的定义知，x =−2，y =3，
∴x +y =1，xy =−6，
∴(−2,3)在f 作用下的像是(1,−6)；
②由x+y=2，且xy=−3得
解得：x=−1，y=3，或x=3，y=−1，
∴(2,−3)在f作用下的原像是(−1,3)或(3,−1)．
【解析】依据映射的概念，已知原像(x,y)，求像(x+y,xy)，再依据映射的概念，已知像(x+y,xy)，求原像(x,y)．
本题考查映射的定义、像与原像的定义．
19.【答案】解：(I)由题意得：x−1>0，∴x>1；
∴函数f(x)的定义域{x|x>1}．
(II)f(5)=−1+log2(5−1)=−1+2=1．
(III)令f(x)=−1+log2(x−1)=0，
∴log2(x−1)=1，
∴x−1=2，
∴x=3，
∴函数f(x)的零点为3．
【解析】(I)根据对数函数的性质：真数大于0，得到不等式，解出即可；(II)将x=5代入函数的表达式，求出即可；(III)令f(x)=0，解方程求出即可．
本题考查了对数函数的性质，考查了函数的零点问题，是一道基础题．
20.【答案】解：(1)f(4)=4m−1
2=7
2
，解得m=1．
(2)因为f(x)=x−2
x
，定义域为{x|x≠0,x∈∈R}，关于原点对称，
f(−x)=−x−2
−x =−(x−2
x
)=−f(x)，
故f(x)为奇函数．
【解析】(1)令x=4，列方程求解；(2)由奇函数的定义判断．本题考查奇函数的定义，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由x2−1≠0，得x≠±1，
所以，函数f(x)=1
x2−1
的定义域为x∈R|x≠±1(4分)
第11页，共12页
第12页，共12页 (2)函数f(x)=1x 2−1在(1,+∞)上单调递减．(6分)
证明：任取x 1，x 2∈(1,+∞)，设x 1<x 2，
则△x =x 2−x 1>0，△y =y 2−y 1=1x 22−1−1x 12−1=(x 1−x 2)(x 1+x 2)(x 12−1)(x 22−1)(8分)
∵x 1>1，x 2>1，∴x 12−1>0，x 22−1>0，x 1+x 2>0．
又x 1<x 2，所以x 1−x 2<0，故△y <0．
因此，函数f(x)=1
x 2−1在(1,+∞)上单调递减．(12分)
【解析】(1)f(x)为分式函数，则由分母不能为零，解得定义域；
(2)要求用定义证明，则先在(1,+∞)上任取两变量且界定大小，然后作差变形看符号． 本题主要考查函数定义域的基本求法和单调性定义证明函数的单调性．
22.【答案】解：(1)由f(0)=2，得c =2，又f(x +1)−f(x)=2x −1
得2ax +a +b =2x −1，故{2a =2a +b =−1
，解得：a =1，b =−2， 所以f(x)=x 2−2x +2．
(2)f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1，图象对称轴为x =1，且开口向上
所以，f(x)单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(−∞,1)．
(3)f(x)=x 2−2x +2=(x −1)2+1，对称轴为x =1∈[−1,2]，
故f min (x)=f(1)=1，又f(−1)=5，f(2)=2，
所以f max (x)=f(−1)=5．
【解析】本题考查二次函数的最值，函数的解析式以及单调性的判断，考查计算能力．
(1)利用已知条件列出方程组，即可求函数f(x)的解析式；
(2)利用二次函数的对称轴，看看方向即可求函数f(x)的单调区间；
(3)利用函数的对称轴与x ∈[−1,2]，直接求解函数的最大值和最小值．。