考点19 数列通项与求和与通项(解析版)

考点19 数列通项与求和与通项
1. 掌握数列通项的几种常用方法:归纳法、累加法、累积法、转化法等方法来求数列的通项公式 .
2. 掌握数列求和的几种常用方法:公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法,能熟练地应用这些方法来求数列的和
数列的求和是高考重点考查的内容之一，考查的形式往往是体现在综合题型中，作为考查的内容之一。

近几年主要考察了运用错位相减法求数列的和。

数列的通项公式是数列的本质属性之一,它是研究数列的相关性质的一个重要支撑点,因此,学习数列首要的就是要能根据不同的条件求数列的通项公式;数列的前 n 项和既是数列的基本问题之一,同时,也与数列的通项存在着必然的联系,也是学习数列时,必须要掌握的重要知识点 .关于数列的通项公式,学习中要紧紧围绕着求通项的方法进行,求数列的通项,大致可有以下四类:
1. 应用不完全归纳法,即根据数列的前几项来寻找规律,归纳通项或其中某项;
2. 应用 S n 与 a n 的关系,求解通项;
3. 应用“累加法”“累积法”等课本上常见方法求解通项;
4. 构造新数列,即把其他数列转化为等差、等比数列来加以解决,此种方法在很多考题中都有所体现 关于数列的前 n 项和的求解,要紧紧抓住通项,分析其特征,由此来选择适当的求和方法,把问题转化成最基本的数列求和 . 常考的求和方法有:等差数列和等比数列的公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等
1、【2020年北京卷】在等差数列{}n a 中，19a =-，31a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）．
A. 有最大项，有最小项
B. 有最大项，无最小项
C. 无最大项，有最小项
D. 无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差5119
25151
a a d --+=
==--， 则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，
且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，
由()1
17,i
i i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=， 故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T .
故选：B.
2、【2020年全国2卷】数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a +++++
+=-，则k =（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，1
2n n
a a +∴
=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n
n a -=⨯=，
()()()()10110111051012101221222122112
12
k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++=
=
=-=---，
1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.
故选：C.
3、【2020年山东卷】将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 【答案】232n n -
【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)
16322
n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -.
4、【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
14613
a a a ==，，则S 5=___________．
【答案】
121
3
【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =
=，所以32511
(),33
q q =又0q ≠， 所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．
5、【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则
10
5
S S =___________． 【答案】4
【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,
因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，
所以
105S S =1111109
1010024542552
a d a a a d ⨯+
==⨯+． 6、【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．
【答案】63-
【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以
(
)66126312
S --=
=--，故答案是63-.
7、【2018年高考江苏卷】已知集合*
{|21,}A x x n n ==-∈N ，*
{|2,}n
B x x n ==∈N ．将A B 的所有
元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________． 【答案】27
【解析】所有的正奇数和()
2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25前面有16
个正奇数，即56
21382,2a a ==.当n =1时，1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，
2331236S a =<=，不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，
4510<12=60
S a =，不
符合题意；……；当n =26时，
()27
5
2621221(141)441625032121=2
516S a
⨯-⨯+=+
=+=<-，不符合题意；当n =27时，
()85
27221222(143)21484+62=546>12=542
0S a ⨯-⨯+=+=-,符合题意.故使得+1>12n n S a 成立的n 的
最小值为27.
8、【2020年全国1卷】.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；
（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．
【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9
n
n n S -+-=
. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，
212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，
1,2q q ≠∴=-；
（2）设{}
n na 的
前n 项和为n S ，1
11,(2)
n n a a -==-，
21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-+
+-，①
23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+
--+-，②
①-②得，2
131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-+
+---
1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9
n
n n S -+-∴=
. 9、【2020年全国3卷】设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．
【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.
【解析】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，
由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：
当1n =时，13a =成立；
假设n k =时，21k a k =+成立.
那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2n
n
n a n ⋅=+⋅
231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，① 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯+
+-⋅++⋅，②
由①-②得：()2
3
162222(21)2n n n S n +-=+⨯++
+-+⋅
()21121262(21)212
n n n -+-=+⨯
-+⋅⨯-1
(12)2
2n n +=-⋅-，
即1
(21)2
2n n S n +=-⋅+.
10、【2020年天津卷】已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：(
)2
*
21n n n S S S n ++<∈N
；
（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()2
11
32,,,.n n
n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪
⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．
【答案】（Ⅰ）n a n =，1
2
n n b -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949
n n n n +--+⨯.
【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q . 由11a =，()5435a a a =-，可得d =1. 从而{}n a 的通项公式为n a n =. 由()15431,4b b b b ==-，
又q ≠0，可得2
440q q -+=，解得q =2， 从而{}n b 的通项公式为1
2
n n b -=.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)
2
n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4
n n S S n n n n +=
+++，()()222
1
1124n S n n +=++， 从而2
211
(1)(2)02
n n n S S S n n ++-=-
++<， 所以2
21n n n S S S ++<.
(Ⅲ)当n
奇数时，()111
2
32(32)222(2)2n n n n n n
n n a b n c a a n n n n
-+-+--=
==-++，
当n 为偶数时，111
2
n n n n a n c b -+-=
=， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k n
n
n
k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭
∑∑， 和
2231
1
1
21135
2321
444444
n
n
k k
n n k k k n n c -==---==++++
+∑∑
① 由①得2231411135
2321
444444
n k n n k n n c +=--=+++
+
+∑ ② 由①②得2211
121
1312
221121441444
444414
n n k n n n k n n c ++=⎛⎫
-
⎪--⎝⎭=++
+-=
---∑，
由于
11
2111212211211565441443344441234
14
n
n n n n n n n ++⎛⎫
-
⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：
21
565994n
k n
k n c =+=
-⨯∑. 因此，2212111
4654
21949n n
n
n
k k k n
k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为4654
21949
n n
n n +--+⨯. 11、【2020年山东卷】已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．
【答案】（1）2n
n a =；（2）100480S =.
【解析】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208
a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，
解得解得12,2a q ==，或11
32,2
a q ==
(舍)， 所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n
n a =.
（2）由于1234567
22,24,28,216,232,264,2128=======，所以
1b 对应的区间为：(]0,1，则10b =；
23,b b 对应的区间分别为：(](]0,2,0,3，则231b b ==，即有2个1；
4567,,,b b b b 对应的区间分别为：(](](](]0,4,0,5,0,6,0,7，则45672b b b b ====，即有22个2； 8915,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,8,0,9,
,0,15，则89153b b b ==
==，即有32个3；
161731,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,16,0,17,,0,31，则1617314b b b ====，即有42个4； 323363,,,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,32,0,33,,0,63，则3233635b b b ====，即有52个5； 6465100,,
,b b b 对应的区间分别为：(](](]0,64,0,65,
,0,100，则64651006b b b ==
==，即有37个6.
所以2345
1001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.
12、【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，
1434n n n b b a +-=-.
（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =
+-，11
22
n
n b n =-+. 【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111
()2
n n n n a b a b +++=
+．
又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为
1
2
的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，11
2
n n n a b -+=
，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222
n n n n n n a a b a b n =
++-=+-， 111
[()()]222
n n n n n n b a b a b n =+--=-+．
13、【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知
1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,
k k n k
k c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(
){}
221n n a c -的通项公式； （ii ）求
()2*
1
n
i i
i a c n =∈∑N ．
【答案】（1）31n a n =+；32n
n b =⨯（2）（i ）()
221941n n n a c -=⨯-（ii ）
()()2*
21
1*
1
272
5212
n
n n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩
解
得3,2,
d q =⎧⎨
=⎩故14(1)331,6232n n
n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．
所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．
（2）（i ）()()()()
22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-．
所以，数列(){}
221n n a c -的通项公式为()
221941n n n a c -=⨯-． （ii ）
()()22221
1
1
1
211n n n
i
i
n
i i
i
i
i
i
i i i i a c a a c a a c
====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑
()
()
12212439412n n
n n
i i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭
∑
()
(
)2114143252914
n n n n ---=⨯+⨯+⨯
--
()211*
2725212
n n n n --=⨯+⨯--∈N ．
14、【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2
）记,n c n *=
∈N
证明：12+.n c c c n *++<∈N
【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析. 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得
11124,333a d a d a d +=+=+，
解得10,2a d ==．
从而*
22,n a n n =-∈N ．
所以2*n S n n n =-∈N ，，
由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得
()
()()2
12n n n n n n S b S b S b +++=++．
解得()2
121n n n n b S S S d
++=
-． 所以2*
,n b n n n =+∈N ．
（2
）*n c n =
==∈N ．
我们用数学归纳法证明．
（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；
（ii ）假设()
*n k k =∈N 时不等式成立，即12k c c c +++<．
那么，当1n k =+时，
121k k c c c c +++++<<
<==．
即当1n k =+时不等式也成立．
根据（i ）和（ii ），不等式12n c c c ++
+<对任意*n ∈N 成立．
15、【2018年高考全国III 卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =.
【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1
n n a q -=.
由已知得42
4q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.
故1(2)n n a -=-或12n n a -=.
（2）若1
(2)
n n a -=-，则1(2)3
n n S --=.由63m S =得(2)188m
-=-，此方程没有正整数解.
若12n n a -=，则21n
n S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.
综上，6m =.
【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.
16、【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数
列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （1）求q 的值；
（2）求数列{b n }的通项公式．
【答案】（1）2q =；（2）2
1
15(43)()
2
n n b n -=-+⋅.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.
（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.
由35
20a a +=得18()20q q
+=， 因为1q >，所以2q =.
（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .
由11,1,, 2.
n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.
由（1）可知1
2n n a -=，
所以1
11(41)()2
n n n b b n -+-=-⋅，
故2
11(45)()
,22
n n n b b n n ---=-⋅≥，
11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-+
+-+-
23111
(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.
设22
1113711()(45)(),2222
n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，
2211111137()(49)()(45)()22222
n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以221
11111344()4()(45)()22222
n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，
因此2
114(43)(),22
n n T n n -=-+⋅≥，
又11b =，所以2
115(43)()2
n n b n -=-+⋅.
题型一、数列的通项
1、（2020届山东省德州市高三上期末）对于数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中
()*1n n n a a a n +∆=-∈N ，对自然数()2k k ≥，规定{}k n a ∆为数列{}n a 的k 阶差分数列，其中
111k k k n n n a a a --+∆=∆-∆.若11a =，且()
2*
12n n n n a a a n +∆-∆+=-∈N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A ．212n n a n -=⨯
B ．1
2n n a n -=⨯
C ．()2
12n n a n -=+⨯
D ．()1
212
n n a n -=-⨯
【答案】B 【解析】
根据题中定义可得()()2
*
1112
n n
n n n n n n a a a a a a n a +++∆-∆+=∆-∆-∆+=-∈N ，
即()1122n
n n n n n n n a a a a a a a ++-∆=--=-=-，即122n
n n a a +=+，
等式两边同时除以12n +，得
111222n n n n a a ++=+，111222n n n n a a ++∴-=且11
22
a =， 所以，数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以12为首项，以12为公差的等差数列，()1112222n n
a n n ∴=+-=， 因此，1
2n n a n -=⋅.
故选：B.
2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）已知函数()1x
f x e x =--，数列{}n a 的前n 项和为,n S ，且满足
11
2
a =
，1()n n a f a +=，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ） A ．521||43a a a <- B ．78a a ≤ C ．101a >
D ．10026S >
【答案】A 【解析】
由e 1x x ≥+知，1()e 10n a
n n n a f a a +==--≥，故{}n a 为非负数列，又1()n n a f a +=，即
11e n a n n a a +=--，所以11e 2n n n a n a a a +=---，设()e 21x g x x =--，则'()e 2x g x =-，
易知()g x 在[0,ln 2)单调递减，且112ln 2()02g x -
<-≤≤，又11
0ln 22
a <=<，所以， 21102a a ≤<=，从而1012n n a a +-<<-，所以{}n a 为递减数列，且01
2
n a ≤≤，故B 、C 错误；
又11
2
221331
e 1e 2224
a =--=-<=，故当2n >时，有14n a <，所以100S =
123100a a a a ++++111110124444<
++++=，故D 错误；又514a <，而 21231
||4|22
|43a a a -=-≥，故A 正确.
故选：A.
3、（2020届江苏省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟）已知数列*
{}()n a n N ∈是等差数列，n S 是其
前n 项和.若156913,18a a a S +==，则{}n a 的通项公式=n a _______ 【答案】7n -+
【解析】设数列{}n a 公差为d ，由已知得1111
(4)51393618a a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得16
1a d =⎧⎨=-⎩．
∴6(1)7n a n n =--=-． 故答案为：7n -+．
4、（2020届山东师范大学附中高三月考）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，满足424S S =，917a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足
12121
12
n n n b b b a a a +++=-…，求数列{}n b 的通项公式 【答案】(1) 21n a n =-．(2) 21
2n n
n b -= 【解析】
（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．
由已知得119
14684817a d a d a a d +=+⎧⎨=+=⎩，解得11
2a d =⎧⎨=⎩．
于是12(1)21n a n n =+-=-． （2）当1n =时，
1111
122
b a =-=． 当2n ≥时，1111(1)(1)222n n n n
n b a -=---=， 当1n =时上式也成立．
于是1
2n n
n b a =．
故12122
n n n n n b a -=
=． 5、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列{}n a 满足1,a 2,a 31a a -成等差数列，且134a a a =；等差数列{}n b 的前n 项和2(1)log 2
n
n n a S +=.求：
（1）,n a n b ；
（2）数列{}n n a b 的前项和n T .
【答案】（1）2n
n a = ，n b n = （2）1(1)22n n T n +=-⋅+
【解析】
（1）设{}n a 的公比为q. 因为1,a 2,a 31a a -成等差数列， 所以()21312a a a a =+-，即232a a =. 因为20a ≠，所以3
2
2a q a =
=. 因为134a a a =，所以4
13
2a a q a =
==. 因此112n n
n a a q -==.
由题意，2(1)log 2n n n a S +=
(1)2
n n
+=.
所以111b S ==，
1223b b S +==，从而22b =.
所以{}n b 的公差21211d b b =-=-=. 所以1(1)1(1)1n b b n d n n =+-=+-⋅=.
（2）令n n n c a b =，则2n
n c n =⋅.
因此12n n T c c c =++⋅⋅⋅+1231122232(1)22n n
n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅.
又2341
2122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+⋅
两式相减得231
22222n n n T n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅
1222=212
n n n +-⋅-⋅-
11222n n n ++=--⋅
1(1)22n n +=-⋅-.
所以1
(1)22n n T n +=-⋅+.
6、（2020届浙江省温州市高三4月二模）已知等差数列{},n a 和等比数列{}n b 满足：
311249351,*,3,330.n b a b b N a a a b a b ==∈++==-
(I )求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(II )求数列21n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭
的前n 项和n S .
【答案】(I ) 21n a n =-，1
3n n b -=；(II )
()
2221n n n ++ 【解析】
(I ) 311249351,3,330b a b a a a b a b ==++==-，故()
2
24
312331130d q q d q ⎧+=⎪
⎨⎡⎤+-=-⎪⎣
⎦⎩， 解得23
d q =⎧⎨
=⎩，故21n a n =-，1
3n n b -=.
(II )()()()()22221111
212141442121n n n n n a a n n n n n +===+⋅-⋅+--⋅+
1111482121n n ⎛⎫
=+- ⎪-+⎝⎭
，故()21114821221n n n n S n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭. 7、（2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考）已知数列{}n a 满足：
123a a a k ===（常数0k >），112
n n n n k a a a a -+-+=（3n ≥，n *∈N ）.数列{}n b 满足：2
1n n n n a a b a +++=（n *∈N ）.
（1）求1b ，2b 的值； （2）求数列{}n b 的通项公式；
（3）是否存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数？若存在，求出k 的所有可能值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）12b =，221k b k +=；（2）2,21,n n b k n k
⎧⎪
=⎨+⎪⎩
为奇数
为偶数；（3）{}1,2
【解析】（1）由已知得，41a k =+， 所以13
122a a b a +=
=，2423121a a k k k b a k k
++++===. （2）由条件可知：121n n n n a a k a a +--=+（3n ≥），① 所以211n n n n a a k a a +-+=+（2n ≥）.② ①-②得122111n n n n n n n n a a a a a a a a +-+--+-=-. 即：121121n n n n n n n n a a a a a a a a +-+-+-+=+.
因此：
2211
n n n n
n n a a a a a a +-+-++=，
故2n n b b -=（3n ≥），又因为12b =，221
k b k
+=
， 所以2,21
,n n b k n k ⎧⎪
=⎨+⎪⎩
为奇数为偶数. （3）假设存在k ，使得数列{}n a 的每一项均为整数，则k 为正整数.
由（2）知2122122212221
n n n n n n a a a k a a a k +-++=-⎧⎪
+⎨=-⎪⎩
（1n =，2，3…）③ 由1a k Z =∈，642
k Z k
a =++∈，所以1k =或2， 检验：当1k =时，
21
3k k
+=为整数， 利用1a ，2a ，3a Z ∈结合③，{}n a 各项均为整数；
当2k =时③变成212212221225
2n n n n n n a a a a a a +-++=-⎧⎪
⎨=-⎪⎩
（1n =，2，3…） 消去21n a +，21n a -得：222223n n n a a a +-=-（2n ≥） 由2a ，4a Z ∈，所以偶数项均为整数， 而222125
2
n n n a a a ++=
-，所以21n a +为偶数，故12a k ==，故数列{}n a 是整数列. 综上所述，k 的取值集合是{}1,2. 题型二、数列的求和
1、（北京市房山区2019-2020学年高三上学期期末数学试题）等差数列
{}
n a 中，若
1476
a a a ++=，
n
S 为
{}
n a 的前n 项和，则7S =（ ）
A ．28
B ．21
C ．14
D ．7
【答案】C 【解析】
等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=则74714S a == 故选：C
2、（北京市北京师范大学附属实验中学2019-2020学年上学期期中）已知
n
S 是等差数列
{}n a (n *∈N )的前
n 项和，且564S S S >>,以下有四个命题：
①数列{}n a 中的最大项为10S ②数列{}n a 的公差0d < ③100S > ④110S < 其中正确的序号是（ ） A ．②③ B ．②③④
C ．②④
D ．①③④
【答案】B 【解析】
∵564S S S >>，∴65600a a a +，，∴500a d ><， ∴数列{}n a 中的最大项为5S ，
()
()110105610502
a a S a a +=
=+>，()
111116111102
a a S a +=
=<
∴正确的序号是②③④ 故选B
3、（北京市西城区第八中学2019-2020学年上学期期中）设等差数列
{}n a 的前
n 项和为
n
S ，若
112,0,3
m m m S S S -+=-==，则m =( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】C 【解析】
{}n a 是等差数列
()
102
ms m m a a S +∴=
=
()112m m m a a S S -⇒=-=--=-
又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，
11325
m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．
4、（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并满足条件1201920201,1a a a >>,201920201
01
a a -<-,下列结论正确的是( )
A ．S 2019<S 2020
B ．2019202110a a -<
C ．T 2020是数列{}n T 中的最大值
D ．数列{}n T 无最大值
【答案】AB 【解析】
当0q <时，2
2019202020190a a a q =<，不成立；
当1q ≥时，201920201,1a a ≥>，
201920201
01
a a -<-不成立；
故01q <<，且201920201,01a a ><<，故20202019S S >，A 正确；
2201920212020110a a a -=-<，故B 正确；
2019T 是数列{}n T 中的最大值，CD 错误；
故选：AB
5、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列{}n a 中，11
2
a =
，其前n 项和n S 满足()202n n n n S a S a n -+=≥，则2a =__________；2019S =__________.
【答案】16- 1
2020
【解析】
（1）由题：()2
02n n n n S a S a n -+=≥，令2n =，
222
222222211()022
0,()S a S a a a a a ++=++-=-，
得：231024a +=，所以216
a =-；
（2）由题()2
02n n n n S a S a n -+=≥，()12n n n a S S n --≥=
()2
11()02n n n n n n S S S S S S n ---+=-≥-，化简得：
()1102n n n n S S S S n ---+=≥，
11
1111
10,1,(2)n n n n n S S S S --+
-=-=≥， 1
{
}n
S 是一个以2为首项，1为公差的等差数列， 1
1n n S =+，11n S n =+，201912020
S = 故答案为：(1). 16-
(2). 1
2020
6、（2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联考）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若
()31n n S na n n =--（n *∈N ），且211a =，则20S 的值为______.
【答案】1240
【解析】当2n =时，()212223221S a a a =+=-⨯-，211a =，可得15a =，
当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，得()()()()1311312n n n a na n n n a n n -=-------⎡⎤⎣⎦， ∴()()()11161n n n a n a n ----=-，即(
)*
162,n n a a n n N --=≥∈，
∴数列{}n a 是首项15a =，公差为6的等差数列， ∴202019
205612402
S ⨯=⨯+
⨯=， 故答案为：1240.
7、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）等比数列{}n a 的相邻两项n a ，1n a +是方程()
2
0*2n
n x x c N n -+=∈的两个实根，记n T 是数列{}n c 的前n 项和，则n T =________． 【答案】()84127
n
-． 【解析】
因为n a ，1n a +是方程()2
0*2n
n x x c N n -+=∈的两个实根，
则由韦达定理得，12n
n n a a ++=，1n n n a a c +⋅=，
因为数列{}n a 是等比数列，则数列{}n a 的公比11
1222n
n n n n n a a q a a +--+=
==+，又()12112a a a q +=+=，所以首项123a =
，故1
11223
n n n a a q --=⋅=⋅ 所以11
1228224339n n n n n n c a a --+==⋅⨯⋅=⋅，
故数列{}n c 是以8
9为首项，4为公比的等比数列，
所以()
()
8
148941
1427n
n n T -==--．
故答案为：()84127
n
- 8、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且124,,a a a 是等比数列{}n b 的前3项. (1)求,n n a b ; (2)设()
1
1n n n n c b a a =+
+，求{}n c 的前n 项和n S .
【答案】（1）1,2n n n a n b -==.（2）121
n n S n =-+ 【解析】
(1)设数列{}n a 的公差为d ，
由题意知: ()1234114414+46102a a a a a d a d ⨯-+++==+= ①
又因为124,,a a a 成等比数列，
所以2
214a a a =⋅，
()()21113a d a a d +=⋅+，
21d a d =，
又因为0d ≠，
所以1a d =. ②
由①②得11,1a d ==，
所以n a n =，
111b a ==，222b a == ，2
1
2b q b ==，
1
2n n b -∴= .
(2)因为()11
1
112211n n n c n n n n --⎛⎫
=+=+- ⎪++⎝⎭， 所以0111
1
1
1122...212231n n S n n -⎛⎫
=++++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭
121
1121n
n -=+--+
1
21n n =-+
所以数列{}n c 的前n 项和1
21n
n S n =-+.
9、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==．
(1)求{}n a 的通项公式；
(2)数列{}n b 满足1
41n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得
23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==
【解析】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238
a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩， ()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；
（2）()
2122
n n n S n n -=+⨯=， 21
1114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=
-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 若2
3k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-， 又1k m >>，2
234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩
，
解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=，
∴存在2,12m k ==满足题意．
10、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()21n n S n a n N *=+∈，且12a =.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()12n a
n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n = （2）1
20(65)4+99
n n n T +-= 【解析】
（1）因为2(1)n n S n a =+,n *∈N ,
所以112(2)n n S n a ++=+,n *∈N ,
两式相减得112(2)(1)n n n a n a n a ++=+-+,
整理得1(1)n n na n a +=+, 即11n n a a n n +=+,n *∈N ,所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
为常数列, 所以
121n a a n ==, 所以2n a n =
（2）由（1）,(1)2=(21)4n a n n n b a n =--,
所以 12314+34+54++(21)4n n T n =⨯⨯⨯-
231414+34++(23)4(21)4n n n T n n +=⨯⨯-+-…
两式相减得：
23134+2(4+4++4)(21)4n n n T n +-=⨯--…，
2+1
14434+2(21)414
n n n T n +--=⨯---， 化简得1
20(65)4+99
n n n T +-= 11、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列{}1n a +是等比数列，11a =且2a ，32a +，4a 成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设11
n n n n n a a b a a ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1) 21n n a =- (2) 112221
n n n S ++-=- 【解析】
（1）设数列{}1n a +的公比为q ，∵112a +=，
∴22334121212a q a q a q +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，∴22334
212121a q a q a q =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，
∵()32422a a a +=+，
∴()232212121q q q +=-+-，
∴2342222q q q +=+-，
即：()()224121q q q +=+，
解得：2q .
∴11222n n n a -+=⋅=，
∴21n n a =-.
（2）()()
1121121212121n n n n n n b ++==-----， ∴1231n n n S b b b b b -=+++++
122334111111212121212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111121212121n n n n -+⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 1111
2212121n n n +++-=-=--. 12、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()*4221a a n =+∈N .
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设12
n n n a a b -=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）21n a n =-；（Ⅱ）1431994n n n T -+=-⨯ 【解析】
（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()111
14642321a d a d a d a d ⎧+=+⎪⎨+=++⎪⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩
. 所以()11221n a n n =+-⨯=-.
（Ⅱ）因此212212211224
n n n n n n n b ------=
==. 所以011011444
n n n T --=++⋅⋅⋅+， 1110214444
n n n n n T ---=+⋅⋅⋅++， 相减得0113011144444n n n n T --=++⋅⋅⋅+- 11111311344334n n n n n -⎡⎤-+⎛⎫=--=-⎢⎥ ⎪⨯⎝⎭
⎢⎥⎣⎦. 故：1
431994n n n T -+=-⨯. 13、（2020·浙江高三）已知等比数列{a n }（其中n ∈N *），前n 项和记为S n ，满足：
3716S =，log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）求数列{a n •log 2a n }（n ∈N *）的前n 项和T n ．
【答案】（1）112n n a +=
； （2）13322n n ++-. 【解析】
（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ，
∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴121221n n n n a log a log a log a ++-==-，∴112
n n a q a +==．
由3716S =，得311[1)7211612
a ⎛⎤- ⎥⎝⎦=-，解得114a =． ∴数列{a n }的通项公式为1
12n n a +=． （2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则112n n n b ++=-
． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n 231231222n n ++⎛⎫=-+++
⎪⎝⎭ 故231231222
n n n T ++-=+++， 312212222n n n T n n +++-=+++． 两式相减，可得3122
111133222
2242n n n n T n n +++++-=+++-=-． ∴13322n n n T ++=-． 14、（江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)）在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，2a ，4a ，8a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a n n b a =⋅，12n n S b b b =++⋅⋅⋅+，求n S .
【答案】（1）n a n =； （2）()1122n n S n +=-⋅+.
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，
由11a =，2a ，4a ，8a 成等比数列得：()()()2
13117d d d +=++，
解得1d =或0d =（舍去），
所以数列{}n a 的通项公式()11n a n n =+-=.
（2）由（1）得n a n =，所以2n n b n =⋅， 所以1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅， ①
234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅， ②
①-②得：1231121212122n n n S n +-=⨯+⨯+⨯++⨯-⋅
()
()11212212212n n n n n ++-=-⋅=--⋅--，
所以()1122n n S n +=-⋅+.。