2020版高考数学大二轮复习专题四阶段质量检测(四)专题一～四“综合检测”

[阶段质量检测(四)］专题一～四“综合检测”
（时间：120分钟满分：150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知双曲线x2－错误!＝1上一点P(错误!，2）,F1,F2为双曲线的左、右焦点,则∠F1PF2的角平分线与x轴的交点M到PF1的距离是（)
A．1 B。

错误!
C.错误!D。

错误!
解析：选C 由题意可知，△F1PF2是直角三角形且∠F1PF2＝60°，|PF2|＝2，由点M在∠F1PF2的角平分线上知点M到PF1的距离等于点M到PF2的距离，即为|F2M|＝2tan 30°＝错误!,故选C.
2．已知角α为第三象限角，且tan α＝错误!，则sin α＋cos α＝（）
A．－错误!B．－错误!
C.错误!D。

错误!
解析：选A 由题可得错误!因为α是第三象限角,所以错误!故sin α
＋cos α＝－7
5
.选A.
3．（2019·浙江十校联盟）如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸(单位：cm），则该几何体的表面积为（)
A．15π cm2B．21π cm2
C．24π cm2D．33π cm2
解析：选C 由三视图得该几何体为一个底面圆直径为6，母线
长为5的圆锥，则其表面积为π×32＋π×1
2
×6×5＝24π,故选C。

4．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n"是“m ∥α"的（)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵m⊄α，n⊂α,∴当m∥n时，m∥α成立,即充分性成立；当m∥α时,m∥n不一定成立,即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α"的充分不必要条件，故选A。

5．已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，
b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足k PA·k PB＝3，则双曲线C的离心率为（) A．2 B．4
C。

错误!D．10
解析:选A 设A(x1,y1），P(x0，y0)（｜x0|≠|x1|)，则B（－x1，－y1)，则k PA·k PB＝错误!·错误!＝错误!。

因为点P，A在双曲线C上，所以b2x错误!－a2y错误!＝a2b2,b2x错误!－a2y错误!＝a2b2，两式相减可得错误!＝
错误!，故错误!＝3，于是b2＝3a2.又因为c2＝a2＋b2，所以双曲线C的离心率e＝错误!＝2.故选A.
6．已知AD与BC是三棱锥A。

BCD中相互垂直的棱，若AD
＝BC＝6，且∠ABD＝∠ACD＝60°，则三棱锥A。

BCD的体积的
最大值是（）
A．36 B．36错误!
C．18 D．182
解析：选D 如图，过C作CF⊥AD，垂足为F，连接BF,
∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF＝C,BC⊂平面BCF，CF⊂平面BCF，
∴AD ⊥平面BCF ，
∴V 三棱锥A ­BCD
＝V 三棱锥A .BCF ＋V 三棱锥D 。

BCF
＝错误!S △BCF ·AF ＋错误!S △BCF ·FD
＝错误!S △BCF ·（AF ＋FD )＝错误!S △BCF ·AD 。

∵AD ＝BC ＝6,∴V 三棱锥A 。

BCD ＝2S △BCF ，
∴当△BCF 的面积最大时，V 三棱锥A ­BCD 取得最大值，
易知当△BCF 为等腰三角形时，S △BCF 取得最大值,即V
三棱锥A 。

BCD 取得最大值． 取BC 的中点E ，连接EF ，当△BCF 为等腰三角形时，EF ⊥BC ,
∴2S △BCF ＝2×12
×BC ×EF ＝6EF ， 又∵EF ＝错误!＝错误!,
∴当CF 最长时,V 三棱锥A ­BCD 最大，
∵∠ACD ＝60°,AD ＝6，AD ⊥CF ,
∴当AC ＝CD 时，CF 取得最大值，
此时CF ＝3错误!，∴EF ＝3错误!,∴6EF ＝18错误!.
∴三棱锥A ­BCD 体积的最大值为18错误!。

故选D.
7．（2019·浙南名校联盟)如图，在三棱柱ABC。

A1B1C1中,点P在平面A1B1C1内运动，使得二面角P。

AB。

C的平面角与二面角P­BC.A的平面角互余，则点P的轨迹是( )
A．一段圆弧
B．椭圆的一部分
C．抛物线
D．双曲线的一支
解析：选D 设点P在底面ABC内的投影为点O,过点O分别作AB，BC的垂线，垂足分别为点E，F，连接PE，PF，则易得∠PEO为二面角P。

AB.C的平面角，∠PFO为二面角P。

BC.A的平面角，且tan∠PEO＝错误!，tan∠PFO＝错误!，因为∠PEO与∠PFO 互余，所以tan∠PEO·tan∠PFO＝错误!·错误!＝1，即OE·OF＝OP2(定值），所以点O在以BA，BC为渐近线的双曲线上，所以点P 的轨迹为双曲线的一支,故选D.
8．已知F1,F2是椭圆x2
a2＋
y2
b2＝1（a>b>0）的左、右焦点，过F2
且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，若△ABF1是锐角三角
形，则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A．（错误!－1，＋∞）B．(0，错误!－1)
C．（错误!－1,1）D．(错误!－1，错误!＋1）
解析：选C 由题意可知,A，B的横坐标均为c，且A，B都在椭圆上，所以错误!＋错误!＝1,
从而可得y＝±错误!，不妨令A错误!,B错误!。

由△ABF1是锐角三角形知∠AF1F2〈45°，
所以tan ∠AF1F2〈1，
所以tan∠AF1F2＝错误!＝错误!<1，故错误!<1，即e2＋2e－1〉0，解得e〉错误!－1或e〈－错误!－1，又因为椭圆中，0〈e<1，所以错误!－1<e〈1。

故选C.
9．已知数列{a n｝满足a1＝1，a n＋1·a n＝2n（n∈N＊)，则S2 018＝( )
A．22 019－1 B．21 009－3
C．3×21 009－3 D．21 008－3
解析:选C ∵a n＋1a n＝2n，∴a n＋2a n＋1＝2n＋1，∴错误!＝2，∴数列｛a n｝的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比均为2.又∵a1a2＝2，a1＝1，∴a2＝2，∴S2 018＝（a1＋a3＋…＋a2 017)＋(a2＋a4＋…＋a2 018)＝
错误!＋错误!＝3×21 009－3。

10．(2019·绍兴上虞区质检）已知数列{a n}满足a1＝错误!,a n＋1＝
错误!a n，则下列结论成立的是（)
A．a2 018＜a2 019＜a2 020B．a2 020＜a2 019＜a2 018
C．a2 019＜a2 018＜a2 020D．a2 019＜a2 020＜a2 018
解析：选D 由已知a1＝错误!1，得a2＝错误!错误!＝错误!，a3＝错误!a2
＝错误!错误!，由指数函数y＝错误!x单调递减，得a1＜a3＜a2，故错误!a1＞错误!
a3＞错误!a2,即a2＞a4＞a3，因此a1＜a3＜a4＜a2，可猜想：数列｛a n}的奇
数项单调递增，偶数项单调递减，且奇数项均小于偶数项．由数学
归纳法可以证得猜想成立，故选D.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分,单空题每题4分,
共36分）
11．已知抛物线y2＝2px过点A(1,2）,则p＝________，准线方
程是________．
解析：由题可得,4＝2p，解得p＝2，所以准线方程为x＝－错误!＝
－1。

答案:2 x＝－1
12．（2019·浙南名校联盟)在△ABC中，内角A,B，C所对的边
分别是a,b，c.若b sin A＝a sin C，c＝1，则b＝________，△ABC面积的最大值为________．
解析：由b sin A＝a sin C,得sin B sin A＝sin A sin C，因为角A为三角形内角，所以sin A≠0,则sin B＝sin C，所以B＝C，则b＝c＝1，△ABC的面积为错误!bc sin A＝错误!sin A，则当sin A＝1，即A＝90°时，△ABC的面积取得最大值错误!.
答案：1 错误!
13．设圆C上的点A（2，6)关于直线x＋y－5＝0的对称点A′仍在圆C上，且圆C与直线3x＋4y－8＝0相交的弦长为2错误!，则点A′的坐标为________，圆C的圆心坐标为________．解析：设点A′（x0，y0），
∵点A与A′关于直线x＋y－5＝0对称，
∴错误!解得错误!
∴点A′的坐标为(－1，3）．
设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b）2＝r2，
则（2－a）2＋（6－b)2＝r2。

①
∵点A(2，6）关于直线x＋y－5＝0的对称点A′（－1,3)在圆C 上，
∴圆心（a,b）在直线x＋y－5＝0上，∴a＋b－5＝0，②又直线3x＋4y－8＝0被圆截得的弦长为2错误!，
∴r2＝（错误!）2＋错误!。

③
解由方程①②③组成的方程组,得a＝2,b＝3或a＝－72
49
，b＝错误!，
∴圆C的圆心坐标为（2，3)或错误!。

答案：（－1,3）(2,3)或错误!
14。

如图，已知E、F为双曲线的左、右焦点，F为抛物线的焦点，A，B为双曲线与抛物线的公共点，若|BE|＝错误!|AF｜，则双曲线的离心率为________．解析：连接AE，过E作抛物线的准线l，过A作AA′⊥l，由抛物线的定义得｜AA′|＝｜AF|,由双曲线的定义得｜AE|－｜AF|＝2a，
又｜AE|＝｜BE｜＝错误!｜AF｜，可得|AF｜＝8a，AE＝10a,因为cos∠AEF＝sin∠A′EA＝错误!,所以在三角形AEF中,由余弦定理得错误!＝错误!,即e2－8e＋9＝0，解得e＝4±错误!.
答案：4±错误!
15．向量a与b的夹角为90°,｜a｜＝|b|＝1，若｜c－a|＋|c
－2b|＝错误!，则|c＋2a｜的最大值为________,最小值为________．解析:因为｜c－a｜＋|c－2b｜＝5，且错误!＝错误!，a ⊥b，所以向量c的终点在a和2b的终点的连线上（如图)，故｜c＋2a|的取值范围为｜错误!|的长度变化．当SK ⊥FG时,长度最短，连接SG，由错误!SF·OG＝错误!FG·SK，得SK ＝错误!＝错误!.又SF＝3,SG＝2错误!，所以当a＝c时,SK最长,为3。

答案：3 错误!
16．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A,B在该抛物线上,且位于x轴的两侧，错误!·错误!＝2（其中O为坐标原点）,则△AFO与△BFO面积之和的最小值是________．
解析：法一：设直线l AB:x＝my＋t，A(x1，y1），B(x2，y2)，
联立错误!⇒y2－my－t＝0,
∴y1＋y2＝m，y1y2＝－t,
∵点A,B位于x轴两侧，
∴y1y2＝－t<0，∴t>0。

又错误!·错误!＝x1x2＋y1y2＝(y1y2）2＋y1y2＝t2－t＝2,
解得t＝2或t＝－1（舍去）．
∴S△AFO＋S△BFO＝错误!｜OF｜·|y1－y2｜＝错误!|y1－y2｜＝错误!
≥错误!，
∴△AFO与△BFO面积之和的最小值为错误!。

法二：设A(x1，y1），B（x2,y2)．
∵错误!·错误!＝x1x2＋y1y2＝(y1y2)2＋y1y2＝2，
∴y1y2＝－2或y1y2＝1(舍去）．
∴S△AFO＋S△BFO＝错误!｜y1－y2｜＝错误!错误!＝错误!错误!≥错误!错误!＝2
.
4
答案：错误!
17．已知双曲线C1:错误!－错误!＝1（a>0，b〉0)的左、右焦点分别为F1，F2,抛物线C2：y2＝2px(p>0）的焦点与双曲线C1的一个焦点重合，C1与C2在第一象限相交于点P,且|F1F2|＝｜PF1｜，则双曲线C1的离心率为________．
解析:由题意可知,F1（－c,0）,F2(c,0）．设点P(x0，y0)，过点P作抛物线C2：y2＝2px(p>0)准线的垂线,垂足为A，连接PF2。

根据双曲线的定义和｜F1F2|＝|PF1|＝2c，可知｜PF2|＝2c－2a.由抛物线的定义可知｜PF2|＝|PA|＝x0＋c＝2c－2a,则x0＝c－2a.由题意可知错误!＝c，又点P在抛物线C2上，所以y错误!＝2px0＝4c·(c－2a),在Rt△
F1AP中，｜F1A|2＝|PF1｜2－|PA|2＝(2c)2－（2c－2a)2＝8ac－4a2，即y错误!＝8ac－4a2，所以8ac－4a2＝4c(c－2a），化简可得c2－4ac＋a2＝0，即e2－4e＋1＝0，又e>1，所以e＝2＋错误!。

答案：2＋错误!
三、解答题(本大题共5小题，共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．(本小题满分14分)设函数f(x)＝错误!cos2ωx＋sin ωx·cos ωx ＋m（ω＞0,m∈R)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为错误!.
(1)求ω的值；
（2）如果f(x)在区间错误!上的最小值为错误!，求m的值．
解:（1)f(x)＝错误!cos 2ωx＋错误!sin 2ωx＋错误!＋m
＝sin错误!＋错误!＋m，
依题意2ω·π
6
＋错误!＝错误!，解得ω＝错误!.
（2）由（1）知，f（x)＝sin错误!＋错误!＋m,又当x∈错误!时,x＋错误!∈错误!，
故－错误!≤sin错误!≤1。

从而f(x)在错误!上取得最小值－错误!＋错误!＋m,
因此由题设知－错误!＋错误!＋m＝错误!，故m＝错误!.
19．(本小题满分15分）（2019·台州调研）已知斜率为k的直
线l经过点M(0,m),且直线l交椭圆x2
4
＋y2＝1于A，B两个不同的点．
(1）若k＝1，且A是MB的中点，求直线l的方程；
（2）若|AB|随着|k｜的增大而增大，求实数m的取值范围．解：（1)若k＝1，则直线l的方程为y＝x＋m,
代入椭圆方程x2＋4y2＝4,
得5x2＋8mx＋4（m2－1）＝0.
设A(x1，y1),B(x2，y2），
则Δ＝64m2－80(m2－1）＝16(5－m2）＞0，m∈（－错误!，错误!），x1＋x2＝－错误!，x1x2＝错误!.
由A是MB的中点,知x2＝2x1,
代入上式得x1＝－错误!m,x2＝－错误!m,
则错误!m2＝错误!，解得m＝±错误!.
所以直线l的方程为y＝x＋错误!或y＝x－错误!。

(2)设直线l的方程为y＝kx＋m,
代入椭圆方程x2＋4y2＝4，
得（1＋4k2)x2＋8kmx＋4（m2－1)＝0，
设A(x1，y1),B(x2，y2)．
则Δ＝64k2m2－16(4k2＋1)（m2－1）＝16(1＋4k2－m2）＞0，x1＋x2＝－错误!,x1x2＝错误!.
则｜AB｜＝错误!｜x1－x2|
＝错误!·错误!
＝错误!。

设t＝1＋4k2，t∈[1,＋∞），
则|AB｜2＝错误!＝错误!
＝4×错误!。

设u＝错误!，u∈（0，1]，
由题意可知,函数y＝－3m2u2－(m2－3)u＋1在（0，1］上为减函数．
当m＝0时，函数在（0,1］上为增函数，不符合题意；
当m≠0时,由－错误!≤0，得m2≥3,
即m≤－错误!或m≥错误!。

综上所述，m的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[3,＋∞）．
20．（本小题满分15分)已知数列{a n｝的前n项和为S n，a1＝4，a2＝7，且当n≥3时，S n＋S n－2＝2S n－1＋3，数列｛b n｝为等比数列，b1＋b2＝8(b4＋b5），a5·b4＝1。

（1）求数列｛a n｝与{b n｝的通项公式；
（2)证明：数列{a n b n｝的前n项和T n<7。

解：(1）由已知可得当n≥3时，S n－S n－1＝（S n－1－S n－2)＋3,
即a n＝a n－1＋3，
又a2＝a1＋3，
所以数列｛a n｝是以a1＝4为首项,3为公差的等差数列，
所以a n＝4＋3(n－1）＝3n＋1.
设等比数列{b n｝的公比为q，
则由已知可得错误!＝错误!，
即q3＝错误!，解得q＝错误!.
又a5＝3×5＋1＝16,
所以b4＝错误!＝错误!，
故b n＝b4q n－4＝错误!×错误!n－4＝错误!。

(2）证明：由(1）知a n b n＝错误!。

所以T n＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋a n－1b n－1＋a n b n＝错误!＋错误!＋错误!
＋…＋错误!＋错误!，①
错误!T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!，②
①－②得
错误!T n＝错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!＋错误!－错误!
＝2＋错误!－错误!
＝2＋错误!错误!－错误!
＝错误!－错误!，
所以T n＝7－错误!.
因为错误!〉0，所以T n〈7.
21．（本小题满分15分）已知点P在抛物线C：y2＝
2px(p＞0）上，过P作圆F：错误!2＋y2＝错误!的切线，且切线段长最短为错误!.
（1)求抛物线C的方程；
（2)设点M（t，0）,N（2t，0）（t为正常数），直线PM,PN分别交抛物线C于A,B两点，求△ABP面积取最小值时点P的坐标．解：（1)设P（x0,y0),
因为错误!＝错误!≥错误!＝错误!，
所以错误!＝错误!，即p＝2，
所以抛物线C的方程是y2＝4x.
（2）设P错误!,A错误!,B错误!，
设l PA：x＝my＋t，代入y2＝4x得y2－4my－4t＝0,则y0y1＝－4t.
同理可得y0y2＝－8t，
所以y1＝－错误!,y2＝－错误!,
又l AB：（y1＋y2）y＝4x＋y1y2,
所以｜AB|＝错误!错误!,
P到直线l AB的距离h＝错误!,
所以S△ABP＝错误!错误!·｜y错误!－y错误!|
＝错误!｜y错误!－y0(y1＋y2)＋y1y2||y1－y2｜
＝错误!错误!错误!
＝t
2错误!,
设f（y)＝y＋错误!＋错误!（y＞0），
则f′（y)＝1－错误!－错误!＝错误!，
所以当y∈（0，错误!)时，函数f（y）单调递减，当y∈(错误!，＋∞）时，函数f(y)单调递增，
所以当y＝错误!，S△ABP取到最小值，
同理y＜0时，S△ABP也取最小值，
所以当y＝±错误!时,S△ABP取到最小值，
此时P错误!。

22．(本小题满分15分）如图，已知抛物线C1:x2＝4y 与椭圆C2：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)交于点A，B,且抛物线C1在点A处的切线l1与椭圆C2在点A处的切线l2互相垂直．
(1）求椭圆C2的离心率；
(2）设l1与C2交于点P,l2与C1交于点Q，求△APQ面积的最小值．
解：(1）设点A(x0，y0),B（－x0,y0），其中x0＞0,y0＞0,则抛物线C1在点A处的切线方程为
l1：x0x＝2（y0＋y）,
椭圆C2在点A处的切线方程为l2:错误!＋错误!＝1.
由题意可知，l1⊥l2，则有错误!·错误!＝－1,
且x20＝4y0，所以a2＝2b2，
从而椭圆C2的离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.
（2）由椭圆C2的离心率为错误!,
可设椭圆方程为错误!＋错误!＝1,
设A(2t，t2)，l1：y＝tx－t2,
联立错误!得（1＋2t2）x2－4t3x＋2t4－2b2＝0，所以｜AP｜＝错误!·｜x P－x A｜＝错误!错误!，设l2：y＝－错误!x＋t2＋2，同理可得
｜AQ|＝错误!·|x Q－x A｜＝错误!·错误!，
所以S△APQ＝错误!|AP｜｜AQ｜＝2错误!2·错误!＝错误!。

令f（t）＝错误!，t＞0，
则f′（t）＝错误!.
令f′(t)＝0，得t＝错误!，
所以函数f(t）在错误!上单调递减，
在错误!上单调递增．
所以f(t）≥f错误!＝错误!,
所以S△APQ≥错误!。

故△APQ面积的最小值为错误!.。