辽宁省大连市第二十四中学高考模拟试卷(理)

2008年辽宁省大连市第二十四中学高考模拟
数学试卷（理科）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k n n P P C k P --=)1()(
球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 33
4R V π=
其中R 表示球的半径
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的.
1．}|{},12|{2
x y y N x y x M -==+==，则M ，N 两个集合的关系是 （ ）
A ．)]1,1{(-=⋂N M
B ．N M ⋂=
C ．N M ⊆
D ．M N ⊆ 2．“22-≠≠y x 或”是“4-≠xy ”的
（ ）
A ．必要而不充分条件
B ．充分而不要条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．等差数列{a n }中，a 5+a 7=16，a 3=4，则a 9= （ ）
A ．8
B ．12
C ．24
D ．25 4．复数2
)1(1
i z +=
的虚部为
（ ） A ．
i 21 B ．-
i 2
1 C ．
2
1 D ．－
2
1 5．设O 为平行四边形ABCD 的对称中心，216,4e e ==，则2132e e -=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设l ，m ，n 表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，给出下列四个命题：
①若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m ；
②若m ⊂β，n 是l 在β内的射影，m ⊥l ，则m ⊥n ； ③若m ⊂α，m ∥n ，则n ∥α；
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β. 其中真命题为 （ ）
A ．①②
B ．①②③
C ．①②③④
D ．③④
7．已知函数)(62
131)(2
3R x x ax x x f ∈+-=
，若它的导函数+∞'=,2[)(在x f y ）上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．]4,(-∞
B ．),4[+∞
C ．]4,(--∞
D ．),4[+∞-
8．20名学生，任意分成甲、乙两组，每组10人，其中2名学生干部恰好被分在不同组内的概率是
（ ）
A ．10
20
9
1812C C C B ．10
20
818122C C C C ．10
20
819122C C C D ．10
20
81812C C C 9．若函数)0,4
()4sin()(π
π
P x y x f y 的图象关于点的图象和+==对称，则)(x f 的表达
式为)(x f =
（ ）
A ．)4
cos(π
+
x B ．)4
cos(π
-
-x C ．)4cos(π
+
-x D ．)4
cos(π
-x
10．已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A ．（1，2）
B ．（－1，2）
C ．（2，+∞）
D ．),2[+∞
11．在半径为10cm 的球面上有A ，B ，C 三点，且AB=38cm ，∠ACB=60°，则球心O 到平面ABC 的距离为 （ ）
A ．2cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm
12．椭圆)0(1:22
221>>=+b a b
y a x C 的左准线为l ，F 1，F 2分别为左、右焦点，抛物线C 2
的准线为l ，焦点为F 2，C 1，C 2的一个交点为P ，则
|
||
|||||21121PF PF PF F F -等于
（ ）
A ．－1
B ．2
1
-
C ．1
D ．
2
1
第II 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．)21
44(
lim 2
2
x x
x +---→= . 14．若11
11221092)2()2()2()12)(1(+++++++=-++x a x a x a a x x x ，
则11210a a a a ++++ = .
15．已知y x z y x x y x y x 34
2211,-=⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≥≤-则函数满足的最大值是 .
16．若m ，n 均为非负整数，在做m+n 的加法时各位均不进位（例如，134+3802=3936），则称（m ，n ）为“简单的”有序对，而m+n 称为有序数对（m ，n ）的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知函数.cos sin sin 3)6
cos(cos 2)(2x x x x x x f +--
=π
（1）求)(x f 的最小正周期；
（2）当ααπα求若时,1)(,],0[=∈f 的值. 18．（本小题满分12分）
有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1，在其每一个侧面上（不在棱上）安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率是0.5，若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面. 假定更换一个面需100元，用ξ表示维修一次的费用.
（1）求面ABB 1A 1需要维修的概率； （2）写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. 19．（本小题满分12分）
在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1，D 为AC 的中点，
（1）求证：B 1C ∥平面A 1BD ；
（2）若AC 1⊥平面A 1BD ，二面角B —A 1C 1—D 的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知数列{a n }中，),2(12*1
N n n a a n n ∈≥-
=-
（1）5
3
1=
a 若，数列{
b n }满足)(11*N n a b n n ∈-=
，求证：数列{b n }是等差数列；并求数列{a n }的通项公式；
（2）若1<a 1<2，求证：1<a n+1<a n <2. 21．（本小题满分12分）
如图，已知直线)0(1:1:22
22>>=++=b a b
y a x C my x L 过椭圆的右焦点F ，且交椭
圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线2
:a x G =上的射影依次为点D ，K ，E.
（1）若抛物线y x 342
=的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程；
（2）对于（1）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且21,λλ==，当m 变化时，求21λλ+的值；
（3）连接AE ，BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由.
22．（本小题满分14分）
已知),1(,1)1ln()()(,)()(2->-+-=++=-x x e x f x g e a ax x x f x
x
（1）当a=1时，试求函数)(x g 的单调区间，并证明此时方程)(x g =0只有一个实数根，
并求出此实数根； （2）证明：).,2(,2
1ln 1131211*N n n n n ∈≥+>-++++。