深圳龙城高级中学九年级数学下册第三单元《锐角三角函数》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（ ）
A ．4
B ．5
C ．163
D ．83 2．在ABC 中，若21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭，则C ∠的度数是（ ） A ．45︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．105︒ 3．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，延长PO 交⊙O 于点C ，若
60APB ∠=︒，6PC =，则AC 的长为（ ）
A ．4
B ．22
C ．23
D ．33
4．如图，旗杆AB 竖立在斜坡CB 的顶端，斜坡CB 长为65米，坡度为125i =
小明从与点C 相距115米的点D 处向上爬12米到达建筑物DE 的顶端点E ，在此测得放杆顶端点A 的仰角为39°，则旗杆的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin390.63︒≈，cos390.78︒≈，tan390.81︒≈）
A ．12.9
B ．22.2
C ．24.9
D ．63.1
5．如图，四边形ABCD 中，AB AC AD ==，E 是BC 的中点，AE CE =，
3BAC CBD ∠=∠，6266BD =+，则AB 的长为（ ）
A ．6
B ．62
C ．12
D ．102 6．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是（ ）
A ．34
B ．43
C ．35
D ．45
7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 使BD ＝AB ，连接AD ，得∠D ＝15°，所以tan15°()()
12323232323AC CD -====-++-．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A ．21+
B ．2﹣1
C ．2
D ．12
8．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，D 为BC 的中点，点E 在AB 上，AD ，CE 交于点F ，AE ＝EF ＝4，FC ＝9，则cos ∠ACB 的值为（ ）
A ．35
B ．59
C ．512
D ．45
9．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30°，已知斜坡CD 的长度为10m ，DE 的长为5m ，则树AB 的高度是（ ）m ．
A ．10
B ．15
C ．153
D ．153﹣5 10．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若33CD =，则扇形AOB 的面积为（ ）
A ．12π
B ．2π
C ．4π
D ．24π
11．在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A 离河边的距离AB ，采取了如下措施：如图在江边D 处，测得信号塔A 的俯角为40︒，若55DE =米，DE CE ⊥，36CE =米，CE 平行于AB ，BC 的坡度为1:0.75i =，坡长140BC =米，则AB 的长为( )（精确到0.1米，参考数据：sin 400.64︒≈，cos400.77︒≈，tan 400.84︒≈）
A ．78.6米
B ．78.7米
C ．78.8米
D ．78.9米 12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为（ ）
A ．513
B ．1213
C ．512
D ．125
二、填空题
13．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．
14．已知AD 是△ABC 的高，CD ＝1，AD ＝BD 3，则∠BAC ＝_______．
15．如图，正方形ABCD 绕点B 逆时针旋转30°后得到正方形BEFG ，EF 与AD 相交于点H ，延长DA 交GF 于点K ．若正方形ABCD 3，则AH=__．
16．三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是_____.
17．如图，△ABC是等边三角形，AB=3，点E在AC上，AE
2
3
AC，D是BC延长线上一
点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE，当AF∥BD时，线段AF的长为____．
18．如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=____．
19．如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=4，OC=10，∠A=60°，线段EF垂直平分OD，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E'关于x轴对称，连接BP、E'M，则BP+PM+ME'的长度的最小值为______．
20．锐角α和锐角β互余，记f ＝sinα+sinβ，则f 的取值范围为_____．
参考答案
三、解答题
21．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，O 是BEF 的外接圆．
（1）求证：AC 是O 的切线．
（2）过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ，求证：CD HF =．
（3）若1CD =，3EH =，求BF 及AF 长．
22．计算：2cos30°+tan60°﹣16+（π﹣3.14）0
23．如图，在△CFE 中，CF ＝6，CE ＝12，∠FCE ＝45°，以点C 为圆心，以任意长为半径作AD ，再分别以点A 和点D 为圆心，大于12
AD 长为半径作弧，交EF 于点B ，AB //CD ．
（1）求证：四边形ACDB 为菱形；
（2）求四边形ACDB 的面积．
24．如图，O 为ABC 的外接圆，AB 为O 的直径，点D 为BC 的中点．
（1）连接OD ．求证：//OD AC ．
（2）设OD 交BC 于E ，若43BC =，2DE =．求阴影部分面积．
25．已知：直线3y kx k =+，交x 轴于B ，交y 轴于A ，且3OA OB =．
（1）如图1，求直线AB 的解析式；
（2）如图2，点D 在AO 上且AD t =连接BD ，过BD 作DE BD ⊥于D ，过A 作AE y ⊥轴于A ，E 点的横坐标为m ，求m 与t 的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P 在BD 的延长线上，P 的横坐标为t ，点F 在EA 的延长线上，点N 在AD 上，连接FN ，连接PF 并延长交直线AB 于点M ，若E BPM ∠=，2ANF ADE ∠=∠，2AN DN =，求点M 的坐标．
26．如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到△A′BC′，连接A C '，求A C '的长．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，
,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的
性质可得4EF =，再求解,AG AE ，
设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2
EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ， 从而可得答案．
【详解】
解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P
,DE DC =
,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠
90,AED DCB ∠=︒=∠
90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠
,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠
,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒，
,FAG BCG ∴∠=∠
,FAG AEF ∴∠=∠
90AFG EFA ∠=∠=︒，
,AFG EFA ∴∽
,AF FG EF FA
∴= 21AF FG ==，，
21,2
EF ∴= 4EF ∴=，
AE ∴== AG == 设BG x =，
则,AB CD x DE ==+=
AEF BCG ∠=∠，
1tan tan ,2
AF AEF BCG EF ∴∠=∠=
= 1,2
BG BC ∴= 2,BC x AD ∴==
()()()22
22255,x x ∴=++
235250,x x ∴--=
55x ∴=5x = 55855DE ∴=
= ,EDP BCG ∠=∠
1,2
EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =
()2
2285+2,m m ∴=⎝⎭ 83
m ∴=（负根舍去） 162.3
EC EP ∴==
故选：.C
【点睛】 本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
根据偶次方和绝对值的非负性可得1cos 02
A -
=，1tan 0B -=，利用特殊角的三角函数值可得A ∠和B 的度数，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】 解：21cos |1tan |02A B ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，
21cos 0,|1tan |02A B ⎛⎫∴-=-= ⎪⎝
⎭， 1cos 02
A ∴-=，1tan 0
B -=，则1cos 2A =，tan 1B =， 解得：60A ∠=︒，45B ∠=︒，
则180604575C ∠=︒-︒-︒=︒．
故选：C ．
【点睛】
本题考查偶次方和绝对值的非负性、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键． 3．C
解析：C
【分析】
如图，设CP 交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．由切线的性质易证△AOP 是含30度角的直角三角形，所以该三角形的性质求得半径=2；然后在等边△AOD 中得到AD=OA=2；最后通过解直角△ACD 来求AC 的长度．
【详解】
解：如图，设CP 交⊙O 于点D ，连接OA 、AD ．设⊙O 的半径为r ．
∵PA 、PB 是⊙O 的切线，∠APB=60°，
∴OA ⊥AP ，∠APO=12
∠APB=30°． ∴OP=2OA ，∠AOP=60°，
∴PC=2OA+OC=3r=6，则r=2，
易证△AOD 是等边三角形，则AD=OA=2，
又∵CD 是直径，
∴∠CAD=90°，
∴∠ACD=30°，
∴AC=
tan 30?
AD 3故选：C ．
【点睛】 本题考查了切线的性质，圆周角定理．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
4．C
解析：C
【分析】
通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．
【详解】
解：过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，过点E 作EG ⊥BF ，垂足为G ，
在Rt △BCF 中，
由斜坡BC 的坡度i=
125，得，BF FC =125
， 又BC=65，
设BF=12x ，FC=5x ，由勾股定理得，（12x ）2+（5x ）2=652，
∴x=5，
∴BF=60，FC=25，
又∵DC=115，
∴DF=DC-FC=115-25=90=EG ，
在Rt △AEG 中，AG=EG•tan39°≈90×0.81=72.9，
∴AB=AG+FG-BF=72.9+12-60=24.9（米），
故选：C ．
【点睛】
本题考查坡度、仰角以及直角三角形的边角关系，理解坡度、仰角和直角三角形的边角关系式解决问题的关键． 5．C
解析：C
【分析】
作DF BC ⊥于F ，根据题意判断出ABC ∆是等腰直角三角形，求出CBD ∠的度数，进而判断出ACD ∆是等边三角形，设AB a ，在Rt BDF ∆中利用直角三角形的性质求出DF 的长，用a 表示出CF 的长，再根据勾股定理即可得出a 的值，进而得出答案．
【详解】
解：作DF BC ⊥于F ，
AB AC AD ==，E 是BC 的中点，
AE BC ∴⊥，
AE CE =，BE EC =，
90BAC ∴∠=︒，
45ABC ACB ∴∠=∠=︒，
3BAC CBD ∠=∠，
30DBC ∴∠=︒，15ABD ∠=︒，
1801515150BAD ∴∠=︒-︒-︒=︒，
90BAC ∠=︒，
60CAD ∴∠=︒，
AC AD =，
ACD ∴∆是等边三角形，
AB AC AD CD ∴===，
设AB a ，则2BC a =，AC AD CD a ===， 在Rt BDF ∆中， 30DBF ∠=︒，6266BD =+， 32362BD DF ∴==+，3cos (6266)3692BF BD CBD =∠=+⨯=+， 36922CF BF BC a ∴=-=+-，
在Rt CDF ∆中，由勾股定理可得222CF DF CD +=，
即222(36922)(3236)a a +-++=，解得12a =或12324+，
∵12324+＞6266+，即此时AB ＞BD ，不符合，
∴AB=12，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质及含30度角的直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出含30度角的直角三角形，根据直角三角形的性质进行解答．
6．D
解析：D
【分析】
根据锐角三角函数的定义得出cosα=
BC AB
进而求出即可． 【详解】
解：如图所示：
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴cosα=45BC AB =． 故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确构造直角三角形是解题关键． 7．B
解析：B
【分析】
作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，根据构造的直角三角形，设AC ＝x ，再用x 表示出CD ，即可求出tan22.5°的值.
【详解】
解：作Rt △ABC ，使∠C ＝90°，∠ABC ＝90°，∠ABC ＝45°，延长CB 到D ，使BD ＝AB ，连接AD ，设AC ＝x ，则：BC ＝x ，AB ＝2x ，CD ＝()
1+2x ， ()
22.5==211+2AC C tan ta D x n D =∠=-︒
故选：B.
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
8．D
解析：D
【分析】
如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．利用全等三角形的性质证明BM=CF=9，AB=BM ，利用勾股定理求出BC ，AC 即可解决问题．
【详解】
解：如图，延长AD 到M ，使得DM=DF ，连接BM ．
∵BD=DC ，∠BDM=∠CDF ，DM=DF ，
∴△BDM ≌△CDF （SAS ），
∴CF=BM=9，∠M=∠CFD ，
∵CE ∥BM ，
∴∠AFE=∠M ，
∵EA=EF ，
∴∠EAF=∠EFA ，
∴∠BAM=∠M ，
∴AB=BM=9，
∵AE=4，
∴BE=5，
∵∠EBC=90°，
∴2222135EC BE -=-，
∴2222912AB BC ++，
∴cos ∠ACB=
124155
BC AC == ， 故选：D ．
【点睛】
此题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 9．B
解析：B
【分析】
先根据CD ＝10m ，DE ＝5m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBE ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
【详解】
解：在Rt △CDE 中，
∵CD ＝10m ，DE ＝5m ，
∴sin ∠DCE ＝51102
DE CD ==， ∴∠DCE ＝30°．
∵∠ACB ＝60°，DF ∥AE ，
∴∠BGF ＝60°
∴∠ABC ＝30°，∠DCB ＝90°．
∵∠BDF ＝30°，
∴∠DBF ＝60°，
∴∠DBC ＝30°，
∴BC ＝103
tan303
CD ==︒（m ）， ∴AB ＝BC •sin60°＝1033⨯
＝15（m ）． 故选：B ．
【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用－仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
10．A
解析：A
【分析】
如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．
【详解】
解：如图作OH ⊥AB 于H ．
∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．
∴CD 是△APB 的中位线，
∴AB ＝2CD ＝63
∵OH ⊥AB ，
∴BH ＝AH ＝33
∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，
∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，
在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO
，
∴AO ＝33
6sin 3
AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360
ππ=， 故选：A ．
【点睛】
本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
11．C
解析：C
【分析】
如下图，先在Rt △CBF 中求得BF 、CF 的长，再利用Rt △ADG 求AG 的长，进而得到AB 的长度
【详解】
如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点F ，延长DE 交AB 延长线于点G
∵BC 的坡度为1:0.75
∴设CF 为xm ，则BF 为0.75xm
∵BC=140m
∴在Rt △BCF 中，()2
220.75140x x +=，解得：x=112 ∴CF=112m ，BF=84m
∵DE ⊥CE ，CE ∥AB ，∴DG ⊥AB ，∴△ADG 是直角三角形
∵DE=55m ，CE=FG=36m
∴DG=167m ，BG=120m
设AB=ym
∵∠DAB=40°
∴tan40°=1670.84120
DG AG y ==+ 解得：y=78.8
故选：C
【点睛】
本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值.
12．B
解析：B
【分析】
先根据勾股定理求出BC=12，再利用余弦函数的定义即可求解.
【详解】
解：在Rt △ABC 中，由勾股定理得，BC ＝22AB AC -＝12，
∴sin A ＝
1213
BC AB =， 故选：B ．
【点睛】 此题考查勾股定理以及锐角三角函数的定义，解题关键在于计算出BC 的长度.
二、填空题
13．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC
解析：3或3
【分析】
如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可． 【详解】
解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，
∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒，
∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===，
∴△BPC 是等边三角形，
当D ′是PB 中点时，AD′=
12
3ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，
∴CD′= PD′tan 60︒3PD′=3，
当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件，
∴CD″=3，
∴满足条件的CD的长为3或3．
故答案为：3或3．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．
14．75°或15°【分析】分两种情形求高的位置然后再根据三角函数的定义求出∠BAD∠CAD的度数最后再相加或相减即可求出∠BAC的度数【详解】解：如图所示：①tan∠BAD＝＝1∴∠BAD＝45°tan
解析：75°或15°
【分析】
分两种情形求高的位置，然后再根据三角函数的定义求出∠BAD、∠CAD的度数，最后再相加或相减即可求出∠BAC的度数．
【详解】
解：如图所示：
①tan∠BAD＝BD
AD
＝1，
∴∠BAD＝45°，
tan∠CAD＝CD
AD
＝
3
3
，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝45°+30°＝75°；
②tan∠BAD＝BD
AD
＝1，
∴∠BAD＝45°，
tan∠CAD＝CD
AD
＝
3
3
，
∴∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°．
故∠BAC＝75°或15°．
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，灵活应用三角函数求角和分类讨论思想是解答本题的关键．15．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在
Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD
和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB
解析：1
【分析】
连接BH，证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），得出∠ABH =30°，在Rt△ABH中解直角三角形即可．
【详解】
解：连接BH，如图所示：
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，
由旋转的性质得：AB=EB，∠CBE=30°，
∴∠ABE=60°，
在Rt△ABH和Rt△EBH中，
∵BH=BH，AB=EB，
∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），
∠ABE=30°，
∴∠ABH=∠EBH=1
2
∴AH=AB•tan∠3
3，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt△ABH≌△Rt△EBH，从而求得∠ABH =30°是解题关键．
16．15﹣5【分析】过点B作BM⊥FD于点M根据题意可求出BC的长度然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°进而可得出答案【详解】过点B作BM⊥FD于点M 在△ACB中∠ACB＝90°∠A＝60°AC＝10
解析：15﹣3
【分析】
过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案.
【详解】
过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝103，
∵AB∥CF，
∴∠BCM=∠ABC=30°，
∴BM＝BC×sin30°＝1
103
2
⨯＝53，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝53，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣53，
故答案是：15﹣53.
【点睛】
本题考查了解直角三角形，正确添加辅助线，构建直角三角形是解题的关键.
17．1【分析】过点E作EM⊥AF于M交BD于N根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN的长再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN据此可得当AF∥BD时线段AF的
解析：1
3 +．
【分析】
过点E作EM⊥AF于M，交BD于N，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°
的三角函数值求出EN的长，再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN
3
=，据此可
得，当AF∥BD时，线段AF的长为1
3 +.
【详解】
如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．
∵AE
2
3
=AC，
∴AE=2，EC=1．
∵AF∥BD，
∴∠EAM=∠ACB=60°．
∵EM⊥AF，
∴∠AME=90°，
∴∠AEM=30°，
∴AM1
2
=AE=1．
∵AF∥BD，EM⊥AF，
∴EN⊥BC，
∴EN=EC•sin60°=
∵∠EMF=∠END=∠FED=90°，
∴∠MEF+∠MFE=90°，∠MEF+∠DEN=90°，
∴∠EFM=∠DEN．
∵ED=EF，
∴△EMF≌△DNE（AAS），
∴MF=EN=
∴AF=AM+MF=1．
故答案为：1
2
+．
【点评】
本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 18．5【分析】过P作PD⊥OB交OB于点D在直角三角形POD中利用锐角三角函数定义求出OD的长再由PM=PN利用三线合一得到D为MN中点根据MN求出MD的长由OD-MD即可求出OM的长【详解】过P作PD
解析：5．
【分析】
过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD-MD 即可求出OM的长．
【详解】
过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°
1
2 OD OP
==，OP=12，
∴OD=6．
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND1
2
=MN=1，
∴OM=OD﹣MD=6﹣1=5．
故答案为：5．
【点晴】
本题考查的是勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
19．【分析】连接OP先确定OD的长和B点坐标然后证明四边形OPME是平行四边形可得OP=EM因为PM是定值推出PB+ME=OP+PB的值最小时即当OPB共线时BP+PM+ME的长度最小最后根据两点间的距
解析：22123
+
【分析】
连接OP,先确定OD的长和B点坐标，然后证明四边形OPME'是平行四边形，可得
OP=EM，因为PM是定值，推出PB+ME'=OP+PB的值最小时，即当O、P、B共线时
BP+PM+M E的长度最小，最后根据两点间的距离公式和线段的和差解答即可．
【详解】
解:如图：连接OP
在Rt△ADO中，∠A=60°，AD=4，
∴OD=4tan60°
∴A（-4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=OC=10，
∴DB=10-4=6
∴B（6，
∵线段EF垂直平分OD
∴OE=1
，∠PEO=∠EOM=∠PM0=90°，
2
∴四边形OMPE是矩形，
∴
，
∵OE=0E'
∴PM=OE'，PM//OE'，
∴四边形OPME'是平行四边形，
∴0P=EM，
∵
是定值，
∴PB+ME'=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME的长度最小，
∴当0、P、B共线时，BP+PM+ME的长度最小
∴BP+PM+ME
的最小值为=
故答案为
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、锐角三角函数等知识，掌握并灵活应用两点之间线段最短是解答本题的关键．20．1＜f≤【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案【详解】∵α+β＝90°∴sinβ＝sin（90°−α）＝cosα∴f＝sinα＋cosα＝sin（α＋45°）∵α是锐角∴＜sin（α＋45°）≤
解析：1＜
【分析】
根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】
∵α+β＝90°，
∴sinβ＝sin（90°−α）＝cosα，
∴f＝sinα＋cosα
sin（α＋45°）
∵α是锐角，
∴＜sin（α＋45°）≤1，
∴1＜f≤2，
故答案为：1＜f≤2．
【点睛】
本题考查锐角三角函数，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10BF =，54
AF =
． 【分析】
（1）连接OE ，由于BE 是角平分线，则有∠CBE=∠OBE ；而OB=OE ，就有∠OBE=∠OEB ，等量代换有∠OEB=∠CBE ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE ∥BC ；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC 是⊙O 的切线；
（2）连结DE ，先根据AAS 证明△CDE ≌△HFE ，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF ．
（3）先证得△EHF ∽△BEF ，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH ，然后解直角三角形即可求得OA ，得出AF ．
【详解】
解：（1）证明：如图，连接OE ．
∵BE EF ⊥，
∴90BEF ∠=︒，
∴BF 是圆O 的直径．
∵BE 平分ABC ∠，
∴CBE OBE ∠=∠，
∵OB OE =，
∴OBE OEB ∠=∠，
∴OEB CBE ∠=∠，
∴//OE BC ，
∴90AEO C ∠=∠=︒，
∴AC 是O 的切线．
（2）如图，连结DE ．
∵CBE OBE ∠=∠，EC BC ⊥于C ，EH AB ⊥于H ，
∴EC EH =．
∵180CDE BDE ∠+∠=︒，180HFE BDE ∠+∠=︒，
∴CDE HFE ∠=∠．
在CDE △与HFE 中，
90CDE HFE C EHF EC EH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，
∴CDE HFE ≅△△，
∴CD HF =．
（3）由（2）得CD HF =，又1CD =，
∴1HF =，
在Rt HFE
中，EF ==，
∵EF BE ⊥，
∴90BEF ∠=︒，
∴90EHF BEF ∠=∠=︒，
∵EFH BFE ∠=∠，
∴EHF BEF △△， ∴EF HF BF EF =
，即BF = ∴10BF =， ∴152
OE BF ==，514OH =-=， ∴Rt OHE △中，4cos 5
EOA ∠=， ∴Rt EOA △中，4cos 5OE EOA OA ∠=
=， ∴545
OA =， ∴254OA =
， ∴255544
AF =-=． 【点睛】
本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
22
．3
【分析】
原式利用特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果．
【详解】
原式=2412
⨯+
3=
3=
【点睛】
此题考查了含特殊角的三角函数值的实数的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解本题的关键．
23．（1）见解析；（2）四边形ACDB 的面积为
【分析】
（1）根据已知得出AC CD =，AB DB =，ACB DCB ∠=∠，求出 AC AB =，根据菱形的判定得出即可；
（2）根据相似三角形的性质得出比例式，求出菱形的边长和高，根据菱形的面积公式求出即可．
【详解】
（1）证明：由已知得：AC CD =，AB DB =，
由已知尺规作图痕迹得：BC 是FCE ∠的角平分线，
ACB DCB ∴∠=∠，
又//AB CD ，
ABC DCB ∴∠=∠，
ACB ABC ∴∠=∠，
AC AB ∴=，
又AC CD =，AB DB =，
AC CD DB BA ，
∴四边形ACDB 是菱形，
（2）解：设菱形ACDB 的边长为x ，
四边形ACDB 是菱形，
//AB CE ∴，
FAB FCE ，FBA E ，
FAB FCE ∽ ∴
FA AB FC CE =， 即6126
x x -=， 解得：4x =，
过A 点作AH CD ⊥于H 点，
在Rt ACH ∆中，45ACH ∠=︒， sin AH ACE
AC ，4AC =， 2sin 422AH AC ACE ，
∴四边形ACDB 的面积为：42282CD AH
．
【点睛】 本题考查了菱形的性质和判定，解直角三角形，三角函数，相似三角形的性质和判定等知识点，能求出四边形ACDB 是菱形是解此题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）
16433π- 【分析】
（1）先根据圆周角定理可得90ACB ∠=︒，再根据垂径定理的推论可得OD 垂直平分BC ，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）设O 的半径为r ，从而可得,2OB r OE r ==-，再根据垂径定理的推论可得
1232
BE BC =
=Rt OBE 中，利用勾股定理可得r 的值，从而可得OBC ∠的度数，最后利用扇形和三角形的面积公式即可得． 【详解】 （1）
AB 为O 的直径，
90ACB ∴∠=︒，即AC BC ⊥， 点D 为BC 的中点，
OD ∴垂直平分BC ，
//OD AC ∴；
（2）设O 的半径为r ，则OB OD OC r ===，
2DE =，
2OE OD DE r ∴=-=-， 由（1）已证：OD 垂直平分BC ，
11432322
BE BC ∴==⨯= 在Rt OBE 中，222OE BE OB +=，即222(2)(23)r r -+=，
解得4r =，
4,2OB OE ∴==，
在Rt OBE 中，1sin 2
OE OBC OB ∠==，
30OBC ∴∠=︒，
又OB OC =，
30OCB OBC ，
180120BOC OCB OBC ∴∠=︒-∠-∠=︒，
则阴影部分面积为21204116236023OBC OBC S S
ππ⨯-=-⨯=-扇形 【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理的推论、扇形的面积公式、正弦三角函数等知识点，熟练掌握并灵活运用各定理和公式是解题关键．
25．（1）y=3x+9；（2）m=2133t t -；（3）M(1，10)．
【分析】
（1）先设OB b =，表示出A 、B 的坐标，代入求解即可；
（2）根据lBD lDE k k ⋅= -1，得出93t -·t m
=-1，变形求解即可； （3）首先得出直线BD 的解析式，再得出直线NF 为：y=
222mt m t -，设F(n ，9)，得出直线FD ，再根据直线AB 求解即可．
【详解】
解：（1）设OB b =，
∴B(-b,0)，
∵OA=3OB ，
∴A(0,3b)，
∵A 、B 在直线y=kx+k 上，
代入得3033bk k k b -+=⎧⎨=-⎩
， 解得：33k b =⎧⎨=⎩
，∴y=3x+9； （2）由（1）知A(0，9)，B(-3，0)，
∵AE ⊥y 轴，
∴E(m ，9)，
∵AD=t ，
∴D(0，9-t)，
∵BD ⊥DE ，
∴lBD lDE k k ⋅= -1，而lBD k =
93t -，lDE k =t m ， ∴93t -·t m
=-1，
∴-t²+9t+3m=0，
∴m=2133t t -； （3）由（2）和（1）知：直线BD 为：y=
993
t x t -+- ， ∵P 在直线BD 上且横坐标为t ， ∴P(t ，26273
t t -++)， ∵AN=2DN ，
∴N(0，9-t)，
∵∠ANF=2∠ADE 且lDE k =t m
，则直线NF 为：y=222mt m t - ， 设F(n ，9)，则22223t mt n m t =-，解得n=22
3m t m
-， ∴F(223m t m
-，9)， 由F 、P 得FP l ：y=2222
22()933m t m t x m t mt m
---+--①， 由（1）得：AB l :y=3x+9②，∵∠E=∠BPM ，∴tan ∠E=tan ∠BPM③，
由M 为AB 和PF 的交点，
联立①②③得：M(1，10)．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数、构建方程解决问题．
26．433A C '=+
【分析】
利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C ，进而判断出A'C 是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理和三角函数求解即可．
【详解】
解：如图，连接CC'，
∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，
∴△BCC'是等边三角形，
∴BC=C'C，
∵A'B=A'C'，
∴A'C是BC'的垂直平分线，垂足为D，
∴BD=1
BC'=3，
2
在Rt△A'BD中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，
在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=6，
∴CD=BC•cos∠CBD=6×sin60°
∴
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．。