一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程的根与系数的关系
一、自主学习 感受新知
【问题】解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x 1+x 2，x 1·x 2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
【探究】一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1、x 2 ，由一元
二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-，x 2=a
ac
b b 242
---， 能得出以下结果：
x 1＋x 2= ，即：两根之和等于 x 1•x 2=
，即：两根之积等于
特殊的：若一元二次方程2x +px +q =0的两根为1x 、2x ，则：x 1＋x 2== x 1•x 2= 如果把方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的二次项系数化为1，则方程变形为x 2＋
x ＋a c
＝0(a ≠0)，
则以x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x 2
- x ＋ ＝0(a ≠0) 三、自主应用 巩固新知
【例1】求下列方程的两根之和与两根之积.
（1）2x -6x -15=0 （2）5x -1= 42x （3）2x =4 （4）22x =3x （5）2x -(k +1)x +2k -1=0（x 是未知数，k 是常数）
【例2】已知方程5x 2＋kx -6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k 的值； 解：设方程的另一个根是x 1，那么5621-
=x ∴ x 1= 又x 1+2=5
k
- ∴ k = 【例3】利用根与系数的关系，求一元二次方程2x 2＋3x -1＝0的两个根的 （1）平方和 （2）倒数和
解：设方程的两个根分别为x 1，x 2，那么x 1+x 2= ， x 1x 2= （1）∵ （x 1+x 2）2= x 12+2 +x 22 ∴ x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2 = （2）
==+2
12
11
1x x x x
四、自主学习 感受新知
【问题1】若一元二次方程x 2+10x +16=0的两根是x 1、x 2，则x 1 + x 2 =____；x 1 • x 2 =_______.
【问题2】关于x 的方程10422
=-+kx x 的一个根是－2，则方程的另一根是 ；k ＝ 。

【问题3】甲乙同时解方程2x +px +q =0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑-10。

则p = ，q = 。

【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是 。

五、自主交流 探究新知
【例1】1x 、2x 是方程05322=--x x 的两个根，不解方程，求下列代数式的值： （1）2
22
1x x + （2）21x x - （3）22
22
133x x x -+
【例2】若一元二次方程2x +ax +2=0的两根满足：21x +2
2x =12，求a 的值。

【例3】已知关于x 的方程22
1(1)104
x k x k -++
+=，且方程两实根的积为5，求k 的值． 【例4】已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k 的取值范围；（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由． 【分析】这是一道确定待定系数m 的一元二次方程，•又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力． 六.达标测试
1．如果一元二次方程0752
=--x x 的两个根为βαβα+则.,的值为 。

2.设x 1，x 2是方程2x 2
－6x ＋3＝0的两根，则x 12
＋x 22
的值是 。

3．一元二次方程230x x --=的两根为12,x x ，则
1
2
1
1
x x +
=______。

4.若x 1,x 2是方程x 2
-2x-1=0的两根,则(x 1+1)(x 2+1)的值为 . 5．已知x 1，x 2是方程2x 2
－7x ＋4＝0的两根，则（x 1－x 2）2
＝ 6．已知一元二次方程0822
=-+x x 的一个根 2，则另一个根是 . 7.若实数a 、b 满足a 2
-7a+2=0和b 2
-7b+2=0,则式子b
a
a b +的值是 . 8．方程2
(1)210x
m x m -++-=，当m=_____时，此方程两个根互为相反数；当m=_____时，两根互为倒数。

9.下列一元二次方程中，两根分别为51,51--+-的是（ ）
A 、0422
=++x x B 、0422
=-+x x C 、0422
=+-x x D 、0422
=--x x 10．关于x 的方程2
(2)04
k
kx
k x +++
=有两个不相等的实数根。

（1）求k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由。

11.已知关于x 的方程为0)1()1(2)2(2
=++---k k x k ，且3≤k .
求证：（1）此方程总有实数根；（2）当方程有两个实数根，且两实数根的平方和等于4时，求k 的值.
实际问题与一元二次方程
一、自主学习 感受新知
【问题】有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 【分析】设每轮传染中平均一个人传染x 个人，
⑴开始有一人患了患流感，第一轮的传染源就是这个人，他传染了x 个人，用代数式表示第一轮后，共有 人患了流感；第二轮传染中，这些人中每一个人又传染了x 人，用代数式表示 ，第二轮后，共有 人患流感。

⑵根据等量关系列方程：
⑶解这个方程得：
⑷平均一个人传染了个人。

⑸如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有人患流感。

二、自主应用巩固新知
【例1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？
【例2】一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所行的两位数与原两位数的积是1008，求原来
例3】某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，•据市场分析，•若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?
三、自主学习感受新知
【问题】某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？
【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则
11月份的营业额为元，12月份的营业额为元，即元。

由此就可列方程：
【说明】此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比。

增长率=增长数∶基准数
设基准数为a，增长率为x，
则一月（或一年）后产量为a（1+x）；二月（或二年）后产量为a（1+x）2；n月（或n年）后产量为a（1+x）n；
如果已知n月（n年）后总产量为M，则有下面等式：M=a(1+x)n
解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程。

四、自主应用巩固新知
【例1】两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?
【分析】⑴甲种药品成本的年平均下降额为(元)
乙种药品成本的年平均下降额为(6000-3600)÷2=1200(元)
乙种药品成本的年平均下降额较大。

但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率。

⑵若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了
元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。

⑶对甲种药品而言根据等量关系列方程为：
解这个方程得：
甲种药品成本的年平均下降率为。

⑷同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率，并比较哪种药品成本的平均下降率较大。

⑸思考经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状况？
【说明】经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格。

【例2】某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
五、自主交流探究新知
【问题1】要设计一本书的封面，封面长27 cm ,宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽
比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，
左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1 cm）.
【例1】如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修两横两纵
四条小路，横纵路的宽度之比为3∶2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路
宽应为多少？
【例2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，•
上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少
天才能把这条渠道挖完？
六.巩固练习.
1.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？
2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
3.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
A B
C
D 16米 草坪 第3题图
1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是( ) A 、9% B 、10％ C 、11％ D 、12％
2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为m 元，则原价是（ ）
（A ）
2
2
.1m 元 （B ）1.2m 元 （C ）28.0m 元 （D ）0.82
m 元 3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x ，那么求平均每一年比
上一年降低的百分率的方程是( )
A 、(1-x)2=15%
B 、(1+x)2=1+15%
C 、(1-x)2=1+15%
D 、(1-x)2
=1-15%
4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x ，则应列出的方程是________________________。

5.目前，“低碳”已成为保护地球环境的热门话题．风能是一种清洁能源，近几年我国风电装机容量迅速增长．图11是我国2003年－2009年部分年份的内力发电装机容量统计图（单位：万千瓦），观察统计图解答下列问题． （1）2007年，我国风力发电装机容量已达 万千瓦；从2003年到2009年，我国风力发电装机容量平均每年增长．．．．．． 万千瓦； （2）求2007～2009这两年装机容量的年平均．．．
增长率．．．
；（参考数据： 5.04 2.24≈，1.26 1.12≈，14 3.74≈）
（3）按（2）的增长率，请你预测2010年我
国风力发电装机容量．（结果保留到0.1万千瓦）
6 .现有长方形纸片一张，长19cm ，宽15cm ，需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm 2
的无盖长方体型的纸盒？
7.如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.求道路宽为多少米？
8.如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．
图
22米。