病态线性方程组的求解

病态线性方程组的求解
理论分析表明，数值求解病态线性方程组很困难。

考虑求解如下的线性方程组的求解Hx = b ，期中H 是Hilbert 矩阵，()ij n n H h ⨯=，1
1
ij h i j =+-，i ，j = 1,2，…，n
1. 估计矩阵的2条件数和阶数的关系
2. 对不同的n ，取(1,1,
,1)n
x =∈
，分别用Gauss 消去，Jacobi 迭代，Gauss-seidel 迭
代，SOR 迭代和共轭梯度法求解，比较结果。

3. 结合计算结果，试讨论病态线性方程组的求解。

1）估计矩阵的2-条件数和阶数的关系
矩阵的2-条件数定义为：1
222
()Cond A A A
-=⨯，将Hilbert 矩阵带入有：
1222
()Cond H H H -=⨯。

使用MA TLAB 自带的cond2函数进行计算并画出log10
（cond2）和阶数n 的关系曲线如下：
可见当n 小于13的时候，条件数的对数与阶数有较好的线性关系，但是随着阶数的提高，
条件数趋于“稳定”地振荡。

但是事实上，n较大时，H矩阵已经奇异，直接使用cond函数计算结果可能存在不准确性。

原因是对于条件数过大的矩阵使用inv函数求逆矩阵是不可靠的，应该使用invhilb函数进行求逆，并代入定义式中求解，生成的结果如下所示。

线性度较好，可知，Hilbert矩阵的2-条件数会随其阶数n的增加呈指数增大趋势，因此当n较大时Hilbert矩阵将是严重病态的。

对不同的n，采用各种方法求解方程
编写程序，选取n=2,3，5,10,15,20，迭代条件为迭代100000次或者是计算精度达到1e-6，若迭代次数少于设定最大值，表示相邻两次迭代达到精度要求，或者是计算结果超出范围。

X0取零向量，w取1.2，计算结果如下所示：
由上可见，当n大于2时，Jacobi法已经不收敛，故其迭代次数已经没有意义。

当ｎ＝15时，Gauss消去法已经不收敛。

并且随着阶数的上升，gauss消去法的误差也随之上升。

对于各种方法的收敛速度的比较，当迭代的精度都是1e-6时，预处理共轭梯度法的收敛速度最快，接着是GS法，然后是SOR法（此时w取值为1.2）。

当w取值0.9时，SOR 的迭代次数大大降低，以15阶为例，SOR的迭代次数下降为14810，仅为w=1.2时的一半。

此时SOR的迭代次数稍小于GS法。

一般来说，SOR的迭代次数高于GS法。

3.综合讨论
通过以上的计算，总结求解病态线性方程的特点：
1、收敛速度慢，收敛性取决于迭代方法
对于Hilbert矩阵，Jacobi法在n大于2就不收敛了，而gauss消去法在高阶时也同样不收敛。

对于GS法和SOR法，虽然可以收敛（事实上这是由于Hilbert矩阵是
正定对称的，所以决定了GS法以及SOR法一定收敛），但是它们的迭代次数都较高，说明迭代速度较慢。

而预处理后的收敛速度较之有很大的提升。

2、计算的精度低，高阶误差大
由于病态方程的条件数交大，因此对于微小的扰动有很大的反应，造成计算结果
的偏差，特别是阶数较高时，计算误差也随之增加。

对于这个问题，PCG法较好
地解决了条件数高的问题。

在50阶矩阵时，PCG法也仅仅需要12次的迭代次
数。

因此，在求解病态方程组时，应优先考虑进行预处理，降低条件数。

对于低阶求解，可以直接使用gauss消去法，但是需要保证其收敛性的前提。