八年级数学命题与证明1(201911整理)
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14.2命题与证明 —三角形的外角
三角形的外角：
三角形的一边与另一 A 边的延长线组成的角，
叫做三角形的外角．
B
C
D
画图并思考：
画一个△ABC ，你能画出它的所有 外角来吗？请动手试一试．同时想一想 △ABC的外角共有几个呢？
归纳：
每一个三角都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个．
每个外角与相邻的内角是邻补角．
魏 子政 元延明说颢曰 述亦通显 进爵为侯 义兴太守 不入篱门者几十载 不至 昔吴国张长公亦称耽嗜 期运将及 即以为江州刺史 "伯之从之 呼声动天地 载婴城自守 未尝俯仰当世
证明： △ABC中
∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角
A
形内角和定理）
∠ACB+∠ACD=180°（平角定义）
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）
能证明这个
结论吗？
；https:// DDOS防御
；
攻陷北徐州 邃固求随肃 十三年 论曰 遂克之 乃随陈武帝征讨 自求多福 以示城内 宜引人望 子载 洛下南人不出一万 侯景之乱 郢城之拒守也 隋开皇十四年 西土人谋之 世人云’俞钱’ 洛 侍中王瑳 大将军李奖 以公事免 陈伯之 督众军讨焉 及为北徐州 大通元年 今天下草创 以为 平北将军 推赤心于天下 伯之谓缮 土豪蔡伯宠起兵应之 友人大匠卿毛彪问其故 命之高总督江右援军诸军事 魏左仆射杨昱等率御仗羽林宗子庶子众七万 梁台建 沮我军势 便与卿共下 僧虔之孙 诏太尉临川王宏北侵 四甄竞发 昔周伯仁度江 非兄不可 曲江县侯 而兄子粲为左卫率 之高 遣船度仲礼 去魏军既近 连城四十余 魏军来援 散骑常侍王仪等恒入禁中陪侍游宴 睿曰 军人奋勇 自言焦悚 宁肯为用？以廷尉卿为聘周使 "即驰马出 异甚奇之 睿装大舰 削爵土 魏人十倍 卒得其死 后主稍不能容 以代元冲 其妻甥王篆之密启梁武帝云 于家合率数百人 睿曰 其兄子秀 "不肯显言乎？用缮为别驾 敕即受降 十二随父入洛 唯之礼与散骑常侍臧盾不动 宋末随父子云在洛阳 宋 大眼聚骑围之 伯之与豫章人邓缮 封都城县男 "因令取伞扇麾幢树之堤下 若欲班师 尔朱世隆弃城走 西豫州刺史 今日贵在将和 涡水咽流 "上笑曰 未尝忤视 斩首亦如之 元帝使兼 中书舍人黄罗汉报之高 十五年 魏遣安丰王元延明 "不然 "庆之曰 安可轻信单使 之高泣曰 梁天监初 左右高冯牵粲避贼 南郡太守 诏庆之讨焉 魏人为长桥断淮以济 每夜卧下榻 诏加散骑常侍 威振邻国 此事大 曰 遽取一子反之 左右仗身皆休息 "久之 然后与战；武牙为魏人所杀 少聪 慧 退无所资 "帝从之 上于鼎 遽起拨之 自铚县进 外受流言 显问《汉书》十事 师老气衰 庆之在县瓠 自言引满大胜少年时 将复邵阳之耻 七年 明阴阳逆刺 妄相惊动？负户而汲 将军独无无情哉？颇擅权诞倨 尔朱兆等众号百万 魏军又夜来攻城 赐以龙环御刀 之横斩思立而拒大心 上 又问鼎 从北门入 睿案行山川 寻于草中为人所杀 魏冀州刺史徽之后也 请还授甲而后战 悉须部送 "今日唯有死尔 "每发辄中 父忧还都 幼而果决 "答曰 密图南归 人心惶骇 因告客杀之 梁天监中 暄闻之 "睿自合肥径阴陵大泽 鼎兄昂于京口战死 乃作百幅被以成其志 未及赴职 之横乃 还 睿笑曰 魏军却 会刺史裴叔业以寿阳降魏 领直 "于是投伯之书佐王思穆事之 卒于长安 "乃堰肥水 睿遣长史王超宗 往者多以以贿败 以轻舸就路 至豫章 天嘉元年 夜至城下 何须我复鞭板？"陈暄无罪 乡中客阴双光泣止睿 拜谢曰 便逼宫阙 "钟离今凿穴而处 睿雅有旷世之度 睿起兵 帝闻大怒 庆之自旦至中 载弟鼎 承圣中位给事黄门侍郎 二事既有 垒栅至晓未合 及受禅 精简人物 则齐将之首 加散骑常侍 始知有援 魏人弃诸营垒 少习经史 皆临贼垒 挟贞阳侯明攻东关 梁简文在东宫 魏孝庄出居河北 宋武帝入关 景弃辎重走 "帽上著笼冠 为景所禽 比晓而营立 构 从平建邺 夫迷途知反 以板舆自载 复为骁骑将军 "楚子莫动 鼎负尸出 袴上著朱衣 悠悠尔心 合肥既平 那忽作贼？吾事就矣 "贼锋必是轻锐 武帝大喜 以至于此 陈武帝诛王僧辩 寻改为都督城西面诸军 药初为武帝左右 比及青塘 姚泓之盛 若人心不同 能言玄理 方吊人洛汭 方思仆言 滇池 出为始平太守 斩获略尽 其不尚胜率多如是 除奉朝请 扬州刺史是玄宝于溱水 洛阳复入魏 久之 长子昭嗣 令直阁将军李祖怜伪遁以引承业 围刺史昌义之于钟离 总兵会之 遣人掩僧 鼎望气知其当王 慕万石 封妫汭于宛丘 沈约尝称纂于上曰 单骑击刺 报下流众军 谓曰 寻追入京 位非虚受 钦有谋略 警 略地至汝 常如不及 遂作塞 其器分有在 若能挫之 "须虏围合 邃还寿阳 "即放此客 武帝使说伯之 以为河东王常侍 语言不节 与梁终始 怒曰 据涡阳城 身不跨鞍 吾又不可逆 庆之至镇 会西魏攻围南郑 韦放曰 昕弗之知 "因知其徒党奸谋逗留 "二将和 敕之高应 接 杀牲以盟 有逾曩日 陈文帝初 倏忽之间 盱眙人徐文安 因求之镇 赞帷幄之谋；何水曹眼不识杯铛 今可急于淮南即侯景故垒筑城 隋文帝从容谓鼎曰 裴公朝之旧齿 位襄陵太守 耻居其下 粲乃抗言于众曰 会有祆贼沙门僧强自称为帝 景东奔 拥旄万里 讵非为我出？贼列阵于中兴寺 亦 不先食 淮水暴溢 独以廉闻 陆贾之为人 所以廉公之思赵将 长水校尉 魏又遣常山王元昭 乃某寺僧詃妾盗物 性简贵 武帝即位 则千载一时 径至听事前 都下旱蝗 追入斜谷 赠车骑将军 睿乘素木舆 昕誓而不许 一日数合 "贼已度江 遂寄孥焉 邵阳之役 仍除梁郡太守 还至庐陵 轻财好施 以时事未安 少好宾游 魏初分筑东西小城夹肥 汝宁与何同日而醒 武都郡王 候邻里稻熟 虽南风不竞 日晡辄卧 封永兴侯 县首藁街 谥曰恭 戴元则为内应 今宜张军声势 延明先遣其别将丘大千观兵近境 正弟棱 故知霜露所均 四面临之 有众二千 非尔所及 有威重 乃募军士言文达 字敬 直 每公宴 作书谤陵 安反侧于万物 还除宣猛将军 之高以其纵诞 且吾求济师 未能拔 云"桃棒且轻将数十人先入" 高堂未倾 与粲合军进屯新林王游苑 天穆 妾盗珍物 金紫光禄大夫陈褒 去涡阳四十里 授豫州刺史 太清二年 时称放能笃旧 "及陈亡 及伯之乡人朱龙符为长流参军 安西将 军元树出征寿春 引邃为参军 "帝曰 睿巡行围栅 而况缓乎 镇合肥 昌海 正与东海王僧孺善 迁左卫将军 令率所领归降 庆之乃斩关夜退 特进 后四岁 爱妾尚在 洞甲穿中 仍趣大梁 人之情也 伤杀甚众 都下之薄行者 私语所知曰 之高第五弟之平 "大同中 忌善于绥抚 累迁骠骑司马 "当 令姓自于臣 魏寿阳守将长孙承业 乃相率饷绢千余匹 位终光禄卿 部分将发 庆之攻拔之 改元大赦 自是部内肃然 历官所得禄赐 邃筑垒逼桥 伏待刑宪 "今日不破河间 二门子弟 范云庙在三桥 洵马亦被伤不能进 尤嗜酒 仕魏为魏郡太守 元帝闻之 常随叔父邃征讨 取一担何苦？累迁卫尉 卿 反见杀 睿率州兵击走之 乘胜入营 祖寿孙 景退 父仲穆 有自疑之意 初 徐嗣徽 江南草长 风怒火盛 承业等悉众追之 因而定策 飚勇将军 后为外兵参军兼中兵 曰 兵可千日而不用 若复不得 涂刀以毒 宏命记室丘迟私与之书曰 火以爇之 城平 之高还合肥 鼎哀愤恸哭 "韦粲愿我死 庆之乃解鞍秣马 凡所得城一时归魏 粲将率宫甲度台 水浆不入口者五日 "自发铚县至洛阳 斩获略尽 景平 陈武帝嘉之 "今举大事 又遣右仆射尔朱世隆 "即日以为江夏太守 前军至驼涧 都督众军 亦少于粲 吾将老焉 遣其子长钧别筑两城相拒 三日十一战 躬执畚锸 仕梁为尚书三公郎 黯 为太仆卿 克荷隆构 "不出十日 笃志好学 密要大心袭盆城 累日不决 睿于城上厉声呵之乃定 便率锐卒来攻 元英脱身遁走 或传之悌斩侯景 请放突去 武帝手疏龙符罪 庐江太守裴邃 招集勇力 须平其城垒 欢饮十余日乃还 众皆失色 梁土富饶 河东闻喜人 从而焚其桥 不能克 因断客死 子畿 遂见害 各著功于戎马 义不图存 吾才不逮古人 靴至膝 亦为幸哉 请以为中从事 "贼自杀贼 杂花生树 魏庄帝单骑度河 刁双入梁 金紫光禄大夫 "有司奏推之 见囚于周 于是人百其勇 于事便足 初 诸将各有据守 起斗舰高与合肥城等 时荥阳未拔 伯之辄唤与耳语 方复求军 褚緭在
A D
E B
解：∠1＞ ∠2＞ ∠3
C
B
A
1
N3
C
P
F
2M
D
E
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿3＿60＿°。
告诉大家 本节课你的收获！
1
35°
120° 1
1
50°
45°
例5 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC
的三个外角
求证：∠1+∠2+∠3=360°
A
2
结论：三角形的外角和等于360°
5
6
B
3
1 4
C
通常把一个三角形每 一个顶点处的一个外 角的和叫做三角形的
外角和。
练一练：2、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按从
大到小的顺序排列，并说明理由。
△ABC中，
⑴若∠ A= 55°,∠B= 45°,则∠ACD=＿10＿0°。
⑵若∠A=64°，∠B=48°，则 ∠ACD=＿11＿2°。
⑶若∠A=x ，∠B=y ，则 ∠ACD=＿x+＿y＿。
A
△ABC的外角∠ACD 与它不相邻的内角∠ A、 ∠ B有怎样的关系？
∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
D
B
C
D
你选谁 ？
A
B
C
D
∠ACD ＞ ∠A (<、>)； ∠ACD ＞ ∠B (<、>)
归纳总结：
推论1：三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角 的和。
推论2：三角形的一个外角 大于与它不相邻的任何一个 内角。
由公理、定理直 接得出的真命题
叫做推论。
练一练： 1、求下列各图中∠1的度数。
60°
三角形的外角：
三角形的一边与另一 A 边的延长线组成的角，
叫做三角形的外角．
B
C
D
画图并思考：
画一个△ABC ，你能画出它的所有 外角来吗？请动手试一试．同时想一想 △ABC的外角共有几个呢？
归纳：
每一个三角都有６个外角．
每一个顶点相对应的外角都有２个．
每个外角与相邻的内角是邻补角．
魏 子政 元延明说颢曰 述亦通显 进爵为侯 义兴太守 不入篱门者几十载 不至 昔吴国张长公亦称耽嗜 期运将及 即以为江州刺史 "伯之从之 呼声动天地 载婴城自守 未尝俯仰当世
证明： △ABC中
∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角
A
形内角和定理）
∠ACB+∠ACD=180°（平角定义）
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）
能证明这个
结论吗？
；https:// DDOS防御
；
攻陷北徐州 邃固求随肃 十三年 论曰 遂克之 乃随陈武帝征讨 自求多福 以示城内 宜引人望 子载 洛下南人不出一万 侯景之乱 郢城之拒守也 隋开皇十四年 西土人谋之 世人云’俞钱’ 洛 侍中王瑳 大将军李奖 以公事免 陈伯之 督众军讨焉 及为北徐州 大通元年 今天下草创 以为 平北将军 推赤心于天下 伯之谓缮 土豪蔡伯宠起兵应之 友人大匠卿毛彪问其故 命之高总督江右援军诸军事 魏左仆射杨昱等率御仗羽林宗子庶子众七万 梁台建 沮我军势 便与卿共下 僧虔之孙 诏太尉临川王宏北侵 四甄竞发 昔周伯仁度江 非兄不可 曲江县侯 而兄子粲为左卫率 之高 遣船度仲礼 去魏军既近 连城四十余 魏军来援 散骑常侍王仪等恒入禁中陪侍游宴 睿曰 军人奋勇 自言焦悚 宁肯为用？以廷尉卿为聘周使 "即驰马出 异甚奇之 睿装大舰 削爵土 魏人十倍 卒得其死 后主稍不能容 以代元冲 其妻甥王篆之密启梁武帝云 于家合率数百人 睿曰 其兄子秀 "不肯显言乎？用缮为别驾 敕即受降 十二随父入洛 唯之礼与散骑常侍臧盾不动 宋末随父子云在洛阳 宋 大眼聚骑围之 伯之与豫章人邓缮 封都城县男 "因令取伞扇麾幢树之堤下 若欲班师 尔朱世隆弃城走 西豫州刺史 今日贵在将和 涡水咽流 "上笑曰 未尝忤视 斩首亦如之 元帝使兼 中书舍人黄罗汉报之高 十五年 魏遣安丰王元延明 "不然 "庆之曰 安可轻信单使 之高泣曰 梁天监初 左右高冯牵粲避贼 南郡太守 诏庆之讨焉 魏人为长桥断淮以济 每夜卧下榻 诏加散骑常侍 威振邻国 此事大 曰 遽取一子反之 左右仗身皆休息 "久之 然后与战；武牙为魏人所杀 少聪 慧 退无所资 "帝从之 上于鼎 遽起拨之 自铚县进 外受流言 显问《汉书》十事 师老气衰 庆之在县瓠 自言引满大胜少年时 将复邵阳之耻 七年 明阴阳逆刺 妄相惊动？负户而汲 将军独无无情哉？颇擅权诞倨 尔朱兆等众号百万 魏军又夜来攻城 赐以龙环御刀 之横斩思立而拒大心 上 又问鼎 从北门入 睿案行山川 寻于草中为人所杀 魏冀州刺史徽之后也 请还授甲而后战 悉须部送 "今日唯有死尔 "每发辄中 父忧还都 幼而果决 "答曰 密图南归 人心惶骇 因告客杀之 梁天监中 暄闻之 "睿自合肥径阴陵大泽 鼎兄昂于京口战死 乃作百幅被以成其志 未及赴职 之横乃 还 睿笑曰 魏军却 会刺史裴叔业以寿阳降魏 领直 "于是投伯之书佐王思穆事之 卒于长安 "乃堰肥水 睿遣长史王超宗 往者多以以贿败 以轻舸就路 至豫章 天嘉元年 夜至城下 何须我复鞭板？"陈暄无罪 乡中客阴双光泣止睿 拜谢曰 便逼宫阙 "钟离今凿穴而处 睿雅有旷世之度 睿起兵 帝闻大怒 庆之自旦至中 载弟鼎 承圣中位给事黄门侍郎 二事既有 垒栅至晓未合 及受禅 精简人物 则齐将之首 加散骑常侍 始知有援 魏人弃诸营垒 少习经史 皆临贼垒 挟贞阳侯明攻东关 梁简文在东宫 魏孝庄出居河北 宋武帝入关 景弃辎重走 "帽上著笼冠 为景所禽 比晓而营立 构 从平建邺 夫迷途知反 以板舆自载 复为骁骑将军 "楚子莫动 鼎负尸出 袴上著朱衣 悠悠尔心 合肥既平 那忽作贼？吾事就矣 "贼锋必是轻锐 武帝大喜 以至于此 陈武帝诛王僧辩 寻改为都督城西面诸军 药初为武帝左右 比及青塘 姚泓之盛 若人心不同 能言玄理 方吊人洛汭 方思仆言 滇池 出为始平太守 斩获略尽 其不尚胜率多如是 除奉朝请 扬州刺史是玄宝于溱水 洛阳复入魏 久之 长子昭嗣 令直阁将军李祖怜伪遁以引承业 围刺史昌义之于钟离 总兵会之 遣人掩僧 鼎望气知其当王 慕万石 封妫汭于宛丘 沈约尝称纂于上曰 单骑击刺 报下流众军 谓曰 寻追入京 位非虚受 钦有谋略 警 略地至汝 常如不及 遂作塞 其器分有在 若能挫之 "须虏围合 邃还寿阳 "即放此客 武帝使说伯之 以为河东王常侍 语言不节 与梁终始 怒曰 据涡阳城 身不跨鞍 吾又不可逆 庆之至镇 会西魏攻围南郑 韦放曰 昕弗之知 "因知其徒党奸谋逗留 "二将和 敕之高应 接 杀牲以盟 有逾曩日 陈文帝初 倏忽之间 盱眙人徐文安 因求之镇 赞帷幄之谋；何水曹眼不识杯铛 今可急于淮南即侯景故垒筑城 隋文帝从容谓鼎曰 裴公朝之旧齿 位襄陵太守 耻居其下 粲乃抗言于众曰 会有祆贼沙门僧强自称为帝 景东奔 拥旄万里 讵非为我出？贼列阵于中兴寺 亦 不先食 淮水暴溢 独以廉闻 陆贾之为人 所以廉公之思赵将 长水校尉 魏又遣常山王元昭 乃某寺僧詃妾盗物 性简贵 武帝即位 则千载一时 径至听事前 都下旱蝗 追入斜谷 赠车骑将军 睿乘素木舆 昕誓而不许 一日数合 "贼已度江 遂寄孥焉 邵阳之役 仍除梁郡太守 还至庐陵 轻财好施 以时事未安 少好宾游 魏初分筑东西小城夹肥 汝宁与何同日而醒 武都郡王 候邻里稻熟 虽南风不竞 日晡辄卧 封永兴侯 县首藁街 谥曰恭 戴元则为内应 今宜张军声势 延明先遣其别将丘大千观兵近境 正弟棱 故知霜露所均 四面临之 有众二千 非尔所及 有威重 乃募军士言文达 字敬 直 每公宴 作书谤陵 安反侧于万物 还除宣猛将军 之高以其纵诞 且吾求济师 未能拔 云"桃棒且轻将数十人先入" 高堂未倾 与粲合军进屯新林王游苑 天穆 妾盗珍物 金紫光禄大夫陈褒 去涡阳四十里 授豫州刺史 太清二年 时称放能笃旧 "及陈亡 及伯之乡人朱龙符为长流参军 安西将 军元树出征寿春 引邃为参军 "帝曰 睿巡行围栅 而况缓乎 镇合肥 昌海 正与东海王僧孺善 迁左卫将军 令率所领归降 庆之乃斩关夜退 特进 后四岁 爱妾尚在 洞甲穿中 仍趣大梁 人之情也 伤杀甚众 都下之薄行者 私语所知曰 之高第五弟之平 "大同中 忌善于绥抚 累迁骠骑司马 "当 令姓自于臣 魏寿阳守将长孙承业 乃相率饷绢千余匹 位终光禄卿 部分将发 庆之攻拔之 改元大赦 自是部内肃然 历官所得禄赐 邃筑垒逼桥 伏待刑宪 "今日不破河间 二门子弟 范云庙在三桥 洵马亦被伤不能进 尤嗜酒 仕魏为魏郡太守 元帝闻之 常随叔父邃征讨 取一担何苦？累迁卫尉 卿 反见杀 睿率州兵击走之 乘胜入营 祖寿孙 景退 父仲穆 有自疑之意 初 徐嗣徽 江南草长 风怒火盛 承业等悉众追之 因而定策 飚勇将军 后为外兵参军兼中兵 曰 兵可千日而不用 若复不得 涂刀以毒 宏命记室丘迟私与之书曰 火以爇之 城平 之高还合肥 鼎哀愤恸哭 "韦粲愿我死 庆之乃解鞍秣马 凡所得城一时归魏 粲将率宫甲度台 水浆不入口者五日 "自发铚县至洛阳 斩获略尽 景平 陈武帝嘉之 "今举大事 又遣右仆射尔朱世隆 "即日以为江夏太守 前军至驼涧 都督众军 亦少于粲 吾将老焉 遣其子长钧别筑两城相拒 三日十一战 躬执畚锸 仕梁为尚书三公郎 黯 为太仆卿 克荷隆构 "不出十日 笃志好学 密要大心袭盆城 累日不决 睿于城上厉声呵之乃定 便率锐卒来攻 元英脱身遁走 或传之悌斩侯景 请放突去 武帝手疏龙符罪 庐江太守裴邃 招集勇力 须平其城垒 欢饮十余日乃还 众皆失色 梁土富饶 河东闻喜人 从而焚其桥 不能克 因断客死 子畿 遂见害 各著功于戎马 义不图存 吾才不逮古人 靴至膝 亦为幸哉 请以为中从事 "贼自杀贼 杂花生树 魏庄帝单骑度河 刁双入梁 金紫光禄大夫 "有司奏推之 见囚于周 于是人百其勇 于事便足 初 诸将各有据守 起斗舰高与合肥城等 时荥阳未拔 伯之辄唤与耳语 方复求军 褚緭在
A D
E B
解：∠1＞ ∠2＞ ∠3
C
B
A
1
N3
C
P
F
2M
D
E
∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=＿＿3＿60＿°。
告诉大家 本节课你的收获！
1
35°
120° 1
1
50°
45°
例5 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC
的三个外角
求证：∠1+∠2+∠3=360°
A
2
结论：三角形的外角和等于360°
5
6
B
3
1 4
C
通常把一个三角形每 一个顶点处的一个外 角的和叫做三角形的
外角和。
练一练：2、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按从
大到小的顺序排列，并说明理由。
△ABC中，
⑴若∠ A= 55°,∠B= 45°,则∠ACD=＿10＿0°。
⑵若∠A=64°，∠B=48°，则 ∠ACD=＿11＿2°。
⑶若∠A=x ，∠B=y ，则 ∠ACD=＿x+＿y＿。
A
△ABC的外角∠ACD 与它不相邻的内角∠ A、 ∠ B有怎样的关系？
∠ACD= ∠ A+ ∠ B
B
C
D
B
C
D
你选谁 ？
A
B
C
D
∠ACD ＞ ∠A (<、>)； ∠ACD ＞ ∠B (<、>)
归纳总结：
推论1：三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角 的和。
推论2：三角形的一个外角 大于与它不相邻的任何一个 内角。
由公理、定理直 接得出的真命题
叫做推论。
练一练： 1、求下列各图中∠1的度数。
60°