人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2课时作业 1.3.2 利用导数研究函数的极值

一、选择题
1．(2012·陕西高考)设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )
A ．x ＝12为f (x )的极大值点
B ．x ＝12为f (x )的极小值点
C ．x ＝2为f (x )的极大值点
D ．x ＝2为f (x )的极小值点
【解析】 f ′(x )＝1x －2x 2，令f ′(x )＝0，即1x －2x 2＝0得x ＝2， 当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.
因此x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.
【答案】 D
2．(2013·威海高二检测)函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )
A ．0<b <1
B ．b <0
C ．b >0
D ．b <12
【解析】 f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)<0，f ′(1)>0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－3b <0，3－3b >0，
∴0<b <1，故选A. 【答案】 A 3．已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在上有最大值3，那么此函数在上的最小值为( )
A ．－37
B ．－29
C ．－5
D ．－11
【解析】 由f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)＝0，解得x ＝0或x ＝2，又f (0)＝m ，f (2)＝m －8，f (－2)＝m －40，所以f (x )max ＝m ＝3，f (x )min ＝m －40＝3－40＝－37.
【答案】 A
4．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )
A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点
B ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均无零点
C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点
D ．在区间(1e ，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
【解析】 由题意，得f ′(x )＝13－1x ＝x －33x .令f ′(x )>0，得x >3；令f ′(x )<0，
得0<x <3；令f ′(x )＝0，得x ＝3，故函数f (x )在区间(0,3)上为减函数，在区间(3，
＋∞)为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0；又f (1)＝13，f (e)＝e 3－1<0，f (1e )
＝13e ＋1>0，故选D.
【答案】 D
5．(2013·长沙高二检测)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )
A ．1
B.12
C.52
D.22
【解析】 由题意，设|MN |＝F (t )＝t 2－ln t (t >0)，
令F ′(t )＝2t －1t ＝0，得t ＝22或t ＝－22(舍去)．
F(t)在(0，
2
2)上单调递减，在(
2
2
，＋∞)上单调递增，
故t＝2
2
时，F(t)＝t2－ln t(t>0)有极小值，也为最小值，即|MN|达到最小值，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．(2013·佛山高二检测)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【解析】由题意得f′(x)＝3x2－6x＝3x·(x－2)．
当x<0时，f′(x)>0；当0<x<2时，f′(x)<0；
当x>2时，f′(x)>0.故当x＝2时取得极小值．
【答案】 2
7．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图1－3－8所示，给出下列判断：
图1－3－8
(1)函数y＝f(x)在区间(－3，－1
2)内单调递增；
(2)函数y＝f(x)在区间(－1
2，3)内单调递减；
(3)函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；
(4)当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；
(5)当x＝－1
2时，函数y＝f(x)有极大值．
则上述判断中正确的是________．
【解析】由导函数的图象知：
当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2,2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(4，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
在x＝－2时，f(x)取极小值；
在x＝2时，f(x)取极大值；
在x＝4时，f(x)取极小值．
所以只有(3)正确．
【答案】(3)
8．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈(0,1，
所以f(x)≥0可化为a≥3
x2－1 x3.
设g(x)＝3
x2－1
x3
，则g′(x)＝
3(1－2x)
x4.
令g′(x)＝0，得x＝1
2.
当0<x<1
2
时，g′(x)>0；
当1
2<x≤1时，g′(x)<0.
所以g(x)在(0,1－2,2－2,2hslx3y3h恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2 010，解得a≥2 015.
11．(2013·重庆高考)设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中x∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．
(1)确定a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值．
【解】(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，
故f′(x)＝2a(x－5)＋6
x.
令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切
线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．
由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝1
2.
(2)由(1)知，f(x)＝1
2(x－5)
2＋6ln x(x>0)，
f′(x)＝x－5＋6
x
＝
(x－2)(x－3)
x.
令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.
当0<x<2或x>3时，f′(x)>0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2<x<3时，f′(x)<0，故f(x)在(2,3)上为减函数．
由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝9
2
＋6ln 2，
在x＝3处取得极小值f(3)＝2＋6ln 3.。