八年级数学上册 第13章 全等三角形检测题 (新版)华东

第13章 全等三角形检测题
【本检测题满分：100分，时间：90分钟】
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列命题：①邻补角互补；②对顶角相等；③同旁内角互补；④两点之间线段最短；⑤直线都相等.其中真命题有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.已知ABC △中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点O ，则BOC ∠一定（ ）
A.小于直角
B.等于直角
C.大于直角
D.不能确定
3.已知两个直角三角形全等，其中一个直角三角形的面积为3，斜边为4，则另一个直角三角形斜边上的高为（ ） A.23 B.34 C.32
D.6 4.对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A.∠1=50°，∠2=40°
B.∠1=50°，∠2=50°
C.∠1=∠2=45°
D.∠1=40°，∠2=40°
5.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）
A.垂直
B.两条直线
C.同一条直线
D.两条直线垂直于同一条直线
6.如图，在△ABC 中，>AB AC ，∥DE BC ，12=
DE BC ,点F 在BC 边上，连结DF ，EF ，则添加下列哪一个条件后，仍无法判
定△BFD 与△EDF 全等（ ）
A.∥EF AB
B.=BF CF
C.∠=∠A DFE
D.∠∠=B DEF
7.如图，在△ABC 中，=AB AC ，∠ABC ，∠ACB 的平分线BD ，CE 相
交于点O ，且BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E ．某同学分析图形后
得出以下结论：①△≌△BCD CBE ；②△≌△BAD BCD ；
③△≌△BDA CEA ；④△≌△BOE COD ；⑤△≌△ACE BCE .上述结论
一定正确的是（ ）
A.①②③
B.②③④
C.①③⑤
D.①③④
8.已知：如图，B ，C ，E 三点在同一条直线上，AC CD =，B ∠=90E ∠=︒，AC CD ⊥，则不正确的结论是（ ）
A.A ∠与D ∠互为余角
B.2A ∠=∠
C.ABC CED △≌△
D.∠1=∠2
第8题
图
第6题图
第7题图
9.如图，点B ，C ，E 在同一条直线上，ABC △与CED △都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）
A.ACE BCD △≌△
B.BGC AFC △≌△
C.DCG ECF △≌△
D.ADB CEA △≌△
①
②
第9题图 第10题图
10.（2014•山东泰安中考）将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中=ACB ∠
90CED ∠=︒，45A ∠=︒，30D ∠=︒．把DCE △绕点C 顺时针旋转15°得到11D CE △，如图②，连结1D B ，则11E D B ∠的度数为（ ）
A.10°
B. 20°
C.7.5°
D.15°
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.（2014•广州中考）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题： ，该逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
12.如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒， 2 cm BC =，CD AB ⊥，在AC 上取一点E ，使EC BC ＝，过点E 作EF AC ⊥交CD 的延长线于点F ，若 5 cm EF ＝，则AE ＝ cm.
13.命题：“如果a b =，那么22a b =”的逆命题是________________，该命题是_____命题（填“真”或“假”）．
14.如图，已知ABC △的周长是21，BO ，CO 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于点D ，且3OD =，则ABC △的面积是 ．
第12题图 第14题图 第15题
15.如图，在ABC △中，AB AC =，AD 是ABC △的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E ，F ．则下面结论中①DA 平分EDF ∠；②AE AF =，DE DF =；③AD 上的点到B ，C 两点的距离相等；④图中共有3对全等三角形，正确的有： . 16.如图，已知等边ABC △中，BD CE =，AD 与BE 相交于点P ，则APE ∠= 度.
17.如图，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，∠1=25°，∠2=30°，则∠3= .
18.（2014•浙江湖州中考改编）如图，已知在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，点D 是BC 边的中点，分别以B ，C 为圆心，大于线段BC 长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC 上方的交点为
P
，直线
PD
交
AC
于点E ，连结BE ，则下列结论：①ED BC ⊥；②A ∠ EBA =∠；③EB 平分AED ∠；④12
ED AB =
中，一定正确的是 （填写正确选项的序号）.
第16题图 第17题图 第18
题图
三、解答题（共46分）
19.（6分）下列句子是命题吗？若是，把它改写成“如果……那么……”的形式，并写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假．
（1）一个角的补角比这个角的余角大多少度？
（2）垂线段最短，对吗？
（3）等角的补角相等．
（4）两条直线相交只有一个交点．
（5）同旁内角互补．
（6）邻补角的角平分线互相垂直.
20.（8分）已知：如图，AB AE =，∠1=∠2，B E ∠=∠.
求证：BC ED =. 21.（8分）如图，ABC ADE △≌△，且10CAD ∠=︒，25B D ∠=∠=︒，120EAB ∠=︒，求
DFB ∠和DGB ∠的度数．
第20题图
第20题图
第21题图 第22题图 第23
题图
22.（8分）如图，P 是BAC ∠内的一点，PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为E ，F ，AE AF =．
求证：（1）PE PF =；
（2）点P 在BAC ∠的平分线上．
23.（8分）如图，在ABC △中，90C ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，点F 在AC 上，BD DF =.
证明：（1）CF EB =；（2）2AB AF EB =+．
24.(8分)已知：在ABC △中，AC BC =，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点．
（1）BF 垂直CE 于点F ，交CD 于点G （如图①），求证：AE CG =.
（2）AH 垂直CE ，垂足为H ，交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BE 相等的线段，并证明．
① ②
第24题图
第13章 全等三角形检测题参考答案
1.C 解析：①②④是真命题；对于③，只有两条平行直线被截得的同旁内角才互补；对于⑤，直线不能测量长度，所以也不存在两条直线相等的说法，故选C.
2.C 解析：因为在ABC △中，180ABC ACB ∠+∠<︒，所以119022
ABC ACB ∠+∠<︒，所以90BOC ∠>︒.故选C.
3.C 解析：设面积为3的直角三角形斜边上的高为h ，则1432h ⨯=，∴ 32
h =. 4.C 解析：当∠1=∠2=45°时，∠1+∠2也等于90°.所以命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”是假命题.故选C.
5.D 解析：题设是两条直线垂直于同一条直线，结论是这两条直线互相平行.故选D.
6.C 解析：A.∵ EF AB ∥，∴ BDF EFD ∠=∠.
∵ DE BC ∥，∴ BFD EDF ∠=∠.
又∵ DF DF =，∴ BFD EDF △≌△，故本选项可以判定BFD △与EDF △全等．
B.∵ 12
DE BC BF ==，EDF BFD ∠=∠，DF DF = ，∴ BFD EDF △≌△，故本选项可以判定BFD △与EDF △全等．
C.由A DFE ∠=∠证不出BFD △与EDF △全等，故本选项不可以判定BFD △与EDF △全等．
D.∵ B DEF ∠=∠，EDF BFD ∠=∠，DF DF =，∴ BFD EDF △≌△，故本选项可以判定BFD △与EDF △全等．故选C ．
7.D 解析：∵AB AC =，∴ ABC ACB ∠=∠．
∵ BD 平分ABC ∠，CE 平分ACB ∠，
∴ ABD CBD ACE BCE ∠=∠=∠=∠．
又BC CB =,∴ ①BCD CBE △≌△（A.S.A.）.
由①可得BE CD =，∴ AB BE AC CD -=-，即AE AD =.
又A A ∠=∠，∴ ③BDA △≌CEA △（S.A.S.）.
由①可得BE CD =，BEO CDO ∠=∠，又EOB DOC ∠=∠，∴ ④BOE COD
△≌△（A.A.S.）．故选D.
8.D 解析：∵ B ，C ，E 三点在同一条直线上，且AC CD ⊥，∴ ∠1+∠2=90°. ∵ 90B ∠=︒，∴ 190A ∠+∠=︒，∴ 2A ∠=∠.故B 选项正确.
在ABC △和CED △中，902,,B E A AC CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴ ABC CED △≌△，故C 选项正确.
∵ 290D ∠+∠=︒，∴ 90A D ∠+∠=︒，故A 选项正确.
∵ AC CD ⊥，∴ 90ACD ∠=︒，∠1+∠2=90°，∠1与∠2不一定相等,故D 选项错误．故选D ．
9.D 解析：∵ ABC △和CDE △都是等边三角形，
∴ BC AC =，CE CD =，60BCA ECD ∠=∠=︒，
∴ BCA ACD ECD ACD ∠+∠=∠+∠，即BCD ACE ∠=∠.
在BCD △和ACE △中，,,,BC AC BCD ACE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ BCD ACE △≌△，故A 成立.
∵ BCD ACE △≌△，∴ DBC CAE ∠=∠.
∵ 60BCA ECD ∠=∠=︒，∴ 60ACD ∠=︒.
在BGC △和AFC △中，,,60,CAF CBG AC BC GCB ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
∴ BGC AFC △≌△，故B 成立.
∵ BCD ACE △≌△，∴ CDB CEA ∠=∠.
在DCG △和ECF △中，,,60CDG CEF CD DE GCD FCE =⎧⎪=⎨⎪==︒⎩
，∠∠∠∠∴ DCG ECF △≌△，故C 成立.
故选D ．
10.D 解析：∵ 90CED ∠=︒，30D ∠=︒，∴ 60DCE ∠=︒．
∵ DCE △绕点C 顺时针旋转15°，∴ 115BCE ∠=︒，
∴ 1601545BCD ∠=︒-︒=︒，∴ 1BCD A ∠=∠．
在ABC △和1D CB △中，11
AC BC A BCD AB D C =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴ 1ABC CD B △≌△（S.A.S.），
∴ 145BD C ABC ∠=∠=︒，∴ 11111453015E D B BD C CD E ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
点拨：本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出ABC △和1D CB △全等是解题的关键．
11.如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 假
12.3 解析:由条件易判定ABC FCE △≌△，所以 5 cm AC EF ==，则AE AC CE =-
=523(cm)EF BC --=＝.
13.如果22a b =，那么a b = 假 解析：根据题意，得命题“如果a b =，那么22a b =”的条件是“a b =”，结论是“22a b =”，故逆命题是“如果，那么a b =”，该命题是假命题．
14.31.5 解析：作OE AC ⊥，OF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，连结OA .
∵ BO ，CO 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥，∴ OD OE OF ==.
∴ ABC OBC OAC OAB S S S S =++△△△△ =111222
OD BC OE AC OF AB ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ =1()2
OD BC AC AB ⨯⨯++ =132131.52
⨯⨯=． 15.①②③④ 解析：在ABC △中，AB AC =，AD 是ABC △的角平分线，
已知DE AB ⊥，DF AC ⊥，可证ADE ADF △≌△.
故有EDA FDA ∠=∠，AE AF =，DE DF =，①②正确.
AD 是ABC △的角平分线，在AD 上可任意取一点M ，可证BDM CDM △≌△， ∴ BM CM =，∴ AD 上的点到B ，C 两点的距离相等，③正确. 根据图形的对称性可知，图中共有3对全等三角形，④正确．故填①②③④．
16.60 解析：∵ ABC △是等边三角形，∴ ABD C ∠=∠，AB BC =.
∵ BD CE =，∴ ABD BCE △≌△，∴ BAD CBE ∠=∠.
∵ 60ABE EBC ∠+∠=︒，∴ 60ABE BAD ∠+∠=︒，∴ 60APE ABE BAD ∠=∠+∠=︒．
17.55︒ 解析：在ABD △与ACE △中，
∵ 1CAD CAE CAD ∠+∠=∠+∠，∴ 1CAE ∠=∠. 又∵ AB AC =，AD AE =，∴ ABD ACE △≌△.∴ 2ABD ∠=∠.
∵ 3112ABD ∠=∠+∠=∠+∠，125∠=︒，230∠=︒，∴ 355∠=︒．
18.①②④ 解析：根据作图过程可知EB EC =．
∵ D 为BC 的中点，∴ ED 垂直平分BC ，∴ ①ED BC ⊥正确.
∵ 90ABC ∠=︒，∴PD AB ∥，∴ E 为AC 的中点，∴ EC EA =，④12ED AB =正确. ∵ EB EC =，∴ EB EA =，②A EBA ∠=∠正确；③EB 平分AED ∠错误．故正确的有①②④．
点拨：本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．
19.分析：根据命题的定义先判断出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论写在“那么”后面．将题设与结论互换写出它的逆命题.
解：对一件事情做出判断的句子是命题，因为（1）（2）是问句，所以（1）（2）不是命题，其余4个都是命题．
（3）如果两个角相等，那么它们的补角相等，真命题；
逆命题：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，真命题.
（4）如果两条直线相交，那么它们只有一个交点，真命题；
逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么这两条直线相交，真命题.
（5）如果两个角是同旁内角，那么它们互补，假命题；
逆命题：如果两个角互补，那么这两个角是同旁内角，假命题.
（6）如果两条射线是邻补角的角平分线，那么它们互相垂直，真命题；
逆命题：如果两条射线垂直，那么这两条射线是邻补角的角平分线，假命题.
20.分析：要证BC ED =,需证ABC AED △≌△.
证明：因为12∠=∠，所以12BAD BAD ∠+∠=∠+∠，即BAC EAD ∠=∠.
又因为AB AE =，B E ∠=∠，所以ABC AED △≌△，所以BC ED =.
21.分析：由ABC ADE △≌△，可得1()2
DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠，根据三角形外角性质可得DFB FAB B ∠=∠+∠.由FAB FAC CAB ∠=∠+∠，即可求得DFB ∠的度数；根据三角形外角性质可得DGB DFB D ∠=∠-∠，即可得DGB ∠的度数．
解：∵ ABC ADE △≌△，
∴ 11()(12010)5522
DAE BAC EAB CAD ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒． ∴ 10552590DFB FAB B FAC CAB B ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒，
902565DGB DFB D ∠=∠-∠=︒-︒=︒．
22.证明：（1）连结AP ，因为AE AF =，AP AP =,PE AB ⊥,PF AC ⊥,
所以Rt Rt APE APF △≌△，所以PE PF =.
（2）因为Rt Rt APE APF △≌△，所以FAP EAP ∠=∠，
所以点P 在BAC ∠的平分线上.
23.分析：（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D 到
AB 的距离=点D 到AC 的距离，
即CD DE =．再根据Rt Rt CDF EDB △≌△，得CF EB =.（2）利用角平分线性质证明ADC ADE △≌△，∴ AC AE =，再将线段AB 进行转化． 证明：（1）∵ AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DC AC ⊥，∴ DE DC =． 又∵ BD DF =，∴ Rt Rt CDF EDB △≌△，∴ CF EB =.
（2）∵ AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DC AC ⊥，
∴ ADC ADE △≌△，∴ AC AE =，
∴ 2AB AE BE AC EB AF CF EB AF EB =+=+=++=+．
24.（1）证明：因为垂直CE 于点F ,
所以90CFB =︒∠，所以90ECB CBF ∠+∠=︒.
又因为90ACE ECB ∠+∠=︒，所以ACE CBF ∠=∠.
因为AC BC =,90ACB =︒∠，所以45A CBA ∠=∠=︒.
又因为点D 是AB 的中点，所以45DCB =︒∠.所以DCB A ∠=∠.
因为ACE CBF ∠=∠，DCB A =∠∠，AC BC =，
所以CAE BCG △≌△，所以AE CG =.
(2)解：BE CM =.证明如下：
在ABC △中，因为AC BC =,90ACB ∠=︒，
所以45CAB CBA ∠=∠=︒，90ACH BCE ∠+∠=︒.
因为CH AM ⊥，即90CHA =︒∠,
所以90ACH CAM ∠+∠=︒,所以BCE CAM ∠=∠.
因为CD 为等腰直角三角形斜边上的中线,所以CD AD =，45ACD ∠=︒.
在BCE △和CAM △中,BC CA =，BCE CAM ∠=∠，CBE ACM ∠=∠,
所以CAM BCE △≌△,所以BE CM =.。