2019-2020学年广西桂林市第十八中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年广西桂林市第十八中学高一上学期期中数学
试题
一、单选题
1．已知集合{}{}0,1,2,1,2,3A B ==，则A B =I （ ）
A ．{}0,1,2,3
B ．{}1,2
C ．{}1
D ．{}2 【答案】B
【解析】通过A 和B ，然后交集运算即可得到答案.
【详解】
因为{}{}0,1,2,1,2,3A B ==，所以{1,2}A B =I ,故选B.
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算，难度很小.
2．函数y =
） A ．()1,-+∞
B ．(),1-∞-
C ．[)1,-+∞
D ．(],1-∞- 【答案】C
【解析】根据函数y 的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【详解】
解：因为y =
所以10x +≥
解得1x ≥-，即[)1,x ∈-+∞
故选：C
【点睛】
本题考查了求函数定义域的应用问题，属于基础题.
3．已知集合{}260A x x =->，R 为实数集，则A =R ð（ ）
A ．(]3,-∞
B ．(),3-∞
C ．[)3,+∞
D ．()3,+∞
【答案】A
【解析】首先求出集合A ，再根据补集的定义计算可得.
【详解】
解：{}
260A x x =->Q {}3A x x ∴=>
{}(]|3,3A x x ∴=≤=-∞R ð
故选：A
【点睛】
本题考查补集的运算，属于基础题.
4．下列函数既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．3y x =-
B ．2y x =-
C ．1y x =
D ．0.5log y x = 【答案】A
【解析】根据函数的奇偶性及单调性的定义判断即可.
【详解】
解：在A 中，3y x =-是奇函数，在定义域R 上单调递减，故A 正确；
在B 中，2y x =-在其定义域是偶函数，在(,0)-∞上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，故B 错误；
在C 中，1y x
=是奇函数，减区间为(,0)-∞，(0,)+∞，故C 错误． 在D 中，0.5log y x =定义域为(0,)+∞，不具有奇偶性，且在定义域上单调递减，故D 错误；
故选：A ．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属于基础题．
5．函数2x y x =+的零点所在的区间是 （ ）
A ．(2,1)--
B ．(1,0)-
C ．(0,1)
D ．(1,2)
【答案】B
【解析】试题分析：记()2x f x x =+，则27(2)2(2)0,4f --=+-=-<11(1)2(1)0,2
f --=+-=-< 0(0)2010,f =+=>所以零点所在的区间为(1,0).-
【考点】本题主要考查函数的零点存在定理.
点评：对于此类题目，学生主要应该掌握好零点存在定理，做题时只要依次代入端点的值，判断函数值的正负即可，一般出选择题.
6．已知函数()f x x α=的图象经过点()
4,2，则α=（ ） A ．4
B ．2
C ．1
D ．12
【答案】D 【解析】根据幂函数()f x x α
=的图象经过点(4,2)，求得幂函数的解析式即可． 【详解】
Q 幂函数()f x x α=的图象经过点(4,2)，
24α∴=
1
2α∴=，
∴幂函数1
2()f x x x α==，
故选：D ．
【点睛】
本题考查待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．
7．已知函数()()()242log 2x x f x x x <⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()1f f =⎡
⎤⎣⎦（
）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】D
【解析】根据分段函数解析式，首先求出()1f ，再求()1f f ⎡⎤⎣⎦.
【详解】
解：()()
()242log 2x x f x x
x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩Q
()1414f ∴=⨯=
()()2
22214log 4log 22log 22f f f ∴=====⎡⎤⎣⎦
故选：D
【点睛】
本题考查分段函数求函数值，关键是由内到外层层计算，属于基础题.
8．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为8，则h =（
）
A ．23
B ．43
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可构造关于h 的方程，解得答案．
【详解】
解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
其底面是一个长，宽分别为3，4的矩形，
故底面面积3412S =⨯=，
高为h ，
故这个几何体的体积为11283
V h =⨯⨯=， 解得：2h =，
故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，属于基础题． 9．已知0.1a π=，0.1b π=，2log 0.1c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．a c b >>
D ．b c a >>
【答案】A
【解析】利用指数函数和对数函数的性质求解．
【详解】
解：0.101ππ>=Q ，1a ∴>
000.10.11π<<=Q ，01b ∴<<
22log 0.1log 10<=Q ，0c ∴<
故a b c >>
故选：A
【点睛】
本题考查指数函数，对数函数的性质，属于基础题.
10．函数()22x x
f x x
-+=的图象大致为（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据函数的奇偶性及特殊值即可判断.
【详解】
解：()22x x
f x x
-+=Q ，定义域为()(),00,-∞⋃+∞
()()22x x
f x f x x
-+∴-==--，所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故A 错误； 且当0x >时，20x >，20x ->，所以()220x x
f x x
-+=>，故D 错误； ()11225112f -+==Q ，()()44221441464
f f -+==+>，故C 错误，B 正确； 故选：B
【点睛】
本题考查函数图象的识别，函数奇偶性的应用，属于基础题.
11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在()0,+?
上是增函数，()20f =，若()()
220x f x -<，则x 的取值范围为（ ） A ．()2,2-
B ．()()2,11,2--U
C ．()()2,01,2-U
D ．()(),22,-∞-⋃+∞
【答案】C 【解析】根据奇函数在对称区间上的单调性相同便知，()f x 在(),0-∞上是增函数，由()20f = ，则()20f -=，从而可得()0f x >）（()0f x <）时x 的取值范围，再分类讨论解得()()
220x f x -<. 【详解】
解：因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在()0,∞+上是增函数，()20f =， 根据奇函数的性质得，函数在(),0-∞上是增函数且()20f -=，
即当()()2,02,x ∈-+∞U 时()0f x >，
当()()0,2,2x ∈-∞-U 时()0f x <，()()()2200f f f =-==，
要使()()220x f x -<则()2200x f x ⎧-<⎪⎨>⎪⎩或()2200x f x ⎧->⎪⎨<⎪⎩
即1202x x x <⎧⎨-<⎩
或解得20x -<<，或1022x x x >⎧⎨<<<-⎩或解得12x << 综上可得()()2,01,2x ∈-⋃
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，属于中档题.
12．已知函数()2
2f x x x m =-+，若存在2x R ∈，使得对任意1x R ∈，都有()()12f f x f x ≠⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．(),2-∞
B ．()2,+?
C ．(),0-?
D ．()0,+?
【答案】B
【解析】根据二次函数的性质分类讨论即可得解.
【详解】
解：()()22211f x x x m x m =-+=-+-Q 对称轴为1x = ()[)1,f x m ∴∈-+∞
当11m -≤即2m ≤时，对任意的1x R ∈，()[)11,f x m ∈-+∞，则
()[)11,f f x m ∈-+∞⎡⎤⎣⎦，则任意1x R ∈，总存在2x R ∈，使得()()12f f x f x =⎡⎤⎣⎦，不符题意；
当11m ->即2m >时，对任意的1x R ∈，()[)11,f x m ∈-+∞，
11m ->Q 则()f x 在[)1,m -+∞上单调递增，()())11,f f x f m ∴∈-+∞⎡⎤⎡⎣⎦⎣ 则存在()23,1x m m ∈--使得对任意1x R ∈，都有()()12f f x f x ≠⎡⎤⎣⎦，满足条件； 故()2,m ∈+∞
故答案为：B
【点睛】
本题考查二次函数的性质，分类讨论思想，属于难题.
二、填空题
13．已知球O 的半径为1，则球O 的表面积为______.
【答案】4π
【解析】直接代入球的表面积公式，即可得出结论．
【详解】
解：Q 球的半径1r =，
∴球的表面积为244r ππ=，
故答案为：4π．
【点睛】
本题主要考查球的表面积公式，属于基础题．
14．已知函数()3f x
x =，则()8f =______. 【答案】2
【解析】根据函数解析式计算可得.
【详解】
解：()3
f x x =Q ()()3822f f ∴==
故答案为：2
【点睛】
本题考查函数值的计算，属于基础题.
15．已知函数()f x 的定义域为()0,+?，则函数()21f x -+的定义域为______. 【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭ 【解析】根据抽象函数的定义域的计算规则计算可得.
【详解】
解：因为函数()f x 的定义域为()0,∞+
210x ∴-+> 解得12
x < 故函数()21f x -+的定义域为1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ 故答案为：1,
2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【点睛】 本题考查抽象函数的定义域的计算，属于基础题.
16．已知函数()()2,2
x f x x b x c b c R x =
+-+∈-有5个零点，则b c +的取值范围是______.
【答案】()1,04,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
【解析】将函数的零点转化为方程的解，要使函数有5个零点，根据偶函数的性质可得0x =必为其中一个零点，即可求出c 的值，再根据一元二次方程根的分布得到不等式组即可解得.
【详解】
解：函数()()2,2
x f x x b x c b c R x =+-+∈-的零点，即方程202
x x b x c x +-+=-的解 即()()()22220x x x b x x c x +---+-=
3
22
2220x x x b x b x c x c ∴+--++-= ()()3222120x b x b c x c ∴-++++-=
()()()322212h x x b x b c x c =-++++-Q 为偶函数，
要使函数()()2,2
x f x x b x c b c R x =+-+∈-有5个零点 即()()()322212h x x b x b c x c =-++++-有5个零点，
根据偶函数的对称性质，则0x =必为()()()322212h x x b x b c x c =-++++-的一个零点； 即()()3222120x b x b c x c -++++-=有5个解
则0x =必为方程()()3222120x b x b c x c -++++-=的解 令t x = 20x -≠Q ，所以0t ≥且2t ≠
即()()3222120t b t b c t c -++++-=有一个根为0，有两个根大于零且不等于2； 当0t =时，得20c -=解得0c =
()()22210t t b t b ⎡⎤∴-+++=⎣⎦
即()()2
2210t b t b -+++=有两个大于零且不等于2的根； 当2t =时，()()2
2222110b b -+⨯++=≠即2t =不可能是方程的解
()()224210202
210b b b b ⎧⎡⎤-+-+>⎣
⎦⎪⎪+∴>⎨⎪+>⎪⎩解得102b -<<或4b >， 即()1,04,2b ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭
U 所以()1,04,2b c ⎛⎫+∈-+∞ ⎪⎝⎭
U 故答案为：()1,04,2⎛⎫-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
【点睛】 本题考查函数的零点，函数方程思想，一元二次方程根的分布问题，属于难题.
三、解答题
17．化简下列各式
（1
）4
3a ⋅；
（2）()()
232log 3log 12log 3⨯-.
【答案】（1）a （2）2
【解析】（1）将根式化成分数指数幂的形式，再根据指数幂的运算法则计算可得； （2）利用换底公式及对数的运算法则计算可得.
【详解】 解：（1
）43321a a a ⋅=⋅ 32a -=
a =
（2）()()
232log 3log 12log 3⨯- ()2222log 12log 3log 3log 3
=⨯- 22log 12log 3=-
2log 4=
2=
【点睛】
本题考查分数指数幂的运算，对数的运算及性质的应用，属于基础题.
18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.
（1）求证：1BD ∥平面ACE ；
（2）求三棱锥D ACE -的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】（1）连接BD 交AC 于O ，连接EO ，可知//EO 1BD ，从而得证； （2）根据D ACE E ACD V V --=，13E ACD ACD V S ED -=
⋅计算可得. 【详解】
（1）证明：连接BD 交AC 于O ，连接EO ，则EO 是1BDD V 的中位线 ∴//EO 1BD
∵EO ⊂平面ACE ，1BD ⊄平面ACE
∴1//BD 平面ACE
（2）∵D ACE E ACD V V --= ∵13
E ACD ACD V S ED -=⋅ 1132
AD DC ED =⨯⋅⋅ 1122132
=⨯⨯⨯⨯ 23
= ∴三棱锥D ACE -的体积为
23
【点睛】
本题考查线面平行的证明及锥体的体积计算，属于基础题.
19．为节约能源，某市居民生活用电规定：当每户每月用电不超过180度时，按每度0.5元收费；当每户每月用电超过180度时，超过的部分按每度0.8元收费.
（1）设用户每月实际用电x 度，所收电费为y 元，写出y 关于x 的函数解析式； （2）若某用户某月电费为106元，求该用户这个月的实际用电.
【答案】（1）0.5,01800.854,180x x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩
（2）200度 【解析】（1）由题意，利用分段函数写出月用电量x （度)与每月电费y （元)之间的函数关系式；
（2）先确定用电量的大致的范围，再求用电量即可
【详解】
解：（1）∵()0.5,01801800.50.8180,180x x y x x ≤≤⎧=⎨⨯+->⎩
∴0.5,01800.854,180
x x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩ （2）∵0.518090106⨯=<
∴0.854106x -=
∴200x =
答：该用户这个月的实际用电为200度
【点睛】
本题考查了函数在实际问题中的应用，属于中档题．
20．已知函数()2log f x x =.
（1）若()10f x -≤，求x 的取值范围;
（2）设()()44a x
g x f x f ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
，其中1a >，若[]1,4x ∈，求函数()g x 的值域.
【答案】（1）(]1,2（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）首先求出()1f x -的解析式，再根据对数函数的性质计算可得. （2）首先求出()g x 的解析式，()()()222log log 2g x x x a =+⋅-，令2log t x =，[]0,2t ∈，设()()()[]22
11,0,2h t t a a t =---+∈⎡⎤⎣⎦则问题转化为求函数()h t 在[]0,2上的值域，再根据对称轴分类讨论即可.
【详解】
解：（1）()2log f x x =Q ，
()()21log 1f x x ∴-=-
由()10f x -≤
()2log 10x ∴-≤得011x <-≤
∴12x <≤
∴x 的取值范围为(]1,2
（2）()()()22log 4log 44a a x
x g x f x f x ⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ()()222log log 2x x a =+⋅-
令2log t x =，∵[]1,4x ∈，∴[]0,2t ∈
设()()()()2
22214h t t t a t a t a =+⋅-=--- ()()[]22
11,0,2t a a t =---+∈⎡⎤⎣⎦
问题转化为求函数()h t 在[]0,2上的值域
函数()h t 的对称轴为1t a =-，∵1a >，∴10t a =->
①当011a <-≤，即12a <≤时 ()()()2
min 11h t h a a =-=-+，()()max 288h t h a ==- ∴()g x 的值域为()2
1,88a a ⎡⎤-+-⎣⎦
. ②当112a <-<，即23a <<时
()()()2
min 11h t h a a =-=-+，()()max 04h t h a ==-
∴()g x 的值域为()2
1,4a a ⎡⎤-+-⎣⎦
③当12a -≥，即3a ≥时
()h t 在()0,2上是减函数
∴()()()()min max 288,04h t h a h t h a ==-==-
∴()g x 的值域为[]88,4a a --
综上，①当12a <≤时，()g x 的值域为()2
1,88a a ⎡⎤-+-⎣⎦
②当23a <<时，()g x 的值域为()2
1,4a a ⎡⎤-+-⎣⎦
③当3a ≥时，()g x 的值域为[]88,4a a --.
【点睛】
本题考查对数函数的性质，二次函数在给定区间上的值域问题，属于中档题. 21．已知函数()2
4f x x x =-. （1）证明:函数()f x 在()0,+?
上是减函数; （2）若对任意x ∈R ，都有()222421x x m x m <++⎡⎤++⎣⎦，求正实数m 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）()2,+?
【解析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤进行即可；
（2）将问题转化为()()2224111x m x m ⎡⎤-++<-⎣⎦⎡⎤++⎣⎦
即()211f x m ⎡⎤++<-⎣⎦，等价于()()212f x m f ⎡⎤++<⎣⎦
，再根据函数的单调性将问题转化为：对任意x ∈R ，2210x x m ++->恒成立，根据二次函数的性质即可求解.
【详解】
（1）证明：任取210x x >>，
()()1212221244f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()
()22212122
124x x x x x x -=+-
()()()2121212212
4x x x x x x x x -+=+- ()()222121221241x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥=-+⎢⎥⎣⎦
∵120x x <<，∴210x x ->，()212212
210x x x x ++> ∴()()120f x f x ->即()()12f x f x >
∴函数()f x 在()0,∞+上是减函数
（2）由()2224
21x x m x m <++⎡⎤++⎣⎦
得()()2224111x m x m <++-⎡⎤++⎣⎦ 即()()2224111x m x m ⎡⎤-++<-⎣
⎦⎡⎤++⎣⎦
∴()211f x m ⎡⎤++<-⎣⎦
∵()21f =-
∴()()212f x m f ⎡⎤++<⎣⎦
∵()2
10x m ++>，且()f x 在()0,∞+上是减函数 ∴()2
12x m ++>即2210x x m ++->
问题转化为：对任意x ∈R ，2210x x m ++->恒成立
设()221h x x x m =++- ∵()h x 的图象开口向上，要使任意x ∈R ，()0h x >恒成立，则
()4410m ∆=--<
∴2m >
∴m 的取值范围为()2,+∞
【点睛】
本题考查函数的单调性的证明，利用函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式以及二次函数的性质，属于难题.
22．已知函数()()2,21
x f x t t R =+∈-.
（1）若()f x 是奇函数，求t 的值；
（2）设()()142x g x f x =+
，若20t =-，证明：函数()g x 在()0,∞+内至少有2个零点.
【答案】（1）1（2）证明见解析
【解析】（1）首先求出函数的定义域，再根据函数的奇偶性得到()()f x f x -=-得到方程即可解得；
（2）首先求出()g x 的解析式，再根据零点存在性定理，计算出()1g 、()2g 、()2log 1.1g 函数值，即可证明；
【详解】
（1）解：210x -≠，0x ≠，
∴()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，
∴()f x 的定义域关于原点对称
∴()()f x f x -=- ∴
222121
x x t t -+=---- ∴112121x x t -=---- 122121
x
x x =-+-- 1=
（2）证明：()()2,21x f x t t R =+∈-Q ，20t =-，()()142
x g x f x =+ ()12142041022121x x x x g x ⎛⎫∴=+-=+- ⎪--⎝⎭
∵()114105021
g =+-=-<- ()22124106021
g =+->>- ()22log 1.122log 1.11log 1.1410 1.1021
g =+-=>- ∴()()120g g <，()()21log 1.10g g ⋅<，又()g x 在()0,∞+上连续
∴()g x 在()1,2，()2log 1.1,1各至少有一个零
∴()g x 在()0,∞+内至少有2个零点
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用，函数零点存在性定理的应用，属于中档题.。