数字信号的最佳接收方法的研究.

数字信号的最佳接收方法的研究
Research of optimal digital signals receiving
摘要：通信系统中，接收机一直是重要的组成部分。

如何提高接收机性能也是很多人一直研究的课题。

本文着重分析的如何在同样信道噪声情况下，使正确接受信号的概率最大，即为数字信号的最佳接收方法的研究。

无论是理论研究还是实际应用方面都有重大意义。

同时使用了系统设计、分析和仿真的可视化开发环境matlab仿真软件辅助研究以及进行说明，使研究结果更加严谨，精确。

关键词：通信技术最佳接收matlab 仿真
Abstract: In the communication system, the receiver has been an important component.How to improve the performance of the receiver is also a lot of people have been studying.This article focuses on how the analysis on the same channel noise case, the maximum probability of correctly receiving the signal, is the best digital signal reception Method.Both theoretical research and practical applications are of great significance. While using the system design, analysis and visualization of simulation matlab simulation software development environment supporting research, and explained that studies more rigorous, precise.
Key words：Communications echnology,Optimal reception,matlab, Simulation
一. 双极性信号的最佳接收
匹配滤波器原理：匹配滤波器是一种以输出信噪比为最佳判决准则的线性滤波器。

它的冲击响应h（t）=S（t0-t）；y0（t）=h（t）*s（t）；在最佳判决时刻t0时输出信噪比r最大。

4.实验源码（见附录2）
二.确知信号的最佳接收
1. 最佳接收概念
通信系统中信道特性不理想及信道噪声的存在，直接影响接收系统的性能，而一个通信系统的质量优劣在很大程度上取决于接收系统的性能。

因此，把接收问题作为研究对象，研究从噪声中如何最好的提取有用信号，且在某个准则下构成最佳接收机，使接收性能达到最佳，这就是最佳接收理论。

带噪声的数字信号的接收，实质上是一个统计接收问题，也可以说数字信号接收过程是一个统计判决过程。

数字信号可以用一个统计模型来表述：
图中，消息空间、信号空间、噪声空间、观察空间和判决空间分别代表消息、信号、噪声、接收波形及判决的所有可能状态的集合。

设发送消息为x ，有m 种可能的状态，对应发送信号s 也有m 种取值，信道噪声n 为零均值高斯白噪声，则观察空间状态y 为 y=s+n
也服从高斯分布，当出现信号i s 时，y 的概率密度函数为
f
si
(y)=
(
)
k
n
πσ21exp []⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--
⎰T
i dt t s t y n 0
2
)()(1 (i=1,2,…,m) )(y f si 称为似然函数。

2. 二进制确知信号最佳接收机的设计
设到达接收机输入端的两个确知信号)(1t s 、)(2t s ，它的持续时间为（0，T ），且有相等的能量，噪声n(t)是高斯白噪声，均值为零，且单边功率谱密度为0n 。

现设计一个能在噪声干扰下以最小的错误概率检测信号接收机。

由判决准则，经简化得
① U
1+⎰
⎰+
>
t
T
dt
t
s
t
y
U
dt
t
s
t
y
2
2
1
)(
)(
)(
)(判为s
1
② U
1+⎰
⎰+
<
t
T
dt
t
s
t
y
U
dt
t
s
t
y
2
2
1
)(
)(
)(
)(判为s
2
式中 U
1=)
(
ln
21
0s
p
n
U
2=)
(
ln
22
0s
p
n
可得最佳接收机原理框图：
这种最佳接收机的结构是按比较y(t)与s
1（t）和s
2
(t)的相关性而构成的，因
而称为相关接收机。

如果先验概率=P(s
1)=P(s
2
),则有U
1
= U
2
，可得简化形式的
最佳接收机结构。

3.匹配滤波器在最佳接收机中的应用
匹配滤波器是指输出信噪比最大的最佳线性滤波器。

对信号s(t)匹配的滤波器，其冲激响应为
h(t)=Ks(T-t)
s(t)只在（0,T）内有值，则当y(t)加入匹配滤波器时，其输出为
u
0(t)=⎰⎰
--
+
-
=
-
t
T
t
T
d
t
T
s
y
K
d
t
h
yτ
τ
τ
τ
τ
τ)
(
)
(
)
(
)
(
在t=T时，输出为 u
0（t）=K⎰T d
s
y
)
(
)
(τ
τ
τ
由于匹配滤波器在t=T时的输出值恰好等于相关器的输出值（令K=1），也即匹
配滤波器可以作为相关器。

采用匹配滤波器结构形式的确知信号最佳接收机结构如下图所示：
一、 示例与求解
设计一个发送和接收滤波器G T (f)和G R （f ）的数字实现，使他们的乘积满足G T (f)G R （f ）=X rc （f ），并且G R （f ）是G T (f)的匹配滤波器。

画出发送滤波器的脉冲响应和频率响应，并给出发送滤波器与接收滤波器级联后的脉冲响应。

1. 题解
以数字形式设计和实现发送和接收滤波器的最简单方法是采用具有线性相移的FIR 滤波器。

所期望的幅度响应是
)()()(f X f G f G rc R T == 其中，X )(f
由下式给出。

X )(f rc
频率响应与数字滤波器脉冲响应的关系是 G T ()()∑---==
2
/12
/)1()(N N n T
n g
f e s fnT j π2- 这里T s 是采样间隔，N 是滤波器长度。

G T (f)是带限的，可以选采样频率F s 至
少是2/T 。

现选择F s 为 F
s =
T
T s 4
1=或者等效为T s
=T/4。

所以折叠频率是F
s
/2=2/T 。

因为
)()(f X f G rc T =，所以，在频域以f ∆= F s /N 等频域间隔对X )(f rc 采样而有
∑---=-==
∆2
/)1(2
/)1(/2)()()(N N n N mn j T s
rc rc e n g N mF X f m X π
它的逆变换关系是
g ∑
---==
2
/)1(2
/)1(/2)4(
)(N N m N
mn j rc T e
NT
m X n π n=0,21,1-±±N 由于g )(n T 是对称的，因此将g )(n T 延时（N-1）/2个样本就得到期望的线性相位发送滤波器的脉冲响应。

主程序(见附录2) 实验截图
单位冲击信号的相位谱
发送滤波器的频率响应
发送滤波器和接收滤波器级联后的脉冲响应
-14
单位脉冲信号经过最佳接收机的脉冲响应
三：随相信号的最佳接收：
\随相信号是一种典型且简单的随参信号。

对于随相信号最佳接收，与确知信号最佳接收的思路是一致的。

但是，随相信号最佳接收的问题显得更复杂一些，最佳接收机结构形式也比确知信号最佳接收机复杂。

随相信号有多种形式，以随机相位的2FSK 信号为例进行分析。

设发送的两个随相信号为
φ1和φ2是每一个信号的随机相位参数，它们的取值在区间［0,2π］上服从均匀分布。

二者的能量相等
接收波形 y(t)={s1(t,φ) 或 s2(t,φ) } + n(t)
由于随机相位， 因此不能直接给出似然函数fs1(y)和fs2(y)。

但是可以先求出在给定相位φ1和φ2的条件下关于y(t)的条件似然函数fs1(y/φ1)和fs2(y/φ2)，即
1101122012(,)cos()
(,)cos()s t A t s t A t ϕωϕϕωϕ=+⎧⎨
=+⎩2
21
1220
(,)(,)T
T
b
s t dt s t dt E ϕϕ==⎰
⎰2
11110
1
(/)[()(,)]T
s f y y t s t dt n ϕϕ⎧⎫=
--⎨⎬⎩⎭
⎰
实验代码（见附录2） 实验截图：
单极性随相信号：
输入数字随相基带波形
输入数字序列
sin ω2t 2
222200
1
(/)[()(,)]T
s f y y t s t dt n ϕϕ⎧⎫
=-
-⎨⎬
⎩⎭
⎰随相信号最佳接收机结构
-0.5
0.5
1
1.5
方波滤波后输出
方波滤波后抽样输出
t/T s
理想低通滤波器
t/T s
理想低通滤波后抽样输出
双极性随相信号：
-101输入双极性N R Z 数字基带波形
输入数字序列
5
10
15
20
-101方波滤波后输出
5
10
15
20
方波滤波后抽样输出
5
1015
20
-101t/Ts
理想低通滤波器
5
1015
20
t/Ts
理想低通滤波后抽样输出
附录1：参考资料
[1]樊昌信.曹丽娜.通信原理（第六版）.国防工业出版社 [2]王秉钧.冯玉珉，田宝玉通信原理.清华大学出版社 [3]陈显治.现代通信技术[M].人民邮电出版社
[4]王兴亮.数字通信原理与技术[M].西安电子科技大学出版社 [5]李建东 移动通信（第四版） 西安电子科技大学出版社 [6]卢光跃 数字信号处理及应用 人民邮电出版社 [7]刘东星 信号与线性系统分析 人民邮电出版社
附录2：实验代码
双极性信号的最佳接收：
clear all;
close all;
N =100;
N_sample=8;
Ts=1;
dt =Ts/N_sample;
t=0:dt:(N*N_sample-1)*dt;
gt =ones(1,N_sample);
d = sign(randn(1,N));
a = sigexpand(d,N_sample);
st = conv(a,gt);
ht1 =gt;
rt1 =conv(st,ht1);
ht2 =5*sinc(5*(t-5)/Ts);
rt2 =conv(st,ht2);
figure(1)
subplot(321)
plot(t,st(1:length(t)));
axis([0 20 -1.5 1.5]);ylabel('输入双极性NRZ数字基带波形'); subplot(322)
stem(t,a);
axis([0 20 -1.5 1.5]);ylabel('输入数字序列');
subplot(323)
plot(t,[0 rt1(1:length(t)-1)]/8);
axis([0 20 -1.5 1.5]);ylabel('方波滤波后输出');
subplot(324)
dd =rt1(N_sample:N_sample:end);
ddd =sigexpand(dd,N_sample);
stem(t,ddd(1:length(t))/8);
axis([0 20 -1.5 1.5]);ylabel('方波滤波后抽样输出');
subplot(325)
plot(t-5,[0 rt2(1:length(t)-1)]/8);
axis([0 20 -1.5 1.5]);
xlabel('t/Ts');ylabel('理想低通滤波器');
subplot(326)
dd =rt2(N_sample-1:N_sample:end);
ddd =sigexpand(dd,N_sample);
stem(t-5,ddd(1:length(t))/8);
axis([0 20 -1.5 1.5]);
xlabel('t/Ts');ylabel('理想低通滤波后抽样输出');
确知信号的最佳接收：
echo on
l=1:30;
x_t=sign(sign(60-l)+1);
N=31; % 滤波器的长度
T=1; % 码元速率
alpha=1/4; % 滚降系数
n=-(N-1)/2:(N-1)/2; %g_T序列长度范围
%计算发送滤波器的脉冲响应g_T
for i=1:length(n)
g_T(i)=0;
for m=-(N-1)/2:(N-1)/2
g_T(i)=g_T(i)+sqrt(xrcf(4*m/(N*T),alpha,T))*exp(j*2*pi*m*n(i)/N);
end
end
% 将g_T延时(N-1)/2个样本得到期望线性相位发送滤波器的脉冲响应
n2=0:N-1;
[G_T,W]=freqz(g_T,1); %计算发送滤波器的频率响应G_T
magG_T_in_dB=20*log10(abs(G_T)/max(abs(G_T))); % 幅度响应的归一化g_R=g_T; % 接收滤波器的脉冲响应与发送滤波器相同
imp_resp_of_cascade=conv(g_R,g_T); %发送、接收滤波器级联后的脉冲响应y_t=conv(x_t,imp_resp_of_cascade);
echo off
% 以下为绘图指令
figure(1)
subplot(3,1,1);
stem(x_t);
title('单位冲击信号序列');
k=-25:25;
X=x_t*(exp(-j*pi/25)).^(l'*k);
magX=abs(X); %绘制x(n)的幅度谱
subplot(3,1,2);stem(magX);title('单位冲击信号的幅度谱');
angX=angle(X); %绘制x(n)的相位谱
subplot(3,1,3);stem(angX) ; title ('单位冲击信号的相位谱')
figure(2)
stem(n2,g_T);
hold
plot(0:0.01:(N-1),0,'b');
title('发送滤波器的脉冲响应')
figure(3)
plot(magG_T_in_dB);
title('发送滤波器的频率响应');
figure(4)
stem(0:(2*N-2),imp_resp_of_cascade);
hold
plot(0:0.01:(2*N-2),0,'b');
title('发送滤波器和接收滤波器级联后的脉冲响应');
figure(5)
stem(y_t);
%stem(0:(2*N-2),y_t);
hold
%plot(0:0.01:(2*N-2),0,'b');
title('单位脉冲信号经过最佳接收机的脉冲响应');
（2）子程序
function [y]=xrcf(f,alpha,T)
% 根据参数alpha和T估计Xrc(f)的表达式
if(abs(f)>((1-alpha)/(2*T)))
y=0;
else if(abs(f)>((1-alpha)/(2*T)))
y=(T/2)*(1+cos((pi*T/alpha)*(abs(f)-(1-alpha)/(2*T))));
else
y=T;
end
end
随相信号的最佳接收
双极性随相信号：
clear all;
close all;
N =100;
N_sample=8;
Ts=1;
dt =Ts/N_sample;
t=0:dt:(N*N_sample-1)*dt;
gt =ones(1,N_sample);
d = sign(randn(1,N));
a = sigexpand(d,N_sample);
st = conv(a,gt);
ht1 =gt;
rt1 =conv(st,ht1);
ht2 =5*sinc(5*(t-5)/Ts);
rt2 =conv(st,ht2);
figure(1)
subplot(321)
plot(t,st(1:length(t)));
axis([0 20 -1.5 1.5]);ylabel('输入双极性NRZ数字基带波形'); subplot(322)
stem(t,a);
axis([0 20 -1.5 1.5]);ylabel('输入数字序列');
subplot(323)
plot(t,[0 rt1(1:length(t)-1)]/8);
axis([0 20 -1.5 1.5]);ylabel('方波滤波后输出');
subplot(324)
dd =rt1(N_sample:N_sample:end);
ddd =sigexpand(dd,N_sample);
stem(t,ddd(1:length(t))/8);
axis([0 20 -1.5 1.5]);ylabel('方波滤波后抽样输出');
subplot(325)
plot(t-5,[0 rt2(1:length(t)-1)]/8);
axis([0 20 -1.5 1.5]);
xlabel('t/Ts');ylabel('理想低通滤波器');
subplot(326)
dd =rt2(N_sample-1:N_sample:end);
ddd =sigexpand(dd,N_sample);
stem(t-5,ddd(1:length(t))/8);
axis([0 20 -1.5 1.5]);
xlabel('t/Ts');ylabel('理想低通滤波后抽样输出');
单极性随相信号：
clear all;
close all;
N =100;
N_sample=8;
Ts=1;
dt =Ts/N_sample;
t=0:dt:(N*N_sample-1)*dt;
gt =ones(1,N_sample);
d = (sign(randn(1,N)-0.5+eps)+1)/2;%sign(randn(1,N)) a = sigexpand(d,N_sample);
st = conv(a,gt);
ht1 =gt;
rt1 =conv(st,ht1);
ht2 =5*sinc(5*(t-5)/Ts);
rt2 =conv(st,ht2);
figure(1)
%subplot(321)
plot(t,st(1:length(t)));
axis([0 20 -0.5 1.5]);ylabel('输入数字随相基带波形'); figure(2)
%subplot(322)
stem(t,a);
axis([0 20 -0.5 1.5]);ylabel('输入数字序列');
figure(3)
%subplot(323)
plot(t,[0 rt1(1:length(t)-1)]/8);
axis([0 20 -0.5 1.5]);ylabel('方波滤波后输出');
figure(4)
%subplot(324)
dd =rt1(N_sample:N_sample:end);
ddd =sigexpand(dd,N_sample);
stem(t,ddd(1:length(t))/8);
axis([0 20 -0.5 1.5]);ylabel('方波滤波后抽样输出'); figure(5)
%subplot(325)
plot(t-5,[0 rt2(1:length(t)-1)]/8);
axis([0 20 -0.5 1.5]);
xlabel('t/Ts');ylabel('理想低通滤波器');
figure(6)
%subplot(326)
dd =rt2(N_sample-1:N_sample:end);
ddd =sigexpand(dd,N_sample);
stem(t-5,ddd(1:length(t))/8);
axis([0 20 -0.5 1.5]);
xlabel('t/Ts');ylabel('理想低通滤波后抽样输出');。