高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第8讲 立体几何中的向量方法(二)求空间角练习 理

第8讲 立体几何中的向量方法(二)——求空间角
一、选择题
1.(2016·长沙模拟)在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，AC 与B 1D 所成的角的大小为( ) A.π6
B.π4
C.π3
D.π2
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体边长为1，则A (0，0，0)，C (1，1，0)，B 1(1，0，1)，D (0，1，0). ∴AC →＝(1，1，0)，B 1D →
＝(－1，1，－1)， ∵AC →·B 1D →
＝1×(－1)＋1×1＋0×(－1)＝0， ∴AC →⊥B 1D →，
∴AC 与B 1D 所成的角为π
2.
答案 D
2.(2017·郑州调研)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( ) A.32
B.33
C.35
D.25
解析 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，A (1，0，0)，C (0，1，0)，D 1(0，0，1)， 所以BB 1→＝(0，0，1)，AC →＝(－1，1，0)，AD 1→
＝(－1，0，1).
令平面ACD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·AC →＝－x ＋y ＝0，n ·AD 1→
＝－x ＋z ＝0，令x ＝1，可得n ＝(1，1，1)， 所以sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→
〉|＝1
3×1＝33. 答案 B
3.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12
B.23
C.
33
D.22
解析 以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系
A －xyz ，设棱长为1，
则A 1(0，0，1)，
E ⎝
⎛⎭
⎪⎫1，0，12，D (0，1，0)，
∴A 1D →
＝(0，1，－1)，
A 1E →
＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
1，0，－12
，
设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )，所以有⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
y －z ＝0，1－12
z ＝0，解得
⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝2，
z ＝2. ∴n 1＝(1，2，2).
∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)， ∴ cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23.
即所成的锐二面角的余弦值为2
3.
答案 B
4.(2017·西安调研)已知六面体ABC －A 1B 1C 1是各棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点，则直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为( ) A.45° B.60° C.90°
D.30°
解析 如图所示，取AC 的中点N ，以N 为坐标原点，建立空间直角坐标系.
则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，0，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2，0，a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a ， ∴AB 1→＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3a 2，a 2，a ，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，CC 1→＝(0，0，a ). 设平面AB 1D 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
由n ·AB 1→＝0，n ·AD →
＝0，可取n ＝(3，1，－2). ∴cos 〈CC 1→
，n 〉＝
CC 1→
·n
|CC 1→||n |＝－2a a ×22
＝－22，
∴直线CC 1与平面AB 1D 所成的角为45°. 答案 A
5.设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD 的距离是( ) A.32
B.
22
C.22
3
D.23
3
解析 如图建立坐标系.则D 1(0，0，2)，A 1(2，0，2)，B (2，2，0)，D 1A 1→
＝(2，0，0)，DB →
＝(2，2，0)， 设平面A 1BD 的一个法向量 n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DA 1→＝0，
n ·DB →＝0，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0，令z ＝1，得n ＝(－1，1，1). ∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→
·n ||n |＝23＝23
3.
答案 D 二、填空题
6.(2017·新余月考)如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，
AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是__________.
解析 以BC 为x 轴，BA 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系.设AB ＝BC ＝AA 1＝2，
则C 1(2，0，2)，E (0，1，0)，F (0，0，1)，
则EF →＝(0，－1，1)，BC 1→＝(2，0，2)，∴EF →·BC 1→
＝2， ∴cos 〈EF →，BC 1→
〉＝
2
2×22＝12，
∴EF 和BC 1所成的角为60°. 答案 60°
7.在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于__________.
解析 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA 1＝2AB ＝2，则D (0，0，0)，C (0，1，0)，B (1，1，0)，C 1(0，1，2)，则DC →
＝(0，1，0)，DB →＝(1，1，0)，DC 1→
＝(0，1，2).
设平面BDC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→
，所以有
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝ (2，－2，1). 设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC →|n ||DC →|＝23.
答案 23
8.已知点E ，F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1，CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则平面AEF 与平面ABC 所成的二面角的正切值等于________.
解析 延长FE ，CB 相交于点G ，连接AG ，如图所示.
设正方体的棱长为3，则GB ＝BC ＝3，作BH ⊥AG 于点H ，连接EH ，则∠EHB 为所求二面角的平面角.
∵BH ＝322，EB ＝1，∴tan ∠EHB ＝EB BH ＝23.
答案
23
三、解答题
9.(2015·全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，
E ，
F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .
(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ， (2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值.
(1)证明 如图，连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF . 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝3.
由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC . 又AE ⊥EC ，
所以EG ＝3，且EG ⊥AC .
在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22
. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝
6
2
. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322
， 从而EG 2
＋FG 2
＝EF 2
，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC . 因为EG 平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面AFC .
(2)解 如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴，y 轴正方向，|GB →
|为单位长度，建立空间直角坐标系G －xyz ，
由(1)可得A (0，－3，0)，E (1，0，2)，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，0，
22， C (0，3，0).
所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，－3，22.
故cos 〈AE →，CF →
〉＝AE →·CF →
|AE →||CF →|＝－33.
所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33
.
10.(2016·全国Ⅰ卷)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D －AF －E 与二面角C －BE －F 都是60°. (1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E －BC －A 的余弦值.
(1)证明 由已知可得AF ⊥DF ，AF ⊥EF ， 所以AF ⊥平面EFDC . 又AF 平面ABEF ， 故平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)解 过D 作DG ⊥EF ，垂足为G . 由(1)知DG ⊥平面ABEF .
以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G －xyz .
由(1)知∠DFE 为二面角D －AF －E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝ 3. 可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3). 由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .
由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，
所以∠CEF 为二面角C －BE －F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2，0，3).
所以EC →＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →
＝(－4，0，0). 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，
4y ＝0，
所以可取n ＝(3，0，－3).
设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·AC →＝0，
m ·AB →＝0，
同理可取m ＝(0，3，4).
则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－219
19
.
故二面角E －BC －A 的余弦值为－219
19
.
11.(2017·济南质检)如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱
ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为
( ) A.55
B.
53
C.255
D.35
解析 不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，可得O (0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(0，2，0)，A (2，0，0)，B 1(0，2，1)，
∴BC 1→＝(0，2，－1)，AB 1→
＝(－2，2，1)，
∴cos 〈BC 1→
，AB 1→
〉＝BC 1→·AB 1
→
|BC 1→||AB 1→|
＝4－15×9＝15＝5
5＞0.
∴BC 1→与AB 1→
的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角， ∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55
. 答案 A
12.在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且 SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是( ) A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
解析 如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .
设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a .则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)，C (－a ，0，0)，P ⎝
⎛
⎭⎪⎫
0，－a 2，a 2.
则CA →＝(2a ，0，0)，AP →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫－a ，－a 2，a 2，
CB →
＝(a ，a ，0)，
设平面PAC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CA →＝0，n ·AP →＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，
y ＝z ，可取n ＝(0，1，1)，
则 cos 〈CB →
，n 〉＝CB →·n |CB →|·|n |＝a 2a 2
·2＝12， 又∵〈CB →，n 〉∈(0°，180°)，∴〈CB →
，n 〉＝60°， ∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案 A
13.如图所示，二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为__________.
解析 ∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →
，
∴CA →·BD →＝|CA →|·|BD →|· cos 〈CA →，BD →
〉＝－24. ∴ cos 〈CA →，BD →
〉＝－12.
又所求二面角与〈CA →，BD →
〉互补， ∴所求的二面角为60°. 答案 60°
14.(2016·四川卷)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝1
2AD .E 为棱AD 的中点，异面直线PA
与CD 所成的角为90°.
(1)在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；
(2)若二面角P －CD －A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.
解 (1)在梯形ABCD 中，AB 与CD 不平行.
延长AB ，DC ，相交于点M (M ∈平面PAB )，点M 即为所求的一个点.理由如下：
由已知，知BC ∥ED ，且BC ＝ED . 所以四边形BCDE 是平行四边形. 从而CM ∥EB . 又EB 平面PBE ，CM 平面PBE ，
所以CM ∥平面PBE .
(说明：延长AP 至点N ，使得AP ＝PN ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)法一 由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD . 从而CD ⊥PD .
所以∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角. 所以∠PDA ＝45°.
设BC ＝1，则在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2.
过点A 作AH ⊥CE ，交CE 的延长线于点H ，连接PH . 易知PA ⊥平面ABCD ，从而PA ⊥CE . 于是CE ⊥平面PAH . 所以平面PCE ⊥平面PAH . 过A 作AQ ⊥PH 于Q ， 则AQ ⊥平面PCE .
所以∠APH 是PA 与平面PCE 所成的角. 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝
22
. 在Rt △PAH 中，PH ＝PA 2＋AH 2
＝322
，
所以sin ∠APH ＝AH PH ＝1
3
.
法二 由已知，CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面PAD . 于是CD ⊥PD .
从而∠PDA 是二面角P －CD －A 的平面角. 所以∠PDA ＝45°.
由PA ⊥AB ，可得PA ⊥平面ABCD .
设BC ＝1，则在Rt △PAD 中，PA ＝AD ＝2.
作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →
的方向分别为x 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，P (0，0，2)，C (2，1，0)，E (1，0，0)， 所以PE →＝(1，0，－2)，EC →＝(1，1，0)，AP →
＝(0，0，2)， 设平面PCE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，
x ＋y ＝0，
设x ＝2，解得n ＝(2，－2，1). 设直线PA 与平面PCE 所成角为α，
则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋（－2）2＋12＝1
3.
所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为1
3.。