高二数学平面向量及其应用练习试题doc

一、多选题
1．下列说法中错误的为（ ）
A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是
5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底 C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||a
D ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 2．若a →，b →，c →
是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→
=，则a b →→
= B ．若a c b c →→→→⋅=⋅，则a b →→
= C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→
D ．若a b a b →
→
→
→
+=-，则a b →→
⊥
3．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b
B a
=，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰或直角三角形
4．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且
02
C <<
π
，4b =，则以下说法正确的是（ ）
A ．3
C π
=
B ．若72
c =
，则1cos 7B =
C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形
D ．若ABC 的面积是4
5．已知ABC 的面积为3，在ABC 所在的平面内有两点P ，Q ，满足20PA PC +=，
2QA QB =，记APQ 的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）
A ．//P
B CQ B ．2133
BP BA BC =
+ C ．0PA PC ⋅<
D ．2S =
6．给出下列结论，其中真命题为（ ） A ．若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =
B ．向量a 、b 为不共线的非零向量，则22
()a b a b ⋅=⋅ C ．若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，则a 与b 垂直
D ．若向量a 、b 是两个互相垂直的单位向量，则向量a b +与a b -的夹角是
2
π 7．已知向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，c =(m ﹣2，﹣n )，其中m ，n 均为正数，且(a b -)∥c ，下列说法正确的是（ ） A ．a 与b 的夹角为钝角
B ．向量a 在b
C ．2m +n =4
D ．mn 的最大值为2
8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =
30A =︒，则B =（ ）
A ．30
B ．45︒
C ．135︒
D ．150︒
9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C = B ．ABC ∆是钝角三角形
C ．ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC ∆外接圆半径为
7
10．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1
()2
AD AB AC =
+ C ．8BA BC ⋅=
D ．AB AC AB AC +=-
11．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b =
B ．a b =
C ．a 与b 的方向相反
D ．a 与b 都是单位向量
12．在ABCD 中，设AB a =，AD b =，AC c =，BD d =，则下列等式中成立的是（ ） A ．a b c +=
B ．a d b +=
C ．b d a +=
D ．a b c +=
13．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）
A ．A
B D
C =
B ．AB
DC =
C ．AB DC >
D ．BC AD ∥
14．如图，46⨯的方格纸（小正方形的边长为1）中有一个向量OA （以图中的格点O 为起点，格点A 为终点），则（ ）
A ．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有11个
B ．满足10OA OB -=B 共有3个
C ．存在格点B ，C ，使得OA OB OC =+
D ．满足1OA OB ⋅=的格点B 共有4个 15．已知ABC ∆的面积为3
2
,且2,3b c ==,则A =( ) A ．30°
B ．60°
C ．150°
D ．120°
二、平面向量及其应用选择题
16．在ABC 中，CB a =，CA b =，且sin sin a b OP OC m a B b A ⎛⎫
⎪=++ ⎪⎝⎭
，m R ∈，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（ ） A ．重心
B ．内心
C ．外心
D ．垂心
17．若向量123,,OP OP OP ，满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，则123PP P ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等边三角形
D ．不能确定
18．已知两不共线的向量()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则下列说法一定正确的是（ ）
A ．a 与b 的夹角为αβ-
B ．a b ⋅的最大值为1
C ．2a b +≤
D ．()()
a b a b +⊥-
19．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos sin a B b A c +=.若
2a =，ABC 的面积为3(21)-，则b c +=（ ）
A ．5
B ．22
C ．4
D ．16
20．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cosA 3cosB 5cosC
a b c
==，则
∠B 的大小是（ ）
A ．
12π
B ．
6
π C ．4
π
D ．
3
π 21．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若22sin cos sin a b c
A B B
===，则ABC ∆的面积为（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．22
22．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为
S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（ ）
A ．43
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
23．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且1
2
AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1
B ．23
-
C ．13
- D ．34
-
24．在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，若点G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则
()AG AW BC +⋅=（ ）
A ．4
B ．6
C ．10
D ．14
25．如图，ADC 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠︒＝，BD 与
AC 交于E 点.若2AB =，则AE 的长为（ ）
A 62
B ．1
(62)2
C 62
D ．
1
(62)2
26．题目文件丢失！
27．已知1a =，3b =，且向量a 与b 的夹角为60︒，则2a b -=（ ） A 7B ．3
C 11
D 19
28．如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2CF DF =，AE 与BF 交于点P ，若AP AE λ=，则λ=（ ）
A ．
34
B ．
58
C ．38
D ．
23
29．在ABC 中，()
2
BC BA AC AC +⋅=，则ABC 的形状一定是（ ） A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．等腰直角三角形
D ．直角三角形
30．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若
AB AF 3→→=，则AE BF
→→的值为（ ） A ．0
B 83
C ．-4
D ．4
31．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．
3
π B ．
23
π C ．
56
π D ．
6
π 32．已知点O 是ABC ∆内一点，满足2OA OB mOC +=，
4
7
AOB ABC S S ∆∆=，则实数m 为（ ） A ．2
B ．-2
C ． 4
D ．-4
33．已知1a b ==，1
2
a b ⋅=
，(),1c m m =-，(),1d n n =-(m ，n R ∈).存在a ，b ，对于任意实数m ，n ，不等式a c b d T -+-≥恒成立，则实数T 的取值范围为
（ ） A ．(
32-∞
B ．)
32,⎡+∞⎣
C ．(
32-∞
D ．)
32,⎡+∞⎣
34．在ABC 中，AB AC BA BC CA CB →
→
→
→
→
→
⋅=⋅=⋅，则ABC 的形状为（ ）． A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形
D ．不确定
35．在△ABC 中，AB ＝a ，BC ＝b ，且a b ⋅>0，则△ABC 是（ ） A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．钝角三角形
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一、多选题 1．ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵，，与的夹角为锐角， ∴ ，
且(时与的夹角为0)， 所以且，故A 错误； 对于B 解析：ACD 【分析】
由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】
对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++
142350λλλ=+++=+>，
且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)， 所以5
3
λ>-
且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；
对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则2
2
3()||||2
a a
b a a b a ⋅+=+⋅=
， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，
故2
3||()32cos ,2
||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===
+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD
【点睛】
本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.
2．ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应，若，则向量长度相等，方向相同，故，故正确； 对于，当且时，，但，可以不相等，故错误； 对应，若，，则方向相同
解析：ACD 【分析】
根据平面向量的定义、数量积定义、共线向量定义进行判断． 【详解】
对应A ，若a b =，则向量,a b 长度相等，方向相同，故||||a b =，故A 正确； 对于B ，当a c ⊥且b c ⊥时，··0a c b c ==，但a ，b 可以不相等，故B 错误； 对应C ，若//a b ，//b c ，则,a b 方向相同或相反，,b c 方向相同或相反， 故,a c 的方向相同或相反，故//a c ，故C 正确；
对应D ，若||||a b a b +=-，则22222?2?a a b b a a b b ++=-+，
∴0a b =，∴a b ⊥，故D 正确．
故选：ACD 【点睛】
本题考查平面向量的有关定义，性质，数量积与向量间的关系，属于中档题．
3．D 【分析】
在中，根据，利用正弦定理得，然后变形为求解. 【详解】 在中，因为， 由正弦定理得， 所以，即， 所以或， 解得或.
故是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】
本题主要考查
解析：D 【分析】 在ABC 中，根据
cos cos A b B a =，利用正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=，然后变形为sin 2sin 2A B =求解.
【详解】
在ABC 中，因为
cos cos A b
B a =， 由正弦定理得cos sin cos sin A B
B A
=， 所以sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =， 所以22A B =或22A B π=-，
解得A B =或2
A B π
+=.
故ABC 是直角三角形或等腰三角形. 故选： D. 【点睛】
本题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
4．AC 【分析】
对于，利用正弦定理可将条件转化得到，即可求出； 对于，利用正弦定理可求得，进而可得；
对于，利用正弦定理条件可转化为，结合原题干条件可得，进而求得； 对于，根据三角形面积公式求得，利
解析：AC 【分析】
对于A 2sin sin A C A =，即可求出C ； 对于B ，利用正弦定理可求得sin B ，进而可得cos B ；
对于C ，利用正弦定理条件可转化为2cos a c B =，结合原题干条件可得B ，进而求得
A B C ==；
对于D ，根据三角形面积公式求得a ，利用余弦定理求得c ，进而由正弦定理求得R ． 【详解】
2sin c A =2sin sin A C A =，
因为sin 0A ≠，故sin 2
C =， 因为(0,
)2
C π
∈，则3
C π
=
，故A 正确；
若72
c =，则由正弦定理可知sin sin c b C B =
，则4sin sin 72
b B C
c == 因为(0,)B π∈
，则1
cos 7
B =±，故B 错误； 若sin 2cos sin A B
C =，根据正弦定理可得2cos a c B =，
2sin c A =
，即sin a A =
sin 2cos A c B =
，所以sin A B =，
因为23A B C ππ+=-=，则23
A B π=
-
，故2sin()3B B π
-=，
1
sin 2B B B +=
，即1sin cos 22
B B =，
解得tan B =3
B π
=，则3
A π
=
，
即3
A B C π
===
，所以ABC 是等边三角形，故C 正确； 若ABC
的面积是
1
sin 2
ab C =2a =，
由余弦定理可得2
2
2
1
2cos 416224122
c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=
，即c = 设三角形的外接圆半径是R ，
由正弦定理可得24
sin c R C =
==，则该三角形外接圆半径为2，故D 错误， 故选：AC ． 【点睛】
本题考查正余弦定理的应用及同角三角函数的基本关系和两角和与差的三角公式，转化思想，计算能力，属于中档题．
5．BCD 【分析】
本题先确定B 是的中点，P 是的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确；
再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出，故选项D 正确. 【详解】 解：因为，，
所以B 是的中点，P 是的
解析：BCD
【分析】
本题先确定B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，判断选项A 错误，选项C 正确； 再通过向量的线性运算判断选项B 正确；最后求出2APQ S =△，故选项D 正确. 【详解】
解：因为20PA PC +=，2QA QB =，
所以B 是AQ 的中点，P 是AC 的一个三等分点，如图：故选项A 错误，选项C 正确；
因为()
121
333
BP BA AP BA BC BA BA BC =+=+
-=+，故选项B 正确； 因为
11
2223132
APQ ABC
AB h
S S AB h ⨯⨯==⋅△△，所以，2APQ S =△，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.
6．CD 【分析】
对于A 由条件推出或，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断与垂直，判断该命题是真命题；对于D 由条件推出向量与的夹角是，所以该命题是真命题. 【详解
解析：CD 【分析】
对于A 由条件推出0b =或a b ⊥，判断该命题是假命题；对于B 由条件推出
()
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，判断该命题是假命题；对于C 由条件判断a 与b 垂直，判断该命题
是真命题；对于D 由条件推出向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 【详解】
对于A ，若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =或a b ⊥，所以该命题是假命题；
对于B ，()(
)
2
2
2
2
2cos cos a b
a b a b α
α⋅==，而()()2
2
2
2
a b
a b ⋅=，
由于a 、b 为不共线的非零向量，所以2cos 1α≠，所以(
)
()()
2
2
2
a b a b ⋅≠⋅，
所以该命题是假命题；
对于C ，若非零向量a 、b 满足2
2
2
a b
a b +=+，22222a b a b a b ++⋅=+，所以
0a b ⋅=，则a 与b 垂直，所以该命题是真命题；
对于D ，以a 与b 为邻边作平行四边形是正方形，则a b +和a b -所在的对角线互相垂直，所以向量a b +与a b -的夹角是2
π
，所以该命题是真命题. 故选：CD. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算与数量积运算、向量垂直的判断，是基础题.
7．CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用()∥判断；对于D ，利用C 的结论，2m+n=4，结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ，向量(
解析：CD 【分析】
对于A ，利用平面向量的数量积运算判断； 对于B ，利用平面向量的投影定义判断；对于C ，利用(a b -)∥c 判断；对于D ，利用C 的结论，2m +n =4，结合基本不等式判断. 【详解】
对于A ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则2110a b ⋅=-=>，则,a b 的夹角为锐角，错误；
对于B ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则向量a 在b 方向上的投影为2
2
a b b
⋅=
，错误；
对于C ，向量a =(2，1)，b =(1，﹣1)，则a b -= (1，2)，若(a b -)∥c ，则(﹣n )=2(m ﹣2)，变形可得2m +n =4，正确；
对于D ，由C 的结论，2m +n =4，而m ，n 均为正数，则有mn 12= (2m •n )12
≤ (
22
m n +)2
=2，即mn 的最大值为2，正确；
【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于基础题.
8．BC 【分析】
用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】
解：根据正弦定理得： ， 由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
解析：BC 【分析】
用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】
解：根据正弦定理sin sin a b A B
=得：
1
sin 2sin 12
b A B a ===，
由于1b a =>=，所以45B =或135B =.
故选：BC. 【点睛】
本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.
9．ACD 【分析】
先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】 因为
所以可设：（其中），解得： 所以，所以A 正确；
由上可知：边最大，所以三角形中角最大， 又 ，所以角为
解析：ACD 【分析】
先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.
因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=
所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪
+=⎨⎪+=⎩
（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===
所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，
又222222(4)(5)(6)1
cos 022458
a b c x x x C ab x x +-+-===>⨯⨯ ，所以C 角为锐角，所以B 错
误；
由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，
又222222(6)(5)(4)3
cos 22654
c b a x x x A cb x x +-+-===⨯⨯，
所以2
1
cos22cos 18
A A =-=
，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =
，又sin 8
C ==
所以
2R =
，解得：7
R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】
本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.
10．BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项. 【详解】
对于A 选项：，故A 错；
对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，，故B 正确； 对于C 选项：，故正确； 对于D 选项：，而，故
解析：BC 【分析】
根据向量的加法和减法运算，以及向量的数量积运算可选项.
对于A 选项：BD AD BD DA BA -=+=，故A 错； 对于 B 选项：因为D 为BC 的中点，
()
111
++++()222
AD AB BD AB BC AB BA AC AB AC ====+，故B 正确；
对于C 选项：cos 248BD BA BC BA BC B BA BC BA
⋅=⋅⋅∠=⋅⋅
=⨯=，故正确；
对于D 选项：2,AB AC AD AB AC CB +=-=，而2AD CB ≠，故D 不正确. 故选：BC. 【点睛】
本题考查向量的线性运算和向量的数量积运算，属于基础题.
11．AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若，则与平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B 选项不合乎题意； 对于C 选项，若与的方向相反，
解析：AC 【分析】
根据共线向量的定义判断即可. 【详解】
对于A 选项，若a b =，则a 与b 平行，A 选项合乎题意；
对于B 选项，若a b =，但a 与b 的方向不确定，则a 与b 不一定平行，B 选项不合乎题意；
对于C 选项，若a 与b 的方向相反，则a 与b 平行，C 选项合乎题意；
对于D 选项，a 与b 都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则a 与b 不一定平行，D 选项不合乎题意. 故选：AC. 【点睛】
本题考查向量共线的判断，考查共线向量定义的应用，属于基础题.
12．ABD 【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知成立，
故也成立；
由向量加法的三角形法则，知成立，不成立. 故选：ABD 【点睛】 本题主要考查
解析：ABD 【分析】
根据平行四边形及向量的加法法则即可判断. 【详解】
由向量加法的平行四边形法则，知a b c +=成立， 故a b c +=也成立；
由向量加法的三角形法则，知a d b +=成立，b d a +=不成立. 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.
13．BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误； 与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故
解析：BD 【分析】
根据向量的模及共线向量的定义解答即可； 【详解】
解：AB 与DC 显然方向不相同，故不是相等向量，故A 错误；
AB 与DC 表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC =，故B 正确； 向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C 错误； 等腰梯形的上底BC 与下底AD 平行，所以//BC AD ，故D 正确； 故选：BD . 【点睛】
本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.
14．BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果．
【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，
以为原点建立平面直角坐标系，， 设，若， 所以
解析：BCD 【分析】
根据向量的定义及运算逐个分析选项，确定结果． 【详解】
解：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与OA 是相反向量的共有 18个，故A 错， 以O 为原点建立平面直角坐标系，()1,2A ， 设(,)B m n ，若10OA OB -=，
所以22(1)(2)10m n -+-=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(0,1)B -，(2,1)-，(2,1)-共三个，故B 正确． 当(1,0)B ，(0,2)C 时，使得OA OB OC =+，故C 正确．
若1OA OB ⋅=，则21m n +=，(33m -，22n -，且m Z ∈，)n Z ∈， 得(1,0)B ，(3,1)-，(1,1)-，(3,2)-共4个，故D 正确． 故选：BCD ．
【点睛】
本题考查向量的定义，坐标运算，属于中档题．
15．BD 【分析】
由三角形的面积公式求出即得解. 【详解】 因为,
所以, 所以,因为, 所以或120°. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
解析：BD 【分析】
由三角形的面积公式求出3
sin 2
A =即得解. 【详解】 因为13sin 22
S bc A ==, 所以
1323sin 22
A ⨯⨯=, 所以3
sin 2
A =
,因为0180A ︒︒<<, 所以60A =或120°. 故选：BD 【点睛】
本题主要考查三角形面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
二、平面向量及其应用选择题
16．A 【分析】
设sin sin a B b A CH ==，则()
m
CP a b CH
=+，再利用平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，即可得答案； 【详解】 如图，
sin sin a B b A CH ==，∴()m OP OC a b CH =+
+，()
m
CP a b CH
=+， 由平行四边形法则可知，P 在中线CD 上，
∴P 的轨迹一定通过ABC 的重心.
故选：A. 【点睛】
本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用. 17．C 【分析】
根据三角形外心、重心的概念，以及外心、重心的向量表示，可得结果. 【详解】
由123||||||1OP OP OP ===，可知点O 是123PP P ∆的外心， 又1230OP OP OP ++=，可知点O 是123PP P ∆的重心， 所以点O 既是123PP P ∆的外心，又是123PP P ∆的重心， 故可判断该三角形为等边三角形， 故选：C 【点睛】
本题考查的是三角形外心、重心的向量表示，掌握三角形的四心：重心，外心，内心，垂心，以及熟悉它们的向量表示，对解题有事半功倍的作用，属基础题. 18．D 【分析】
由向量夹角的范围可判断A 选项的正误；计算出a b ⋅，利用余弦函数的值域以及已知条件可判断B 选项的正误；利用平面向量模的三角不等式可判断C 选项的正误；计算
()()a b a b +⋅-的值可判断D 选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
()cos ,sin a αα=，()cos ,sin b ββ=，则2cos 1a α==，同理可得
1b =，
a 与
b 不共线，则()sin cos cos sin sin 0αβαβαβ-=-≠，则()k k Z αβπ-≠∈.
对于A 选项，由题意知，a 与b 的夹角的范围为()0,π，而()R αβ-∈且
()k k Z αβπ-≠∈，A 选项错误；
对于B 选项，设向量a 与b 的夹角为θ，则0θπ<<，所以，
()cos cos 1,1a b a b θθ⋅=⋅=∈-，B 选项错误；
对于C 选项，由于a 与b 不共线，由向量模的三角不等式可得2a b a b +<+=，C 选
项错误； 对于D 选项，(
)()
2
2
220a b a b a b a b +⋅-=-=-=，所以，()()
a b a b +⊥-，D
选项正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查平面向量有关命题真假的判断，涉及平面向量的夹角、数量积与模的计算、向量垂直关系的处理，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题. 19．C 【分析】
根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得4
A π
=,再根据面积公式可求得6(2bc =,
再代入余弦定理求解即可. 【详解】
ABC 中,cos sin a B b A c +=,由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=,
又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,
∴sin sin cos sin B A A B =,又sin 0B ≠,∴sin A cos A =,∴tan 1A =,又(0,)A π∈,
∴4
A π
=
.∵1sin 1)24
ABC
S
bc A ===-,
∴bc =6(2,∵2a =,∴由余弦定理可得2
2
()22cos a b c bc bc A =+--,
∴2()4(2b c bc +=++4(26(216=++⨯-=,可得4b c +=.
故选：C 【点睛】
本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题. 20．D 【分析】
根据正弦定理，可得
111
tan tan tan 235
A B C ==，令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，再结合公式tan tan()B A C =-+，列出关于k 的方程，解出k 后，进而可得
到B 的大小. 【详解】 解：∵2cosA 3cosB 5cosC
a b c ==， ∴sin sin sin 2cos 3cos 5cos A B C
A B C ==，
即
111
tan tan tan 235
A B C ==， 令tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =，显然0k >，
∵tan tan tan tan()tan tan 1
A C
B A
C A C +=-+=-，
∴2
73101k k k =
-，解得3
k =，
∴tan 3B k ==B ＝3
π
．
故选：D . 【点睛】
本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k 表示tan 2A k =，tan 3B k =，tan 5C k =是本题关键
21．A 【分析】
首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】 由正弦定理可知2sin sin sin a b c
r A B C
===
已知
sin cos sin a b c
A B B
===sin cos B B =和sin sin C B =， 所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，
由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为
所以1
22
ABC
S
=⨯=. 故选：A 【点睛】
本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型. 22．A 【分析】
由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan
2
C
，从而求得tan C ． 【详解】
∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221
2sin 22
ab C a b ab c ⨯⋅=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-，
又222sin 2sin cos 1222
a b c ab C ab C
C ab ab +-⋅-===-，∴sin cos 12C C +=
，
即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴2
22tan
2242tan 1231tan 2
C
C C ⨯===---， 故选：A ． 【点睛】
本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 23．B 【分析】
选取向量AB ，AC 为基底，由向量线性运算，求出BE ，即可求得结果. 【详解】
13BE AE AB AD AB =-=
-，1
()2
AD AB AC =+ ， 51
66
BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+，
56λ∴=-，1
6μ=，23
λμ∴+=-.
故选：B. 【点睛】
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于基础题. 24．C 【解析】 【分析】
取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心，则0DW BC ⋅=， 再用AB 、AC 表示AW ，AG ，BC 再根据向量的数量积的运算律计算可得. 【详解】
解：如图，取BC 的中点D ，因为G 、W 分别为ABC ∆的重心和外心 0DW BC ∴⋅=
()()
22113323
AG AD AB AC AB AC ∴=
=⨯+=+ ()
1
2
AW AD DW AB AC DW =+=++ ()()()
115326
AW AG AB AC AB AC DW AB AC DW +=
++++=++ ()()()
5566AB AC DW AB AG AW BC BC B W C BC AC D ⎡⎤
∴+⋅=⋅=⋅⋅⎢++++⎥⎣⎦
()
5
6
AB A BC C =
⋅+
()
()
5
6
C AC AB AB A =⋅+- ()
()2222421055
66
AC AB =
-=-= 故选：C
【点睛】
本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查三角形的重心和外心的性质及向量中点的向量表示，考查运算能力，属于中档题． 25．A 【分析】
由条件求得∠BCD ＝150°，∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝30°，可得∠AEB ＝105°．计算sin105°，代入正弦定理sin30sin105AE AB
=︒︒
，化简求得AE 62=-． 【详解】
由题意可得，AC ＝BC ＝CD ＝DA 2=BAC ＝45°，∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°+60°
＝150°．又△BCD 为等腰三角形，∴∠CBE ＝15°，故∠ABE ＝45°﹣15°＝30°，故
∠BEC ＝75°，∠AEB ＝105°．
再由 sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°62
4
=， △ABE 中，由正弦定理可得
sin30sin105AE AB
=︒︒
， ∴1
622
AE
=+，∴AE 62=）， 故选:A ． 【点睛】
本题考查勾股定理、正弦定理的应用，两角和的正弦公式，属于中档题．
26．无
27．A 【分析】
根据向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】
因为1a =，3b =，a 与b 的夹角为60︒，
所以2
2
2
4424697a a b b a b =-⋅+=-+=-，则27a b -=. 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的模的求解，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．A 【分析】
设出()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+，求得
()21
13
m AP AB m AD +=
+-，再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ，因为B ，P ，F 三点共线，
所以()()()
11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+， 因为2CF DF =，所以11
33
DF DC AB ==， 所以()21
13
m AP AB m AD +=
+-. 因为E 是BC 的中点， 所以11
22
AE AB BC AB AD =+
=+. 因为AP AE λ=， 所以
()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭
， 则213
112m m λλ
+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩
，
解得3
4
λ=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题. 29．D
先根据向量减法与向量数量积化简得边之间关系，再判断三角形形状. 【详解】
因为()()()
2
22BC BA AC BC BA BC BA BC BA AC +⋅=+⋅-=-=，所以
222a c b -=，即ABC 是直角三角形，选D.
【点睛】
判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用πA B C ++=这个结论．
30．C 【分析】
先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果. 【详解】 如图所示，
AB AF
2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=⇒=
=→→=⇒=⇒=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()(
)
230,3,3,1,,33B F
E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，
因此(
)
BF
AE
BF
23
3,2,323264→=
-→→=
⨯-⨯=-=-，故选C.
【点睛】
平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ⋅=⋅；二是坐标公式
1212a b x x y y ⋅=+；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进
31．D 【分析】
根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可． 【详解】
∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得2
2
a b
a b +
=-，即2222
||2||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，
则0a b ⋅=，由2a b b +=，
平方得2
2
2
||24||a b a b b ++⋅=，得2
2
3a b =，即3a b =则2a b b +=，
22|3|a b a a a b b +⋅=+⋅=（），
则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3
223a b a b cos a b a b b
θ+⋅===+⋅⋅（）， ，0.6
π
θπθ≤≤∴=
， ，
故选D. 【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 32．D 【分析】
将已知向量关系变为：1
2333m OA OB OC +
=，可得到3
m
OC OD =且,,A B D 共线；由AOB ABC O S S D
CD
∆∆=和,OC OD 反向共线，可构造关于m 的方程，求解得到结果. 【详解】
由2OA OB mOC +=得：12333
m
OA OB OC +
= 设3m OC OD =，则12
33OA OB OD += ,,A B D ∴三点共线 如下图所示：
OC 与OD 反向共线 3
OD m
m CD
∴
=
- 7
34AOB ABC OD m m C S S D ∆∆∴==-= 4m ⇒=- 本题正确选项：D 【点睛】
本题考查向量的线性运算性质及向量的几何意义，关键是通过向量线性运算关系得到三点共线的结果，从而得到向量模长之间的关系. 33．A 【分析】
不等式a c b d T -+-≥恒成立，即求a c b d -+-最小值，利用三角不等式放缩
+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+，转化即求+()a b c d -+最小值，再转化
为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值得解. 【详解】
1a b ==，12a b ⋅=
,易得,3
a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====，AB 中点为M ，CD 中点为N 则,A B 在单位圆上运动，且三角形OAB 是等边三角形,
(.1),(,1)
1CD C m m D n n k ，CD 所在直线方程为10x y +-=
因为a c b d T -+-≥恒成立，
+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向，即
a b +与c d +共线反向时等号成立)
即求+()a b c d -+最小值.
+()=()()a b
c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -
三角形OAB 是等边三角形，,A B 在单位圆上运动，M 是AB 中点，
∴ M 的轨迹是以原点为圆心，半径为2
的一个圆.
又N 在直线方程为10x y +-=上运动，
∴ 当M N ，运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时，MN 取得最小值
此时M 到直线10x y +-=的距离32
MN
23
2T NM
故选：A 【点睛】
本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.
平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 34．B 【分析】
根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状. 【详解】
因为AB AC BA BC →→→→
⋅=⋅，所以0AB AC BC →
→→
⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，
即0AB CA CB →
→→⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，
所以在ABC 中，AB 与AB 边上的中线垂直，则CA CB →→
=，
同理0BC AC AB →
→→⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，AC AB →→
=，
所以AC AB CB →→→
==，ABC 是等边三角形． 故选：B 【点睛】
本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题. 35．D 【分析】
由数量积的定义判断B 角的大小，得三角形形状． 【详解】
由题意cos()0a b a b B π⋅=->，∴cos()0B π->，cos 0B ->，cos 0B <，又B 是三角形内角，∴
2
B π
π<<．
∴ABC 是钝角三角形． 故选：D ． 【点睛】
本题考查考查三角形形状的判断，解题关键是掌握数量积的定义．向量夹角的概念．。