高一物理 力学专题提升 专题16 圆周运动中的临界问题

专题16 圆周运动中的临界问题
【专题概述】
物理中经常会出现一些词语，“物体恰好运动到最高点”；“恰好过最高点”“绳子刚好不拉断”等等这些词语，则表明有临界状况出现。

水平面内圆周运动的临界极值问题通常有两类，一类是与摩擦力有关的临界问题，一类是与弹力有关的临界问题. 1. 与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。

2. 与弹力有关的临界极值问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。

【典例精讲】
一、水平方向上的临界问题：
水平面内的很多圆周运动都存在临界状态，解答此类问题的关键是发现临界状态，找到临界条件。

例如“刚好不发生相对滑动”的临界条件是静摩擦力等于最大静摩擦力、“刚好不离开”的临界条件是接触面间正压力等于零。

下面是火车拐弯问题分析。

在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。

设车轨间距为l ，两轨高度差为h ，车转弯半径为r ，质量为M 的火车运行时应当有多大的速度?
据三角形边角关系知sin θ= ，对火车的受力情况分析得tan θ=。

因为θ角很小，所以sin θ≈tan
θ，故 =，所以向心力F 合= Mg 。

又因为F 合=M ，所以车速v =。

由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的，故火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如:
（1）火车在弯道处的速度大于时，重力和支持力的合力不足以充当火车做圆周运动需要的向心力，火车要挤压外侧车轨，外侧车轨受挤压发生形变产生弹力，补充不足的向心力。

（2）火车在弯道处的速度小于时，重力和支持力的合力大于火车做圆周运动需要的向心力，火车就要挤压内侧车轨，内侧车轨受挤压发生形变产生弹力，抵消一部分重力和支持力的合力。

典例1：铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的。

弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关。

下列说法正确的是（）A．速率v一定时，r越小，要求h越大
B．速率v一定时，r越大，要求h越大
C．半径r一定时，v越小，要求h越大
D．半径r一定时，v越大，要求h越大
【答案】AD
二、竖直圆周运动的临界问题
在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的受力情况可分为两类。

一类是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的“过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”。

物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并常伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现就两种模型分析比较如下:
1．车过拱桥问题分析
如图所示为汽车过拱桥的三种情境的比较分析:质量为m的汽车在拱桥上以速率v前进，桥面的圆弧半径为r，F
为桥面对汽车的支持力，其大小等于汽车对桥面的压力。

N
甲为凸形桥面，乙为凹形桥面，丙为水平桥面。

对甲分析，因为汽车对桥面的压力F
N
'=mg- m，所以有：
（1）当v=时，汽车对桥面的压力F
N
'=0；
（2）当0≤v<时，0<F
N
'≤mg；
（3）当v>时，汽车将脱离桥面、发生危险。

对乙分析，当汽车过凹形桥面最低点时，汽车的支持力和重力的合力提供向心力。

则有F
N
-mg=m ，
F
N
=mg+m，支持力一定大于重力mg。

对丙分析，汽车在水平桥面上匀速行驶，F
N
=mg。

2．线球模型与杆球模型
（1）过最高点的临界条件由mg=m得v
临
=；
（2）过最高点时，v≥，F
N +mg=m，绳、轨道对球产生弹力F
N；
（3）不能过最高点，v<，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道。

（1）当v=0时，F
N =mg，F
N
为支持力，沿半径背离圆心；
（2）当0<
v
<时，mg -F N =m ，F N 背向圆心，随v 的增大而减小； （3）当v =
时，F N =0；
（4）当v >
时，F N +mg =m ，F N 指向圆心并随v 的增大而增大。

典例2： 如图所示，长均为L 的两根轻绳，一端共同系住质量为m 的小球，另一端分别固定在等高的A 、
B 两点，A 、B 两点间的距离也为L 。

重力加速度大小为g 。

今使小球在竖直平面内以AB 为轴做圆周运动，
若小球在最高点速率为v 时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v 时，每根绳的拉力大小（ ）
A ．3mg
B ．3
4
3mg C ．3mg D ．23mg 【答案】A
典例3： 如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为
3
2。

设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面间的夹角为30°，g 取10 m/s 2。

则ω的最大值是 ( )
A ． 5 rad/s
B ． 3 rad/s
C ．1.0 rad/s
D ．0.5 rad/s
A B
m
【答案】C
典例4：在光滑水平面上，有一转轴垂直于此平面，交点O的上方h处固定一细绳，绳的另一端连接一质量为m的小球B，绳长l>h，小球可随转轴转动，在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示。

要使小球不离开水平面，转轴转速的最大值是( )
A． B．π C． D．
【答案】A
【解析】当小球即将离开水平面时，F N=0，对小球受力分析如图，则有mg tanθ=m(2πn m)2R，又R=h tanθ，
解得n m=。

【总结提升】
处理临界问题的解题步骤况
（1）判断临界状态：有些题目中有“刚好”“恰好”正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点；若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程存在着“起止点”，而这些起止点往往就对应着临界状态；若题目中有“最|大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往对应着临界状态。

（2）确定临界条件：判断题述的过程存在临界状态之后，要通过分析弄清临界状态出现的条件，并以数学形式表达出来。

（3）选择物理规律：当确定了物体运动的临界状态和临界条件后，要分别对不同的运动过程或现象选择相对应的物理规律，然后列方程求解。

【专练提升】
1. (多选) 如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动，关于最高点的速度v，下列说法正确的是( )
A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大，向心力也增大
C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大
【答案】BCD
2. (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。

如图,某公路急转弯处是一圆弧,当汽车行驶的速率为v c时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。

则在该弯道处,( )
A.路面外侧高内侧低
B.车速只要低于v c,车辆便会向内侧滑动
C.车速虽然高于v c,但只要不超出某一最高限度,车辆便不会向外侧滑动
D.当路面结冰时,与未结冰时相比,v c的值变小
【答案】AC
【解析】汽车在公路转弯处做圆周运动,需要外力提供向心力,当汽车行驶的速率为v c时,汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势,即没有指向公路两侧的摩擦力,此时的向心力由地面的支持力和重力的合力提供,故路面外侧高内侧低,选项A正确;当车速低于v c时,车所需向心力减小,车可能只是具有向内侧滑动的趋
势,不一定能够滑动,选项B错误;同理,当车速高于v c,且不超出某一最高限度,车辆可能只是有向外侧滑动的趋势,不一定能够滑动,当超过最大静摩擦力时,才会向外侧滑动,故选项C正确;当路面结冰时,只是最大静摩擦力变小,v c值不变,D错误。

3. 如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )
A. B． 2 C． D．
【答案】：C
4. (多选) 如图所示,半径分别为R、2R的两个水平圆盘,小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑地一起转动。

质量为m的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R处,质量为2m的小物块乙放置在小圆盘的边缘处。

它们与盘面间的动摩擦因数相同,当小圆盘以角速度ω转动时,两物块均相对圆盘静止,下列说法正确的是( )
A.小物块甲受到的摩擦力大小为mω2R
B.两物块的线速度大小相等
C.在角速度ω逐渐增大的过程中,物块甲先滑动
D.在角速度ω逐渐减小的过程中,摩擦力对两物块做负功
【答案】.AD
【解析】由题知两个圆盘边缘的线速度大小相等,则由v=ωr,可知两圆盘角速度大小关系为ω甲∶ω乙=R∶2R=1∶2,又v甲=ω甲R,v乙=ω乙R,则v甲∶v乙=1∶2,B错。

因两物块随盘转动时,摩擦力提供向心力,则甲受到的摩擦力大小为F f甲=F向甲=mR=mω2R,乙受到的摩擦力大小为F f乙=F向乙=mω2R,在角速度ω逐渐增大的
过程中,甲、乙两物块受到的静摩擦力逐渐增大,又知F fmax甲=μmg,F fmax乙=2μmg,则乙先滑动,A正确,C错误。

若角速度逐渐减小,则由v=ωr可知两物块的线速度也逐渐减小,动能减小,由功能关系知摩擦力做负功,故D 对。

5. (多选) 如图所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转动，细杆长0.5 m，小球质量为3 kg，现给小球一初速度使它做圆周运动，若小球通过轨道最低点a的速度为v a＝4 m/s，通过轨道最高点b的速度为v b＝2 m/s，取g＝10 m/s2，则小球通过最低点和最高点时对细杆作用力的情况是( )
A．在a处为拉力，方向竖直向下，大小为126 N
B．在a处为压力，方向竖直向上，大小为126 N
C．在b处为拉力，方向竖直向上，大小为6 N
D．在b处为压力，方向竖直向下，大小为6 N
【答案】AD
6. 如图甲所示,轻杆一端与一小球相连,另一端连在光滑固定轴上,可在竖直平面内自由转动。

现使小球在竖直平面内做圆周运动,到达某一位置开始计时,取水平向右为正方向,小球的水平分速度v x随时间t的变化关系如图乙所示。

不计空气阻力。

下列说法中正确的是( )
A.t1时刻小球通过最高点,图乙中阴影部分面积S1和S2相等
B.t2时刻小球通过最高点,图乙中阴影部分面积S1和S2相等
C.t1时刻小球通过最高点,图乙中阴影部分面积S1和S2不相等
D.t2时刻小球通过最高点,图乙中阴影部分面积S1和S2不相等
【答案】A
【解析】由0~t1时间v x逐渐减小,t1~t2时间内v x逐渐增大,可知t1时刻小球通过最高点,又因为v x-t图线与横轴所围面积表示水平位移,S1、S2的大小均等于杆长,所以S1、S2相等。

7. (多选) 如图所示,飞车表演队队员骑摩托车在竖直的圆轨道内侧做圆周运动,质量为m的表演队员随车在竖直平面内旋转,下列说法正确的是( )
A.表演队员在最低点时对车座的压力小于mg
B.表演队员在最低点时对车座的压力大于mg
C.车在最高点时表演队员没有保险带可能不会掉下来
D.表演队员在最高点时对车座不可能产生大小为mg的压力
【答案】BC
8 如图，长均为的两根轻绳，一端共同系住质量为的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为。

重力加速度大小为。

今使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为时，每根绳的拉力大小为（）。

A: B: C: D:
【答案】A
9 “太极球”是近年来在广大市民中较流行的一种健身器材.做该项运动时,健身者半马步站立,手持太极球拍,拍上放一橡胶太极球,健身者舞动球拍时,球却不会掉落地上.现将太极球简化成如图所示的平板和小球,熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动,且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势.A为圆周的最高点,C为最低点,B、D与圆心O等高.设球的重力为1N,不计拍的重力.求:
(1)健身者在C处所需施加的力比在A处大多少?
(2)设在A处时健身者需施加的力为F,当球运动到B、D位置时,板与水平方向需有一定的夹角,请作出
的关系图象.
【答案】(1) 2N; (2)的关系图象如图.
【解析】(1)设球运动的线速度为v,半径为R，则在A处时①
10. 某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示,AB为水平直轨道,上面安装有电动
悬挂器,可以载人运动,下方水面上漂浮着一个半径为R铺有海绵垫的转盘,转盘轴心离平台的水平距离为L,平台边缘与转盘平面的高度差H.选手抓住悬挂器后,按动开关,在电动机的带动下从A点沿轨道做初速为零、加速度为a的匀加速直线运动.起动后2s悬挂器脱落.设人的质量为m(看作质点),人与转盘间的最大静摩擦力为,重力加速度为g.
(1)假设选手落到转盘上瞬间相对转盘速度立即变为零,为保证他落在任何位置都不会被甩下转盘,转盘的角速度应限制在什么范围;
(2)若m, m,取,当时选手恰好落到转盘的
圆心上,求L;
(3)若m, m, ,取,选手要想成功落在转盘上,求加速度a的范围.
【答案】(1) , (2) m; (3) 1.53
间:
据
计算得出。