2018-2019学年教科版选修3-5动量守恒定律的应用第1课时教案

动量守恒定律的应用
新课标要求
（一）知识与技能
理解动量的确切含义和表达式，会计算一维情况下的动量变化；
理解动量守恒定律的确切含义和表达式，知道定律的适用条件和适用范围；
（二）过程与方法
在理解动量守恒定律的确切含义的基础上正确区分内力和外力；
灵活运用动量守恒定律的不同表达式；
（三）情感、态度与价值观
培养逻辑思维能力，会应用动量守恒定律分析计算有关问题；
★教学重点
动量的概念和动量守恒定律的表达式
★教学难点
动量的变化和动量守恒的条件．
★教学方法
教师启发、引导，学生讨论、交流。

★教学用具：
投影片，多媒体辅助教学设备
★课时安排
1 课时
★教学过程
（一）引入新课
上节课的探究使我们看到，不论哪一种形式的碰撞，碰撞前后m υ的矢量和保持不变，因此m υ很可能具有特别的物理意义。

（二）进行新课
1．动量（momentum ）及其变化
（1）动量的定义：物体的质量与速度的乘积，称为(物体的)动量。

记为p=mv . 单位：kg ·m/s 读作“千克米每秒”。

理解要点：
①状态量：动量包含了“参与运动的物质”与“运动速度”两方面的信息，反映了由这两方面共同决定的物体的运动状态，具有瞬时性。

师：大家知道，速度也是个状态量，但它是个运动学概念，只反映运动的快慢和方向，而运动，归根结底是物质的运动，没有了物质便没有运动.显然地，动量包含了“参与运动的物质”和“运动速度”两方面的信息，更能从本质上揭示物体的运动状态，是一个动力学概念.
②相对性：这是由于速度与参考系的选择有关，通常以地球（即地面）为参考系。

③矢量性：动量的方向与速度方向一致。

运算遵循矢量运算法则（平行四边形定则）。

师：综上所述：我们用动量来描述运动物体所能产生的机械效果强弱以及这个效果发生的方向，动量的大小等于质量和速度的乘积，动量的方向与速度方向一致。

一、动量守恒定律
1．动量守恒定律的内容
一个系统不受外力或者受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。

即：221
12211v m v m v m v m '+'=+ 守恒是指整个过程任意时刻相等（时时相等,
类比匀速） 定律适用于宏观和微观高速和低速
2．动量守恒定律成立的条件
⑴系统不受外力或者所受外力之和为零；
⑵系统受外力，但外力远小于内力，可以忽略不计；
⑶系统在某一个方向上所受的合外力为零，则该方向上动量守恒。

3．动量守恒定律的表达形式
（1）221
12211v m v m v m v m '+'=+，即p 1+p 2=p 1/+p 2/， （2）Δp 1+Δp 2=0，Δp 1= -Δp 2
4、理解：①正方向②同参同系③微观和宏观都适用
5．动量守恒定律的重要意义
从现代物理学的理论高度来认识，动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。

（另一个最基本的普适原理就是能量守恒定律。

）从科学实践的角度来看，迄今为止，人们尚未发现动量守恒定律有任何例外。

5．应用动量守恒定律解决问题的基本思路和一般方法
（1）分析题意，明确研究对象.在分析相互作用的物体总动量是否守恒时，通常把这些被研究的物体总称为系统.
（2）要对各阶段所选系统内的物体进行受力分析，弄清哪些是系统内部物体之间相互作用的内力，哪些是系统外物体对系统内物体作用的外力.在受力分析的基础上根据动量守恒定律条件，判断能否应用动量守恒。

（3）明确所研究的相互作用过程，确定过程的始、末状态，即系统内各个物体的初动量和末动量的量值或表达式。

注意：在研究地面上物体间相互作用的过程时，各物体的速度均应取地球为参考系。

（4）确定好正方向建立动量守恒方程求解。

二、动量守恒定律的应用 1．碰撞
两个物体在极短时间内发生相互
作用，这种情况称为碰撞。

由于作用时间极短，一般都满足内力远大于外力，
所以可以认为系统的动量守恒。

碰撞又分弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞三种。

仔细分析一下碰撞的全过程：设光滑水平面上，质量为m 1的物体A 以速度v 1向质量为m 2的静止物体B 运动，B 的左端连有轻弹簧。

在Ⅰ位置A 、B 刚好接触，弹簧开始被压缩，A 开始减速，B 开始加速；到Ⅱ位置A 、B 速度刚好相等（设为v ），弹簧被压缩到最短；再往后A 、B 开始远离，弹簧开始恢复原长，到Ⅲ位置弹簧刚好为原长，A 、
B 分开，这时A 、B 的速度分别为21
v v ''和。

全过程系统动量一定是守恒的；而机械能是否守恒就要看弹簧的弹性如何了。

（1）弹簧是完全弹性的。

Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为弹性势能，Ⅱ状态系统动能最小而弹性势能最大；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少全部转化为动能；因此Ⅰ、Ⅲ状态系统动能相等。

这种碰撞叫做弹性碰撞。

由动量守恒和能量守恒可以证明A 、B 的最终速度分别为：12
112121211
2,v m m m v v m m m m v +='+-='。

（这个结论最好背下来，以后经常要用到。

）
/ /
（2）弹簧不是完全弹性的。

Ⅰ→Ⅱ系统动能减少，一部分转化为弹性势能，一部分转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，弹性势能仍最大，但比⑴小；Ⅱ→Ⅲ弹性势能减少，部分转化为动能，部分转化为内能；因为全过程系统动能有损失（一部分动能转化为内能）。

这种碰撞叫非弹性碰撞。

（3）弹簧完全没有弹性。

Ⅰ→Ⅱ系统动能减少全部转化为内能，Ⅱ状态系统动能仍和⑴相同，但没有弹性势能；由于没有弹性，A 、B 不再分开，而是共同运动，不再有Ⅱ→Ⅲ过程。

这种碰撞叫完全非弹性碰撞。

可以证明，A 、B 最终的共同速度为12
1121
v m m m v v +='='。

在完全非弹性碰撞过程中，系统的动能损失最大，为： ()()21212122121122121m m v m m v m m v m E k +='+-=∆。

【例1】 质量为M 的楔形物块上有圆弧轨道，静止在水平面上。

质量为m 的小球以速度v 1向物块运动。

不计一切摩擦，圆弧小于90°且足够长。

求小球能上升到的最大高度H 和物块的最终速度v 。

解析：系统水平方向动量守恒，全过程机械能也守恒。

小球上升过程中，由水平系统动量守恒得：()v m M mv '+=1 由系统机械能守恒得：()mgH v m M mv +'+=2212121 解得()g m M Mv H +=221 全过程系统水平动量守恒，机械能守恒，得1
2v m M m v +=
【例2】 动量分别为5kg ∙m/s 和6kg ∙m/s 的小球A 、B 沿光滑平面上的同一条直线同向运动，A 追上B 并发生碰撞后。

若已知碰撞后A 的动量减小了2kg ∙m/s ，而方向不变，那么A 、B 质量之比的可能范围是什么？
解析：A 能追上B ，说明碰前v A >v B ,∴B
A m m 65>；碰后A 的速度不大于
B 的速度， B A m m 83≤；又因为碰撞过程系统动能不会增加， B
A B A m m m m 282326252222+≥+，由以上不等式组解得：7
483≤≤B A m m 点评：此类碰撞问题要考虑三个因素：①碰撞中系统动量守恒；②碰撞过程中系统动能不增加；③碰前碰后两个物体位置关系（不穿越）和速度大小应保证其顺序合理。

2．子弹打木块类问题
子弹打木块实际上是一种完全非弹性碰撞。

作为一个典型，它的特点是：子弹以水平速度射向原来静止的木块，并
留在木块中跟木块共同运动。

下面从动量、能量和牛顿运动
定律等多个角度来分析这一过程。

【例3】 设质量为m 的子弹以初速度v 0射向静止在光
滑水平面上的质量为M 的木块，并留在木块中不再射出，子
弹钻入木块深度为d 。

求木块对子弹的平均阻力的大小和该过程中木块前进的距离。

解析：子弹和木块最后共同运动，相当于完全非弹性碰撞。

从动量的角度看，子弹射入木块过程中系统动量守恒：()v m M mv +=0
从能量的角度看，该过程系统损失的动能全部转化为系统的内能。

设平均阻力大小为f ，设子弹、木块的位移大小分别为s 1、s 2，如图所示，显然有s 1-s 2=d 对子弹用动能定理：22012
121mv mv s f -=⋅ ……① 对木块用动能定理：2221Mv s f =
⋅ ……② ①、②相减得：()()
2022022121v m M Mm v m M mv d f +=+-=⋅ ……③ 点评：这个式子的物理意义是：f ∙d 恰好等于系统动能的损失；根据能量守恒定律，系统动能的损失应该等于系统内能的增加；可见Q d f =⋅，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热（机械能转化为内能），等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积（由于摩擦力是耗散力，摩擦生热跟路径有关，所以这里应该用路程，而不是用位移）。

由上式不难求得平均阻力的大小：()d
m M Mm v f +=220 至于木块前进的距离s 2，可以由以上②、③相比得出：d m
M m s +=
2 从牛顿运动定律和运动学公式出发，也可以得出同样的结论。

由于子弹和木块都在恒力作用下做匀变速运动，位移与平均速度成正比： ()d m
M m s m m M v v s d v v v v v v s d s +=+==∴+=+=+2020022,,2/2/ 一般情况下m M >>，所以s 2<<d 。

这说明，在子弹射入木块过程中，木块的位移很小，可以忽略不计。

这就为分阶段处理问题提供了依据。

象这种运动物体与静止物体相互作用，动量守恒，最后共同运动的类型，全过程动能的损失量可用公式：
()202v m M Mm E k +=∆…④
当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统动量仍然守恒，系统动能损失仍然是ΔE K = f ∙d （这里的d 为木块的厚度），但由于末状态子弹和木块速度不相等，所以不能再用④式计算ΔE K 的大小。

3．反冲问题
在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度
不再相同而分开。

这类问题相互作用过程中系统的动能增大，有其它能向动能转化。

可以把这类问题统称为反冲。

【例4】 质量为m 的人站在质量为M ，长为L 的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。

当他向左走到船的左端时，船左端离岸多远？
解析：先画出示意图。

人、船系统动量守恒，总动量始终为零，所以人、船动量大小始终相等。

从图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L 。

设人、船位移大小分别为l 1、l 2，则：
mv 1=Mv 2，两边同乘时间t ，ml 1=Ml 2，而l 1+l 2=L ，
∴L m
M m l +=2 点评：应该注意到：此结论与人在船上行走的速度大小无关。

不论是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要人最终到达
船的左端，那么结论都是相同的。

以上列举的人、船模型的前提是系统初动量为零。

如果发生相互
作用前系统就具有一定的动量，就不能再用m 1v 1=m 2v 2这种形式
列方程，而要用(m 1+m 2)v 0= m 1v 1+ m 2v 2列式。

【例5】 总质量为M 的火箭模型 从飞机上释放时的速度为v 0，速度方向水平。

火箭向后以相对于地面的速率u 喷出质量为m 的燃气后，火箭本身的速度变为多大？
解析：火箭喷出燃气前后系统动量守恒。

喷出燃气后火箭剩余质量变为M-m ，以v 0方向为正方向，()m
M mu Mv v v m M mu Mv -+=''-+-=00, 4．爆炸类问题
【例6】 抛出的手雷在最高点时水平速度为10m/s ，这时突然炸成两块，其中大块质量300g 仍按原方向飞行，其速度测得为50m/s ，另一小块质量为200g ，求它的速度的大小和方向。

分析：手雷在空中爆炸时所受合外力应是它受到的重力G =( m 1+m 2 )g ，可见系统的动量并不守恒。

但在爆炸瞬间，内力远大于外力时，外力可以不计，系统动量近似守恒。

设手雷原飞行方向为正方向，则整体初速度s m v /100=；m 1=0.3kg 的大块速度为50 1=v m/s 、m 2=0.2kg 的小块速度为2 v ，方向不清，暂设为正方向。

由动量守恒定律：2211021)(v m v m v m m +=+
502
.0503.010)2.03.0()(2110212-=⨯-⨯+=-+=m v m v m m v m/s 此结果表明，质量为200克的部分以50m/s 的速度向反方向运
动，其中负号表示与所设正方向相反
5．某一方向上的动量守恒
【例7】 如图所示，AB 为一光滑水平横杆，杆上套一质量为M
的小圆环，环上系一长为L 质量不计的细绳，绳的另一端拴一质量
为m 的小球，现将绳拉直，且与AB 平行，由静止释放小球，则当线绳与A B 成θ角时，圆环移动的距离是多少？
解析：虽然小球、细绳及圆环在运动过程中合外力不为零（杆的支持力与两圆环及小球的重力之和不相等）系统动量不守恒，但是系统在水平方向不受外力，因而水平动量守恒。

设细绳与AB 成θ角时小球的水平速度为v ，圆环的水平速度为V ，则由水平动量守恒有：MV =mv
且在任意时刻或位置V 与v 均满足这一关系，加之时间相同，公式中的V 和v 可分别用其水平位移替代，则上式可写为：
Md =m ［（L -L cos θ）-d ］
解得圆环移动的距离： d =mL （1-cos θ）/（M +m ）
6．物块与平板间的相对滑动
【例8】如图所示，一质量为M 的平板车B 放在光滑水平面上，在其右端放一质量为m 的小木块A ，m ＜M ,A 、B 间动摩擦因数为μ，现给A 和B 以大小相等、方向相反的初速度v 0,使A 开始向左运动，B 开始向右运动，最后A 不会滑离B ，求：
（1）A 、B 最后的速度大小和方向；
（2）从地面上看，小木块向左运动到离出发点最远处时，平板车向右运动位移大
小。

解析：（1）由A 、B 系统动量守恒定律得：
Mv 0-mv 0=（M +m ）v ①
所以v =m
M m M +-v 0 方向向右 （2）A 向左运动速度减为零时，到达最远处，此时板车移动位移为s ,速度为v ′,则由动量守恒定律得：Mv 0-mv 0=Mv ′ ①
对板车应用动能定理得：
-μmg s=21mv ′2-21mv 02
②
联立①②解得：s =m g
m M μ22-v 02 【例9】两块厚度相同的木块A 和B ，紧靠着放在光滑的水平面上，其质量分别为，，它们的下底面光滑，上表面粗糙；另有一质量的滑块C （可视为质点），以的速度恰好水平地滑到A 的上表面，如图所示，由于摩擦，滑块最后停在木块B 上，B 和C 的共同速度为3.0m/s ，求：
（1）木块A 的最终速度； （2）滑块C 离开A 时的速度。

解析：这是一个由A 、B 、C 三个物体组成的系统，以这系统为研究对象，当C 在
A 、
B 上滑动时，A 、B 、
C 三个物体间存在相互作用，但在水平方向不存在其他外力作用，因此系统的动量守恒。

（1）当C 滑上A 后，由于有摩擦力作用，将带动A 和B 一起运动，直至C 滑上B 后，A 、B 两木块分离，分离时木块A 的速度为。

最后C 相对静止在B 上，与B 以共
同速度运动，由动量守恒定律有 kg m A 5.0=kg m B 3.0=kg m C 1.0=s m v C /25=A v C v 'A v s m v B /0.3=B C B A A C
C v m m v m v m )(++
=
∴=
（2）为计算，我们以B 、C 为系统，C 滑上B 后与A 分离，C 、B 系统水平方向
动量守恒。

C 离开A 时的速度为
，B 与A 的速度同为，由动量守恒定律有
∴
三、针对训练
练习1
1．质量为M 的小车在水平地面上以速度v 0匀速向右运动。

当车中的砂子从底部的漏斗中不断流下时，车子速度将（ ）
A ．减小
B ．不变
C ．增大
D ．无法确定
2．如图所示，放在光滑水平桌面上的A 、B 木块中部夹一被压
缩的弹簧，当弹簧被放开时，它们各自在桌面上滑行一段距离后，
飞离桌面落在地上。

A 的落地点与桌边水平距离0.5m ，B 的落地点
距离桌边1m ，那么（ ）
A ．A 、
B 离开弹簧时的速度比为1∶2
B ．A 、B 质量比为2∶1
C ．未离开弹簧时，A 、B 所受冲量比为1∶2
D ．未离开弹簧时，A 、B 加速度之比1∶2
3．如图所示，在沙堆表面放置一长方形木块A ，其上面再放一个质量为m=0.10kg 的爆竹B ，木块的质量为M=6.0kg 。

当爆竹爆炸时，因反冲作用使木块陷入沙中深度h=50cm ，而木块所受的平均阻力为f=80N 。

若爆竹的火药质量以及空气阻力可忽略不计，g 取，求爆竹能上升的最大高度。

练习2
1．质量相同的两个小球在光滑水平面上沿连心线同向运动，球1的动量为 7 kg ·m/s,球2的动量为5 kg ·m/s,当球1追上球2时发生碰撞，则碰撞后两球动量变化的可能值是
A B C B C C A m v m m v m v )(+-=
s m s m /6.2/5.00.3)1.03.0(251.0=⨯+-⨯C v 'C v 'A v B C B C C B B v m m v m v m )(+='+C A B B C B C
m v m v m m v -+=')(s m s m /2.4/1.06.23.00.3)1.03.0(=⨯-⨯+=2
/10s
m
A ．Δp 1=-1 kg ·m/s ，Δp 2=1 kg ·m/s
B ．Δp 1=-1 kg ·m/s ，Δp 2=4 kg ·m/s
C ．Δp 1=-9 kg ·m/s ，Δp 2=9 kg ·m/s
D ．Δp 1=-12 kg ·m/s ，Δp 2=10 kg ·m/s
2．小车AB 静置于光滑的水平面上，A 端固定一个轻质弹簧，B
端粘有橡皮泥，AB 车质量为M ，长为L ，质量为m 的木块C 放在小
车上，用细绳连结于小车的A 端并使弹簧压缩，开始时AB 与C 都处
于静止状态，如图所示，当突然烧断细绳，弹簧被释放，使物体C
离开弹簧向B 端冲去，并跟B 端橡皮泥粘在一起，以下说法中正确的是
A ．如果A
B 车内表面光滑，整个系统任何时刻机械能都守恒
B ．整个系统任何时刻动量都守恒
C ．当木块对地运动速度为v 时，小车对地运动速度为
M m v D ．AB 车向左运动最大位移小于M
m L
4．质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，质量为m
的小球用细绳吊在小车上O 点，将小球拉至水平位置A 点静
止开始释放（如图所示），求小球落至最低点时速度多大？
（相对地的速度）
6．如图所示甲、乙两人做抛球游戏，甲站在一辆平板车上，
车与水平地面间摩擦不计.甲与车的总质量M =100 kg ，另有一质
量m =2 kg 的球.乙站在车的对面的地上，身旁有若干质量不等的
球.开始车静止，甲将球以速度v （相对地面）水平抛给乙，乙接
到抛来的球后，马上将另一质量为m ′=2m 的球以相同速率v 水平抛回给甲，甲接住后，再以相同速率v 将此球水平抛给乙，这样往复进行.乙每次抛回给甲的球的质量都等于他接到的球的质量为2倍,求：
（1）甲第二次抛出球后，车的速度大小.
（2）从第一次算起，甲抛出多少个球后，再不能接到乙抛回来的球. (（1）10
1v ,向左 （2）5个)
练习3
1．在光滑水平面上，两球沿球心连线以相等速率相向而行，并发生
碰撞，下列现象可能的是（ ）
A ．若两球质量相同，碰后以某一相等速率互相分开
B ．若两球质量相同，碰后以某一相等速率同向而行
C ．若两球质量不同，碰后以某一相等速率互相分开
D ．若两球质量不同，碰后以某一相等速率同向而行
2．如图所示，用细线挂一质量为M 的木块，有一质量为m 的子弹自左向右水平射穿此木块，穿透前后子弹的速度分别为
和v （设子弹穿过木块的时间和空气阻力不计），木块的速度大小为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．载人气球原静止于高h 的空中，气球质量为M ，人的质量为m 。

若人要沿绳梯着地，则绳梯长至少是（ ）
A ．（m+M ）h/M
B ．mh/M
C ．Mh/m
D ．h
4．质量为2kg 的小车以2m/s 的速度沿光滑的水平面向右运动，若将质量为2kg 的砂袋以3m/s 的速度迎面扔上小车，则砂袋与小车一起运动的速度的大小和方向是（ ）
A ．2.6m/s ，向右
B ．2.6m/s ，向左
C ．0.5m/s ，向左
D ．0.8m/s ，向右
5．车厢停在光滑的水平轨道上，车厢后面的人对前壁发射一颗子弹。

设子弹质量为m ，出口速度v ，车厢和人的质量为M ，则子弹陷入前车壁后，车厢的速度为（ ）
A ．mv/M ，向前
B ．mv/M ，向后
C ．mv/（m+M ），向前
D ．0
6．向空中发射一物体，不计空气阻力。

当此物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸裂成a 、b 两块，若质量较大的a 块的速度方向仍沿原来的方向，则（ ）
A ．b 的速度方向一定与原速度方向相反
B ．从炸裂到落地的这段时间里，a 飞行的水平距离一定比b 的大
C ．a 、b 一定同时到达水平地面
D ．在炸裂过程中，a 、b 受到的爆炸力的冲量大小一定相等
7．两质量均为M 的冰船A 、B 静止在光滑冰面上，轴线在一条直线上，船头相对，质量为m 的小球从A 船跳入B 船，又立刻跳回，A 、B 两船最后的速度之比是_________________。

参考答案1．A 、D 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 、D 7． 0v M mv mv /)(0+M mv mv /)(0-)/()(0m M mv mv ++)/()(0m M mv mv +-m M M
+。