高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.1函数的平均变化率学案新人教B版选修1_1

3.1.1 函数的平均变化率
1．了解函数的平均变化率．
2．会求一些简单函数的平均变化率．
1．直线的斜率k 、倾斜角α及直线上两点坐标之间的关系
设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)(x 0≠x 1)，自变量x 的改变量x 1－x 0记为Δx ，函数值的改变量y 1－y 0记为Δy ，即______＝x 1－x 0，______＝y 1－y 0.
直线AB 的倾斜角为α，斜率为k ，则有k ＝______＝
y 1－y 0
x 1－x 0
＝________. 【做一做1】直线l 过点A (3,6)和B (4,7)，求直线l 的斜率k . 2．平均变化率
已知函数y ＝f (x )在点x ＝x 0及其附近有定义，
令Δx ＝x －x 0，Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝__________，
则当Δx ≠0时，比值____________＝Δy
Δx 叫做函数y ＝f (x )在x 0到x 0＋Δx 之间的平均
变化率．
(1)Δx 和Δy 是整体符号而不是乘积，它们分别表示自变量和函数值的改变量； (2)Δy 与Δx 是对应的，当Δx ＝x －x 0时，Δy ＝y －y 0.它们可正可负，但Δx ≠0，Δy 可为0.
【做一做2】若函数f (x )＝x 2
的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx
＝__________.
1．对平均变化率概念的理解．
剖析：(1)函数f (x )在x 0处有定义；
(2)x 是x 0附近的任意一点，即Δx ＝x －x 0≠0，Δx 可正可负，并且它的绝对值是一个较小的正数；
(3)改变量的对应：若Δx ＝x －x 0，则Δy ＝f (x )－f (x 0)，而不是Δy ＝f (x 0)－f (x )； (4)平均变化率可正可负也可为零． 2．对平均变化率的意义的认识：
剖析：函数的平均变化率可以体现出函数的变化趋势，增量Δx 越小，越能准确体现函数的变化情况．
题型一 平均变化率的概念
【例1】在平均变化率的定义中对自变量的增量Δx 的要求是( ) A ．大于零 B ．小于零
C ．等于零
D ．不等于零 题型二 求函数的平均变化率
【例2】试比较正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π
2附近的平均变化率的大小．
分析：先求出正弦函数在x ＝0和x ＝π
2附近的平均变化率，然后比较大小．
反思：(1)求函数f (x )的平均变化率的一般步骤为：
①计算函数值的改变量：Δy ＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②计算自变量的改变量Δx ＝x －x 0； ③计算平均变化率：Δy Δx
＝
f
x 0＋Δx －f x 0
Δx
.
(2)比较平均变化率哪一个大，实际则是比较大小的问题，应按作差法或作商法的步骤进行判断，关键是对差的符号进行判断．
1在平均变化率的定义中对函数值的改变量Δy 的要求是( ) A ．大于零 B ．小于零
C ．等于零
D ．可正可负可为零 2在平均变化率的定义中，函数值的改变量Δy 与自变量的改变量Δx 的对应关系是指( )
A ．当Δx ＝x －x 0时，Δy ＝f (x )－f (x 0)
B ．当Δx ＝x －x 0时，Δy ＝f (x 0)－f (x )
C ．当Δx ＝x 0－x 时，Δy ＝f (x )－f (x 0)
D ．以上答案都不正确
3已知函数f (x )＝x 2
＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则
Δy Δx
＝( )
A ．2
B ．2Δx
C ．Δx ＋2
D ．(Δx )2
＋2
4函数f (x )＝x 2
＋1在2到2.5之间的平均变化率为__________．
5函数f (x )＝2x 2
＋1在x ＝1附近的平均变化率__________在x ＝3附近的变化率(填“大于”“小于”“等于”)．
答案：
基础知识·梳理
1．Δx Δy tan α Δy Δx
【做一做1】解：k ＝
y 1－y 0x 1－x 0＝7－6
4－3
＝1.
2．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
f x 0＋Δx －f x 0
Δx
【做一做2】Δx ＋2 先计算Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2
－1＝(Δx )2
＋2Δx ，再算Δy
Δx
＝Δx ＋2.
典型例题·领悟
【例1】D 由平均变化率的定义知Δx ≠0.
【例2】解：当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为
k 1＝
sin Δx －sin 0Δx ＝sin Δx
Δx
.
当自变量从π2变到Δx ＋π
2时，函数的平均变化率为k 2＝
sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
2＋Δx －sin
π
2
Δ
x
＝
cos Δx －1Δx
，
由于是在x ＝0和x ＝π
2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可为正，又可
为负．
当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.
当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sin Δx Δx －cos Δx －1Δx ＝sin Δx －cos Δx ＋1
Δx
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫Δx －π4＋1Δx
.
∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π
4，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx －π4＜－22.
从而有2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx －π4＋1＜0，
∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.
综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π
2附近的平均变化
率．
随堂练习·巩固 1．D 2．A
3．C 先算Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－12－1＝(Δx )2
＋2(Δx )，再算Δy Δx ＝
Δx ＋2，从而选C.
4．4.5
5．小于 先求x ＝3附近的平均变化率，k 1＝Δy Δx ＝f
＋Δx －f
Δx
＝
＋Δx
2
＋1－2×32
－1
Δx
＝2Δx ＋12；
再求在x ＝1附近的平均变化率可得k 2＝Δy
Δx ＝2Δx ＋4；
因为k 1－k 2＝2Δx ＋12－2Δx －4＝8＞0，所以填“小于”．。