随即过程第一章习题
随机过程作业题及参考答案(第一章)
第一章 随机过程基本概念P391. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。
试求()X t 的一维概率分布。
解：1 当0cos 0t ω=，02t k πωπ=+，即0112t k πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02t k πωπ≠+，即0112t k πω⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭（k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===⎡⎤⎣⎦.()[]()22000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===⎡⎤⎣⎦.()()20~0cos X t N t ω∴，.则()2202cos x tf x t ω-=；.2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为()cos 2t X t t π⎧=⎨⎩，出现正面，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为12。
试确定()X t 的一维分布函数12F x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；和()1F x ；，以及二维分布函数12112F x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；，。
001110122211<⎧⎪⎧⎫⎪⎛⎫⎛⎫∴=≤=≤<⎨⎬⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭⎪≥⎪⎩，；，，x F x P Xx x x()(){}0111112212<-⎧⎪⎪∴=≤=-≤<⎨⎪≥⎪⎩，；，，x F x P X x x x随机矢量()112⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，X X 的可能取值为()01-，，()12，. 而()1101122⎧⎫⎛⎫==-=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，P X X ，()1111222⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，P X X . ()1212111122⎧⎫⎛⎫⎛⎫∴=≤≤⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩⎭，；，，F x x P X x X x1212121200110110122112<<-⎧⎪⎪=≤<≥-≥-≤<⎨⎪≥≥⎪⎩，或，且或且，且x x x x x x x x3. 设随机过程(){}X t t -∞<<+∞，总共有三条样本曲线()11X t ω=，，()2sin X t t ω=，，()3cos X t t ω=，且()()()12313P P P ωωω===。
随机过程作业和答案第一二章
随机过程作业第一章 P9例题6：随机过程X(t)=A+Bt, t ≥0, 其中A 和B 是独立随机变量，分布服从正态分布N(0, 1)。
求X(t)的一维和二维分布。
解 先求一维分布。
当t 固定，X(t)是随机变量，因为 EX(t)=EA+tEB=0, DX(t)=DA+2t DB=1+2t故X(t)具有正态分布N(0, 1+2t )。
这亦是随机过程X(t)的一维分布。
再求二维分布。
当1t , 2t 固定， X(1t )=A+B 1t , X(2t )=A+B 2t因A 、B 独立同正态分布，故(A, B)T 亦为二维正态分布。
则其线性变换也服从正态分布。
且所以二维分布是数学期望为(0, 0)T,协方差矩阵 的二维正态分布。
P10例题7：随机过程X(t)=Acost, -∞<t<∞,其中A 是随机变量,且有分布列 A 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 求 (1) 一维分布函数(2) 二维分布函数解 (1) 先求所以222211211)DX(t ,1)DX(t , 0)EX(t ,0)(t t t EX +=+===212121211))(())()X(t ())X(t ),(cov(t t Bt A Bt A E t X E t X +=++==⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++222121211111t t t t t t )3π,0x x F )2πF(x;x F ;,( ),4;(21π( ;) 4F x π。
X()cos ,442A A ππ==显然，三值，，易知它仅取2232 22{()42P X π=={cos 42P A π==1P{A 1},3==31}223)4({ ,31 }2)4({====ππX P X P 同理，⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<= 2 23 x 1,2 23x 2 ,32 2 x 22 ,3122 x 0 )4; ( ，πx F进而有P18例题1：具有随机初相位的简谐波 其中a 与 是正常数，而 服从在区间[0，2 ]上的均匀分布， 求X(t)的数学期望方差和相关函数。
西安交通大学汪荣鑫随机过程第二版课后答案
随机过程习题解答第一章习题解答1．设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,kP X k pqk ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtk k X k f t E ee pq ∞===∑ =()1jt k jtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑（其中 0(1)nnnn n n nx n x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)nn S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰同理 2(1)2kkkk k k k k kx k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令2()(1)kk S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk kk k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为（2） 其期望和方差；（3）证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则 （2）'1()(0)Xp E X fjb∴==（4）若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则同理可得：()()i i P X b f t b jt∑=∑-3、设ln (),()(kZ F X E Zk =并求是常数）。
X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
（1）(),(0,)Y aF X b a b =+≠是常数； （2）ln (),()(kZ F X E Z k =并求是常数）。
解（1）11{()}{()}[()]P F x y P x F y F F y y --<=<==（01y ≤≤） ∴00()0111y F y yy y <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩∴()F x 在区间[0，1]上服从均匀分布()F x ∴的特征函数为11001()(1)jtx jtx jt X e f t e dx e jt jt ===-⎰ （2）ln ()()()[]jtz jt F x Z f t E e E e ===1ln 01jt ye dy ⋅⎰=111jty dy jt =+⎰4、设12n X X X ，，相互独立，且有相同的几何分布，试求1nkk X =∑的分布。
湖南大学《随机过程》课程习题集
湖南大学本科课程《随机过程》习题集主讲教师：何松华 教授第一章：概述及概率论复习1.1 设一批产品共50个，其中45个合格，5个为次品，从这一批产品中任意抽取3个，求其中有次品的概率。
1.2 设一批零件共100个，次品率为10%，每次从其中任取一个零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。
1.3 设一袋中有N 个球，其中有M 个红球，甲、乙两人先后各从袋中取出一个球，求乙取得红球的概率(甲取出的球不放回)。
1.4 设一批产品有N 个，其中有M 个次品，每次从其中任取一个来检查，取出后再放回，求连续n 次取得合格品的概率。
1.5设随机变量X 的概率分布函数为连续的，且0()00xA Be x F x x λ-⎧+≥=⎨<⎩其中λ≥0为常数，求常数A 、B 的值。
1.6设随机变量X 的分布函数为 ()() (-<<)F x A Barctg x x =+∞∞(1) 求系数A 、B ；(2)求随机变量落在(-1,1)内的概率；(3)求其概率密度函数。
1.7已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度分布函数为6(2)0,1(,)0XY xy x y x y f x y elsewhere --≤≤⎧=⎨⎩(1)求条件概率密度函数|(|)X Y f x y 、|(|)Y X f y x ；(2)问X 、Y 是否相互独立？1.8已知随机变量X 的概率密度分布函数为22()()]2X X X x m f x σ-=- 随机变量Y 与X 的关系为 Y=cX+b ，其中c ，b 为常数。
求Y 的概率密度分布函数。
1.9设X 、Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分布函数分别为101()0X x f x elsewhere ≤≤⎧=⎨⎩，0()0y Y e y f y elsewhere -⎧<=⎨⎩求随机变量Z=X+Y 的概率密度分布函数。
1.10设随机变量Y 与X 的关系为对数关系，Y=ln(X)，随机变量Y 服从均值为m Y 、标准差为σY 的正态分布，求X 的概率密度分布。
钱敏平龚光鲁随机过程答案（部分）
钱敏平龚光鲁随机过程答案（部分）随机过程课后习题答案第⼀章第⼆题：已知⼀列⼀维分布{();1}n F x n ≥，试构造⼀个概率空间及其上的⼀个相互独⽴的随机变量序列{(,);1}n n ξ?≥使得(,)n ξ?的分布函数为()n F x 。
解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某⼀随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。
所以可以假设有相互独⽴的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ，如果令1(,)()n n n F ξθ-?=，则有(,)n ξ?为服从分布()n F x 的随机变量。
⼜由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ?≥之间相互独⽴，则其中任意有限个随机变量12(,), (,),...,(,)n i i i ξξξ的联合分布为：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ?≤?≤?≤=再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯⼀的概率测度P 使得：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ?≤?≤?≤=则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。
第⼋题：令{};1n X n ≥是⼀列相互独⽴且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。
⼜令1n n S X X =++22(1)n S n n ξ+=1(,,)n n F X X σ=试证明：,;1n n F n ξ≥（）是下鞅（参见23题）。
随机过程第一、二章测验题答案(2010)
随机过程测试题一答案每题10分1. 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成的。
其一是紧固三只螺栓，其二是焊接两处焊点。
以X 表示由机器人紧固的螺栓不良的数目，以Y 表示由机器人焊接的焊点不良的数目。
据积累资料知),(Y X 具有分布律： Y X 0 1 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 20.0100.0050.0040.001(1)求EX ;(2)求]|[j Y X E =，2,1,0=j ;(3)验证 ∑====2}{]|[j j Y P j Y X E EX .解: (1) X 的分布律为 X 0 1 2 3 P0.9100.0450.0320.013148.0=EX .(2) Y 的分布律为 Y 0 1 2 P0.9000.0800.0200=Y 时，X 的条件分布律为X|0=Y 0 123P0.840/0.90.030/0.90.020/0.90.010/0.991]0|[==Y X E ;1=Y 时，X 的条件分布律为X|1=Y 0 123P0.060/0.080.010/0.080.008/0.080.002/0.084.0]1|[==Y X E ;2=Y 时，X 的条件分布律为X|2=Y0 1 2 3P 0.010/0.02 0.005/0.02 0.004/0.02 0.001/0.028.0]2|[==Y X E .(3) EX j Y P j Y X E j ==⨯+⨯+⨯===∑=148.002.08.008.04.09.091}{]|[2.2．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=-.,00,),(其他，y x e y x f y(1)求EX;(2)对任意0>y ,求]|[y Y X E =;(3)验证⎰+∞==0)(]|[dy y f y Y X E EX Y .解: (1)当0>x 时, X 的概率密度为x xy xX e dy e dy y x f x f -+∞-+∞===⎰⎰),()(.1)(0===⎰⎰+∞-+∞dx xe dx x xf EX x X .(2) 对任意0>y , Y 的概率密度为y yy yY ye dx e dx y x f y f --===⎰⎰0),()(.⎪⎩⎪⎨⎧<<==.,0,0,1)(),()|(|其他y x y y f y x f y x f Y Y X21)|(]|[0|ydx y xdx y x f x y Y X E yY X ====⎰⎰+∞ (3)EX dy ye y dy y f y Y X E y Y ==Γ=⋅==⎰⎰+∞-+∞1)3(212)(]|[03．写出六种常见分布（退化、二项、泊松、均匀、指数、正态）的特征函数．分布 记号 概率密度或分布律)x (f特征函数)t (ψ退化 {c} 1}{==c X Pict e0-1 b(1,p) .1,0,}{1===-x q p x X P x x q pe it +二项b(n,p) 独立同分布于b(1,p)的n 个r.v.的和..,,1,0,}{1n x q p C x X P x x x n ===-n it q pe )(+泊松 )(P λ.,2,1,0,!}{ ===-x e x x X P xλλ)1(-it e eλ均匀U(a,b))(1)(),(x I ab x f b a -=t a b i e e iatibt )(--标准正态 N(0,1)2221)(x e x f -=π22t e-正态),(N 2σμ222)(21)(σμσπ--=x e x f2)(2t t i eσμ-指数 )(E λ)()(),0(x I e x f x +∞-=λλit-λλ4．关于独立随机变量序列}{n X ，下列哪些命题是正确的． (1)若 ,2,1,||=+∞<k X E k ，则∏∏===nk k nk k EX X E 11；(2) 若 ,2,1,2=+∞<k EX k ，则∑∑===nk k n k n VarX X Var 11)(；(3) 设)(t f k 为k X 的特征函数，)(t f n S 为∑==nk k n X S 1的特征函数，则∏==nk k S t f t f n 1)()(．(4) 设)(t k φ为k X 的矩母函数，)(t n S φ为∑==nk k n X S 1的矩母函数，则∑==nk k S t t n1)()(φφ．解：（4）错，应为 ∏==nk k S t t 1)()(φφ．5．设ηξ,是相互独立，且都为均值0，方差1的随机变量，令t t X ηξ+=)(，求随机过程}0),({≥t t X 的均值函数和相关函数. 解：;0)()()]([)(=+==ηξμtE E t X E t X;1)()()()]([)(222t D t D t D t X D t x +=+=+==ηξηξσ.1)()()()()()]()([),(22ts E E s t tsE E s X t X E s t R x +=+++==ηξηξ6．X (t )=Y cos(t )+Z sin(t ), t >0，Y , Z 相互独立，且 EY =EZ =0，DY =DZ =σ2. 讨论随机过程{X (t ), t >0}的平稳性.解： 0sin cos )]([)(=+==tEZ tEY t X E t X μ；)]()([),(s X t X E s t R X =).cos(sin sin cos cos )()cos sin sin (cos sin sin cos cos 22222s t EZ s t EY s t YZ E s t s t EZ s t EY s t -=⋅+⋅=++⋅+⋅=σ因)(t X μ为常数，),(s t R X 仅与s t -=τ有关，故)}({t X 是宽平稳过程.7．在电报信号)(t X 的传输过程中，信号由不同的电流符号A A -,给出，而电流的发送又有一个任意的持续时间，电流符号的转换是随机的. 设)(t X 在],0(t 时间内的变号次数)(t N 是参数为λ的泊松过程，且可以表示为)()1)(0()(t N X t X -=，又设)0(X 与}0),({≥t t N 独立，且5.0})0({})0({=-===A X P A X P ，求}0),({≥t t X 的均值函数.解：=)]([t X E 0.8．考虑电子管中的电子发射问题，设单位时间内到达阳极的电子数目N 服从参数为λ的泊松分布. 每个电子携带的能量构成一个随机变量序列 ,,21X X 已知}{k X 与N 独立，}{k X 之间互不相关并且具有相同的均值和方差2,σμ==k k DX EX . 单位时间内阳极接收到的能量为∑==Nk kXS 1. 求S 的均值.解：∑∑+∞=====1}{]|[n Nk kn N P n N XE ES∑∑+∞====01}{][n nk k n N P X E ∑+∞===01}{n n N P nEX∑+∞===01}{n n N nP EX λμ=⋅=1EX EN .9．随机过程}0),({≥t t W 称为参数为2σ的维纳过程, 如果 (1) 0)0(=W ；(2),0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ；(3) ,0v u t s <<<≤∀ 增量)()(s W t W -与)()(u W v W -相互独立．(1)求}0),({≥t t W 的均值函数)]([t W E 和相关函数)]()([s W t W E . (2)}0),({≥t t W 是否为宽平稳过程？证明：(1),0≥∀t ),0(~)(2t N t W σ, 故0)]([)(==t W E t W μ；又,0t s <≤∀))(,0(~)()(2s t N s W t W --σ, 且增量)()(s W t W -与)(s W 相互独立，故)]()([)]())()([()]()([),(s W s W E s W s W t W E s W t W E s t R W +-==s s W D s W E s W t W E 2)]([)]([)]()([σ=+-=从而),min(),(2s t s t R W σ=.(2)由于),(s t R W 与出发时刻),min(s t 有关，因而}0),({≥t t W 不是宽平稳过程.10． 下面四个随机过程中哪些不是宽平稳过程(A) 随机相位正弦波过程：}0),cos()({≥Φ+=t t t X λ，其中),(~ππ-ΦU ，λ是常数. (B) 白噪声序列: },1,0,{ =n X n 是一列两两互不相关（即m n X EX m n ≠=,0）的随机变量序列，且满足2,0σ==n n DX EX . (C) 移动平均序列：},2,1,0,{11 ±±==∑=-+n a X ki in i n ε，其中},2,1,0,{ ±±=n n ε为白噪声序列，k a a a ,,,21 为任意实数.(D) 强度为λ的泊松过程}0),({≥t t N ，其中)(t N 表示到时刻t 为止事件A 发生的次数. 解: D .。
随机过程-习题-第1章
随机过程-习题-第1章(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除某公共汽车站停放着两辆公共汽车A 和B ，从1=t 秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。
如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表j t =时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则1=j ξ，乘客登上B 车则0=j ξ，即{}211==j P ξ,{}210==j P ξ，当n t =时在A 车上的乘客数为∑==nj j n 1ξηn η是一个二项式分布的计算过程。
（1） 求n η的概率分布，即{}；n k k P n ,,2,1,0? ===η（2） 当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如21=t 时921=η，且22=t 时又有一个乘客登上A 车，则22=t 时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。
(1) 解：n t =时在A 车上的乘客数n η服从二项分布，即{}{}(){}()),,2,1,0(2101n k C P P C k P nk n kn j kj knn =⎪⎭⎫ ⎝⎛=====-ξξη(2) 解： A 车的出发时间t 服从负二项分布。
设在n 时刻第10位乘客登上A 车，即A 车出发时间n t =，那么在前1-n 个时刻登上A 车的乘客数为9，登上B 车的乘客数为10-n ；若设乘客登A 车概率为p (=1/2)，登B 车概率为q (=1/2)，则随机变量n t =的概率为{}()nn n n C p qp C n t P ⎪⎭⎫ ⎝⎛===---219110991其中， ,12,11,10=n 。
设有一采用脉冲调制以传递信息的简单通信系统。
脉冲的重复周期为T ，每个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机统计变量；脉冲的幅度为常数A 。
《随机过程》课后习题解答
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2
i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)
x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )
f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt
3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n
随机过程习题解答第1,2章
习题11. 令X(t)为二阶矩存在的随机过程，试证它是宽平稳的当且仅当EX(s)与E[X(s)X(s+t)]都不依赖s.证明：充分性：若X(t)为宽平稳的，则由定义知EX(t)=μ， EX(s)X(s+t)=r(t) 均与s 无关必要性：若EX(s)与EX(s)X(s+t)都与s 无关，说明EX(t)=常数， EX(s)X(s+t)为t 的函数2. 记1U ，．．．，n U 为在（０,１）中均匀分布的独立随机变量，对0 < t , x < 1定义I( t , x)=⎩⎨⎧>≤，，，，t x t x 01并记X(t)=),(11∑=nk k U t I n ，10≤≤t ，这是1U ，．．．，n U 的经验分布函数。
试求过程X （t ）的均值和协方差函数。
解： EI ()k U t ,= P ()t U k ≤= t ， D()),(k U t I = EI ()kU t ,－()2),(kU t EI= t －2t = t(1－t)j k ≠， cov ()),(),(j k U s I U t I ，=EI(t,k U )I(s,j U )－EI(t, k U )EI(s, j U ) = st －st=0k = j ， cov ()),(),(j k U s I U t I ，= EI(t,k U )I(s,j U )－st = min(t,s)－stEX(t)=),(11∑=n k k U t EI n =∑=nk t n 11= tcov ())(),(s X t X =()()),(),,(cov 1),(),,(cov 1212j k jk n k k k U s I U t I n U s I U t I n ∑∑≠=+=[]∑=nk st t s n12),min(1－=()st t s n－),min(13.令1Z ，2Z 为独立的正态分布随机变量，均值为0，方差为2σ，λ为实数，定义过程()t Sin Z t Cos Z t X λλ21+=.试求()t X 的均值函数和协方差函数，它是宽平稳的吗？Solution: ()221,0~,σN Z Z . 02221==EZ EZ .()()221σ==Z D Z D ，()0,21=Z Z Cov ,()0=t EX ，()()()()()[]s Sin Z s Cos Z t Sin Z t Cos Z E s X t X Cov λλλλ2121,+⋅+=[]s t C o s S i n Z Z s t S i n C o s Z Z s t S i n S i n Z s t C o s C o s Z E λλλλλλλλ12212221+++=()02++=s t S i n S i n s t C o s C o s λλλλσ =()[]λσs t Cos -2(){}t X 为宽平稳过程.4.Poisson 过程()0,≥t t X 满足（i ）()00=X ；(ii)对s t >，()()s X t X -服从均值为()s t -λ的Poisson 分布；（iii ）过程是有独立增量的.试求其均值函数和协方差函数.它是宽平稳的吗？Solution ()()()()t X t X E t EX λ=-=0，()()t t X D λ= ()()()()()s t s X t EX s X t X Cov λλ⋅-=,()()()()()ts s EX s X s X t X E 22λ-+-= ()()()()ts s EX s X D 220λ-++= ()ts s s 22λλλ-+= ()t s s λλλ-+=1 显然()t X 不是宽平稳的.5. ()t X 为第4题中的Poisson 过程，记()()()t X t X t y -+=1，试求过程()t y 的均值函数和协方差函数，并研究其平稳性. Solution ()λλ=⋅=1t Ey , ()()λ=t y DCov(y(t),y(s))=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)=E(x(t+1)-x(t))(x(s+1)-x(s))-λ2(1)若s+1<t, 即s≤t-1，则Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2(2)若t<s+1≤t+1, 即t>s>t-1, 则Cov(y(t),y(s))=E[x(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)][x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)] -λ2=E(x(t+1)-x(s+1))(x(s+1)-x(t))+E(x(t+1)-x(s+1))(x(t)-x(s))+E(x(s+1)-x(t))+E(x(s+1)-x(t))(x(t)-x(s))- λ2=λ(s+1-t)= λ-λ(t-s)- λ2(3) 若t<s<t+1Cov(y(t),y(s))= E [x(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)] [x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)]- λ2 =(x(t+1)-x(s))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(t+1)-x(s))(x(t+1)-x(s))+E(x(s)-x(t))(x(s+1)-x(t+1))+E(x(s)-x(t))(x(t+1)-x(s))- λ2=0+λ(t+1-s)+0-λ2=λ+λ(t-s)- λ2(4) 若s>t+1 Cov(y(t),y(s))=0-λ2=-λ2由此知，故方差只与t-s有关，与t,s无关故此过程为宽平稳的。
随机过程第一章习题答案
随机过程 第一章 习题答案
1.方法一： F (t ; x) P{ X (t ) x} P{ X sin t x} 当t k 时，P{ X (t ) 0} 1,其中k为整数，
k 当t 时，
x x sin t （i）若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } ( x) dx sin t x 1 1 1 1 x 2 f (t ; x) ( ) exp{ ( )} sin t sin t sin t 2 2 sin t x x x sin t (ii )若 sin t 0, F (t ; x) P{ X } 1 P{ X } 1 ( x)dx sin t sin t 1 1 1 x 2 f (t ; x) Fx' (t ; x) exp{ ( )} sin t 2 2 sin t 1 1 x 2 f (t ; x) exp{ ( ) }, k 为整数。 2 sin t 2 sin t
时，k为整数，有 X
一维分布密度为：f (t ; x) 当t= k
时，k为整数，有P{ X (t ) 0} 1
1 1 Xt x}=P{e } e Xt x 1 1 1 =P{Xt ln }=P{Xt ln x}=P{X ln x}=1-P{X ln x} x t t 1 11 1 1 f (t ; x) Fx' (t ; x) f ( ln x)( ) f ( ln x) t t x tx t 2.F(t;x)=P{X(t) x}=P{e Xt x}=P{
方法二： X N(0,1) EX=0,EX 2 =DX=1 EX(t)=E(Xsin t)=sin tEX 0 k N(0 , sin 2 t) 1 1 x 2 exp{ ( ) }, x 2 sin t 2 sin t DX (t ) D(Xsin t) (sin t) 2 DX sin 2 t 当t
概率论与随机过程第1章习题
《概率论与随机过程》第1章习题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《概率论与随机过程》第一章习题1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
（10）测量一汽车通过给定点的速度。
（11）将一尺之棰折成三段，观察各段的长度。
2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。
（1） A 发生，B 与C 不发生。
（2） A 与B 都发生，而C 不发生。
（3） A ，B ，C 都发生。
（4） A ，B ，C 中至少有一个发生。
（5） A ，B ，C 都不发生。
（6） A ，B ，C 中至多于一个发生。
（7） A ，B ，C 中至多于二个发生。
（8） A ，B ，C 中至少有二个发生。
3. 设{}10,2,1, =S ,{}4,3,2=A ，{}5,4,3=B ，{}7,6,5=C ，具体写出下列各等式 （1）B A 。
（2）B A ⋃。
（3）B A 。
浙江大学《概率论、数理统计与随机过程》课后习题答案第一章
1解：该试验的结果有9个：（0，a ），（0，b ），（0，c ），（1，a ），（1，b ），（1，c ），（2，a ），（2，b ），（2，c ）。
所以，（1）试验的样本空间共有9个样本点。
（2）事件A 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。
即A 所包含的样本点为（0，a ），（1，a ），（2，a ）。
（3）事件B 包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。
即B 所包含的样本点为（0，a ），（0，b ），（0，c ）。
2、解 （4）（1）ABBC AC 或ABC ABC ABC ABC ； （5）（2）ABBC AC （6）（提示：题目等价于A ，B ，C 至少有2个发生，与（1）相似）； （7）（3）ABC ABC ABC ；（8）（4）AB C 或ABC ；（9）（提示：A ，B ，C 至少有一个发生，或者A B C ，，不同时发生）；3（1）错。
依题得,但，故A 、B 可能相容。
（2）错。
举反例 （3）错。
举反例 （4）对。
证明：由,知,即A 和B 交非空，故A 和B 一()()()()0=-+=B A p B p A p AB p 空集≠B A ()6.0=A p ()7.0=B p ()()()()()3.03.1>-=-+=B A p B A p B p A p AB p定相容。
4、解（1）因为A B ，不相容，所以A B ，至少有一发生的概率为：()()()=0.3+0.6=0.9P A B P A P B =+(2) A B ， 都不发生的概率为：()1()10.90.1P A B P A B =-=-= ；（3）A 不发生同时B 发生可表示为：AB ，又因为A B ，不相容，于是()()0.6P A B P B == ；5解：由题知,. 因得，故A,B,C 都不发生的概率为.6、解 设A ={“两次均为红球”}，B ={“恰有1个红球”}，C ={“第二次是红球”} 若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：810，抽不到红球的概率是：210，则 （1）88()0.641010P A =⨯=； ()3.0=BC AC AB p ()05.0=ABC P ()()()()()ABC p BC p AC p AB p BC AC AB p 2-++= ()()()()4.023.0=+=++ABC p BC p AC p AB p ()()C B A p C B A p -=1()()()()()()()()[]ABC p BC p AC p AB p C p B p A p +++-++-=1()05.04.02.11+--=15.0=（2）88()210.321010P B =⨯⨯-=（）； （3）由于每次抽样的样本空间一样，所以：8()0.810P C == 若是不放回抽样，则（1）2821028()45C P A C ==；（2）118221016()45C C P B C ==； （3）111187282104()5A A A A P C A +==。
《随机过程》第一章习题
第一章 随机过程及其分类1、 设随机向量),(Y X 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布)1,0(N 。
（a ） 分别写出随机变量Y X +和Y X -的分布密度（b ） 试问：Y X +与Y X -是否独立？说明理由。
2、 设1X 、2X 、3X 为独立同分布的随机变量，且服从标准正态分布。
令：233211X X X X Y ++=（a ） 试求随机变量Y 的分布密度函数；（b ） 试问有限个独立正态分布随机变量经过非线性变换是否可以服从正态分布？3、 设),0(~2σN X ，对于0>∀b ，试证明正态分布尾概率估计不等式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⋅≤≥≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-222232ex p 21}{2ex p 21σσπσσσπb b b X P b b b 4、 设随机向量()()∑=,~,21μτN X X X ，其中：()()ττμμμ2,1,21==，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑15/45/41，令随机向量()X Y Y Y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==3223,21τ。
（a ） 试求随机向量Y 的协方差矩阵、{}12Y Y E 及{}21Y Y E +； （b ） 试问{}122X X E X -与1X 是否独立？证明你的结论。
5、 设}0),({≥t t X 是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，试求方差函数)]()([T t X t X D +-。
6、 考察两个谐波随机信号)(t X 和)(t Y ，其中：)cos()(),cos()(t B t Y t A t X c c ωφω=+=式中A 和c ω为正的常数；φ是[]ππ,-内均匀分布的随机变量，B 是标准正态分布的随机变量。
（a ） 求)(t X 的均值、方差和相关函数；（b ） 若φ与B 独立，求)(t X 与)(t Y 的互相关函数。
随机过程第一章(1)
通信与控制问题的研究，如信号的接收、声音与图
像的再现，运动目标的自动跟踪，导航系统的设计，工业
生产过程中的控制系统的设计等. 服务系统的研究，如电话通信，船舶装卸，机器维
修，病人候诊，存货控制，水库调度，购物排队，红绿灯
转换. 经济学领域关于价格波动，商业循环，最优决策，
P( A | Bi ) P( Bi )
P( A | B ) P( B )
j 1 j j
n
上式称为贝叶斯公式。
全概率公式和贝叶斯公式
★ 全概率公式和贝叶斯公式的应用场合 全概率公式用于在许多情况(B1，B2，…，Bn)下都可能 发生事件A，求发生A的全概率；
贝叶斯公式则用于当A已经发生的情况下，求发生事件A
则称B1，B2，…，Bn为S的一个划分。反之，若B1，B2，…，Bn是S的一个 划分，则作一次试验E，事件B1，B2，…，Bn 中必有一个且仅有一个发生。 设A为E的事件， B1，B2，…，Bn为S的一个划分，则全概率公式为
P( A) P( A | B1 ) P( B1 ) P( A | B2 ) P( B2 ) ... P( A | Bn ) P( Bn ) P( A | Bi ) P( Bi )
4、设A，B为两事件，若 A B ，则有 P( A) P( B) 。
条件概率
★
条件概率的定义
设A，B为试验E的两个事件，在事件A发生的条件下，事件 B发生的概率叫做条件概率，记为 P( B | A) 。
★
概率的乘法定理
两个事件乘积的概率等于其中一个事件的概率乘以另一事件
在此事件发生的条件下的条件概率，即
稳定增长，人口控制及预测等问题的研究.
随机过程及其应用_习题答案(陆大金)
⎛ z2 ⎞ 1 exp ⎜ − ⎟ 2π ⎝ 2⎠
解（4） ： 若 c 小于零，则事件 A 为必然事件，P（A）=1； 若 c 大于等于零， 考察
2ω
π
∫
π /ω
0
ζ 2 (t )dt ，变形为：
2ω
π
∫
π /ω
0
v 2 sin 2 (ωt + φ )dt
= v2 ⎛ v2 ⎞ ⎛ c⎞ P{A}=P{ v > c }=P{ v > c }= ∫ v ⋅ exp ⎜ − ⎟ dv = exp ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ c
0
+∞
=∫ =
+∞
0
V −2 e dv 2π
V2
1 2π
因为 f v (v) ⋅ f φ (φ ) = f vφ (v, φ ) ，所以可知二者统计独立。 解（2） ： 典型样本函数图形，略。 解（3） ： 利用特征函数求解。 在 t 时刻，cos(wt),sin(wt) 值均给定。
⎛ u2 ⎞ 高斯随机变量 ξ 的特征函数为 Φξ (u ) = exp ⎜ − ⎟ ⎝ 2 ⎠
= P{ηn > [t − (n − 1)T ]}
1 dη t − ( n −1)T T T − t + (n − 1)T = T nT − t = T t = n− T t − (n − 1)T = 1− T
=∫
T
P{ξ (t ) = 0} = 1 − P{ξ (t ) = A} =
t − (n − 1)T t = − (n − 1) T T ∴ fξt ( x) = PAδ ( x − A) + P0δ ( x) t⎞ ⎛ ⎛t ⎞ = ⎜ n − ⎟ δ ( x − A) + ⎜ − (n − 1) ⎟ δ ( x) T⎠ ⎝ ⎝T ⎠
概率统计与随机过程习题册解答
解：以A表示事件“白漆10桶，黑漆3桶，红漆2桶”
P( A)
C1100C43C32 C1175
1 4 3 17 8
3 34
a
9பைடு நூலகம்
8
4.已知在10只晶体管中有2只是次品，在其中取两次， 每次任取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。
(1)两只都是正品 解：以A表示事件“两只都是正品
P( A) 8 7 ”28
1
S {v | v 0}
Aa {v | 60 v 80}
1
2.设A、B、C 为三个事件试用A、B、C 表示下列事件
(1)A与B 不发生，而C 发生
ABC
(2)A，B，C 都不发生
ABC
(3)A、B、C 至少有一个发生
A B C
(4)A、B、C中恰有一个发生 ABC ABC ABC
(5)A、B、C 中恰有两个发生 ABC ABC ABC
解：以A表示事件“系统的可靠性 ”
P( A) [1 (1 p)2]2 p2(2 p)2
(2,1)和(4,4)
P( A) 2 1 36 18
a
11
10
练习三
1. (1)已知 P( A) 0.3, P(B) 0.4, P( AB) 0.5,求 P(B | A B)
。解 ：
P(B | A B)
P(B ( A B)) P(A B)
P( AB) P( A) P(B) P( AB)
0.002
0.3223
a
13
12
3.已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25 %是色盲患 者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，则
(1)此人是色盲患者的概率
解：以A表示事件“色盲患者”，以B表示事件“所
《随机过程》第一章题目与答案
第一章一. 填空题1.p（A）=0.5，p（B）=0.7，A与B相互独立，则p（AUB）= ＿2.若已知两点（x1,y 1）,（x2,y2）有x1 < x2, y 1<y2,则概率密度p{ x1<x< x2, y 1< y < y2}=＿＿.3.若p（A）=0.2，p（B）=0.5，p（C）=0.1，且p（A），p（B），p（C）两两相互独立，则p A（C｜B）=＿＿.4.设X,Y是相互独立的随机变量，已知EX=1 ，EY=2，DX=1 ，DY=2 则E(XY)=＿＿＿，E(2X+3Y) =＿＿＿, D(2X+3Y) =＿＿.5.若X1,X2,…,X n是相互独立的随机变量,且g i(t)是X i的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X1+X2+…X n的特征函数g(t)=＿＿.二.证明题1.设P(S)是的母函数，试证:(1)若E(X)存在，则EX=P′(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P′(1)-[ P′(1)]22.试证明连续型随机变量的全概率公式:p(A)=dF Y(y)=f Y(y)dy三.计算题1. 通过抛掷一枚均匀硬币定义一个随机过程{X（t），－∞< t<∞}，其中X（t）=试求随机过程X（t）的一维分布函数F（x；－）.2.设X服从B(n,p),求X的特征函数g(t).3. 设商店在一天的顾客数N服从[900,1100]上的均匀分布，又设每位顾客所花的钱Xi服从N(100,502);求商店的日销售额Z的平均值.4. 已知随机变量X服从[0,a]上的均匀分布,且随机变量Y服从[X,a]上的均匀分布,试求:(1)E(Y｜X=a),0x a (2)E(Y)参考答案一.填空题 1. 0.852. F(x 2，y 2)－F(x 1，y 2)－F(x 2，y 1)＋F(x 1，y 1)3. 0.14. 2, 8, 225. g 1(t) g 2(t)…g n (t) 二.证明题1. 证明:(1)因为p （s ）=s p kk k ∑∞=0，则p ′（s ）=s kp k k k 11-∞=∑，令s↑1，得EX==∑∞=1k k kp p ′(1)。