上海民办兰生复旦中学八年级数学上册第十三章《轴对称》复习题(专题培优)

一、选择题
1．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：
①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个D
解析：D
【分析】 首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．
【详解】
∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，
∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，
即：∠ACE=∠BCD ，
在△BCD 与△ACE 中，
∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，
∴△BCD ≌△ACE(SAS)，
∴AE=BD ，即①正确；
在△BCF 与△ACG 中，
由①可知∠CBF=∠CAG ，
又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，
∴△BCF ≌△ACG(ASA)，
∴AG=BF ，即②正确；
在△DFC 与△EGC 中，
∵△BCF ≌△ACG ，
∴CF=CG ．即④正确；
∵∠GCF =60°，
∴△CFG 为等边三角形，
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG ∥BE ，即③正确；
综上，①②③④都正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．
2．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（ ）
A ．20192
B ．20202
C ．20212
D ．20222 A
解析：A
【分析】 先求出∠O=∠OA 1B 1=30°，从而A 1B 1=A 1B 2= OB 1=1，然后根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：∵△A 1B 1B 2是等边三角形，
∴∠A 1B 1B 2=∠A 1B 2O=60°，A 1B 1=A 1B 2，
∵∠O=30°，
∴∠A 2A 1B 2=∠O+∠A 1B 2O=90°，
∵∠A 1B 1B 2=∠O+∠OA 1B 1，
∴∠O=∠OA 1B 1=30°，
∴OB 1=A 1B 1=A 1B 2=1，
在Rt △A 2A 1B 2中，
∵∠A 1A 2B 2=30°，
∴A 2B 2=2A 1B 2=2，
同法可得A 3B 3=22，A 4B 4=23，…，A n B n =2n-1，
∴202020202021A B B △的边长=22019，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了图形类规律探究，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含30角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
3．若a ，b 为等腰ABC 的两边，且满足30a -=，则ABC 的周长为（ ）
A ．11
B ．13
C ．11或13
D ．9或15C
解析：C
【分析】
根据非负数的意义列出关于a 、b 的方程并求出a 、b 的值，再根据b 是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得a-3=0，b-5=0，
解得a=3，b=5，
（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3、3、5，能组成三角形，
周长为：3+3+5=11；
（2）若3是底边长，则三角形的三边长为：3、5、5，
能组成三角形，
周长为3+5+5=13．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形作出判断．
4．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）
A ．()2,2
B ．(2,1)-
C ．()2,1-
D ．(2,1)-- C 解析：C
【分析】
根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．
【详解】
解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，
∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）
【点睛】
本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．
5．如图所示的是A 、B 、C 三点，按如下步骤作图：①先分别以A 、B 两点为圆心，以大于12
AB 的长为半径作弧，两弧相交于M 、N 两点，作直线MN ；②再分别以B 、C 两点为圆心，以大于12
BC 的长为半径作弧，两弧相交于G 、H 两点，作直线GH ，GH 与MN 交于点P ，若66BAC ∠=︒，则BPC ∠等于（ ）
A ．100°
B ．120°
C ．132°
D ．140°C
解析：C
【分析】 根据基本作图可判断MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，根据垂直平分线的性质可得PA PB PC ==，再利用等腰三角形的性质得到PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，最后根据三角形的外角性质可得∠BPC=2∠BAC ，据此求解即可．
【详解】
解:如图，连接AB 、AC 、BC 、BP 、PC 、PA ，
由作法可知MN 垂直平分AB ，GH 垂直平分BC ，
∴PA PB PC ==，
∴PAB PBA ∠=∠，PAC PCA ∠=∠，
∴PBA PCA PAB PAC BAC ∠+∠=∠+∠=∠，
∴2BPC PAB PAC PBA PCA BAC ∠=∠+∠+∠+∠=∠，
∴2266132BPC BAC ∠=∠=⨯︒=︒．
故选：C ．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图及线段垂直平分线的性质，利用等腰三角形的性质，三角形的外角性质．
6．如图，ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线DE 分别交AB 、AC 于点E 、D ，若52BAC ∠=︒，则DBC ∠=（ ）．
A ．12︒
B ．14︒
C ．16︒
D ．18︒A
解析：A
【分析】 由在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝52°，又由DE 是AB 的垂直平分线，即可求得∠ABD 的度数，继而求得答案．
【详解】
在ABC 中，AB AC =，52BAC ∠=︒，
()11802
ABC ACB BAC ∴∠=∠=⨯︒-∠ ()1180522
=⨯︒-︒64=︒， DE 为AB 的中垂线，
AD BD ∴=，
52ABD BAC ∴∠=∠=︒，
12DBC ABC ABD ∴∠=∠-∠=︒．
故选A ．
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
7．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）
A ．58
B ．45
C ．35
D ．12
C 解析：C
【分析】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，利用等腰三角形的三线合一求出BD ，利用勾股定理求出AD 即可解决问题．
【详解】
过A 点作AD BC ⊥交BC 于点D ，如图
∵5AB AC ==，8BC =，
∴4BD CD ==， ∴2222543AD AB BD =
-=-=， ∴3sin 5
AD B AB ==． 故选：C ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
8．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个B
解析：B
【分析】 根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．
【详解】
第一个图案是轴对称图形，
第二个图案不是轴对称图形，
第三个图案是轴对称图形，
第四个图案不是轴对称图形，
综上所述：是轴对称图形的图案有2个，
故选：B ．
【点睛】
本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴
两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．
9．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD 相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AD+CF＝BD；③CE＝1
2
BF；④AE＝BG．其中正确的是（）
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④C
解析：C
【分析】
根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出
CE=AE=1
2
AC，又因为BF=AC所以CE=
1
2
AC=
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角
形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝1
2
AC．
又由（2），知BF＝AC，
∴CE＝1
2AC＝
1
2
BF；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG
在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故④错误．
∴正确的选项有①②③；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
10．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点
D，再分别以点B，D为圆心，以大于1
2
BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交
BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（）
A．12
5
B．
9
5
C．
8
5
D．
7
5
A
解析：A
【分析】
根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．
【详解】
解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC
5
=，
根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，AE⊥BD，
∴△ABC的面积：1
2AB•AC＝
1
2
BC•AE，
∴5AE＝12，
∴AE＝12
5
．
故选：A．
【点睛】
本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．
二、填空题
11．平面直角坐标系xOy中，先作出点P (2,3)
-关于y轴的对称点，再将该对称点先向下平移1个单位，再向左平移2个单位得到点P1，称为完成一次图形变换，再将点P1进行同样的图形变换得到点P2，以此类推，则点P2020的坐标为___________．【分析】按程序先作y轴对称求出点坐标横坐标-2纵坐标-1完成一次图形变换求出P变换后的坐标找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0偶次变换点的横坐标x=-2纵坐标变一次下移一个单位【详解】解：完成
解析：(2,2017)
--
【分析】
按程序先作y轴对称，求出点坐标，横坐标-2，纵坐标-1，完成一次图形变换求出P变换后的坐标，找出几次变换后规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
【详解】
解：完成1次图形变换，点P (2,3)
-关于y轴的对称点（2，3），横坐标2-2=0，纵坐标3-1=2，P1（0，2），
完成2次图形变换，点P1(0,2)关于y轴的对称点（0，2），横坐标0-2=-2，纵坐标2-
1=1，P2（-2，1），
完成3次图形变换，点P2（-2，1）关于y轴的对称点（2，1），横坐标3-3=0，纵坐标1-
1=0，P3（0，0），
完成4次图形变换，点P3（0，0）关于y轴的对称点（0，0），横坐标0-2=-2，纵坐标0-1=-1，P4（-2，-1），
……,
完成2020次图形变换，点P2019（0，3-2019）关于y轴的对称点（0，-2016），横坐标0-2=-2，纵坐标-2016-1=-2017，P2020（-2，-2017）．
故答案为：（-2，-2017）．
【点睛】
本题考查图形规律探索问题，掌握图形程序变换的轴对称性质和平移特征，关键是找到变换规律奇次变换点的横坐标x=0，偶次变换点的横坐标x=-2，纵坐标变一次下移一个单位．
12．如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠BAD＝70°，则∠EDC＝_____°．
70【分析】根据全等三角形的性质可得对应角和对应边相
等再根据等腰三角形的性质即可解答【详解】解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝
AD∠B＝∠ADE∴∠ADB＝∠B∵∠BAD＝70°∴∠B＝∠ADB=（1
解析：70
【分析】
根据全等三角形的性质可得对应角和对应边相等，再根据等腰三角形的性质，即可解答．【详解】
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，∠B＝∠ADE，
∴∠ADB＝∠B，
∵∠BAD＝70°，
∴∠B＝∠ADB =（180°-70°）÷2=55°，
∴∠EDC＝180°-2×55°=70°．
故答案是：70．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质以及平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
∠=︒，
13．如图，点D、E是ABC的边BC上的点，且AED n
∠∠∠=，若点D在边AC的垂直平分线上，点E在边AB的垂直::1:3:2
CAD DAE BAE
平分线上，则n=________．
80【分析】先根据垂直平分线的性质和等边对等角可
得∠DAC=∠C ∠BEA=∠B 再根据比例关系设根据三角形内角和定理可求得x 再根据三角形外角的性质可得∠AED 【详解】解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上点 解析：80
【分析】
先根据垂直平分线的性质和等边对等角可得∠DAC=∠C ，∠BEA=∠B ，再根据比例关系设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，根据三角形内角和定理可求得x ，再根据三角形外角的性质可得∠AED ．
【详解】
解：∵点D 在边AC 的垂直平分线上，点E 在边AB 的垂直平分线上，
∴AD=CD ，AE=BE ，
∴∠DAC=∠C ，∠BAE=∠B ，
∵::1:3:2CAD DAE BAE ∠∠∠=，
∴设,3,2CAD x DAE x BAE x ∠=∠=∠=，
∴,2C x B x ∠=∠=，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴322180x x x x x ++++=︒，
解得20x =︒，
∴22480AED BAE B x x x ∠=∠+∠=+==︒，即n=80，
故答案为：80．
【点睛】
本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．
14．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．
【分析】先根据折叠的性质求出∠B′EM 根据邻补
角求出∠AEA′再根据折叠的性质即可求出∠AEN 【详解】解：根据折叠可知：EM 平分∠BEB′∴∠B′EM=∠BEM=62°15′∴∠AEA′=180°-
解析：2745'︒
【分析】
先根据折叠的性质求出∠B′EM ，根据邻补角求出∠AEA′，再根据折叠的性质即可求出∠AEN ．
【详解】
解：根据折叠可知：EM 平分∠BEB′，
∴∠B′EM=∠BEM=62°15′，
∴∠AEA′=180°-2×62°15′=55°30′，
EN 平分∠AEA′，
∴∠AEN=∠A′EN=12∠AEA′=12
×55°30′=27°45′， 故答案为：27°45′．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，邻补角的定义，以及角的计算、度分秒的换算，解决本题的关键是掌握折叠的性质．
15．如图，在ABC 和ADE 中，90BAC DAE ∠=∠=︒，AB AC =，AD AE =，其中点C ，D ，E 在同一条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：
①ACE DBC ∠=∠；②45ACE DBC ∠+∠=︒；③BD CE ⊥；④BD CE =．一定正确的是______．
②③④【分析】根据题意易证△ABD ≌△ACE 根据三角形全
等的性质及余角的性质角的和差关系可进行判断进而得出正确答案【详解】解：∠DAC=∠DAC △ABD ≌△ACEBD=CE ∠ABD=∠ACE④正确；
解析：②③④
【分析】
根据题意易证△ABD ≌△ACE ，根据三角形全等的性质及余角的性质、角的和差关系可进行判断，进而得出正确答案．
【详解】
解：90BAC DAE ∠=∠=︒，∠DAC=∠DAC ，
∴BAD CAE ∠=∠，
AB AC =，AD AE =，
∴△ABD ≌△ACE ，
∴BD=CE ，∠ABD=∠ACE ，④正确；
∵AB AC =，90BAC ∠=︒，
∴∠ABC=∠ACB=45°，即∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，
∴45ACE DBC ∠+∠=︒，②正确；
∵90BAC ∠=︒，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠DBC+∠DCB=90°，
∴BD ⊥CE ，③正确；
∴由题意可知ACE DBC ∠=∠不一定成立，
综上所述：②③④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
16．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．
25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝
DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝ 解析：25
【分析】
设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．
【详解】
解：∵AC ＝AD ＝DB ，
∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，
设∠ADC ＝α，
∴∠B ＝∠BAD ＝
2
α ， ∵∠BAC ＝105°，
∴∠DAC ＝105°﹣2
α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，
∴2α+105°﹣
2
α＝180°， 解得：α＝50°，
∴∠B ＝∠BAD ＝2
α＝25°， 故答案为：25．
【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，P 是BC 上一点，且∠BAP ＝90°，CP ＝
4cm．则BP的长＝________．
8cm【分析】先根据已知条件求得PA=PC再含
30度直角三角形的性质求得BP的长即可【详解】解：
∵AB=AC∠BAC=120°∴∠B=∠C=30°∵∠BAC=120°∠BAP=90°∴∠PAC=30
解析：8cm
【分析】
先根据已知条件求得PA=PC，再含30度直角三角形的性质求得BP的长即可．
【详解】
解：∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵∠BAC=120°，∠BAP=90°，
∴∠PAC=30°，
∴∠C=∠PAC，
∴PA=PC=4cm，
∵∠BAP=90°，∠B=30°，
∴BP=2AP=8cm．
故答案为：8cm
【点睛】
本题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键是根据已知条件求得PA=PC=4cm，再根据含30度直角三角形的性质求得BP的长．
18．如图，在△ACB中，∠ACB＝∠90°，AB的垂直平分线DE交AB于E，交AC于D，
∠DBC＝30°，DC＝4cm，则D到AB的距离为________cm．
4【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到
DB=DA则有∠A=∠ABD而∠C=∠DBC=利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=得到∠ABD=在Rt△BED中根据含角的直角三角形三边的关系即可得到DE
解析：4
【分析】
先根据线段的垂直平分线的性质得到DB=DA，则有∠A=∠ABD，而∠C=90︒，∠DBC=
30︒，利用三角形的内角和可得∠A+∠ABD=903060
︒-︒=︒，得到∠ABD= 30︒，在
Rt△BED中，根据含30︒角的直角三角形三边的关系即可得到DE的长度．
【详解】
解：∵DE 垂直平分AB ，
∴DB=DA ，
∴∠A=∠ABD ，
∵∠C=90︒，∠DBC=30︒，DC=4cm ，
∴BD=8cm ，∠A+∠ABD=903060︒-︒=︒，
∴∠ABD=30︒，
在Rt △BED 中，∠EBD=30︒，BD=8cm ，
∴DE=142
BD =cm ， 即D 到AB 的距离为4cm ，
故答案为：4．
【点睛】
本题考察线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30︒角的直角三角形的性质，解题关键是掌握相关性质．
19．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．
100°【分析】作点A 关于BC 的对称点A′关于CD 的对
称点A″根据轴对称确定最短路线问题连接A′A″与BCCD 的交点即为所求的点MN 利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″再根据轴对称的性质和三 解析：100°
【分析】
作点A 关于BC 的对称点A′，关于CD 的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC 、CD 的交点即为所求的点M 、N ，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【详解】
解：如图，
作点A 关于BC 的对称点A′，关于CD 的对称点A″，
连接A′A″与BC 、CD 的交点即为所求的点M 、N ，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：A′N= AN ，A″M=AM
∴∠A′=∠A′AN ，∠A″=∠A″AM ，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100°
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M 、N 的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
20．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD △与ABC 全等，点D 的坐标是______．
或【分析】分情况：当△ABC ≌△ABD 时
△ABC ≌△BAD 时利用全等三角形的性质解答即可【详解】分两种情况：当△ABC ≌△ABD 时AB=ABAD=ACBD=BC ∵点AB 在y 轴上∴△ABC 与△ABD 关 解析：()4,3-或()4,2-
【分析】
分情况：当△ABC ≌△ABD 时，△ABC ≌△BAD 时，利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】
分两种情况：
当△ABC ≌△ABD 时，AB=AB ，AD=AC ，BD=BC ，
∵点A 、B 在y 轴上，
∴△ABC 与△ABD 关于y 轴对称，
∵C （4,3），
∴D （-4,3）；
当△ABC ≌△BAD 时，AB=BA ，AD=BC ，BD=AC ，
作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，
∴DE=CF=4，∠AED=∠BFC=90︒，
∴△ADE ≌△BCF ，
∴AE=BF=4-3=1，
∴OE=OA+AE=1+1=2，
∴D （-4,2），
故答案为：()4,3-或()4,2-
．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质，确定直角坐标系中点的坐标，轴对称的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
三、解答题
21．如图1，点C 在线段AB 上，∠A =∠B ，AD =BC ，AC =BE ．
（1）判断△CDE 的形状并说明理由；
（2）若∠A=58°，求∠DCE 的度数；
（3）根据解决问题（1）（2）的经验，请你继续解答下列问题：
如图2，在如图所示的正方形网格中，点P 是BC 边上的一个格点（小正方形的顶点），请你在AB 边上作一点M ，在CD 边上作一点N ，使△MPN 是等腰直角三角形，并说明理由．（不写作法，保留作图痕迹）
解析：（1）等腰三角形，理由见解析；（2）58°；（3）见解析
【分析】
(1)利用SAS 判定△ADC ≌△BCE 即可判定结论；
(2)利用三角形内角和定理，平角的定义，推理得证；
(3)构造一对全等的直角三角形，利用上面的结论即可.
【详解】
（1）∵AD =BC ，∠A=∠B ，AC=BE ，
∴△ADC ≌△BCE ，
∴CD=CE ，
∴△CDE 是等腰三角形；
（2）∵△ADC ≌△BCE ，
∴∠ADC=∠BCE ，
∵∠ADC+∠ACD+∠A=180°，
∠ADC+∠BCE+∠DCE=180°，
∴∠A=∠DCE ，
∵∠A=58°，
∴∠DCE=58°；
（3）如图，根据作图，得△PBM ≌△NCP ，
∴PM=PN ，
∴△PMN 是等腰三角形；
∵∠B=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN 是等腰直角三角形.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理，平角的定义，熟记三角形全等原理，基本作图是解题的关键.
22．如图，在ABC 中，60A ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线分别交AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，连接DE ．
（1）若7AC BC ==，求DE 的长；
（2）求证：BE CD BC +=．
解析：（1） 3.5DE =；（2）见解析．
【分析】
（1）证明△ADE 为等边三角形，即可得结论；
（2）在BC 上截取BH=BE ，证明两对三角形全等：△EBF ≌△HBF ，△CDF ≌△CHF ，可得结论．
【详解】
（1）∵AC=BC=7，∠A=60°，
∴△ABC 为等边三角形，
∴AC=AB=7，
又∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，
∴D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∴11=3.5,=3.522
=
=AD AC AE AB ， ∴AD=AE ，
∵∠A=60°，
∴△ADE 为等边三角形，
∴DE=AE=3.5；
（2）证明：在BC 上截取BH=BE ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD ，
∵BF=BF
∴△EBF ≌△HBF （SAS ），
∴∠EFB=∠HFB=60°．
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，
∴∠ABD=∠CBD ，∠ACE=∠BCE ，
∴∠CBD+∠BCE=60°，
∴∠BFE=60°，
∴∠CFB=120°，
∴∠CFH=60°，
∵∠BFE=∠CFD=60°，
∴∠CFH=∠CFD=60°，
∵CF=CF ，
∴△CDF ≌△CHF （ASA ）．
∴CD=CH ，
∵CH+BH=BC ，
∴BE+CD=BC ．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．
()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；
()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系．
解析：（1）证明见解析；（2）结论不成立．图见解析，三者关系为AF AB BD +＝或,BD AB AF +＝
【分析】
（1）易证∠FBA=∠FCE ，结合条件容易证到△FAB ≌△DAC ，从而有FA=DA ，就可得到AB=AD+BD=FA+BD ．
（2）如图2中，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ．如图3中，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ．证明方法类似（1）．
【详解】
解：（1）证明：如图1，
∵BE ⊥CD ，即∠BEC=90°，∠BAC=90°，
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．
∴∠FBA=∠FCE ．
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，
∴∠FAB=∠DAC ．
∵AB=AC ，
∴△FAB ≌△DAC ．
∴FA=DA ．
∴AB=AD+BD=FA+BD ．
（2）如图2，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ，
理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠BAF=90°
∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°
∴∠FBA=∠FCE ，
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°
∴∠FAB=∠DAC
在△FAB 和△DAC 中，
FAB DAC AB AC
FBA DCA ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），
∴FA=DA ，
∴AF=AD=BD+AB ．
如图3，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ，
理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠CAD=90°
∴∠AFB+∠FBA=90°，∠EFC+∠FCE=90°，
∵∠AFB=∠EFC ，
∴∠FBA=∠FCE ，
在△FAB 和△DAC 中，
90FAB DAC AB AC
FBA DCA ∠∠=︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），
∴AF=AD ，
∴BD=AB+AD=AB+AF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅
仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题．
24．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长为1,ABC 的三个顶点分别为()()4,3,3,()3,1,1A B C -．请在坐标系中标出,,A B C 三点，画出ABC ∆，并画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆，写出点111,,A B C 的坐标．
解析：图见解析；点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-
【分析】
先在平面直角坐标系中画出,,A B C 三点，顺次连接即可；再按照轴对称的性质，画出它们的对称点即可．
【详解】
解：如图所示，111,ABC A B C ∆∆，即为所求；
点111,,A B C 的坐标分别为()()–4,3,3,3--，()1,1-
【点睛】
本题考查了在平面直角坐标系中描点和画轴对称图形，关于y 轴对称点的坐标变化规律，解题关键是正确描点和画对称点．
25．如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AE AC =，AF CB ⊥，垂足为F ．
（1）求证：ABC ADE △≌△；
（2）求FAE ∠的度数．
解析：（1）见解析；（2）135FAE ∠=︒．
【分析】
（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC ≌△ADE 的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE 的度数．
【详解】
证明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE ，
在△BAC 和△DAE 中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；
（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，
∴∠E=45°，
由（1）知△BAC ≌△DAE ，
∴∠BCA=∠E=45°，
∵AF ⊥BC ，
∴∠CFA=90°，
∴∠CAF=45°，
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出全等所需要的条件．
26．如图，,ABC AEF ∆∆均为等边三角形，连接BE ，连接并延长CF 交BE 于点D ． （1）求证：CAF BAE ∆≅∆;
（2）连接AD ，求证DA 平分CDE ∠.
解析：（1）见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）利用SAS 证明即可；
（2）逆用角的平分线性质定理证明.
【详解】
(1)∵△ABC,△AEF 是等边三角形,
∴AC=AB,AF=AE,∠CAB=∠EAF,
∴∠CAB-∠FAB =∠EAF-∠FAB,
∴∠CAF=∠BAE,
∴△CAF ≌△BAE;
(2)过点A 分别作AH ⊥CD 于点H,AG ⊥BE,交BE 的延长线于点G,
由（1）知，△CAF ≌△BAE ，
∴CF=BE ，CAF BAE S
S =, ∴1122
CE AH BE AG ⨯⨯=⨯⨯， ∴AH=AG ，
∴DA 平分∠CDE.
【点睛】
本题考查了三角形的全等，等边三角形的性质，角平分线性质定理的逆定理，准确选择全等判定方法，活用角的平分线的逆定理是解题的关键.
27．如图，在ABC ∆中，,AB AC =过点A 作//AD BC 交ABC ∠的平分线BD 于点D ，求证：AC AD =．
解析：见解析
【分析】
由已知可得∠ABD=∠D ，从而得到AB=AD ，进而得到AC=AD ．
【详解】
证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，
∴∠ABD=∠CBD ，
又AD//BC ，
∴∠CBD=∠D ，
∴∠ABD=∠D ，
∴AB=AD ，
∵AB=AC ，
∴AC=AD ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质与判定，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质是解题关键 ．
28．如图所示，已知AB AC =，AD 是中线，BE CF =．
（1）求证：BDE CDF ≌；
（2）当60B ∠=︒时，过AB 的中点G ，作//GH BD ，求证：4
GH AB 1=
． 解析：（1）见详解；（2）见详解．
【分析】
（1）由AB=AC ，AD 是中线，得到∠B=∠C ，BD=CD ，即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到AD ⊥BC ，根据平行线的性质得到∠AHG=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．
【详解】
证明（1）如图：
∵AB=AC ，AD 是中线，
∴∠B=∠C ，BD=CD ，
在△BDE 与△CDF 中，
BE CF B C BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BDE ≌△CDF ；
（2）∵GH ∥BD ，∠B=60°，
∴∠AGH=60°，
∵AB=AC ，AD 是中线，
∴AD ⊥BC ，
∴∠BAD=30°∠AHG=90°，
∴GH=
12AG ， ∵AG=
12AB ， ∴GH=14
AB ． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，掌握定理是解题的关键．。