精品解析2022年北师大版七年级数学下册第四章三角形单元测试试卷(无超纲带解析)

北师大版七年级数学下册第四章三角形单元测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、尺规作图：作A O B '''∠角等于已知角AOB ∠．示意图如图所示，则说明A O B AOB '''∠=∠的依据是（ ）
A ．SSS
B ．SAS
C ．ASA
D ．AAS
2、如图是5×5的正方形网格中，以D ，E 为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC 全等，这样格点三角形最多可以画出（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3、下列三角形与下图全等的三角形是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4、如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标点A ，再在河的这一边选定点B 和F ，使AB BF ⊥，并在垂线BF 上取两点C 、D ，使BC CD =，再作出BF 的垂线DE ，使点A 、C 、E 在同一条直线上，因此证得ABC EDC △△≌，进而可得AB DE =，即测得DE 的长就是AB 的长，则ABC EDC △△≌的理论依据是（ ）
A．SAS B．HL C．ASA D．AAA
5、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD上的点，且AE＝CF，则下列说法正确的是（）
A．∠1﹣∠2＝90° B．∠1＝∠2＋45° C．∠1＋∠2＝180°D．∠1＝2∠2
6、如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝72°，D为BC上一点，在AB上取BF＝CD，AC上取CE＝BD，则∠FDE的度数为（）
A．54°B．56°C．64°D．66°
7、如图，在△ABC和△BAD中，AC＝BD，要使△ABC≌△BAD，则需要添加的条件是（）
A．∠BAD＝∠ABC B．∠BAC＝∠ABD C．∠DAC＝∠CBD D．∠C＝∠D
8、一个三角形的两边长分别是3和5，则它的第三边可能为（）
A．2 B．4 C．8 D．11
9、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）
A．3，4，7 B．3，4，8 C．3，4，5 D．3，3，7
10、如图，在ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，4
AE=，CD的长为5，则ABC的面积为（）
A．8 B．10 C．20 D．40
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，BD AC
⊥于点D，CE AB
⊥于点E，BD，CE交于点F，请你添加一个条件：______（只添加一△≌ACE
个即可），使得ABD
2、如图，正三角形△ABC和△CDE，A，C，E在同一直线上，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE 与CD交于点Q，连接PQ．①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．成立的结论有 _____．（填序号）
3、已知：如图，AB = DB．只需添加一个条件即可证明ABC DBC
△△．这个条件可以是______．（写
≌
出一个即可）．
4、如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC、BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD，②∠AMB＝50°；③OM平分∠AOD；④MO平分∠AMD．其中正确的结论是 _____．（填序号）
5、如图，已知AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从点B向点A运动，每分钟走1m，点Q从点B向点D运动，每分钟走2m．若P，Q两点同时出发，运动 _____分钟后，△CAP与△PQB全等．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
（1）在图1中，BD是△ABC的角平分线，作△ABC的平分内角∠BCA的角平分线；
（2）在图2中，AD是∠BAC的角平分线，作△ABC的∠BCA相邻的外角的角平分线．
2、如图所示，已知12
=．
∠=∠，请你添加一个条件，证明：AB AC
（1）你添加的条件是______；
（2）请写出证明过程．
3、如图，点E、A、C在同一直线上，AB∥CD，∠B＝∠E，AC＝CD．求证：BC＝ED．
4、如图，E为AB上一点，BD∥AC，AB＝BD，AC＝BE．求证：BC＝DE．
5、将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中60
∠=︒，
A
∠=︒∠=∠=︒．
30,45
D E B
（1）若l 25∠=︒，则2∠的度数为_______；
（2）直接写出1∠与3∠的数量关系：_________；
（3）直接写出2∠与ACB ∠的数量关系：__________；
（4）如图2，当180ACE ∠<︒且点E 在直线AC 的上方时，将三角尺ACD 固定不动，改变三角尺BCE 的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C 重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出ACE ∠角度所有可能的值___________．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【分析】
利用基本作图得到OD ＝OC ＝OD ′＝OC ′，CD ＝C ′D ′，则根据全等三角形的判定方法可根据“SSS ”可判断△OCD ≌△O ′C ′D ′，然后根据全等三角形的性质得到∠A ′OB ′＝∠AOB ．
【详解】
解：由作法可得OD ＝OC ＝OD ′＝OC ′，CD ＝C ′D ′，
所以根据“SSS ”可判断△OCD ≌△O ′C ′D ′，
所以∠A′OB′＝∠AOB．
故选：A．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图和全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握基本作图和全等三角形的判定定理．
2、C
【分析】
观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．
【详解】
根据题意，运用“SSS”可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点，如图．
故选C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，解答本题的关键是按照顺序分析，要做到不重不漏．
3、C
【分析】
根据已知的三角形求第三个内角的度数，由全等三角形的判定定理即可得出答案．
【详解】
由题可知，第三个内角的度数为180514980︒-︒-︒=︒，
A.只有两边，故不能判断三角形全等，故此选项错误；
B.两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误；
C.两边相等且夹角相等，故能判断两三角形全等，故此选项正确；
D. 两边夹的角度数不相等，故两三角形不全等，故此选项错误． 故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
4、C
【分析】
根据题意及全等三角形的判定定理可直接进行求解．
【详解】
解：∵AB BF ⊥，DE BF ⊥，
∴90ABC EDC ∠=∠=︒，
在ABC 和EDC △中，
ABC EDC BC DC
ACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴ABC EDC △△≌（ASA ），
∴AB DE =；
故选C ．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
5、C
【分析】
由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ，可得∠AEB ＝∠2，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°，
在△ABE 和△CBF 中，
AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△CBF （SAS ），
∴∠AEB ＝∠2，
∵∠AEB ＋∠1＝180°，
∴∠1＋∠2＝180°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
6、A
【分析】
由“SAS ”可证△BDF ≌△CED ，可得∠BFD ＝∠CDE ，由外角的性质可求解．
【详解】
解答：解：∵AB ＝AC ，∠A ＝72°，
∴∠B ＝∠C ＝54°，
在△BDF 和△CED 中，
BD CE B C BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BDF ≌△CED （SAS ），
∴∠BFD ＝∠CDE ，
∵∠FDC ＝∠B +∠BFD ＝∠CDE +∠FDE ，
∴∠FDE ＝∠B ＝54°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键．
7、B
【分析】
利用全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【详解】
解：∵AC =BD ，而AB 为公共边，
A 、当∠BAD =∠ABC 时， “边边角”不能判断△ABC ≌△BAD ，该选项不符合题意；
B 、当∠BA
C =∠AB
D 时，根据“SAS ”可判断△ABC ≌△BAD ，该选项符合题意；
C 、当∠DAC =∠CB
D 时，由三角形内角和定理可推出∠D =∠C ，“边边角”不能判断△ABC ≌△BAD ，该选项不符合题意；
D 、同理，“边边角”不能判断△ABC ≌△BAD ，该选项不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8、B
【分析】
根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，设第三边为x，可得5353
-<<+，再解即可．
x
【详解】
设第三边为x，由题意得：
x
-<<+，
5353
x
∴<<．
28
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了三角形的三边关系：掌握第三边大于已知的两边的差，而小于两边的和是解题的关键．
9、C
【分析】
根据组成三角形的三边关系依次判断即可．
【详解】
A、 3，4，7中3+4=7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．
B、 3，4，8中3+4＜8，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．
C、 3，4，5中任意两边之和都大于第三边，任意两边之差都小于第三边，故能组成三角形，符合题意，选项正确．
D、 3，3，7中3+3＜7，故不能组成三角形，与题意不符，选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
10、C
【分析】
根据三角形中线的性质得出CB的长为10，再用三角形面积公式计算即可．
【详解】
解：∵AD是边BC上的中线，CD的长为5，
∴CB=2CD=10，
ABC的面积为11
10420 22
BC AE
⨯=⨯⨯=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形中线的性质和面积公式，解题关键是明确中线的性质求出底边长．
二、填空题
1、AB AC
=（答案不唯一）
【分析】
由题意依据全等三角形的判定条件进行分析即可得出答案.
【详解】
解：∵BD AC
⊥于点D，CE AB
⊥于点E，
∴90
AEC ADB︒
∠=∠=，
∵A A
∠=∠，
△≌ACE（AAS）.
∴当AB AC
=时，ABD
故答案为：AB AC
=.
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
2、①②③⑤
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而证出
△ACD≌△BCE，可推知AD＝BE；
③由△ACD≌△BCE得∠CBE＝∠DAC，加之∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，得到△ACP≌△BCQ（ASA），所以AP＝BQ；故③正确；
②根据③△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ＝60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；
④根据∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE＝∠DEO，于是∠AOB＝
∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°，可知⑤正确．
【详解】
解：①∵等边△ABC和等边△DCE，
∴BC＝AC，DE＝DC＝CE，∠DEC＝∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC BC ACD BCE DC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD ＝BE ；
故①正确；
③∵△ACD ≌△BCE （已证），
∴∠CAD ＝∠CBE ，
∵∠ACB ＝∠ECD ＝60°（已证），
∴∠BCQ ＝180°﹣60°×2＝60°，
∴∠ACB ＝∠BCQ ＝60°，
在△ACP 与△BCQ 中，
60CAD CBE AC BC ACB BCO ︒∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩
， ∴△ACP ≌△BCQ （ASA ），
∴AP ＝BQ ；
故③正确；
②∵△ACP ≌△BCQ ，
∴PC ＝QC ，
∴△PCQ 是等边三角形，
∴∠CPQ ＝60°，
∴∠ACB ＝∠CPQ ，
∴PQ∥AE；
故②正确；
④∵AD＝BE，AP＝BQ，
∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，
即DP＝QE，
∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠QE，
∴DP≠DE；
故④错误；
⑤∵∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∵等边△DCE，
∠EDC＝60°＝∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE＝∠DEO，
∴∠AOB＝∠DAC+∠BEC＝∠BEC+∠DEO＝∠DEC＝60°．
故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题综合考查等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运
用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力．
3、AC =DC
【分析】
由题意可得，BC 为公共边，AB =DB ，即添加一组边对应相等，可证△ABC 与△DBC 全等．
【详解】
解：∵AB =DB ，BC =BC ，
添加AC =DC ，
∴在△ABC 与△DBC 中，
AB DB BC BC AC DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△DBC （SSS ），
故答案为：AC =DC ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．
4、①②④
【分析】
由SAS 证明AOC BOD ∆∆≌得出OCA ODB ∠=∠，AC BD =，①正确；
由全等三角形的性质得出OAC OBD ∠=∠，由三角形的外角性质得：AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，得出50AMB AOB ∠=∠=︒，②正确；
作OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，如图所示：则90OGA OHB ∠=∠=︒，利用全等三角形对应边上的高相等，得出OG OH =，由角平分线的判定方法得出MO 平分AMD ∠，④正确；
假设MO 平分AOD ∠，则∠=∠DOM AOM ，由全等三角形的判定定理可得AMO DMO ∆∆≌，得AO OD =，而OC OD =，所以OA OC =，而OA OC <，故③错误；即可得出结论．
【详解】
解：50AOB COD ∠=∠=︒，
AOB BOC COD BOC ∴∠+∠=∠+∠，
即AOC BOD ∠=∠，
在AOC ∆和BOD ∆中，
OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()AOC BOD SAS ∴∆∆≌，
OCA ODB ∴∠=∠，AC BD =，故①正确；
OAC OBD ∠=∠，
由三角形的外角性质得：
AMB OBD OAC AOB ∠+∠=∠+∠，
50AMB AOB ∴∠=∠=︒，故②正确；
作OG AM ⊥于G ，OH DM ⊥于H ，如图所示，
则90OGA OHB ∠=∠=︒，
AOC BOD ∆∆≌，
OG OH ∴=，
MO ∴平分AMD ∠，故④正确；
假设MO 平分AOD ∠，则∠=∠DOM AOM ，
在AMO ∆与DMO ∆中，
AOM DOM OM OM
AMO DMO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ()AMO DMO ASA ∴∆∆≌，
AO OD ∴=，
OC OD =，
OA OC ∴=，
而OA OC <，故③错误；
所以其中正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．
5、4
【分析】
根据题意CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，则90A B ∠=∠=︒，则分CAP PBQ ≌△△或CAP QBP ≌两种情况讨论，根据路程等于速度乘以时间求得,PB BQ 的长，根据全等列出一元一次方程解方程求解即可
【详解】 解：CA ⊥AB ，DB ⊥AB
∴90A B ∠=∠=︒，
点P 从点B 向点A 运动，每分钟走1m ，点Q 从点B 向点D 运动，每分钟走2m ，设运动时间为t ，且AC ＝4m ，
∴,12,2PB t PA AB PB t BQ t ==-=-=，
当CAP PBQ ≌△△时
则PA BQ =，4PB AC ==
即122t t -=，4t =
解得4t =
当CAP QBP ≌时，
则PA PB =，4AC QB ==
即12t t -=，42t =
解得6t =且2t =
不符合题意，故舍去
综上所述4t =
即4分钟后，△CAP 与△PQB 全等．
故答案为：4
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质，根据全等的性质列出方程是解题的关键．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）作∠BAC 的平分线交BD 于点O ，作射线CO 交AB 于E ，线段CE 即为所求；
（2）作△ABC 的∠ABC 的外角的平分线交AD 与D ，作射线CD ，射线CD 即为所求．
【详解】
（1）如图1，线段CE 为所求；
（2）如图2，线段CD 为所求．
【点睛】
本题主要考查了基本作图、三角形的外角、三角形的角平分线等知识点，理解三角形的内角平分线交于一点成为解答本题的关键．
2、（1）B C ∠=∠；（2）见解析
【分析】
（1）此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如∠B =∠C 或∠ADB =∠ADC 等；
（2）根据全等三角形的判定定理AAS 推出△ABD ≌△ACD ，再根据全等三角形的性质得出即可．
【详解】
解：()1添加的条件是B C ∠=∠，
故答案为：B C ∠=∠；
()2证明：在ABD 和ACD 中
12B C AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABD ∴≌()ACD AAS ，
AB AC ∴=．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，全等三角形的对应角相等，对应边相等．
3、见解析
【分析】
利用AAS 定理证明△ACB ≌△CED ，根据全等三角形的对应边相等证明即可．
【详解】
证明：∵AB ∥CD ，
∴∠BAC ＝∠ECD ，
在△ABC 和△CED 中，
∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
B E BA
C EC
D AC CD ， ∴△ACB ≌△CED （AAS ），
∴BC ＝ED ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
4、见解析
【分析】
根据平行线的性质可得A DBA ∠=∠，利用全等三角形的判定定理即可证明．
【详解】
证明：∵AC BD ∥，
∴A DBA ∠=∠．
在ABC 和BDE 中，
AB BD A DBA AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABC BDE ≌，
∴BC DE ＝．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定定理和平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
5、（1）65︒；（2）13∠=∠；（3）2180ACB ∠+∠=︒；（4）存在一组边互相平行；30︒或45︒或120︒或135︒或165︒．
【分析】
（1）根据垂直的性质结合图形求解即可；
（2）根据垂直的性质及各角之间的关系即可得出；
（3）由（2）可得180ACD ECB ∠+∠=︒，根据图中角度关系可得123ACB ∠+∠+∠=∠，将其代入即可得；
（4）根据题意，分五种情况进行分类讨论：①当∥CB AD 时；②当∥EB AC 时；③当∥AD EC 时；④当∥DC EB 时；⑤当AD EB ∥时；分别利用平行线的性质进行求解即可得．
【详解】
解：（1）∵AC CD ⊥，
∴90ACD ∠=︒，
∵125∠=︒，
∴2165ACD ∠=∠-∠=︒，
故答案为：65︒；
（2）∵AC CD
⊥，
⊥，EC CB
∴90
∠=︒，
ECB
ACD
∠=︒，90
即1290
∠+∠=︒，∠+∠=︒，3290
∴13
∠=∠，
故答案为：13
∠=∠；
（3）由（2）得：
∠+∠=︒，
180
ACD ECB
∴1232180
∠+∠+∠+∠=︒，
由图可知：123ACB
∠+∠+∠=∠，
∴2180
∠+∠=︒，
ACB
故答案为：2180
∠+∠=︒；
ACB
CB AD时，（4）①如图所示：当∥
∠=∠=︒，
30
D DCB
由（2）可知：30
ACE DCB
∠=∠=︒；
EB AC时，
②如图所示：当∥
ACE E
∠=∠=︒；
45
AD EC时，
③如图所示：当∥
∠=∠=︒，
30
D DCE
∴120∠=∠+∠=︒；
ACE ACD DCE
DC EB时，
④如图所示：当∥
∠=∠=︒，
E DCE
45
∴135
∠=∠+∠=︒；
ACE ACD DCE
⑤如图所示：当AD EB
∥时，延长AC交BE于点F，
∴60
∠=∠=︒，
A CFB
∵45
∠=︒，
E
∴15
ECF CFB E
∠=∠-∠=︒，
∴180165
∠=︒-∠=︒；
ACE ECF
综合可得：ACE
∠的度数为：30︒或45︒或120︒或135︒或165︒，
故答案为：30︒或45︒或120︒或135︒或165︒．
【点睛】
题目主要考查垂直的性质、各角之间的计算、平行线的性质等，熟练掌握平行线的性质进行分类讨论是解题关键．。