人教版广西玉林中考复习题专题一：四边形的几何综合问题

专题一：四边形的几何综合问题
【方法指导】
1.平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
2.菱形的性质与判定：
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
3.矩形的性质与判定：
关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
4.正方形：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型剖析】
【考点1】平行四边形的计算与证明
【例1】如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；
（2）若∠AFB＝90°，AB＝4，求四边形BEFD的周长．
【变式1-1】已知点E、F分别是□ABCD的边BC、AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若BC＝10，∠BAC＝90°，求▱AECF的周长．
【变式1-2】如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB，CD为边向外作等边△ABE和△CDF，连接AF，CE．求证：四边形AECF为平行四边形．
【考点2】菱形的计算与证明
【例2】图，点E、F分别在□ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O．
（1）求证：AC、EF互相平分；
（2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状并证明．
【变式2-1】已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝6，BF＝8，平行四边形ABCD的面积是36，求AD的长．
【变式2-2】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，O为BC中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接BE，CE．
（1）求证：四边形DCEB为菱形；
（2）若AC＝6，∠DCB＝30°，求四边形DCEB的面积．
【变式2-3】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F、E，垂足为O．
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AFCE的面积．
【考点3】矩形的计算与证明
【例3】在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【变式3-1】（2019•建湖县二模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
【变式3-2】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长．
【考点4】正方形综合问题
【例4】．已知，正方形ABCD，∠EAF＝45°，
（1）如图1，当点E，F分别在边BC，CD上，连接EF，求证：EF＝BE+DF；
（2）如图2，点M，N分别在边AB，CD上，且BN＝DM，当点E，F分别在BM，DN上，连接EF，请探究线段EF，BE，DF之间满足的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，当点E，F分别在对角线BD，边CD上，若FC＝2，则BE的长为．
【变式4-1】正方形ABCD 的边长为1，点O 是BC 边上的一个动点（与B ，C 不重合），以O 为顶点在BC 所在直线的上方作∠MON ＝90°
（1）当OM 经过点A 时，
①请直接填空：ON （可能，不可能）过D 点：（图1仅供分析）
②如图2，在ON 上截取OE ＝OA ，过E 点作EF 垂直于直线BC ，垂足为点F ，作EH ⊥CD 于H ，求证：四边形EFCH 为正方形；
③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON 上取点E （E 点在正方形ABCD 外部），过E 点作EF 垂直于直线BC ，垂足为点F ，作EH ⊥CD 于H ，若四边形EFCH 为正方形，那么OE 与OA 是否相等？请说明理由；
（2）当点O 在射线BC 上且OM 不过点A 时，设OM 交边BA 的延长线于G ，且OG ＝2．在ON 上存在点P ，过P 点作PK 垂直于直线BC ，垂足为点K ，使得S △PKO=
4
1S △OBG ，连接GP ，则当BO 为何值时，四边形PKBG 的面积最大？最大面积为多少？
【变式4.2】如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，连接CE 、CF ．
（1）求证：△ABF ≌△CBE ；
（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由．
【考点5】四边形综合问题
【例5】如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 为边BC 的中点，点F 在边CD 上，连接AE ，EF ．
（1）当CF=4
1a 时，求证：∠AEF ＝90°； （2）若CF ＝2DF ，连接AF ．求∠EAF 的度数；
（3）当∠AEF ＝∠DAE 时，求△CEF 的面积（用含a 的式子表示）．
【变式5.1】如图，在矩形ABCD中，已知AB=23，AD＝2，点P是对角线BD上一动点（不与B，D重合），连接AP，过点P作PE⊥AP，交DC于点E．
（1）求证：∠P AD＝∠PEC；
（2）当点P是BD的中点时，求DE的值；
（3）在点P运动过程中，当DE=3时，求BP的值．
【变式5.2】如图：在▱ABCD中，AC⊥AB，且AD＝5，AB＝4，如果将△ACD绕着点A顺时针方向旋转一个角度（小于180°），如（1）图得到△AC'D'，则在旋转过程中．
（1）线段C'D'经过原来点C的位置（填“能”或“不能”）；
（2）如（2）图，当C'D'∥BC时，AC'与BC相交于点E，则；
（3）如（3）图，当C'D'经过点B时，AD'与BC相交于点F，求△ABF的面积；
（4）如（4）图，当C'落在BC上时，记∠CAF＝∠1，求sin∠1的值．
【达标检测】
1．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∠BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．
（1）求证：OC ∥AD ；
（2）如图2，若DE ＝DF ，求AF AE 的值；
（3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DF DE
的值．
2．如图，线段AB＝8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）．
（1）求证：△AEP≌△CEP；
（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF的周长．
专题一：四边形的几何综合问题
【方法指导】
1.平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
2.菱形的性质与判定：
菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊
之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．菱形的四条边都相等， 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．
3.矩形的性质与判定：
关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．
4.正方形：
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
【题型剖析】 【考点1】平行四边形的计算与证明 【例1】如图，已知在△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，连结DF ，EF ，BF ．
（1）求证：四边形BEFD 是平行四边形；
（2）若∠AFB ＝90°，AB ＝4，求四边形BEFD 的周长．
【解析】（1）证明：∵D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，
∴DF ，EF 分别是△ABC 的中位线，∴DF ∥BC ，EF ∥AB ，
∴DF ∥BE ，EF ∥BD ，∴四边形BEFD 是平行四边形；
（2）解：∵∠AFB ＝90°，D 是AB 的中点，AB ＝4，∴DF ＝DB ＝DA
AB ＝2， ∵四边形BEFD 是平行四边形，∴四边形BEFD 是菱形，
∵DB ＝2，∴四边形BEFD 的周长为8．
【变式1-1】已知点E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 的中点．
（1）求证：四边形AECF 是平行四边形；
（2）若BC ＝10，∠BAC ＝90°，求▱AECF 的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，
∵点E 、F 分别是▱ABCD 的边BC 、AD 的中点，∴AF=21AD ，CE=2
1BC ，
∴AF ＝CE ，AF ∥CE ，∴四边形AECF 是平行四边形；
（2）解：∵BC ＝10，∠BAC ＝90°，E 是BC 的中点．∴AE ＝CE=21BC ＝5， ∴四边形AECF 是菱形，∴▱AECF 的周长＝4×5＝20．
【变式1-2】如图，四边形ABCD 是平行四边形，分别以AB ，CD 为边向外作等边△ABE 和△CDF ，连接AF ，CE ．求证：四边形AECF 为平行四边形．
【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠ABC ＝∠ADC
∵△ABE 和△CDF 是等边三角形
∴BE ＝EA ＝AB ＝CD ＝CF ＝DF ，∠EBA ＝∠CDF ＝60°
∴∠ADF ＝∠EBC ，且AD ＝BC ，BE ＝DF ∴△ADF ≌△CBE （SAS ）
∴EC ＝AF ，且AE ＝CF ∴四边形AECF 为平行四边形
【考点2】菱形的计算与证明
【例2】图，点E 、F 分别在□ABCD 的边AB 、CD 的延长线上，且BE ＝DF ，连接AC 、EF 、AF 、CE ，AC 与EF 交于点O ．
（1）求证：AC 、EF 互相平分；
（2）若EF 平分∠AEC ，判断四边形AECF 的形状并证明．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝DC ，AB ∥DC ．又∵BE ＝DF ，∴AB +BE ＝DC +DF ，即AE ＝CF ．
∵AE ＝CF ，AE ∥CF ， ∴四边形AECF 是平行四边形． ∴AC 、EF 互相平分．
（2）四边形AECF 是菱形．证明如下：
∵AB ∥DC ，∴∠AEO ＝∠CFO ．∵EF 平分∠AEC ，∴∠AEO ＝∠CEO ．∴∠CEO ＝∠CFO ． ∴CE ＝CF ．∵四边形AECF 是平行四边形，∴四边形AECF 是菱形．
【变式2-1】如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ．
（1）求证：四边形ABEF 是菱形；
（2）若AE ＝6，BF ＝8，平行四边形ABCD 的面积是36，求AD 的长．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ， ∴∠DAE ＝∠AEB ，
∵∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∴∠DAE ＝∠BAE ，∴∠BAE ＝∠BEA ，∴BA ＝BE ，
同理：AB ＝AF ∴AF ＝BE ， 又∵AF ∥BE ， ∴四边形ABEF 是平行四边形，
∵AB ＝AF ，∴四边形ABEF 是菱形
（2）如图，过A 作AH ⊥BE ，
∵四边形ABEF 是菱形，∴AO ＝EO =21AE ＝3，BO ＝FO =21BF ＝4，AE ⊥BF ， ∴BE =22EO BO =5， ∵S 菱形ABEF =
21AE •BF =21×6×8＝24，∴BE •AH ＝24，∴AH =5
24， ∴S 平行四边形ABCD ＝AD ×AH ＝36，∴AD =215． 【变式2-2】如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，O 为BC 中点，连接DO 并延长到点E ，使OE ＝OD ，连接BE ，CE ．
（1）求证：四边形DCEB 为菱形；
（2）若AC ＝6，∠DCB ＝30°，求四边形DCEB 的面积．
【解析】（1）证明：∵O 是BC 边中点，∴OC ＝OB ，又∵OE ＝OD ，
∴四边形DCEB 是平行四边形．
∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 中点，∴CD ＝BD ，∴四边形DCEB 为菱形；
（2）解：∵CD ＝BD ，∠DCB ＝30°，∴∠ABC ＝∠DCB ＝30°，
∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，∠ABC ＝30°，∴AB ＝12，BC =63．
∵D 为AB 中点，O 是BC 中点，∴DO =2
1AC ＝3，∴S 菱形DCEB ＝BC •DO =183． 【变式2-3】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的垂直平分线分别交BC 、AD 于点F 、E ，垂足为O ．（1）求证：四边形AFCE 为菱形；（2）若AB ＝4，BC ＝8，求菱形AFCE 的面积．
【解析】（1）证明：∵EF 垂直平分AC ，∴OA ＝OC ，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠EAO ＝∠FCO ，AOE ＝∠COF ，
∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF ∴四边形AFCE 为菱形；
（2）解：设AF ＝x ，
∵AB ＝4，BC ＝8，∴BF ＝8﹣x ，∴AF 2＝AB 2+BF 2，∴x 2＝42+（8﹣x ）2，∴x ＝5，
∴S 菱形AFCE ＝FC •AB ＝5×4＝20，
∴菱形面积为20．
【考点3】矩形的计算与证明
【例3】在□ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF ＝BE ，连接AF ，BF ．
（1）求证：四边形EBFD 是矩形．
（2）若AE ＝3，DE ＝4，DF ＝5，求证：AF 平分∠DAB ．
【解析】证明：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴DC ∥AB ，
又∵DF ＝BE ，∴四边形DEBF 为平行四边形，又∵DE ⊥AB ，∴∠DEB ＝90°，
∴四边形DEBF 为矩形；
（2）∵四边形DEBF 为矩形，∴∠DEB ＝90°，
∵AE ＝3，DE ＝4，DF ＝5∴AD=22DE AE =5，∴AD ＝DF ＝5，∴∠DAF ＝∠DF A ， ∵AB ∥CD ，∴∠F AB ＝∠DF A ，∴∠F AB ＝∠DF A ，∴AF 平分∠DAB ．
【变式3-1】如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ，对角线AC 、BD 交于点O ，AO ＝BO ，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，连接OE ．
（1）求证：四边形ABCD 是矩形；
（2）若AB ＝2，求△OEC 的面积．
【解答】（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠ABC +∠BAD ＝180°，∠ADC +∠BCD ＝180°，
∵∠ABC ＝∠ADC ，∴∠BAD ＝∠BCD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ， ∵OA ＝OB ，∴AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形．
（2）解：作OF ⊥BC 于F ，如图所示．
∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝2，∠BCD ＝90°，AO ＝CO ，BO ＝DO ，AC ＝BD ，
∴AO ＝BO ＝CO ＝DO ，∴BF ＝FC ，∴OF =
2
1CD ＝1，∵DE 平分∠ADC ，∠ADC ＝90°， ∴∠EDC ＝45°，在Rt △EDC 中，EC ＝CD ＝2，∴△OEC 的面积=21•EC •OF ＝1． 【变式3-2】如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至F ，使CF ＝BE ，连接DF ．
（1）求证：四边形AEFD 是矩形；
（2）若BF ＝8，DF ＝4，求CD 的长．
【解析】（1）证明：∵在菱形ABCD 中，
∴AD ∥BC 且AD ＝BC ，∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，∴AD ＝EF ，∵AD ∥EF ，
∴四边形AEFD 是平行四边形，∵AE ⊥BC ，∴∠AEF ＝90°，∴四边形AEFD 是矩形；
（2）解：设BC ＝CD ＝x ，则CF ＝8﹣x
在Rt △DCF 中，∵x 2＝（8﹣x ）2+42 ，∴x ＝5，∴CD ＝5．
【考点4】正方形综合问题
【例4】．已知，正方形ABCD ，∠EAF ＝45°，
（1）如图1，当点E ，F 分别在边BC ，CD 上，连接EF ，求证：EF ＝BE +DF ；
（2）如图2，点M，N分别在边AB，CD上，且BN＝DM，当点E，F分别在BM，DN上，连接EF，请探究线段EF，BE，DF之间满足的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，当点E，F分别在对角线BD，边CD上，若FC＝2，则BE的长为2．
【解析】（1）证明：如图1中，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，
∴△ADF≌△ABG，∴AF＝AG，DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵正方形ABCD，∴∠D＝∠BAD＝∠ABE＝90°，AB＝AD，
∴∠ABG＝∠D＝90°，即G、B、C在同一直线上，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，
即∠EAG＝∠EAF，∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG＝EF，∵BE+DF＝BE+BG＝EG，∴EF＝BE+DF．
（2）结论：EF2＝BE2+DF2，
理由：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，（如图2）
∴△ADF≌△ABH，
∴AF＝AH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，∠ADF＝∠ABH，
∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝45°，即∠EAH＝∠EAF，
∴△EAH≌△EAF（SAS），∴EH＝EF，∵BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BMDN是平行四边形，∴∠ABE＝∠MDN，∴∠EBH＝∠ABH+∠ABE＝∠ADF+∠MDN＝∠ADM＝90°，
∴EH2＝BE2+BH2，∴EF2＝BE2+DF2，
（3）作△ADF的外接圆⊙O，连接EF、EC，过点E分别作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N（如图3）．
∵∠ADF＝90°，∴AF为⊙O直径，∵BD为正方形ABCD对角线，
∴∠EDF＝∠EAF＝45°，∴点E在⊙O上，∴∠AEF＝90°，
∴△AEF 为等腰直角三角形，∴AE ＝EF ，∴△ABE ≌△CBE （SAS ），
∴AE ＝CE ，∴CE ＝EF ，∵EM ⊥CF ，CF ＝2，∴CM =21CF ＝1， ∵EN ⊥BC ，∠NCM ＝90°，∴四边形CMEN 是矩形∴EN ＝CM ＝1，
∵∠EBN ＝45°，∴BE =2EN =2．
【变式4-1】正方形ABCD 的边长为1，点O 是BC 边上的一个动点（与B ，C 不重合），以O 为顶点在BC 所在直线的上方作∠MON ＝90°
（1）当OM 经过点A 时，
①请直接填空：ON （可能，不可能）过D 点：（图1仅供分析）
②如图2，在ON 上截取OE ＝OA ，过E 点作EF 垂直于直线BC ，垂足为点F ，作EH ⊥CD 于H ，求证：四边形EFCH 为正方形；
③如图2，将②中的已知与结论互换，即在ON 上取点E （E 点在正方形ABCD 外部），过E 点作EF 垂直于直线BC ，垂足为点F ，作EH ⊥CD 于H ，若四边形EFCH 为正方形，那么OE 与OA 是否相等？请说明理由；
（3）当点O 在射线BC 上且OM 不过点A 时，设OM 交边BA 的延长线于G ，且OG ＝2．在ON 上存在点P ，过P 点作PK 垂直于直线BC ，垂足为点K ，使得S △PKO =
4
1S △OBG ，连接GP ，则当BO 为何值时，四边形PKBG 的面积最大？最大面积为多少？
【解析】（1）①若ON 过点D ，则OA ＞AB ，OD ＞CD ，∴OA 2＞AD 2，OD 2＞AD 2，
∴OA 2+OD 2＞2AD 2≠AD 2，∴∠AOD ≠90°，这与∠MON ＝90°矛盾，
∴ON 不可能过D 点，故答案为：不可能；
②如图2中，∵EH ⊥CD ，EF ⊥BC ，∴∠EHC ＝∠EFC ＝90°，且∠HCF ＝90°，
∴四边形EFCH 为矩形，∵∠MON ＝90°，∴∠EOF ＝90°﹣∠AOB ，
在正方形ABCD 中，∠BAO ＝90°﹣∠AOB ，
∴∠EOF ＝∠BAO ，
在△OFE 和△ABO 中，
，
∴△OFE ≌△ABO （AAS ），∴EF ＝OB ，OF ＝AB ，
又OF ＝CF +OC ＝AB ＝BC ＝BO +OC ＝EF +OC ，∴CF ＝EF ，∴四边形EFCH 为正方形； ③结论：OA ＝OE ．
理由：如图2﹣1中，连接EC ，在BA 上取一点Q ，使得BQ ＝BO ，连接OQ ．
∵AB ＝BC ，BQ ＝BO ，∴AQ ＝OC ，
∵∠QAO ＝∠EOC ，∠AQO ＝∠ECO ＝135°，
∴△AQO ≌△OCE （ASA ），∴AO ＝OE ．
（2）如备用图，
∵∠POK ＝∠OGB ，∠PKO ＝∠OBG ，∴△PKO ∽△OBG ，
∵S △PKO =41S △OBG ，∴41)(2==∆∆OG OP S S OBG PKO ，∴OP ＝1， ∴S △POG =21OG •OP =2
1×1×2＝1， 设OB ＝a ，BG ＝b ，则a 2+b 2＝OG 2＝4， ∴b =24a -， ∴S △OBG =21ab =21a 24a -=21244a a +-=
214)2(22+--a ∴当a 2＝2时，△OBG 有最大值1，此时S △PKO =
41S △OBG =41， ∴四边形PKBG 的最大面积为1+1+41=4
9． ∴当BO 为2时，四边形PKBG 的面积最大，最大面积为
49． 【变式4.2】如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，且△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，连接CE 、CF ．
（1）求证：△ABF ≌△CBE ；
（2）判断CE 与EF 的位置关系，并说明理由．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，
∴∠ABF +∠FBC ＝90°，∵△FBE 是等腰直角三角形，∠EBF ＝90°，
∴BF ＝BE ，∠CBE +∠FBC ＝90°，∴∠ABF ＝∠CBE ，∴△ABF ≌△CBE （SAS ）；
（4）CE 与EF 的位置关系是互相垂直，理由如下：
由（1）知，△ABF ≌△CBE ，则∠F AB ＝∠ECB ，
∵∠AGB ＝∠GCF +∠GFC ，∠AGB +∠F AB ＝90°，∴∠GCF +∠GFC +∠F AB ＝90°，
∴∠GCF +∠GFC +∠ECB ＝90°，∴∠FEC ＝90°，
即CE 与EF 的位置关系是互相垂直． 【考点5】四边形综合问题 【例5】如图，正方形ABCD 的边长为a ，点E 为边BC 的中点，点F 在边CD 上，连接AE ，EF ．
（1）当CF=4
1a 时，求证：∠AEF ＝90°； （2）若CF ＝2DF ，连接AF ．求∠EAF 的度数；
（3）当∠AEF ＝∠DAE 时，求△CEF 的面积（用含a 的式子表示）．
【解析】（1）证明：∵正方形ABCD 的边长为a ，点E 为边BC 的中点，
∴BE ＝CE =21a ，∠ABC ＝∠ECF ＝90°，∵CF =41a ，∴2==CF
BE EC AB ， ∴△ABE ∽△ECF ，∴∠BAE ＝∠CEF ，∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠CEF +∠AEB ＝90°， ∴∠AEF ＝90°；
（2）将△ABE △绕点A 点逆时针旋转90°，如图1，则
AE ＝AE '，BE ＝DE '，∠E 'AD ＝∠EAB ，∠ADE '＝∠ABE ＝90°，
∵∠ADF ＝90°，∴点F 、D 、E '三点在同一直线上，
∵CF ＝2DF ，∴CF =
32a ，DF =31a ，CE ＝BE ＝DE '=2
1a ， ∴E 'F =65a ，EF=22CF CE +=65a ，∴EF ＝E 'F ， ∵AE ＝AE '，AF ＝AF ，∴△AEF ≌△AE 'F （SSS ），∴∠EAF ＝∠E 'AF '=
21∠EAE '＝45°； （3）过A 作AG ⊥EF ，如图2，
∵AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∵∠DAE ＝∠AEF ，∴∠AEB ＝∠AEF ，∵∠ABE ＝∠AGE ＝90°， ∵AE ＝AE ，∴△ABE ≌△AGE （AAS ），∴BE ＝GE '=2
1a ，AB ＝AG ， ∵AB ＝AD ，∴AD ＝AG ，∵AF ＝AF ，∴Rt △ADF ≌Rt △AGF （HL ），
∴DF ＝GF ，
设CF ＝x ，则GF ＝DF ＝a ﹣x ，
∴EF '=21a+a ﹣x =23a ﹣x ，∵CE 2+CF 2＝EF 2，∴222)2
3()21(a x a -=+， 解得，x =32a ，
∴△CEF 的面积=21CE ·CF=21×21a ×32a=61a 2． 【变式5.1】如图，在矩形ABCD 中，已知AB =23，AD ＝2，点P 是对角线BD 上一动点（不与B ，D 重合），连接AP ，过点P 作PE ⊥AP ，交DC 于点E ．
（1）求证：∠P AD ＝∠PEC ；
（2）当点P 是BD 的中点时，求DE 的值；
（3）在点P 运动过程中，当DE =3时，求BP 的值．
【解析】（1）证明：∵PE ⊥AP ，∴∠APE ＝90°，∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ADC ＝90°，在四边形ADEP 中，∠ADE +∠DEP +∠APE +∠DAP ＝360°，
∴∠DEP +∠DAP ＝360°﹣90°﹣90°＝180°，又∵∠DEP +∠PEC ＝180°，∴∠P AD ＝∠PEC ；
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形，AB=23，AD ＝2，∴tan ∠ADB=32
32==AD AB ， ∴∠BAD ＝60°，连接AC ，如图1所示：∵点P 是BD 的中点，四边形ABCD 是矩形， ∴点P 为AC 与BD 的交点，∴△ADP 为等边三角形，∴AP ＝AD ＝2，∵AE ＝AE ，
∴Rt △ADE ≌Rt △APE （HL ），∴∠EAD ＝∠EAP ＝30°，
∴tan ∠EAD =332==DE AD DE ，∴DE=3
32； （3）解：过点P 作PG ⊥AB 于G ，GP 的延长线交DC 于H ，如图2所示：
∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴PG ⊥DC ，∴四边形BCHG 是矩形，∴GH ＝BC ＝2， 设PG ＝a ，则PH ＝GH ﹣PH ＝2﹣a ，
在Rt △BGP 中，tan ∠PBG=3
3322===AB AD BG PG ，， ∴BG=3PG=3a ，
∴AG ＝AB ﹣BG ＝23－3a=3（2﹣a ），EH ＝DH ﹣DE ＝23－3a －3=3－3a ∵PG ⊥DC ，∴∠APG +∠EPH ＝90°，∵∠APG +∠P AG ＝90°，∴∠EPH ＝∠P AG ，
∵∠AGP ＝∠PHE ＝90°，∴△AGP ∽△PHE ，∴EH PH PG AG =，即a a a a 332332--=-， 解得：a=43，∴BP ＝2PG=2
3． 【变式5.2】如图：在▱ABCD 中，AC ⊥AB ，且AD ＝5，AB ＝4，如果将△ACD 绕着点A 顺时针方向
旋转一个角度（小于180°），如（1）图得到△AC 'D '，则在旋转过程中．
（1）线段C 'D ' 不能 经过原来点C 的位置（填“能”或“不能”）； （2）如（2）图，当C 'D '∥BC 时，AC '与BC 相交于点E ，则41'=AE E C ； （3）如（3）图，当C 'D '经过点B 时，AD '与BC 相交于点F ，求△ABF 的面积；
（4）如（4）图，当C '落在BC 上时，记∠CAF ＝∠1，求sin ∠1的值．
【解析】（1）如（1）图，延长AC 交C 'D '于M ，
∵AC ⊥AB ，∴∠CAB ＝90°，在▱ABCD 中，CD ∥AB ，
∴∠ACD ＝∠CAB ＝90°，由旋转得：∠C '＝∠ACD ＝90°，AC ＝AC '，
∴AM ＞AC '，∴线段C 'D '不能经过原来点C 的位置；
（2）如（2）图：∵C 'D '∥BC ，且∠C '＝90°，
∴∠AEC ＝∠C '＝90°，在▱ABCD 中，BC ＝AD ＝5，
Rt △CAB 中，AC=2245-=3，∵S △ABC=
21BC •AE =21AC •AB ∴21×5AE ＝21×3×4∴AE =512，∵AC '＝AC ＝3，∴C 'E ＝3－512=5
3， ∴4
151253'=÷=AE E C （3）如（3）图，过A 作AE ⊥BC 于E ，
∵AD ∥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠DAE ＝90°，由（2）知：AE =5
12， ∵AB ＝4，∴BE=22AE AB -=22)5
12(4-=516， 由旋转得：∠DAF ＝∠CAC '，∴∠DAF ﹣∠DAE ＝∠CAC '﹣∠CAB ，
即∠EAF ＝∠BAC '，Rt △ABC '中，AB ＝4，AC '＝3，∴BC '=73422=-，
∵tan ∠BAC '＝tan ∠EAF ，∴AE EF AC BC =''，即，5
1237EF =∴EF ＝5
74， ∴BF ＝BE ﹣EF=516－574，∴S △ABF =21BF •AE =21(=516－574)×512=25
72496-； （4）如（4）图，过A 作AE ⊥BC 于E ，过F 作FH ⊥AC 于H ，
由旋转得：∠CAC '＝∠DAD '，∠DAC ＝∠D 'AC '，∵AC ＝AC '，AE ⊥CC '，
∴CE ＝C 'E=59，∠ACC '＝∠AC 'C ＝∠D 'AC '，∵∠AC 'D '＝∠AC 'C +∠FC 'D '＝∠D '+∠D 'AC '＝90°， ∴∠D '＝∠FC 'D '，∴AF ＝FD '＝C 'F=25，∴CF ＝2CE ﹣C 'F ＝2×59－25=10
11， ∵S △ACF =21AC •FH =21CF •AE ，∴21×3FH =21×1011×512，，∴FH=25
22， ∴sin ∠1=1254425522=÷=AF FH ． 【达标检测】
1．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝2，OC 平分∠BOD ，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．
（1）求证：OC ∥AD ；
（2）如图2，若DE ＝DF ，求AF
AE 的值； （3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求
DF DE 的值． 【解析】（1）证明：∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ，∵OC 平分∠BOD ，
∴∠DOC ＝∠COB ，又∵∠DOC +∠COB ＝∠OAD +∠ADO ，∴∠ADO ＝∠DOC ，∴CO ∥AD ；
（2）解：∵OA ＝OB ＝OD ，∴∠ADB ＝90°，
设∠DAC ＝α，则∠ACO ＝∠DAC ＝α．
∵OA ＝OD ，DA ∥OC ，∴∠ODA ＝∠OAD ＝2α，
∴∠DFE ＝3α，∵DF ＝DE ，∴∠DEF ＝∠DFE ＝3α，
∴4α＝90°，∴α＝22.5°，∴∠DAO ＝45°，
∴△AOD 和△ABD 为等腰直角三角形，∴AD=2AO ，∴2=AO
AD ， ∵DE ＝DF ，∴∠DFE ＝∠DEF ，∵∠DFE ＝∠AFO ，∴∠AFO ＝∠AED ，
又∠ADE ＝∠AOF ＝90°，∴△ADE ∽△AOF ，∴2==AO
AD AF AE ． （3）解：∵OD ＝OB ，∠BOC ＝∠DOC ，∴△BOC ≌△DOC （SAS ），∴BC ＝CD ，
设BC ＝CD ＝x ，CG ＝m ，则OG ＝2﹣m ，∵OB 2﹣OG 2＝BC 2﹣CG 2，
∴4﹣（2﹣m ）2＝x 2﹣m 2，解得：m=
241x ，∴OG ＝2－24
1x ，∵OD ＝OB ，∠DOG ＝∠BOG ， ∴G 为BD 的中点，又∵O 为AB 的中点，∴AD ＝2OG ＝4－22
1x ， ∴C 四边形ABCD =2BC +AD +AB ＝2x +4－221x +4=－221x +2x +8=2)2(21--x +10，
∵021<-，∴x ＝2时，四边形ABCD 的周长有最大值为10．∴BC ＝2，∴△BCO 为等边三角形， ∴∠BOC ＝60°，∵OC ∥AD ，∴∠DAO ＝∠COB ＝60°，
∴∠ADF ＝∠DOC ＝60°，∠DAE ＝30°，∴∠AFD ＝90°，
∴33=DA DE ，DF=21DA ，∴3
32=DF DE ． 2．如图，线段AB ＝8，射线BG ⊥AB ，P 为射线BG 上一点，以AP 为边作正方形APCD ，且点C 、D 与点B 在AP 两侧，在线段DP 上取一点E ，使∠EAP ＝∠BAP ，直线CE 与线段AB 相交于点F （点F 与点A 、B 不重合）．
（1）求证：△AEP ≌△CEP ；
（2）判断CF 与AB 的位置关系，并说明理由；
（3）求△AEF 的周长．
【解析】（1）证明：∵四边形APCD 正方形，
∴DP 平分∠APC ，PC ＝P A ，∴∠APD ＝∠CPD ＝45°，
∴△AEP ≌△CEP （SAS ）；
（2）CF ⊥AB ，理由如下：∵△AEP ≌△CEP ，∴∠EAP ＝∠ECP ，∵∠EAP ＝∠BAP ，
∴∠BAP ＝∠FCP ，∵∠FCP +∠CMP ＝90°，∠AMF ＝∠CMP ，∴∠AMF +∠P AB ＝90°， ∴∠AFM ＝90°，∴CF ⊥AB ；
（3）过点 C 作CN ⊥PB ．∵CF ⊥AB ，BG ⊥AB ，∴FC ∥BN ，∴∠CPN ＝∠PCF ＝∠EAP ＝∠P AB ， 又AP ＝CP ，∴△PCN ≌△APB （AAS ），∴CN ＝PB ＝BF ，PN ＝AB ，
∵△AEP ≌△CEP ，∴AE ＝CE ，
∴AE +EF +AF ＝CE +EF +AF ＝BN +AF ＝PN +PB +AF ＝AB +CN +AF ＝AB +BF +AF
＝2AB ＝16．。