(好题)初中数学八年级数学下册第一单元《三角形的证明》检测题(包含答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC ∆中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =2，点D 在AB 上，连结CD ，将ADC ∆沿CD 折叠，点A 的对称点为E ，CE 交AB 于点F ，下列结论正确的个数是（ ）
①当BF =BC 时，EF =23-2；②当BF =BC 时，DEF ∆为直角三角形；③当DEF ∆为直角三角形，EF =23-2；④当DE 平行ABC ∆的边时，∠BCE =30°
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知如图，C 为线段AE 上一动点（不与A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ，OC ，以下四个结论：①AD ＝BE ；②△CPQ 是等边三角形；③AD ⊥BC ；④OC 平分∠AOE ．其中正确的结论是（ ）
A ．①②③④
B ．③④
C ．①②③
D ．①②④
3．已知点P 是ABC 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫
ABC 的费马点（Fermat point ）．已经证明：在三个内角均小于120︒的ABC 中，当120APB
APC BPC 时，P 就是ABC 的费马点．若点P 6的等
腰直角三角形DEF 的费马点，则PD PE PF ++=（ ）
A ．6
B 33
C ．63
D ．9 4．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中不能构成直角三角形的一组是（ ） A ．8，10，12
B ．3，4，5
C ．5，12，13
D ．7，24，25
5．如图，已知等边,2ABC AB =，点D 在AB 上，点F 在AC 的延长线上，
BD CF DE BC =⊥，于点,E FG BC ⊥于,G DF 交BC 于点P ，则下列结论中：
①BE CG =；②EDP GFP ≌；③60EDP ∠=︒；④1EP =．一定正确的是（ ）
A ．①
B ．②④
C ．①②③
D ．①②④
6．已知，如图，BC=DC ，∠B+∠D=180°． 连接AC ，在AB ，AC ，AD 上分别取点E ，P ，F ，连接PE ，PF ． 若AE=4，AF=6，△APE 的面积为4，则△APF 的面积是（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
7．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高线长为4，则底边长是（ ）
A ．3
B ．20
C ．3或20
D ．20或80
8．如图，点B 是线段AC 上任意一点（点B 与点A ，C 不重合），分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形ABD 和等边三角形BCE ，AE 与BD 相交于点G 、
CD 与BE 相交于点F ，AE 与CD 相交于点H ，连HB ，则下列结论：①AE CD =；②120AHC ∠=︒；③HB 平分AHC ∠；④CH EH BH =+．其中正确的结论有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
9．如图所示，O 为直线AB 上一点，OC 平分∠AOE ，∠DOE =90°，则①∠AOD 与∠BOE 互为余角；②OD 平分∠COA ；③若∠BOE =56°40'，则∠COE =61°40'；④∠BOE =2∠COD ．结论正确的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（ ）
A ．65°
B ．105°
C ．55°或105°
D ．65°或115°
11．如图，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，交AB 于点F ，15AB =，12AD =，14BC =，则DE 的长是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．
103
12．如图，ABC ∆中，AB AC =，3BC =，6ABC S ∆=，AD BC ⊥于点D ，EF 是AB 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为（ ）
A ．3.5
B ．4
C ．4.5
D ．5
二、填空题
13．如图，在ABC 中，AB AC =，AD 平分BAC ∠，PD 垂直平分AB 连接BD 并延长，交边AC 于点E ．若BCE 是等腰三角形，则BAC ∠的度数为________．
14．如图：已知ABC 是等腰三角形，120BAC ∠=︒，6AB AC ==，点D 是BC 上的中点，点E 是射线AD 上的一动点，点F 是射线CA 上的一动点，且AE CF =，连接
BF 、CE ，则BF CE +的最小值______．
15．已知C ，D 两点在线段AB 的垂直平分线上，且∠ACB ＝50°，∠ADB ＝86°，则∠CAD 的度数是_____．
16．如图，∠MON =33°，点P 在∠MON 的边ON 上，以点P 为圆心，PO 为半径画弧，角OM 于点A ，连接AP ，则∠APN =____．
17．如图，在ABC 中，,45,,AB AC BAC AD BE =∠=︒是ABC 的高，点Р是直线
AD 上一动点，当PC PE +最小时，则BPC ∠为______度．
18．如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于
1
2
AB 为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，ADC 的周长为15，7AB =，则ABC 的周长为______．
19．如图，在ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，2AE =，ABD △的周长为10，则
ABC 的周长为__________．
20．已知抛物线223y x x =--与x 轴交于点A ，点(1,2)B 与点A 位于y 轴两侧，点P 在点B 的下方，且在对称轴上，当PAB △为等腰三角形时，BP 的长为______________．
三、解答题
21．已知：如图，ABC ∆中，,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线，,BD CE 相交于点O ，联结OA DE ,．求证： （1）OB OC =； （2）OA 垂直平分DE ．
22．如图，已知△ABC ．
（1）请用不带刻度的直尺和圆规在AC 边上作一点D ，使△ABD 的周长等于AB +AC ；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若DC ＝3，AD ＝5，AB ＝4．求证：AB ⊥BD ．
23．如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，连接AD，以AD为边作等边△ADE，连接CE．
（1）求证BD＝CE；
（2）若AC+CD＝2，则四边形ACDE的面积为．
24．阅读下列材料，完成相应任务．
三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？下面是奋进小组的证明过程．
如图1，在△ABC中，已知AB＞AC＞BC．
求证：∠C＞∠B＞∠A．
证明：如图2，将△ABC折叠，使边AC落在AB上，
点C落在AB上的点C′处，折痕AD交BC于点D．
则∠A C′D=∠C．
∵∠A C′D=∠B+∠BDC′（依据1）
∴∠A C′D＞∠B
∴∠C＞∠B（依据2）
如图3，将△ABC折叠，使边CB落在CA上，点B落在CA上的点B′处，折痕CE交AB于点E．则∠CB′E=∠B．
∵∠CB′E=∠A+∠AEB′
∴∠CB′E＞∠A
∴∠B＞∠A
∴∠C ＞∠B ＞∠A ．
归纳总结：利用轴对称的性质可以把研究边与角之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题是常用的方法．
类似地，应用这种方法可以证明“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边”的问题．如图1，已知△ABC 中，∠C ＞∠B ＞∠A ．求证：AB ＞AC ＞BC ．下面是智慧小组的证明过程（不完整）．
证明：如图2，在∠BCA 的内部，作∠BCF =∠B ，CF 交AB 于点F ． 则CF =BF
（依据3）
在△ACF 中，AF +CF ＞AC ， ∴AF +BF ＞AC ， ∴AB ＞AC ；…
任务一：①上述材料中依据1，依据2，依据3分别指什么？ 依据1： ； 依据2： ； 依据3： ．
②上述材料中不论是由边的不等关系，推出角的不等关系，还是由角的不等关系推出边的不等关系，都是转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，再用三角形外角的性质或三边关系进而解决，这里主要体现的数学思想是_____________；（填正确选项的代码） A ． 转化思想 B ． 方程思想 C ． 数形结合思想
任务二：请将智慧小组的证明过程补充完整，并在备用图中作出辅助线．
任务三：根据上述材料得出的结论，判断下列说法，正确的有__________（将正确的代码填在横线处）．
①在△ABC 中，AB ＞BC ，则∠A ＞∠B ；
②在△ABC 中，AB ＞BC ＞AC ，∠C =89°，则△ABC 是锐角三角形； ③Rt △ABC 中，∠B =90°，则最长边是AC ； ④在△ABC 中，∠A =55°，∠B =70°，则AB =BC ．
25．如图，ABC 中，C 90∠=︒，10cm AB =，6cm BC ，若动点P 从点C 开始，按C→B→A→C 的路径运动，且速度为每秒2cm ，设运动的时间为t 秒．
（1）出发几秒后，BCP 是等腰直角三角形？请说明理由；
（2）当t 为何值时，BCP 为等腰三角形？（直接写出答案）；
（3）另有一点Q ，从点B 开始，按B→C 的路径运动，且速度为每秒0.5cm ，若P ，Q 两点同时出发，当P ，Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ 把
ABC 的周长分成的两部分长度是2倍关系？
26．在ABC 中，AB CB =，CB 垂直于AB ，E 为CB 延长线上一点，点F 在AB 上，且AE CF =．
（1）求证：ABE CBF △≌△； （2）若70CAE ∠=︒，求ACF ∠的度数．
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由勾股定理可求A C 的长，利用折叠的性质和等腰三角形的性质依次计算可得①②正确．利用直角三角形分类讨论可知EF 有两种情况，③不正确，由平行内错角角相等可知④正确； 【详解】 解：
①∵BF =BC ，且∠ABC =60°，
∴BCF ∆为等边三角形，BF =CF =BC =2，AC 3AB =4， ∵ADC ∆沿CD 折叠，
∴CE =AC 3EF =CE -CF 3，故①正确； ②当BF =BC 时，∠EFD =∠BFC =60°， ∴∠DEF =∠A =30°，∠EDF =90°， ∴EDF ∆为直角三角形，故②正确；
③当DEF ∆为直角三角形时，此处要分情况讨论，当∠EDF =90°时， ∵∠DEF =∠A =30°，
∴∠EFD =60°=∠BFC ，EF =EC -CF 3-2，
当∠EFD=90°时，∵∠ABC=60°，∠BCF=30°，
∴FC
EF=EC-FC，综上所述，EF，故③错误；
的边时，∵DE∥BC，∴∠EDF=∠ABC=60°，
④当DE平行于ABC
∵∠DEC=30°，∴∠BCF=∠DEC=30°，故④正确，
故选C
【点睛】
本题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出CA，学会运用分类讨论是解题的关键．2．D
解析：D
【分析】
先由SAS判定△ACD≌△BCE，证得①正确；再由ASA证△ACP≌△BCQ，得到CP＝CQ，②正确，同理证得CM＝CN，得到④正确；易得③不正确．
【详解】
解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠BCD+∠ECD，∠BCD＝60°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，故①正确；
∠CAD＝∠CBE，
∵∠BCA＝∠BCD＝60°，AC＝BC，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，
又∵∠PCQ＝60°，
∴△CPQ是等边三角形，故②正确；
过C作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM（AAS），
∴CM＝CN，
∵CM⊥BE，CN⊥AD，
∴OC平分∠AOE，故④正确；
当AC＝CE时，AP平分∠BAC，
则∠PAC＝30°，此时∠APC＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
则AD⊥BC，故③不正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
3．B
解析：B 【分析】
根据题意首先画出图形，过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作
30MEP MFP ∠=∠=︒，则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，求出PE ，PF ，DP 的长即可解决问题． 【详解】
解：如图：过点D 作DM EF ⊥于点M ，在BDE ∆内部过E 、F 分别作30MEP MFP ∠=∠=︒，
则120EPF FPD EPD ∠=∠=∠=︒，点P 就是费马点，
在等腰Rt DEF △中，6DE DF ==DM EF ⊥， 223EF DE ∴== 3EM DM ∴=
∵∠PEM =30°，∠PME =90°， ∴EP =2PM ，
则()2
222PM EM PM +=， 解得：1PM =，则2PE =， 故31DP ，同法可得2PF =， 则312233PD PE PF ++++= 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，正确画出图形进而求出PE 的长是解题关键．
4．A
解析：A 【分析】
利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角来判定即可．
【详解】
解：A 、∵82＋102≠122，∴三条线段不能组成直角三角形，故A 选项符合题意； B 、∵32＋42＝52，∴三条线段能组成直角三角形，故B 选项不符合题意；
C 、∵52＋122＝132，∴三条线段能组成直角三角形，故C 选项不符合题意；
D 、∵72＋242＝252，∴三条线段能组成直角三角形，故D 选项不符合题意；
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理逆定理，解题的关键是掌握勾股定理逆定理以及准确计算． 5．D
解析：D
【分析】
由等边三角形的性质可以得出△DEB ≌△FGC ，就可以得出BE ＝CG ，DE ＝FG ，就可以得出△DEP ≌△FGP ，得出∠EDP ＝∠GFP ，EP ＝PG ，得出PC ＋BE ＝PE ，就可以得出PE ＝1，从而得出结论．
【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°．
∵∠ACB ＝∠GCF ，
∵DE ⊥BC ，FG ⊥BC ，
∴∠DEB ＝∠FGC ＝∠DEP ＝90°．
在△DEB 和△FGC 中，
DEB FGC GCF A BD CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DEB ≌△FGC （AAS ），
BE ＝CG ，DE ＝FG ，故①正确；
在△DEP 和△FGP 中，
DEP FGP DPE FPG DE FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DEP ≌△FGP （AAS ），故②正确；
∴PE ＝PG ，∠EDP ＝∠GFP≠60°，故③错误；
∵PG ＝PC ＋CG ，
∴PE ＝PC ＋BE ．
∵PE ＋PC ＋BE ＝2，
∴PE ＝1，故④正确．
∴正确的有：①②④．
故选D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
6．C
解析：C
【分析】
作PG AB ⊥于点G ，PJ AD ⊥于点J ，延长AD ，取DH AB =，连接CH ，先证明()ABC HDC SAS ≅，由全等三角形对应边相等、对应角相等，得到
,BAC H AC CH ∠=∠=，结合等边对等角得到BAC CAD ∠=∠，再由角平分线的性质证得PG PJ =，最后根据三角形面积公式解题即可.
【详解】
解：如图，作PG AB ⊥于点G ，PJ AD ⊥于点J ，延长AD ，取DH AB =，连接CH ，
180,180B ADC ADC CDH ∠+∠=︒∠+∠=︒
B CDH ∴∠=∠
BC CD B CDH AB BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()ABC HDC SAS ∴≅
,BAC H AC CH ∴∠=∠=
CAD H ∴∠=∠
BAC CAD ∴∠=∠
PG PJ ∴=
142
APE S AE PG =⋅= 2PG ∴=
2PJ ∴=
1162622
APF S AF PJ ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等边对等角、角平分线的性质等知识，是重要考点，难度一般，作出正确的辅助线、掌握相关知识是解题关键.
7．D
解析：D
【分析】
需分等腰三角形的顶角是钝角和等腰三角形的顶角是锐角两种情况解答即可．
【详解】
解：如图：（1）当顶角是钝角时，在Rt △ACO 中，由勾股定理可得AO 2=AC 2-OC 2=52-42=9 ∴AO=3，即OB=AB+AO=5+3=8
在Rt △BCO 中，由勾股定理可得BC 2=OB 2+OC 2=82+42=80,则BC=80； （2）顶角是锐角时
在Rt △ACD 中，由勾股定理可得AD 2=AC 2-DC 2=52-42=9，
∴AD=3，DB=AB-AD=5-3-2
在Rt △BCD 中，由勾股定理，得BC 2=DB 2+DC 2=22+42=20,则BC=20；
综上，该等腰三角形的底的长度为20或80．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理及等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理和分情况讨论思想是解答本题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
利用等边三角形,ABD BCE 的性质，证明 ,ABE DBC ≌ 从而可判断①，由
,ABE DBC ≌可得,EAB CDB ∠=∠ 再利用三角形的内角和定理可判断②，如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N 利用全等三角形的对于高相等证明,BM BN = 从而可判断③，如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK 证明EHK 为等边三角形，再证明,EHB EKC ≌ 可得,HB KC = 从而可判断④．
【详解】
解：
,ABD BCE 为等边三角形， ,60,60BA BD ABD BC BE CE CBE ∴=∠=︒==∠=︒，，
,ABD DBE CBE DBE ∴∠+∠=∠+∠ 即,ABE DBC ∠=∠
(),ABE DBC SAS ∴≌
,AE DC ∴= 故①符合题意；
,ABE DBC ≌
,EAB CDB ∴∠=∠
,DGH AGB ∠=∠
180,180,DHG CDB DGH ABD EAB AGB ∠=︒-∠-∠∠=︒-∠-∠
60DHG ABD ∴∠=∠=︒，
120AHC ∴∠=︒，
故②符合题意； 如图，过B 作BM AE ⊥交AE 于,M 过B 作BN DC ⊥交DC 于,N
,ABE DBC ≌,AE DC 为对应边，
,BM BN ∴=
HB ∴平分,AHC ∠ 故③符合题意；
如图，在CH 上截取,HK HE = 连接,EK
60,EHK AHD ∠=∠=︒
EHK ∴为等边三角形，
,60,EK EH HEK ∴=∠=︒
60,60,HEK HEB FEK BEC FEK KEC ∠=︒=∠+∠∠=︒=∠+∠
,HEB KEC ∴∠=∠
,BE CE =
(),EHB EKC SAS ∴≌
,HB KC ∴=
.CH CK HK BH EH ∴=+=+ 故④符合题意；
综上：①②③④都符合题意，
故选：.A
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握以上知识是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
由平角的定义与90DOE ∠=︒，即可求得AOD ∠与∠BOE 互为余角；又由角平分线的定义，可得22AOE COE AOC ∠=∠=∠，即可求得2BOE COD ∠=∠，若5640BOE ∠=︒'，则6140COE ∠=︒'．
【详解】
解：90DOE ∠=︒，
90COD COE ∴∠+∠=︒，
90EOB DOA ∴∠+∠=︒，
故①正确； OC 平分AOE ∠，
22AOE COE AOC ∴∠=∠=∠；
1801802BOE AOE COE ∴∠=︒-∠=︒-∠，
90COD COE ∠=︒-∠，
2BOE COD ∴∠=∠，90AOD BOE ∠=︒-∠，
故②不正确，④正确；
若5640BOE ∠=︒'，
180AOE BOE ∠+∠=︒，
11(180)(1805640)614022
COE BOE ∴∠=︒-∠=︒-︒'=︒'． 故③正确；
∴①③④正确．
故答案为：B ．
【点睛】
此题考查了平角的定义与角平分线的定义．题目中要注意各角之间的关系，解题时要仔细识图．
10．D
解析：D
【分析】
分两种情况：等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角，分别进行求解即可．
【详解】
解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°＋25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°−25°＝65°．
综上所述，顶角的度数为：65°或115°．
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质，注意此类题的两种情况．同时考查了：直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
11．D
解析：D
【分析】
作EG AC ⊥于点G ，分别通过勾股定理计算出BD ，DC ，AC ，再结合角平分线的性质得到DE GE =，设DE GE x ==，分别表示AE ，AG ，最终在Rt AEG 中运用勾股定理求解即可．
【详解】
解：如图所示，作EG AC ⊥于点G ，
∵AD BC ⊥于点D ，
∴在Rt ABD △中，229BD AB AD =
-=， ∵14BC =，
∴5DC BC BD =-=，
∴在Rt ACD △中，2213AC AD CD =
+=， ∵CF 平分ACB ∠交AD 于点E ，EG AC ⊥，ED BC ⊥
∴DE GE =，
∵CE=CE
∴△△CED CEG ≌，
∴5CD CG ==，
设DE GE x ==，则12AE AD ED x =-=-，8AG AC GC =-=，
∴在Rt AEG 中，222AE EG AG =+，
即：()2
22128x x -=+， 解得：103x =
，即：103DE =， 故选：D ．
【点睛】
本题考查角平分线的性质以及勾股定理，灵活根据角平分线的性质构造辅助线并且熟练运用勾股定理求解是解题关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据三角形的面积公式得到AD=4，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD=PB+PD 的最小值，即可得到结论．
【详解】
解：∵AB=AC ，BC=3，S △ABC =6，AD ⊥BC 于点D ，
∴AD=4，
∵EF 垂直平分AB ，
∴点A ，B 关于直线EF 对称，
∴EF 与AD 的交点P 即为所求，
如图，连接PB ，此时PA=PB ，PB+PD=PA+PD=AD ，AD=PB+PD 的最小值，
即PB+PD 的最小值为4，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了轴对称-最短路线问题，线段的垂直平分线的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
二、填空题
13．45°或36°【分析】设∠BAD=∠CAD=α根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC ∠BEC 和∠C 再分三种情况讨论即可【详解】解：∵AD 平分∴设∠BAD=∠CAD=α∵AB=AC ∴∠AB
解析：45°或36°．
【分析】
设∠BAD=∠CAD=α，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质表示∠EBC 、∠BEC 和∠C ，再分三种情况讨论即可．
【详解】
解：∵AD 平分BAC ∠，
∴设∠BAD=∠CAD=α，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C=
1802902
αα︒-=︒-， ∵PD 垂直平分AB ，
∴AD=BD ， ∴∠ABD=∠BAD=α,∠EBC=∠ABC-∠ABE=902α︒-，
∴∠BEC=∠ABE+∠BAC=3α,
当BE=BC 时，
∴∠BEC=∠C ，即903αα︒-=，解得22.5α=︒，
∴245BAC α∠==︒；
当BE=CE 时，∠EBC=∠C ，此时E 点和A 点重合，舍去；
当BC=CE 时，
∴∠EBC=∠BEC ，即9023αα︒-=，解得18α=︒，
∴236BAC α∠==︒，
故答案为：45°或36°．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理,垂直平分线的性质．掌握方程思想，能正确表示相关角是解题关键．
14．12【分析】延长BA到G使AG=AC=6先证明△ACG是等边三角形得AC=GC 再证明△ACE≌△CGF得CE=GF可得BF+CE=BF+GF最后根据两点之间线段最短可得结论【详解】解：延长BA到G使
解析：12
【分析】
延长BA到G，使AG=AC=6，先证明△ACG是等边三角形得AC=GC，再证明△ACE≌△CGF 得CE=GF，可得BF+CE=BF+GF，最后根据两点之间线段最短可得结论．
【详解】
解：延长BA到G，使AG=AC=6，如图，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠GAC=60°,∠ABC=∠ACB=30°，
∵AG=AC
∴△ACG是等边三角形
∴CG=AC=6，∠ACG=60°，
∵D是BC的中点，AB=AC
∠BAC=60°=∠ACG，
∴∠DAC=1
2
又AE=CF
∴△ACE≌△CGF
∴CE=GF
∴BF+CE=BF+GF
要使BF+CE最小，只要使BF+GF最小即可，
根据两点之间线段最短可得：BF+GF≥BG=AB+AG=6+6=12
即BF+CE的最小值为12，
故答案为：12．
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知
识，作辅助线构造等边三角形是解答此题的关键．
15．18°或112°【分析】分点C与点D在线段AB两侧点C与点D在线段AB同侧两种情况根据线段垂直平分线的性质等腰三角形的性质解答【详解】解：如图∵CD两点在线段AB的中垂线上∴CA＝CBDA＝DB∵C
解析：18°或112°
【分析】
分点C与点D在线段AB两侧、点C与点D在线段AB同侧两种情况，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质解答．
【详解】
解：如图，
∵C、D两点在线段AB的中垂线上，
∴CA＝CB，DA＝DB，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝1
2∠ACB＝1
2
×50°＝25°，∠ADC＝
1
2
∠ADB＝1
2
×86°＝43°，
当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，
故答案为：18°或112°．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．66°【分析】根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO再用外角的性质求解即可【详解】解：由作图可知
PO=PA∴∠MON=∠PAO=33°∠APN=∠MON+∠PAO=66°故答案为：66°【点睛】解析：66°
【分析】
根据等腰三角形的性质可知∠MON=∠PAO，再用外角的性质求解即可．
【详解】
解：由作图可知，PO=PA，
∴∠MON=∠PAO=33°，
∠APN=∠MON+∠PAO=66°，
故答案为：66°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，解题关键是通过作图得到等腰三角形，依据等腰三角形的性质熟练计算．
17．【分析】连接PC只要证明PB=PC即可推出PC+PE=PB+PE可得PBE共线时PC+PE的值最小最小值为BE的长度从而结合等腰三角形的性质求解【详解】解：如图连接PC∵AB=ACAD⊥BC∴BD=
解析：135
【分析】
连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PC+PE=PB+PE，可得P、B、E共线时，PC+PE的值最小，最小值为BE的长度，从而结合等腰三角形的性质求解．
【详解】
解：如图，连接PC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴PB=PC，
∴PC+PE=PB+PE，
又∵BE⊥AC
∴P、B、E共线时，PC+PE的值最小为BE的长，
∵AB=AC，∠BAC=45°，BE⊥AC
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∠ABE=45°
∴∠PBC=∠PCB=67.5°-45°=22.5°
∴∠BPC=180°-22.5°×2=135°
故答案为：135．
【点睛】
本题考查轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．22【分析】根据题意可得MN为AB的垂直平分线故即可求解【详解】
解：根据题意可得MN 为AB 的垂直平分线∴∴的周长为故答案为：22【点睛】本题考查尺规作图-线段垂直平分线线段垂直平分线的性质得到MN 为 解析：22
【分析】
根据题意可得MN 为AB 的垂直平分线，故AD BD =，即可求解．
【详解】
解：根据题意可得MN 为AB 的垂直平分线，
∴AD BD =，
∴ABC 的周长为
22AC AB BC AC CD BD AB AC CD AD AB ++=+++=+++=，
故答案为：22．
【点睛】 本题考查尺规作图-线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到MN 为AB 的垂直平分线是解题的关键．
19．14【分析】由线段的垂直平分线的性质可得从而可得答案【详解】解：是的垂直平分线的周长故答案为：【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键
解析：14
【分析】
由线段的垂直平分线的性质可得2,AC AE AD DC ==，从而可得答案．
【详解】 解： DE 是AC 的垂直平分线．2AE =，
24,,AC AE AD DC ∴===
10,AB BD AD ++=
ABC ∴的周长AB BC AC AB BD AD AC =++=+++
10414.=+=
故答案为：14.
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 20．2或4或【分析】首先根据题意求得抛物线与x 轴交点的坐标继而由勾股定理解得的长再运用分类讨论的方法按为底或为腰两种情况逐一解题即可【详解】解:令得与点位于y 轴两侧抛物线的对称轴为当为等腰三角形时如图若
解析：2或4或
【分析】
首先根据题意，求得抛物线与x 轴交点A 的坐标，继而由勾股定理解得AB 的长，再运用分类讨论的方法，按AB 为底或AB 为腰两种情况逐一解题即可．
【详解】
解:令0y =，得2230x x --=
(3)(1)0x x ∴-+=
123,1x x ∴==-
(1,2)B 与点A 位于y 轴两侧，
(1,0)A ∴- 22(20)(11)22AB ∴=-++=，
抛物线223y x x =--的对称轴为12b x a
=-
= 当PAB △为等腰三角形时，
如图，
若AB 为腰，以点B 为圆心，BA 为半径作弧，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点1P ，则1==22BP AB ；
若AB 为腰，以点A 为圆心，AB 为半径作弧，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点2P ，则2==22AP AB
根据等腰三角形三线合一性质得，2=2=22=4B BP y ⨯；
若AB 为底，作AB 的垂直平分线，在点B 的下方，交抛物线对称轴1x =于点3P ，则33AP BP =
设3(1,)P y
(1,2)B ，(1,0)A -
2222(11)(0)(11)(2)y y ∴++-=-+-
即224+44y y y =-+
0y ∴=
3(1,0)P ∴
32BP ∴=
综上所述，BP 的长为2或4或
故答案为：2或4或
【点睛】
本题考查二次函数与一元二次方程、抛物线与x 轴的交点、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）利用三角形的全等，得到一对对应角，后利用等角对等边证明即可；
（2）逆用线段垂直平分线的判定证明即可．
【详解】
（1）∵,,AB AC BD CE =分别是,AC AB 上的中线，
∴BE=CD ，∠EBC=∠DCB ，
∵BC=CB ，
∴△EBC ≌△DCB ，
∴∠ECB=∠DBC ，
∴OB=OC ；
（2）设AO 与DE 的交点为F ，
∵△EBC ≌△DCB ，
∴EC=DB ，
∵OB=OC ；
∴OD=OE ，
∴点O 在线段DE 的垂直平分线上，
∵AE=AD ，
∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，
∴直线AO 是线段DE 的垂直平分线，
∴OA 垂直平分DE ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等，中线的定义，垂直平分线的判定和性质，同一个三角形中，等角对等边，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）作BC的垂直平分线交AC于D，则DC=DB，所以AC=AD+BD，于是可判断D点满足条件；
（2）利用勾股定理的逆定理证明△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，从而得到结论．
【详解】
解：（1）如图，点D为所作；
（2）证明：∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DB=DC=3，
在△ABD中，∵BD=3，AB=4，AD=5，
∴BD2+AB2=AD2，
∴△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，
∴AB⊥BD．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理的逆定理．
23．（1）详见解析；（23
【分析】
（1）由题意可以得到△ABD ≌△ACE ，从而得到BD=CE ；
（2）分别过E 作AC 、CD 的垂线EM 、EN ，由（1）及勾股定理可以求得EM 、EN 的值，然后根据三角形面积计算方法及AC+CD=2可以得到四边形ACDE 的面积 ．
【详解】
证明：（1）∵△ABC 和△ADE 为等边三角形，
∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝60°，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD ＝CE ；
（2）∵△ABD ≌△ACE ，
∴∠ACE ＝∠ABD ＝60°，
∴∠DCE ＝180°﹣∠ACE ﹣∠ACB ＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
过点E 作EM ⊥AC 于M ，过E 作EN ⊥BC ，交BC 延长线于N ，
∴EM ＝EN ，
∵CE ＝BD ＝AC +CD ＝2，
∴EM ＝EN 3
∴ACE DCE ACDE S S S =+四边形
1122AC EM CD EN =
⨯+⨯ ()1132322
EM AC CD =+== 3
【点睛】
本题考查四边形的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质、三角形全等的判定及应用、勾股定理、三角形面积的计算方法及角平分线的性质是解题关键．
24．任务一：①依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和； 依据2：等量代换；依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）； ②A ；任务二：见解析；任务三：②③④
【分析】
任务一：①根据三角形的外角性质、等量代换以及三角形中等角对等边性质即可写出依据；②根据分析过程渗透的思想为转化的思想方法；
任务二：仿照推导AB＞AC的方法证明AC＞BC即可证明结论正确；
任务三：根据结论“在一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等边对等角”进行判断即可解答．
【详解】
解：任务一：①根据推导过程可知：
依据1：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
依据2：等量代换；
依据3：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；
故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；等量代换；如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（或等角对等边）；
②根据推导过程体现了转化的数学思想方法，
故选：A；
任务二：智慧小组的证明过程补充如下：
证明：如图2，在∠BCA的内部，作∠BCF=∠B，CF交AB于点F．
则CF=BF，（等边对等角）
在△ACF中，AF+CF＞AC，
∴AF+BF＞AC，
∴AB＞AC；
同理，如图，在∠ABC的内部，作∠ABG=∠A，BG交AC于点G，如图，
则AG=BG
在△BCG中，BG+CG＞BC，
∴BG+CG＞BC，
∴AC＞BC
∴AB＞AC＞BC．
任务三：
①∵AB＞BC，∴∠C＞∠A，错误；
②∵在△ABC中，AB＞BC＞AC，∠C=89°，
∴∠C＞∠A＞∠B，又∠C=89°＜90°，
∴△ABC是锐角三角形，正确；
③∵Rt△ABC中，∠B=90°，
则最长边是斜边AC ，正确；
④∵在△ABC 中，∠A=55°，∠B=70°，
∴∠C=180°﹣∠A ﹣∠B=180°﹣55°﹣70°=55°，
∴∠A=∠C
∴AB=BC ，正确，
故答案为：②③④．
【点睛】
本题考查三角形的边与角之间的不关系的推导及其应用，涉及三角形的外角性质、等腰三角形的等角对等边性质、三角形的内角和定理、判断三角形的形状、命题的证明等知识，掌握在一个三角形中，大角对大边，小角对小边这一性质的推导过程，会利用转化的思想进行命题的证明是解答的关键．
25．（1）出发9秒后，BCP 是等腰直角三角形；（2）当t=6.6秒或9秒或6秒或5.5秒时，△BCP 为等腰三角形；（3）当t 为5.6秒或8.8秒时，直线PQ 把ABC 的周长分成的两部分长度是2倍关系．
【分析】
（1）由题意得出BC=CP ，即可得出结果；
（2）△BCP 为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BC=BP ；③PB=PC ；即可得出答案．
（3）若直线PQ 把△ABC 的周长分成的两部分之间是1：2，则一部分为8，另一部分为16，分两种情况，即可得出答案．
【详解】
解：（1）如下图，
在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得 22221068AC AB BC cm =-=-=，
当△BCP 为等腰直角三角形时，
CP=BC=6cm ，
即AP=AC-CP=2cm ，
∴6102922
BC AB AP t ++++===（秒）， 故出发9秒后，BCP 是等腰直角三角形；
（2）△BCP 为等腰三角形时，分三种情况：。