2021_2022学年新教材高中数学第二章圆锥曲线1.2椭圆的简单几何性质课后篇巩固提升训练含解析北

第二章圆锥曲线
§1椭圆
1.2椭圆的简单几何性质
课后篇巩固提升
合格考达标练
1.已知椭圆C:x2
a2+y2
4
=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()
A.1
3B.1
2
C.√2
2
D.2√2
3
C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在x轴上,c=2,所以a2-4=c2,所以a2=8,a=2√2,所以椭
圆C的离心率e=c
a =√2
2
.
2.过椭圆x2
4+y2
3
=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()
A.8,6
B.4,3
C.2,√3
D.4,2√3
a=2,b=√3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍,长度为3.
3.已知椭圆x2
a2+y2
b2
=1与椭圆x2
25
+y2
16
=1有相同的长轴,椭圆x2
a2
+y2
b2
=1的短轴长与椭圆y2
21
+x2
9
=1的短轴
长相等,则()
A.a2=25,b2=16
B.a2=9,b2=25
C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25
D.a2=25,b2=9
椭圆x 2
25+y2
16
=1的长轴长为10,
椭圆y 2
21+x2
9
=1的短轴长为6,
由题意可知椭圆x 2
a2+y2
b2
=1的焦点在x轴上,
即有a=5,b=3.所以a2=25,b2=9.
4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为()
A.1
2B.1
4
C.2
D.4
x2+my2=1的焦点在y轴上,短半轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故√1
m =2,解得m=1
4
.
5.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4√5,则椭圆的标准方程为()
A.x2
36+y2
16
=1 B.x2
16
+y2
36
=1
C.x2
6+y2
4
=1 D.y2
6
+x2
4
=1
c=2√5,a+b=10,又a2=b2+c2,所以解得a=6,b=4,椭圆的标准方程为x2
36+y2
16
=1.
6.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦点,且过点C,D的椭圆的离心率为.
,AB=2c=4,
∵点C在椭圆上,
∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,
∴e=2c
2a =4
8
=1
2
.
7.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤√3
2
,则长轴长的取值X围为.
e=√1-(b
a )2,b=1,0<e≤√3
2
,
∴0<√1-(1
a )2≤√3
2
,
则1<a≤2,∴2<2a≤4,
即长轴长的取值X围是(2,4].
8.已知椭圆C:x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点M4
3
,1
3
,求椭
圆C的离心率.
a=|MF1|+|MF2|=√(4
3+1)2+(1
3
)2+√(4
3
-1)2+(1
3
)2.所以a=√2.又由已知c=1,所以椭圆C的离
心率e=c
a =
√2
=√2
2
.
等级考提升练
9.如图,已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为() A.√3-1 B.2-√3
C.√2
2D.√3
2
过F1的直线MF1是圆F2的切线,
∴∠F1MF2=90°,|MF2|=c,∵|F1F2|=2c,
∴|MF1|=√3c,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=c+√3c=2a,∴椭圆离心率e=
1+√3
=√3-1.
10.椭圆(m+1)x2+my2=1的长轴长是()
A.2√m-1
m-1B.-2√-m
m
C.2√m
m D.-2√1-m
m-1
椭圆方程可化简为x 2
1 1+m +y21
m
=1,
由题意,知m>0,∴1
1+m <1
m
,∴a=√m
m
,
∴椭圆的长轴长2a=2√m
m
.
11.若将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆的方程中,是“对偶椭圆”的方程是()
A.x2
8+y2
4
=1 B.x2
3
+y2
5
=1
C.x2
6+y2
2
=1 D.x2
6
+y2
9
=1
,知当b=c 时,将一个椭圆绕中心旋转90°,所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,只有选项A 符合题意,故选A. 12.已知点P (2,1)在椭圆
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a>b>0)上,点M (a ,b )为平面上一点,O 为坐标原点,则当|OM|取最小
值时,椭圆的离心率为() A.√33
B.1
2
C.√22
D.√32
P (2,1)在椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)上,可得4
a 2+1
b 2=1,M (a ,b )为平面上一点,O 为坐标原点,
则|OM|=√(a 2+b 2)(
4a
2+
1b
2)=
√5+4b 2a 2+
a 2b
2≥
√5+2√4b 2a 2
·a 2b
2=3,
当且仅当a 2=2b 2时,等号成立,此时由{4
a 2+1
b 2=1,
a 2=2
b 2,解得a 2=6,b 2=3.
所以e=√
a 2-
b 2a 2
=√1
2=
√2
2
.故选C.
13.(多选题)如图,已知F 1,F 2分别是椭圆x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点P 是该椭圆在第一象限内的点,∠F 1PF 2的平分线交x 轴于Q 点,且满足OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则椭圆的离心率e 可能是() A.1
8
B.1
4 C.1
D.3
4
OF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴|QF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|=34c ,|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=14
c , 则∣QF 1∣=5
4c.
∵PQ 是∠F 1PF 2的平分线, ∴|PF 1|
|PF 2
|=|QF 1||QF 2
|=5
3,
又|PF 1|+|PF 2|=2a ,
∴|PF 1|=5a 4,|PF 2|=3a
4.
在△PF 1F 2中,
由余弦定理得cos ∠F 1PF 2=
2516a 2+916
a 2
-4c 22×5a 4×
3a 4
=1715−32
15e 2,
∵-1<cos ∠F 1PF 2<1,∴-1<1715−32
15e 2<1,
解得1
4<e<1.故选CD .
14.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点F 1,F 2在x 轴上,离心率为√2
2
.过F 1的直线l 交C 于A ,B 两点,且△ABF 2的周长为16,那么椭圆C 的方程为.
+
y 28
=1
设椭圆方程为
x 2
a
2+
y 2b
2=1(a>b>0),由
e=√2
2,知c a
=
√2
2,故b 2a
2=1
2
.由于△ABF 2的周长为
|AB|+|BF 2|+|AF 2|=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=4a=16,故a=4,∴b 2=8,∴椭圆C 的方程为x 2
16+y 28
=1.
15.如图,把椭圆x 2
4+
y 22
=4的长轴AB 分成8等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于
P 1,P 2,P 3,P 4,P 5,P 6,P 7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F|+|P 6F|+|P 7F|=.
,把椭圆
x 24
+
y 22
=4的长轴AB 分成8等份,设另一焦点为F 2,过每个分点作x 轴的垂线交
椭圆的上半部分于P 1,P 2,P 3,P 4,P 5,P 6,P 7七个点,F 是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P 1F|+|P 7F|=|P 7F 2|+|P 7F|=2a ,同理,其余两对的和也是2a.又|P 4F|=a ,
∴|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|+|P 4F|+|P 5F|+|P 6F|+|P 7F|=7a=28.
16.(1)求与椭圆x 2
9+
y 2
4
=1有相同的焦点,且离心率为√5
5的椭圆的标准方程; (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程.
∵c=√9-4=√5,
∴所求椭圆的焦点为(-√5,0),(√5,0).
设所求椭圆的方程为
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a>b>0).
∵e=c
a =
√5
5
,c=√5, ∴a=5,b 2=a 2-c 2=20,
∴所求椭圆的方程为x 2
25+y 2
20=1.
(2)∵椭圆的焦点在x 轴上,
∴设它的标准方程为x 2a 2+y 2
b 2=1(a>b>0). ∵2c=8,∴c=4,
又a=6,∴b 2=a 2-c 2=20.
∴椭圆的方程为x 236+y 2
20=1.
新情境创新练
17.椭圆
x 2
a 2
+
y 2b 2
=1(a>b>0)上有一点P ,F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点Q 在线段PF 2的延
长线上,且QF 1⊥QP ,sin ∠F 1PQ=513
,则该椭圆离心率的取值X 围是()
A.(√26
26,1)
B.(15,√5
3) C.(15,
√22) D.(√2626,
√22)
QF 1⊥QP ,∴点Q 在以F 1F 2为直径,原点为圆心的圆上,∵点Q 在椭圆的内部,
∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内, ∴c<b.
∴c 2<a 2-c 2,∴e 2<1
2,故0<e<√2
2. ∵sin ∠F 1PQ=5
13,∴cos ∠F 1PQ=12
13.
设|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,
则|PF 1|+|PF 2|=m+n=2a ,在△PF 1F 2中,由余弦定理得4c 2=m 2+n 2-2mn ·12
13
. ∴4c 2=(m+n )2-2mn-2mn ·12
13
, 即4c 2=4a 2-50
13mn ,∴mn=26
25(a 2-c 2). 由基本不等式得mn ≤(
m+n 2
)2=a 2,
当且仅当m=n 时取等号, 由题意知QF 1⊥QP ,
∴m ≠n ,∴mn<(
m+n 2
)2=a 2,
∴26
25(a 2-c 2)<a 2,∴a 2<26c 2.
故e 2>1
26,∴e>
√2626,综上可得√2626<e<√2
2
.。