高中数学讲义微专题58 数学归纳法

微专题58 数学归纳法
一、基础知识：
1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明
2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。

证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立
（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立
3、第一归纳法要注意的地方：
（1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始
（2）归纳假设中，要注意0k n ≥，保证递推的连续性
（3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。

在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系
4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k ≤的时依然成立。

第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k ≤，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。

可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下：
（1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立
（2）归纳假设：假设()0,n k k n n N ≤≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立
（3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立
二、典型例题
例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证：
131n n S n S n
++≤
例2：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且()()112,6n n n S a a n N *=
++∈ （1）求数列{}n a 的通项公式
（2）设21log 1n n b a ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：233log ,2n n a T n N *+⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭
例3：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234,n n S na n n n N *+=--∈，且315S =
（1）求123,,a a a
（2）求数列{}n a 的通项公式
例4：在数列{}n a 中，已知()12a a a =>，且()
()2121n n n a a n N a *+=∈-，求证：2n a > 证明：用数学归纳法证明：
例5：已知数列{}n a 满足120,1a a ==，当n N ∈时，21n n n a a a ++=+ 求证：数列{}n a 的第()
41m m N *+∈项能被3整除
例6：设正整数数列{}n a 满足：24a =，且对于任何n N *∈，由11111122111
n n n n a a a a n n ++++<<+-+ （1）求13,a a
（2）求数列{}n a 的通项公式
例7：已知数列{}n a 满足211,n n a ca c n N *+=+-∈，其中常数10,2c ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
（1）若21a a >，求1a 的取值范围
（2）若()10,1a ∈，求证：对任意的n N *
∈，都有()0,1n a ∈
例8：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()114,22,2n n n n a S na n n N *
-==+-
≥∈ （1）求n a （2）设{}n b 满足：14b =且()()2112n n n b b n b n N *+=---∈，求证：()
2,n n b a n n N *>≥∈
例9：已知ABC 的三边长为有理数
（1）求证：cos A 是有理数
（2）求证：对任意的正整数n ，cos nA 是有理数
例10：设实数0c >，整数1,p n N *
>∈
（1）证明：当1x >-且0x ≠时，()11p x px +>+ （2）数列{}n a 满足11111,p p n n n p c a c a a a p p
-+->=+，求证：11p n n a a c +>> 单调递减，在()0,+∞单调递增。

从而()()00f x f ≥=。