依概率收敛性质的推广

依概率收敛性质的推广
16牡丹江师范学院(自然科学~)2oo4.4
依概率收敛性质的推广水
朱永生崔继贤林立军.
(?3哈师大呼兰学院数学系呼兰~5o5oo)(齐齐哈尔大学理学院齐齐哈尔161006) 摘要对依概率收敛的问题进行了研究,得出了几个系统结论.
关键词随机变量;依概率收敛;连续函数
有关依概率收敛的性质和依概率收敛的许
多问题是研究随机现象统计规律性的基础理
论,是研究随机变量序列最基本而又是非常重
要的两种类型的根限定理——大数定律和中心
极限定理不可缺少的重要工具.为此,我们对依
概率收敛的性质进行了研究,得出了一些系统
的结论.
引理1设随机变量序列{,{}分别依概率
收敛于随机变量与田,则
i)+叼——+;ii)~r/——×.
引理2设随机变量序列上a,a≠0是
一
个常数,且≠o,则一.
na
由上述结论可以推出下述定理:
定理1设随机变量序列},{}分别依概
率收敛于a与b(其中口与b是两个常数),则
'
一++
①一—
+
a—b;—a+b.
利用归纳法可证明定理1在有限次的四则
运算下也是成立的,从而可推广如下定理:
定理2设},{},…,}是k个随机变
量序列,并且—P—cti,n—o.(i=1,2,…,),又
Q(,,…,钆)是k元变量的有理函数,并且
Q(a』,a2,…,cO,)≠±o.,则有Q(』,,…,)—
Q(a』,a2,…,co,),no.成立.
为进一步推广定理1和定理2,再引出下面
一
个引理.
引理3设随机变量序列}依概率收敛于
,)为直线上的连续函数,则,J).
三.
证明(1)若)=哦是m次多项式函
数,由定理1知髑成立,结论为真.
(2)证明一般情形.对任意的e>0,6>D,
取M充分大,使得有
Jp(If>)<6,
又选取^,充分大,使当n≥Ⅳ时,有
尸(I一f>1),
于是有.
P({lI>+1)≤P{(1l>)u(I一I>1)}<2
收稿日期:2004-06—30
对取定的,因为)是连续函数,可以用
多项式函数进行任意逼近,且在任意有限区间上是一致收敛的,从而有肌次多项式),使
))f<要一,∈[一(+1),M+1].
对取定的肌次多项式),因为
—,
no.
故存在Ⅳ2,使当n≥Ⅳ2时,有
Jp(1呜l≥)
J
成立,又
/9(一)f≥)
=
P{(L,(一)l≥)n(AuB)}+
(一f≥)n(Au)}:,+,2.
可以看出.
(AuB)u()=(ALJB)U(A～f')Q, (Aun()='|).
其中(I4uB)=(ff>)u(ff>+1), ()=(n百)==({f≤)f-)(II≤朋_+1) 当n≥max{N,Ⅳ2}时,有
,l≤Jp(If>)+P(ff>+1)<36, 又一/f≥j
—
+—-Jq~JI≥j
I.fie)-am(C)l≥5-
或I)一l≥
或I)一,㈥f≥.
即()一f㈥f≥)c{(一(I≥)u
(I一gI≥孚)u(f-A~JI≥5--)}.
由上可知,有下述事实成立
P{(I/)j≥孚)nn百)J
=
P{(一(f≥)n(fI≤坳n(I￡I)}=o,
J
(I)一熊)I≥孚)n(IIn(I≤/)}=0,J
所以
,2≤P{(f㈣一gm㈥f≥孚)f"l(II≤)f"l
(自然科学版)2004.4牡丹江师范学院(JJ≤朋r+1)J≤P{J岛,(J≥}J<J
从而有
J≥占)=11+12<46
成立.
由占,6的任意性即知/㈥艄成立,结
论得证.
进而可得
推论1若&c,则g㈥gc),其中c
是一个常数,g是一个连续函数.
定理3设{J,{},…,fJ是k个随机
变量序列,)是一组连续函数,并且己.毒,
凡一∞(=l,2,…,),又Q(,,…,札)是k元变
量的有理函数,并且Q(gl),g22),…,))
≠±∞,则有Q(gl(1.),g2),…,g'(靠))
Q(gl-),&),…,))(凡一∞).
由定理3和推论1不难得出
推论2设{l,1.l,…,{}是k个随机变量
序列.g,ix)是一组连续函数,并且矗"凡一∞(=1,2,…,,C为常数),又Q(,一,瓢)是k
元变量的有理函数,并且Q(gc),g2(C),…, (c))≠±∞,则有Q(gJ(.),gz(),…,gk(缸))
三Q(gl(C1),g2(c2),'.-,(c))(_+∞).
引理4设,,又设函数g,y)
在点(6)连续,则g,)6).
证明由函数y)在6)的连续性知,
对于任给的e>O,必存在6>0,
当J一口J+Jy-bJ<6时,J,y)-g(a,b)J<占,
于是{lg,叩)一6)l≥)C{l一nl+l,7一6l?
≥6Jc{I一口I≥孚Ju{I一bI≥}J,
因此P(1,)—6)l≥占J≤
P{I一nI≥下6l+P{I'r'/n-bI≥孚}一0,(n一∞)
即limP(1,)_g,b)l<J=1.
从而得出
定理4设{},{},…,{靠}与{J,{r/2.J,…,
{)分别是k个随机变量序列,,y)是一组二
元连续函数,并且矗ai,‰一jb,凡一∞(
1,2,…,,,bi为常数),又Q(j,:,…,)是k
元变量有理函数,并且Q(g-,61),,62),…,
g^(,6'))≠±∞,则有Q(g(,),g2(,),…,
((缸,'))—Q(g1@,b,g2,6'j,…,(,b))
(凡∞).
若分别取g(x,y)为x+-y,xy,旦(y≠D),则由
引理4可得到定理1,定理1可以看作是引理4
的特例.
应该注意的是,依概率收敛不同于通常意义
上的极限,随机变量序列￡不一定有
()一(),(∈),甚至可能对每一个
,()十(),(∈).
参考文献
l魏宗舒等.概率论与数理统计教程[MI.北京:高等教育出版社,1983
2M?费史【波兰伸率论与数理统计【M1.王福保译.上海:同济大学出版社,1978
《参考例题》证法补充丰
孙林之
(牡丹江师范学院牡丹江157012)
摘要数学全国制普通高中教科书(试验修订本?必修)(2o02年l2月第2版;2004年4
月黑龙江第三次印刷)第六章第27页例1给出了3种证法,本文又给出了补充证法l5种,另有l6种证法由读者类似地给出.
关键词证法补充;单位圆;向量积
原题已知b,C,d都是实数,且
Ⅱ2+62==,,c+d,求证:lac+bdl~<1.
证法1(三角代换)由已知aZ+b=.c+,
收稿El期:2004—05-26
编辑:李志敏
令a:COS,b=sinor,C=COS,d=sin/3,
则lac+bdl=lcosOtcos/3+sinOtsin/31
=
[COSI≤1.。