2021衡水名师原创数学专题卷：专题四《函数的图象、函数的应用》

2021衡水名师原创数学专题卷 专题四《函数的图象、函数的应用》
考点10：函数的图象（1-5题，13题，17,18题） 考点11：函数与方程（6-10题，14,15题，19-21题） 考点12：函数模型及其应用（11,12题，16题，22题）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1.在下列图象中，函数()y f x =的图象可能是( )
A. B.
C. D.
2.函数1()cos ,[π,0)
(0,π]f x x x x x ⎛
⎫=+∈- ⎪⎝
⎭的图象可能为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔
裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数1
()sin 2
f x x x =
-的图像大致是( ) A ． B ．
C ．
D ．
4.函数241
x
y x =
+的图象大致为( ) A. B.
C. D.
5.已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象( )
A ．
B ．
C ．
D ．
6.函数()223,0
2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩
的零点个数是( )
A ． 3
B ．2
C ．1
D ．0
7.已知函数()e 2
x m
f x x mx =-+在()0,+∞上有两个零点，则m 的取值范围是( ) A. ()0,e
B. ()0,2e
C. ()e,+∞
D. ()2e,+∞
8.已知函数()log f x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是( ) A. ()71,2log 3
B. ()52,2log 3--
C. ()52log 3,1--
D. 71log 3,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

）
9.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：
AQI 指数 0-50 51-100 101-150
151-200 201-300 300>
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
下图是某市12月1日～20日AQJ 指数变化趋势
下列叙述正确的是( )
A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100
B ．这20天中的中度污染及以上的天数占
1
4
C ．该市12月的前半个月的空气质量越来越好
D ．总体来说，该市12月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
10.若函数2(),()log x a f x a g x x -==,其中0a >,其1a ≠.则函数(),()f x g x 在同一坐标系的大致图象可能是( )
A. B. C. D.
11.已知函数3()e e x x f x x ax -=-+-，则下列结论中正确的是( ) A.若()f x 在区间[1,1]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则0M m += B.曲线()y f x =与直线y ax =-相切
C.若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(,2]-∞
D. ()f x 在R 上最多有3个零点
12.设函数1,2
()log |2|1,2,1a x f x x x a =⎧=⎨-+≠>⎩,若函数2()[()]()g x f x bf x c =++有三个零点
123,,x x x ,则下列说法正确的是( )
A.b 的值为-2
B.c 的值为1
C.a 的值无法确定
D.12231310x x x x x x ++=
第II 卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

）
13.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的跟1234,,,x x x x 则
1234x x x x +++=________.
14.函数()e x
f x ax 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围为：_________
15.用二分法求方程1
ln x x
=在[]1,2上的近似解,取中点 1.5c =,则下一个有根区间为_________.
16.已知函数 1()(21)x f x x e ax +=++ （ a R ∈ ， e 是自然对数的底数）.若有且仅有3个负整数 123,,x x x ，使得 ()10f x ≤ ， ()20f x ≤ ， ()30f x ≤ ，则a 的最小值是________.
四、解答题（本题共6小题，共70分。

）
17.（本题满分10分）已知函数()x
f x a =，1()x
g x a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（0a >且1a ≠），1(1)2f -=．
（1）求函数()f x 和()g x 的解析式；
（2）在同一坐标系中画出函数()f x 和()g x 的图象；
（3）如果()()f x g x <，请直接写出x 的取值范围 18.（本题满分12分）画出函数()f x x =与函数2
1()24
g x x =-的图象，
并比较两者在[0,)+∞上的大小关系.
19.（本题满分12分）已知二次函数2()(2)3f x ax b x =+-+，且1,3-是函数()f x 的零点. （1）求()f x 解析式，并解不等式()3f x ≤; （2）若()(sin ),g x f x =求函数()g x 的值域.
20.（本题满分12分）已知函数()e 1,x f x mx m =++∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）设213
()22
x x ϕ=+，当(0,)x ∈+∞时，()()f x x ϕ=有两个不同实数根，求实数m 的取值范围.
21.（本题满分12分）已知函数()()()21
1e R 2
x f x x ax a =--∈.
（1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.
22.（本题满分12分）由历年市场行情知，从11月1日起的30天内，某商品每件的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系是 **20,(25,N )45,(2530,N )t t t P t t ⎧+<∈=⎨≤≤∈⎩
，
日销售量Q(件)与时间t (天)的函数关系是
*
=-+≤∈.
Q t t t
40(30,N)
（1）设该商品的日销售额为y元，请写出y与t的函数关系式；（商品的日销售额=该商品每件的销售价格×日销售量）
（2）求该商品的日销售额的最大值，并指出哪一天的销售额最大？
答案以及解析
1.答案：D
解析：由函数的概念可知，任意一个自变量的值对应因变量的唯一的值，
∴可作直线x a =从左向右在定义域内移动，看直线x a =与曲线图象的交点个数是否唯一， 显然，A ，B ，C 均不满足，而D 满足，故选D 2.答案：A
解析：B D 、．根据题意，图数1()cos f x x x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭ [π,0)(0,π]x ∈-有
()11()cos()cos f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛
⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即函数()f x 为奇函数，排除B 、D
C ．在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，有cos 0x >，且10x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,则1()cos 0f x x x x ⎛
⎫=+> ⎪⎝
⎭，排除C
故选：A ． 3.答案：A
解析：()11()sin()sin 22f x x x x x f x ⎛⎫
---=--=- ⎪⎝⎭
,故函数()f x 为奇函数，其图象关于原点
对称，故排除BD ；
又ππ
1024f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C.
故选：A. 4.答案：A
解析：解法一 令24()1
x
f x x =+，显然()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，排除C ，D ，由(1)0f >，排除B ，故选A. 解法二 令24()1
x
f x x =+，由(1)0f >，(1)0f -<，故选A. 5.答案：A
解析：由函数()()()()f x x a x b a b =-->的图象知：01,1a b <<<-， 01a <<∵，
∴函数()x
g x a b =+在定义域R 上是减函数，
∴C D 、选项不正确， ()0010g a b b =+=+<∵,
∴B 选项不正确 综上所述，答案选择：A 6.答案：B
解析：画出函数()f x 的图像可得其图像与x 轴有两个交点，则函数()f x 有2个零点
7.答案：B
解析：函数()e 2x
m f x x
mx =-+
在()0,+∞上有两个零点,等价于()e x h x x =与1()2g x m x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,
有两个不同的交点 , ()g x 恒过1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭
,设()g X 与()h X 相切时切点为()
,e m
m m ,因为
()e (1)x g x x +'=,所以e (1)e 12
m
m
m m m +=
-
,解得1m =,此时切线斜率为2e 有函数图像可知：函数
()e 2
x m
f x x mx =-+
在()0,+∞上有两个零点,则实数m 的取值范围是()2e,+∞ 故选B. 8.答案：B
解析：由函数()3log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3x
g x =，
函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，当[]0,1x ∈时，()()131x
h x g x =-=-，
函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，即()3log k x h x =-有3个不同根， 画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象如图：
要使函数3log y k x =与
()y h x =-的图象有3个交点，则0k <，且33log 32
log 52
k k >-⎧⎨<-⎩，即522log 3k -<<-∴实数k 的取值范围是()52,2log 3--．
故选：B ． 9.答案：ABD
解析：A. 20天中AQI 指数值有10个低于100，10个高于100，其中位数略高于100，A 正确；
B. 20天中AQI 指数值高于150的天数为4，即占总天数的
1
4
，B 正确； C. 该市10月的前4天的空气质量越来越好，从第5天到第15天，空气质量越来越差，C 错误；
D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量要好些，D 正确。

10.答案：AD
解析：由题意知2()x f x a -=是指数函数,()log a g x x =是对数函数,且是一个偶函数,当01a <<时,2()x f x a -=单调递减,()log a g x x =在(0,)+∞上递减,此时A 选项符合题意,当1a >时,2()x f x a -=单调递增,()log a g x x =在(0,)+∞上单调递增,此时D 选项符合题意,故选
AD.
11.答案：ACD
解析：因为对于任意x ∈R ，都有3()e e ()()()x x f x x a x f x --=-+---=-，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确.
2()e e 3x x f x x a '=++-，令()f x a '=-，得2e e 30()x x x -++=*，因为2e 0,e 0,30x x x ->>，所以方程()*无实数解，即曲线()y f x =的所有切线的斜率都不可能为a -，故B 错误. 若()f x 为增函数，则()0f x '，即2e e 3x x a x -++，因为2e e 2,30x x x -+，所以2e e 32x x x -++，当且仅当0x =时等号成立，所以2a ，故C 正确.
令()0f x =，得0x =或2
e e (0)x x x a x x --+=≠.设2e e ()x x g x x x
--=+，则
2
(1)e (1)e ()2x x x x g x x x --++'=+，令()(1)e (1)e x x t x x x -=-++，则()
()e e
x x
t x x -'=-.当0x >时，()0t x '>，当0x =时，()0t x '=，当0x <时，()0t x '>，所以函数()t x 为增函数，且(0)0t =，所以当0x >时，()0t x >，从而()0,()g x g x '>单调递增.又因为对于任意0x ≠，都有()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.综上，()g x 在(,0)-∞上单调递减，
在(0,)+∞上单调递增，则直线y a =与()y g x =最多有2个交点，所以()f x 在R 上最多有3个零点，故D 正确. 故选ACD. 12.答案：ABC
解析：作出函数()f x 的大致图像如图所示,由图可得关于x 的方程()f x t =的根有两个或三个(1t =时有三个,1t ≠时有两个),所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =(若有两个根,则关于x 的方程2[()]()0f x bf x c ++=有四个或五个根),由根与系数的关系得11b -=+,111c =⨯=,得2b =-,所以A,B 正确;不妨设123x x x <<,令()1f x =,可得123,,x x x 得
值分别为1,2,3,则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=,由log |12|11a -+=,得01(1)a a =>,故a 的值无法确定,所以C 正确,D 错误.故选ABC.
13.答案：-8
解析：∵定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-,又∵()f x 是奇函数,∴
(4)()f x f x -=-,
∴ 函数图像关于直线2x =对称且(0)0f =,由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=,∴ 函数是以8为周期的周期函数。

又∵()f x 在区间[0,2]上是增函数,∴()f x 在区间[2,0]-上也是增函数,如图所示,那么方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x 不妨设1234x x x x <<<,由对称性知1234123412,4,1248x x x x x x x x +=-+=∴+++=-+=-.
14.答案：(){},0e -∞
解析： ∵函数()e x
f x ax =-有且只有一个零点，
∴函数e x y =与y ax =的图象有且只有一个交点， 作函数e x y =与y ax =的图象如下，
结合图象知，当0a <时成立，
当0a >时，相切时成立，
故()e 1e e 0
x x
x x -'==-； 故1x =；
故e a =； 综上所述,实数a 的取值范围为()
{},0e -∞ 故答案为：()
{},0e -∞
15.答案：(1.5,2) 解析：令1()ln f x x x =-. 1(1)10,(2)ln 2ln102e f f =-<=-
=>>, 321(1.5)ln1.5(ln1.52)33
f =-=-. 因为3231.5 3.375,e 4 1.5=>>, 故3211(1.5)(ln1.52)(ln e 2)033
f =-<-=, (1.5)(2)0f f ⋅<,
所以下一个有根区间是(1.5,2).
16.答案：253e
-
解析：由0
f x≤
（）可得1
(21)x
x e ax
+
+≤-．
令1
()(21),()
x
g x x e h x ax
+
=+=-，1
()(23)x
g x x e
'+
=+，
3
2
x=是极小值点，()
g x的图象如图所示．
显然，当0
a≥时满足()0
f x≤的负整数x有无数个，因此0
a<．
此时必须满足
(3)(3)
(4)(4)
(1)(1)
g h
g h
g h
-≤-
->-
-≤-
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，即
2
3
53
74
1
e a
e a
a
-
-
-≤
->
-≤
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，
解得
23
57
34
a
e e
-≤<-．
故答案为：
2
5
3e
-．
17.答案：（1）()11
1
2
f a-
-==，所以2
a=，所以()2x
f x=，()1
2
x
g x
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（2）
（3）0
x<
解析：
18.答案：函数()
f x与()
g x的图象如图所示.
根据图象易得：
当04x ≤<时，()()f x g x >
当4x =时，()()f x g x =
当4x >时，()()f x g x <.
解析：
19.答案：（1）1,3-是2()(2)3f x ax b x =+-+的零点
2(2)3=0ax b x +-+的两根为1,3-
231+3=,13b a a
-∴--⨯= 1,4a b ∴=-=
2()23f x x x ∴=-++
解不等式2233x x -++≤的0x ≤或2x ≥ ，
∴不等式的解集为{}|02x x x ≤≥或
(2) 2()(sin )sin +2sin +3g x f x x x ==-
()2
sin 1+4x =--
又1sin 1,0()4x g x -≤≤∴≤≤
()g x ∴的值域为[0,4] 解析：
20.答案：（1）()e x f x m '=+，
当0m 时，()0f x '>，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；
当0m <时，令()e 0x f x m '=+=，则ln()x m =-，
则(,ln())x m ∈-∞-时，()0f x '<，()f x 单调递减，
(ln(),)x m ∈-+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.
综上，当0m 时，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；
当0m <时，()f x 在(,ln())m -∞-上单调递减，在(ln(),)m -+∞上单调递增.
（2）由题意知，当(0,)x ∈+∞时，213e 122
x mx x ++=
+有两个不同实数根， 则211e 22x x m x +-=，记211e 22()x
x g x x +-=， 则222111(1)(1)e e (1)222()x x x x x x g x x x
⎡⎤-+----⎢⎥⎣⎦'==. 由（1）知，当1m =-时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，
()e 1(0)2x f x x f ∴=-+>=，即e 1x x >+，
111(1)e (1)(1)(1)0222
x x x x x ∴+-<+-+=-+<， ∴当01x <<时，()0g x '>，
当1x >时，()0g x '<，
()g x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
()(1)1e g x g ∴=-，又当0x →时，()g x →-∞，当x →+∞时，()g x →-∞，
1e m ∴<-.
∴实数m 的取值范围为(,1e)-∞-.
解析：
21.答案：（1）解：由题意得()()
'e x f x x a =-
①当0a ≤时，令()'0f x >，则0x >；令()'0f x <，则0x <， ∴()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增；
②当0a >时，令()'0f x =，则0x =或ln x a =，
（ⅰ）当01a <<时，令()'0f x >，则ln x a <或0x >；令()'0f x <，则ln 0a x <<，
∴()f x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减；
（ⅱ）当1a =时，()()
'e 10x f x x =-≥，∴()f x 在R 上单调递增； （ⅲ）当1a >时，令()0f x '>，则0x <或ln x a >；令()0f x '<，则0ln x a <<，
∴()f x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；
（2）由1得当01a <<时，()f x 在(),ln a -∞和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，∴()f x 在ln x a =处取得极大值()ln f a ，
∵()()()2211ln ln 1ln ln 11022f a a a a a a a ⎡⎤=--=--+<⎣
⎦，∴此时不符合题意； 当1a =时，()f x 在R 上单调递增，∴此时不符合题意；
当1a >时，()f x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，在()0,ln a 上单调递减；
∴()f x 的0x =处取得极大值()0f ，∵()010f =-<，∴此时不符合题意；
当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
∵()010f =-<，()1102
f a =-≥，∴()f x 在()0,+∞上有一个零点，
（ⅰ）当0a <时，令(){0min ln ,1x a =--，当0x x <时，
∵()()()()2221111e 1220222x f x x ax a x ax a x x =-->---=-+->， ∴()f x 在(),0-∞上有一个零点，∴此时符合题意；
（ⅱ）当0a =时，当0x <时，()()1e 0x f x x =-<，
∴()f x 在(),0-∞上没有零点，此时不符合题意；
综上所述，实数a 的取值范围为(),0-∞.
解析：
22.答案：（1）设日销售额为y 元，则y P Q =⋅，
所以**(20)(40),(25,N )45(40),(2530,N )t t t t y t t t ⎧+-<∈=⎨⨯-≤≤∈⎩
． 即：2**20800(25,N )180045(2530,N )t t t t y t t t ⎧-++<∈=⎨-≤≤∈⎩
（2）2**(10)900,(25,N )180045,(2530,N )
t t t y t t t ⎧--+<∈=⎨-≤≤∈⎩． 当025t <<时，10t =，max 900y =；
当2530t ≤≤时，25t =，max 675y =．
故所求日销售金额的最大值为900元，11月10日日销售金额最大解析：。