北戴河区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

北戴河区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 为了得到函数
y=sin3x 的图象，可以将函数
y=
sin （
3x+
）的图象（ ）
A
．向右平移
个单位 B
．向右平移
个单位
C
．向左平移个单位 D
．向左平移个单位
2． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-
B ．32163π-
C ．1683π-
D ．3283
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 3． 两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）
A ．akm
B
．
akm
C ．2akm
D
．
akm
4． 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数
()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数
()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（ ）
A ．2013
B ．2014
C ．
2015 D ．20161111] 5． 已知函数f （x ）
=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞） 6．
已知向量
，且
，则sin2θ+cos 2
θ的值为（ ）
A ．1
B ．2
C
．
D ．3
7．
设函数
，则有（ ）
A ．f （x
）是奇函数，
B ．f （x
）是奇函数，
y=b x
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
C ．f （x ）是偶函数
D ．f （x ）是偶函数，
8． 已知的终边过点()2,3，则7tan 4πθ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
等于（ ） A ．15- B ．1
5
C ．-5
D ．5
9． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（ ） A ．{5} B ．{1，2，5}
C ．{1，2，3，4，5}
D ．∅
11．已知函数f （x ）=x （1+a|x|）．设关于x 的不等式f （x+a ）＜f （x ）的解集为A ，若，则
实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）
A ．A
B ⊂α
B ．AB ⊄α
C ．由线段AB 的长短而定
D ．以上都不对
二、填空题
13．（﹣）0+[（﹣2）3] = ．
14．已知双曲线
的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．
15．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．
16．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若﹣1＜a 3＜1，0＜a 6＜3，则S 9的取值范围是 ．
17．在区间[﹣2，3]上任取一个数a ，则函数f （x ）=x 3﹣ax 2+（a+2）x 有极值的概率为 ．
18．函数y=lgx 的定义域为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝1
2
x 2＋x ＋a ，g （x ）＝e x .
（1）记曲线y ＝g （x ）关于直线y ＝x 对称的曲线为y ＝h （x ），且曲线y ＝h （x ）的一条切线方程为mx －y －
1＝0，求m的值；
（2）讨论函数φ（x）＝f（x）－g（x）的零点个数，若零点在区间（0，1）上，求a的取值范围．
20．已知函数f（x）=|x﹣5|+|x﹣3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值m；
（Ⅱ）若正实数a，b足+=，求证：+≥m．
21．已知等差数列{a n}，满足a3=7，a5+a7=26．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；
（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．
22．如图，已知AC，BD为圆O的任意两条直径，直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．
（Ⅰ）证明AD⊥BE；
（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．
23．已知函数f（x）=ax3+2x﹣a，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若a=n且n∈N*，设x n是函数f n（x）=nx3+2x﹣n的零点．
（i）证明：n≥2时存在唯一x n且；
（i i）若b n=（1﹣x n）（1﹣x n+1），记S n=b1+b2+…+b n，证明：S n＜1．
24．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
北戴河区第二高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：由于函数y=sin （3x+）=sin[3（x+）]的图象向右平移
个单位，
即可得到y=sin[3（x+
﹣
）]=
sin3x 的图象，
故选：A ．
【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx+∅）的图象平移变换，属于中档题．
2． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 3． 【答案】D
【解析】解：根据题意，
△ABC 中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，
∵AC=BC=akm ，
∴由余弦定理，得cos120°=，
解之得AB=akm ，
即灯塔A 与灯塔B 的距离为
akm ，
故选：D ．
【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A 与灯塔B 的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．
4． 【答案】D 【解析】
1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()1
2201620162=⨯⨯=，故选D. 1 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.
【方法点睛】本题通过 “三次函数()()3
2
0f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()
(
)00,x f x ”这一探索
性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()3115
33212
f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
5． 【答案】C
【解析】解：∵f （x ）=﹣log 2x ，
∴f （2）=2＞0，f （4）=﹣＜0， 满足f （2）f （4）＜0，
∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点， 故选：C
6． 【答案】A
【解析】解：由题意可得
=sin θ﹣2cos θ=0，即 tan θ=2．
∴sin2θ+cos 2
θ=
=
=1，
故选A ．
【点评】本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．
7． 【答案】C
【解析】解：函数f （x ）的定义域为R ，关于原点对称．
又f （﹣x ）=
=
=f （x ），所以f （x ）为偶函数．
而f （）===﹣=﹣f （x ），
故选C ．
【点评】本题考查函数的奇偶性，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法．
8． 【答案】B 【
解
析
】
考点：三角恒等变换． 9． 【答案】C
【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：
所以m 可以取：0，1，2． 故答案为：C 10．【答案】B
【解析】解：∵C U A={1，5}
∴B ∪（∁U A ）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}． 故选B ．
11．【答案】 A
【解析】解：取a=﹣时，f （x ）=﹣x|x|+x ，
∵f （x+a ）＜f （x ），
∴（x ﹣）|x ﹣|+1＞x|x|，
（1）x ＜0时，解得﹣＜x ＜0；
（2）0≤x ≤时，解得0；
（3）x ＞时，解得
，
综上知，a=﹣时，A=（﹣，），符合题意，排除B 、D ； 取a=1时，f （x ）=x|x|+x ，
∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，
（1）x＜﹣1时，解得x＞0，矛盾；
（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；
（3）x＞0时，解得x＜﹣1，矛盾；
综上，a=1，A=∅，不合题意，排除C，
故选A．
【点评】本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用．
12．【答案】A
【解析】解：∵线段AB在平面α内，
∴直线AB上所有的点都在平面α内，
∴直线AB与平面α的位置关系：
直线在平面α内，用符号表示为：AB⊂α
故选A．
【点评】本题考查了空间中直线与直线的位置关系及公理一，主要根据定义进行判断，考查了空间想象能力．公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
14．【答案】4．
【解析】解：∵双曲线的渐近线方程为y=x，
又已知一条渐近线方程为y=x，∴=2，m=4，
故答案为4．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为y=x，是解题的关键．
15．【答案】﹣2≤a≤2
【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，
则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，
只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．
故答案为：﹣2≤a≤2
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
16．【答案】（﹣3，21）．
【解析】解：∵数列{a n}是等差数列，
∴S9=9a1+36d=x（a1+2d）+y（a1+5d）=（x+y）a1+（2x+5y）d，
由待定系数法可得，解得x=3，y=6．
∵﹣3＜3a3＜3，0＜6a6＜18，
∴两式相加即得﹣3＜S9＜21．
∴S9的取值范围是（﹣3，21）．
故答案为：（﹣3，21）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式及其“待定系数法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
17．【答案】．
【解析】解：在区间[﹣2，3]上任取一个数a，
则﹣2≤a≤3，对应的区间长度为3﹣（﹣2）=5，
若f（x）=x3﹣ax2+（a+2）x有极值，
则f'（x）=x2﹣2ax+（a+2）=0有两个不同的根，
即判别式△=4a2﹣4（a+2）＞0，
解得a＞2或a＜﹣1，
∴﹣2≤a＜﹣1或2＜a≤3，
则对应的区间长度为﹣1﹣（﹣2）+3﹣2=1+1=2，
∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=，
故答案为：
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键．
18．【答案】{x|x＞0}．
【解析】解：对数函数y=lgx的定义域为：{x|x＞0}．
故答案为：{x|x ＞0}． 【点评】本题考查基本函数的定义域的求法．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）y ＝g （x ）＝e x 关于直线y ＝x 对称的曲线h （x ）＝ln x ， 设曲线y ＝h （x ）与切线mx －y －1＝0的切点为（x 0，ln x 0）， 由h （x ）＝ln x 得
h ′（x ）＝1
x ，（x ＞0），
则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝m mx 0－ln x 0－1＝0，
解得x 0＝m ＝1. ∴m 的值为1.
（2）φ（x ）＝1
2x 2＋x ＋a －e x ，
φ′（x ）＝x ＋1－e x ， 令t （x ）＝x ＋1－e x ， ∴t ′（x ）＝1－e x ，
当x ＜0时，t ′（x ）＞0，x ＞0时，t ′（x ）＜0， x ＝0时，t ′（x ）＝0.
∴φ′（x ）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，∴φ′（x ）max ＝φ′（0）＝0， 即φ′（x ）≤0在（－∞，＋∞）恒成立， 即φ（x ）在（－∞，＋∞）单调递减， 且当a ＝1有φ（0）＝0.
∴不论a 为何值时，φ（x ）＝f （x ）－g （x ）有唯一零点x 0， 当x 0∈（0，1）时，则φ（0）φ（1）＜0， 即（a －1）（a －2e －3
2
）＜0，
∴1＜a ＜2e －32，即a 的取值范围为（1，2e －3
2
）．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：∵f （x ）=|x ﹣5|+|x ﹣3|≥|x ﹣5+3﹣x|=2，…（2分） 当且仅当x ∈[3，5]时取最小值2，…（3分） ∴m=2．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵（ +
）[
]≥（
）2
=3，
∴（
+
）×≥（
）2，
∴+≥2．…（7分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式和均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵a 5+a 7=26
∴a 6=13，
，
∴a n =a 3+（n ﹣3）d=2n+1；
（Ⅱ）由（1）可知，
∴
．
22．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵BD 为圆O 的直径，∴AB ⊥AD ， ∵直线AE 是圆O 所在平面的垂线， ∴AD ⊥AE ， ∵AB ∩AE=A ， ∴AD ⊥平面ABE ， ∴AD ⊥BE ；
（Ⅱ）解：多面体EF ﹣ABCD 体积V=V B ﹣AEFC +V D ﹣AEFC =2V B ﹣AEFC ． ∵直线AE ，CF 是圆O 所在平面的两条垂线， ∴AE ∥CF ，∥AE ⊥AC ，AF ⊥AC ．
∵AE=CF=，∴AEFC 为矩形，
∵AC=2，
∴S AEFC =2
，
作BM ⊥AC 交AC 于点M ，则BM ⊥平面AEFC ，
∴V=2V B ﹣AEFC =2×
≤
=．
∴多面体EF ﹣ABCD 体积的最大值为
．
【点评】本题考查线面垂直，线线垂直，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f'（x）=3ax2+2，
若a≥0，则f'（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；
若a＜0，令f'（x）＞0，∴或，
函数f（x）的单调递增区间为和；
（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）得，f n（x）=nx3+2x﹣n在R上单调递增，
又f n（1）=n+2﹣n=2＞0，
f n（）==
==﹣
当n≥2时，g（n）=n2﹣n﹣1＞0，，
n≥2时存在唯一x n且
（i i）当n≥2时，，∴（零点的区间判定）
∴，（数列裂项求和）
∴，
又f1（x）=x3+2x﹣1，，（函数法定界）
，又，
∴，
∴，（不等式放缩技巧）
命题得证．
【点评】本题主要考查了导数的求单调区间的方法和利用数列的裂项求和和不等式的放缩求和技巧解题，属于难题．
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1；
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10；
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；
应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．
（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；
在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），
（5，6）；
共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．。