北师大 8年级上册 专题01 勾股定理(知识点串讲)(教师版)

专题01 勾股定理
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重难突破
知识点一 勾股定理
1．勾股定理
如图，直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
注意：
①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间那么不存在此种关系．
②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆222a b c +=时，此关系只有当c 是斜边时才成立．假设b 是斜边，那么关系式是222a c b +=；假设a 是斜边，那么关系式是222b c a +=．
2．直角三角形斜边上的高
①两条直角边，通过勾股定理求出斜边．
a c b
②根据直角三角形的面积不变，即1122ab ch =，求出h ．
典例1
(2019秋•龙岗区期中)如下图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB cm =，3BC cm =，CD AB ⊥于D ，那么CD 的长为 cm ．
【解答】解：ABC ∆是直角三角形，5AB =，3BC =，
由勾股定理有：222AC AB BC =-．
22534AC ∴=-=．
又1122ABC S AB CD BC AC ∆=
=， 得12()5
AC BC CD cm AB ==． CD ∴的长是
125cm ．
典例2
(2019秋•宝安区期中)如图， 两个较大正方形的面积分别为 225 、 289 ，那么字母A 所代表的正方形的边长为( )
A ． 4
B ． 8
C ． 16
D ． 64
【解答】解： 由勾股定理得， 正方形A 的面积28922564=-=，
∴字母A 所代表的正方形的边长为648=，
应选：B ．
典例3
(2020•东莞市校级二模)如图，矩形ADCD 中，10AB =，7BC =，P 为AD 上一点，将ADP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 交于点O ，且OE OD =．
(1)求证：OP OF =；
(2)求AP 的长．
【解答】解：(1)四边形ABCD 是矩形，
90D A C ∴∠=∠=∠=︒，6AD BC ==，8CD AB ==，
由翻折的性质可知：EP AP =，90E A ∠=∠=︒，8BE AB ==，
在ODP ∆和OEF ∆中，
D E OD OE
DOP EOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ODP OEF ASA ∴∆≅∆．
OP OF ∴=．
(2)()ODP OEF ASA ∆≅∆，
OP OF ∴=，PD EF =．
DF EP ∴=．
设AP EP DF x ===，那么7PD EF x ==-，10CF x =-，10(7)3BF x x =--=+，
在Rt FCB ∆根据勾股定理得：222BC CF BF +=，即2227(10)(3)x x +-=+， 解得：7013x =
， 7013
AP ∴=．
知识点二 勾股定理逆定理
1．勾股定理逆定理
如果三角形的三边长分别为a b c ，，，且222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．
注意：
①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边．
②当满足222a b c +=时，c 是斜边，C ∠是直角．
③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，那么此三角形为直角三角形．
2．勾股数
满足222a b c +=的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股关系．
常见勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等．
典例1
(2019秋•福田区校级期中)以下各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是( )
A ．1，2，3
B ．3，4，5
C ．9，12，15
D ．5，12，13 【解答】解：A 、222123+≠，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长；
B 、222345+=，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
C 、22291215+=，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长；
D 、22251213+=，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长．
应选：A ．
典例2
(2019秋•青羊区期末)ABC ∆的三条边分别为a ，b ，c ，以下条件不能判断ABC ∆是直角三角形的 是( )
A ．::3:4:5A
B
C ∠∠∠=
B ．5a =，12b =，13c =
C ．A B C ∠=∠+∠
D ．222a b c += 【解答】解：A 、设3A x ∠=，那么4B x ∠=，5C x ∠=，
180A B C ∠+∠+∠=︒，
345180x x x ∴++=︒，解得15x =︒
a c b
51575C ∴∠=⨯︒=︒，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
B 、22251213+=，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、180A B C ∠+∠+∠=︒，A B C ∠=∠+∠
90A ∴∠=︒，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D 、222a b c +=，是直角三角形，故本选项不符合题意；
应选：A ．
典例3
(2012春•九龙坡区期末)如图，正方形小方格边长为1，那么网格中的ABC ∆是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上答案都不对 【解答】解：正方形小方格边长为1 221865BC ∴=+223213AC +2264213AB +
在ABC ∆中22521365AB AC +=+=，265BC =
222AB AC BC ∴+=
∴网格中的ABC ∆是直角三角形．
应选：A ．
知识点三 勾股定理的应用
典例1
(2019秋•龙岗区期中)在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐
及水面，红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是( )
A ．1米
B ．1.5米
C ．2米
D ．2.5米
【解答】解：设水深为h ，那么红莲的高1h +，且水平距离为2m ，
那么222(1)2h h +=+，解得 1.5h =．
应选：B ．
典例2
(2019秋•青羊区期末)如图，一棵大树在离地面6米高的B 处断裂，树顶A 落在离树底部C 的8米处，那么大树断裂之前的高度为( )
A ．10米
B ．16米
C ．15米
D ．14米
【解答】解：由题意得6BC =，在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得：22226810AB BC AC ++米．
所以大树的高度是10616+=米．
应选：B ．
稳固训练
一、单项选择题(共6小题)
1．(2019秋•锦江区校级期中)以下四组数中，不是勾股数的是( )
A ．3n ，4n ，5(n n 为正整数)
B ．5，12，13
C ．20，21，29
D ．8，5，7 【解答】解：A 、222345n n n +=，是勾股数；
B 、22251213+=，是勾股数；
C 、222202129+=，是勾股数；
D 、222758+≠，不是勾股数；
应选：D ．
2．(2019秋•宝安区期中)在ABC ∆中，90C ∠=︒，14a b cm +=，10c cm =，那么(ABC S ∆= )
A ．224cm
B ．236cm
C ．248cm
D ．260cm
【解答】解：Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，14a b cm +=，10c cm =，
∴由勾股定理得：222a b c +=，即22()2100a b ab c +-==，
1962100ab ∴-=，即48ab =， 那么2124()2
ABC S ab cm ∆==． 应选：A ．
3．(2019秋•龙岗区期中)直角三角形的三边为a b -，a ，a b +且a 、b 都为正整数，那么三角形其中一边
长可能为( )
A ．61
B ．71
C ．81
D ．91
【解答】解：由题可知：222()()a b a a b -+=+，解得：4a b =
所以直角三角形三边分别为3b 、4b 、5b ．
当27b =时，381b =．
应选：C ．
4．(2019秋•深圳期中)如图，将ABC ∆放在正方形网格中(图中每个小正方形边长均为1)点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么ABC ∠的度数为( )
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
【解答】解：由勾股定理得：222125AC =+=，2221310BC =+=，222125AB =+=，
AB AC ∴=，222AC AB BC +=，
ACB ∴∆是等腰直角三角形，
45ABC ∴∠=︒，
应选：C ．
5．(2019秋•龙岗区校级期末)如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角
的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为( )
A ．0.7米
B ．1.5米
C ．2.2米
D ．2.4米
【解答】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，
2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．
在Rt △A BD '中，90A DB ∠'=︒，2A D '=米，222BD A D A B +'='，
222 6.25BD ∴+=，
2 2.25BD ∴=，
0BD >，
1.5BD ∴=米，
0.7 1.5 2.2CD BC BD ∴=+=+=米．
应选：C ．
6．(2019秋•深圳期中)如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，点D 在AB 上，AD AC =，
AF CD ⊥交CD 于点E ，交CB 于点F ，那么CF 的长是( )
A ．1.5
B ．1.8
C ．2
D ．2.5
【解答】解：连接DF ，如下图：
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3AC =，4BC =，
2222345AB AC BC ∴=++，
3AD AC ==，AF CD ⊥，
CE DE ∴=，2BD AB AD =-=，
CF DF ∴=，
在ADF ∆和ACF ∆中，AD AC DF CF AF AF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
()ADF ACF SSS ∴∆≅∆，
90ADF ACF ∴∠=∠=︒，
90BDF ∴∠=︒，
设CF DF x ==，那么4BF x =-，
在Rt BDF ∆中，由勾股定理得：222DF BD BF +=，
即2222(4)x x +=-，
解得： 1.5x =；
1.5CF ∴=；
应选：A ．
二、填空题(共5小题)
7．(2019春•沙雅县期中)在ABC ∆中，90B ∠=度，6BC =，10AC =，那么AB = ．
【解答】解：如下图：
90B ∠=︒，6BC =，10AC =，
22221068AB AC BC ∴=-=-=．
故答案为：8．
8．(2019秋•南山区校级期中)如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 ．
【解答】解：设设三角形的两直角边分别为x ，y ，
那么22252()4x y x y ⎧+=⋯⎨-=⋯⎩
①②， 由②得2224x y xy +-=⋯③，
①-③得248xy =
那么()22225248100x y x y xy +=++=+=，
10010x y +==．
故答案是：10．
9．(2019秋•成华区校级期中)如图，将长5AB cm =，宽3AD cm =的矩形纸片ABCD 折叠，使点A 与C 重合，
折痕为EF ，那么AE 长为 cm ．
【解答】解：由折叠的性质得：CE AE =，
设AE xcm =，那么有(5)EB AB AE x cm =-=-， 在Rt BCE ∆中，3BC AD cm ==，CE AE xcm ==，(5)EB x cm =-， 根据勾股定理得：2223(5)x x +-=，
解得： 3.4x =，
那么AE 的长为3.4cm ，
故答案为：3.4
10．(2019秋•金牛区校级期中)ABC ∆中，10AB =，17AC =，BC 边上的高8AD =，那么线段BC 的长为 ．
【解答】解：Rt ACD ∆中，17AC =，8AD =， 由勾股定理得：2215CD AC AD =-=；
Rt ABD ∆中，10AB =，8AD =，由勾股定理得：226BD AB AD =-=； ①点D 在线段BC 上时，21BC BD CD =+=， ②点D 在CB 的延长线上时，9BC CD BD =-=， 故BC 的长为9或21．
故答案为：9或21．
11．(2019秋•简阳市 期中)：如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB cm =，3AC cm =，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2/cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒．t = 时ABP ∆为直角三角形．
【解答】解：在Rt ABC ∆中，222225316BC AB AC =-=-=， 4BC cm ∴=，
由题意知2BP tcm =，
①当APB ∠为直角时，点P 与点C 重合，4BP BC cm ==，即24t =，2t =； ②当BAP ∠为直角时，2BP tcm =，(24)CP t cm =-，3AC cm =， 在Rt ACP ∆中，
2223(24)AP t =+-，
在Rt BAP ∆中，222AB AP BP +=，
即：22225[3(24)]t t ++-=， 解得：258t =， 故当ABP ∆为直角三角形时，2t =或258t =
， 故答案为：2s 或s
三、解答题(共2小题)
12．(2019秋•罗湖区期中)如图，在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =，点E 为BC 上一点，将ABE ∆沿AE
折叠，使点B 落在长方形内点F 处，且6DF =．
(1)试说明：ADF ∆是直角三角形；
(2)求BE 的长．
【解答】解：(1)将ABE ∆沿AE 折叠，使点B 落在长方形内点F 处， 8AF AB ∴==，
2222226810010AF DF AD +=+===，
90AFD ∴∠=︒
ADF ∴∆是直角三角形
(2)折叠
BE EF ∴=，90B AFE ∠=∠=︒
又90AFD ∠=︒
∴点D ，F ，E 在一条直线上．
设BE x =，那么EF x =，6DE x =+，10EC x =-， 在Rt DCE ∆中，90C ∠=︒，
222CE CD DE ∴+=，
即222(10)8(6)x x -+=+．
4x ∴=．
4BE ∴=．
13．(2019秋•深圳期中)如图，四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，3AD =，4AB =，12BC =，13CD =．求
四边形ABCD 的面积．
【解答】解：90BAD ∠=︒，4AB =，3AD =， ∴根据勾股定理得：225BD AD AB =+，
又13CD =，12CB =，
22
13169
CD
∴==，2222
12514425169
CB BD
+=+=+=，222
BD BC CD
∴+=，
BCD
∴∆为直角三角形，90
DBC
∠=︒，
那么
1111
3412536
2222
ABD BCD
ABCD
S S S AB AD BC BD
∆∆
=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=
四边形
．。