江苏省如皋中学2023-2024学年第一学期高三数学试题与答案

江苏省如皋中学2023-2024学年第一学期高三数学试题
一、单选题：
1.抛物线2
2y x =-的焦点坐标是（
）
A.1,02⎛⎫-
⎪⎝⎭
B.10,8⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭
C.10,
4⎛⎫ ⎪⎝
⎭
D.10,2⎛⎫-
⎪⎝
⎭
2.已知双曲线22214x y a -=
的一条渐近线方程为3
y x =，则该双曲线的实轴长为（
）
A.2
B. C.4
D.3.函数()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图所示，
则()f x 图象的一个对称中心是（
）
A.,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
B.,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭C.5,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
D.5,06π⎛⎫-
⎪⎝⎭
4.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且481
3S S =，则816
S S 等于（）
A.
1
8
B.
19 C.
13
D.
310
5.设32log 2a =，2log 3b =，4
3
c =，则a ，b ，c 的大小顺序为（）
A.a b c
>> B.c b a >> C.a c b >> D.b c a
>>6.过点()2,4P -作圆22:(2)(1)25C x y -+-=的切线l ，直线:30m ax y -=与切线l 平行，则切线l 与直线m 间的距离为（）A.
85 B.2
C.4
D.
125
7.复数i z x y =+（,,i x y ∈R 为虚数单位）在复平面内对应点(,)Z x y ，则下列为真命题的是（
）．
A.若|1||1|z z +=-，则点Z 在圆上
B.若|1||1|2z z ++-=，则点Z 在椭圆上
C.若|1||1|2z z +--=，则点Z 在双曲线上
D.若|1||1|x z +=-，则点Z 在抛物线上8.已知函数()f x 的定义城为R ，且满足
()()f x f x -=，()(4)0f x f x +-=，且当[0,2]x ∈时，
2()4f x x =-，则(2023)f =（
）
A.3-
B.4
- C.3
D.4
二、多选题：
9.
）
A.2
2ππ2cos
2sin
1212
- B.
1tan151tan15+︒
-︒
C.
sin15︒︒- D.sin 75︒︒
10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点63
,22
P ，F 为C 的右焦点，则下列结论
正确的是（
）
A.C 的离心率为
2
B.C 的渐近线方程为0
x -=C.若F 到C
，则C 的方程为22
1
42
x y -= D.设O 为坐标原点，若||||PO PF =,则322
POF S ∆=
11.对于函数()2
ln x
f x x =，下列说法正确的是（）
A.()f x 在x =1
2e
B.()f x 有两个不同的零点
C.()2f f
f <<D.若()21f x k x <-
在()0,∞+上恒成立，则e
2
>k
12.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A ，B 为坐标原点，点P 在圆2
221639x y ⎛⎫++= ⎪⎝
⎭上，若对于*N n ∀∈，存在数列{}n a ，13
2a =，使得1
2121n n PA a n PB a n -⋅+=⋅-，则下列说法正确的是（
）
A.
{}n a 为公差为2的等差数列
B.{}n a 为公比为12
的等比数列C.20232023
4047
2a =
D.
{}n a 前n 项和25
52
n n
n S +=-三、填空题：
13.命题“3
2
0R,10x x x ∃∈-+>”的否定为_______
14.已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和.若32a =，1264S S =，则9a 的值为__________15.已知椭圆和双曲线有共同焦点12,,F F P 是它们的一个交点，且123
F PF π
∠=
，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12
1
e e 的最大值是____．
16.有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是6
米，左侧走廊的高度为右侧走廊的宽度为1米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊，设可通过的最大极限长度为l 米（不计硬管粗细）.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬管的最大实际长度为0.9m l =米，则m 的值是
_________.
四、计算题：
17.
从①()
2ln 9A x y x ⎧⎫==+-⎨⎬⎩⎭；②()12log 12A x x ⎧⎫⎪⎪=+>-⎨⎬⎪⎪⎩⎭
；③411A x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭三个条件中，任选一个补充在下面问题中，并求解.已知集合____，集合(
){
}2
2
0B x x x m m =-+-≤.
（1）当1m =-时，求(
)
B A R ð；（2）若1
2
m ≥，设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，且命题p 是命题q 成立的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.
18.已知(
)()
sin sin f x x x x =-．（1）求()f x 的单调递增区间；
（2）在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．若()3
,22
f A a =
=，求2b c +的取值范围．19.已知数列{}n a 的前n 项和22
n n n
S +=.
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足对任意的正整数n ，
23
12123(1)n n b b b b n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+恒成立，求证：4n b ≥.20.如图，双曲线C ：22x a －2
2y b
＝1()0b a >>的中心O 为坐标原点，离心率2e =
，点M
在双
曲线C
上．
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）若直线l 与双曲线C 交于P ，Q 两点，且0OP OQ ⋅= ，求21
OP ＋21OQ
的值．
21.已知函数()()ln 1f x x ax =+-．
（1）若()f x 存在唯一零点，求实数a 的取值范围；
（2）当N n *∈
时，证明：123(13)(13)(13)(13)n ----+++⋅⋅⋅+<．
22.如图，点M 是圆2
2:(1)16A x
y ++=上任意点，
点(0,1)B ，线段MB 的垂直平分线交半径AM 于点P ，当点M 在圆A 上运动时，
（1）求点P 的轨迹E 的方程；
（2）//BQ x 轴，交轨迹E 于Q 点（Q 点在y 轴的右侧），直线:l x my n =+与E 交于,C D （l 不过Q 点）两点，且直线CQ 与直线DQ 关于直线BQ 对称，则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论？①直线l 恒过定点；②m 为定值；③n 为定值．
江苏省如皋中学2023-2024学年第一学期高三数学试题答案
一、单选题：1.B
【分析】将抛物线方程化为标准形式，在根据抛物线22x py =-的焦点坐标为0,2p ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
这一结论即可.【详解】原抛物线可化为2
12=-x y ，所以14p =，所以128p -=-，所以焦点坐标为10,8⎛⎫- ⎪⎝
⎭.
2.D
【分析】双曲线22
214x y a -=的焦点在x 轴上，通过近线方程可得a 与b 的关系，2b 已知，可求出2a 的值.
【详解】由题意可得23
34b a b ⎧=
⎪⎨⎪=⎩
，
解得a =
，则该双曲线的实轴长为2a =.
【点睛】本题考查用双曲线的标准方程和渐近线的方程求实轴长，需注意实轴长是2a ，而不是a ，考查理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.3.D
【分析】先根据函数图象得到函数()f x 图象的一个对称中心与()f x 的最小正周期，进而利用函数的性质即可求解.
【详解】解：由题图可知()f x 图象的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
，()f x 的最小正周期4263T πππ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭，
故()f x 图象的对称中心为,06k ππ⎛
+
⎫
⎪⎝
⎭
，Z k ∈，结合选项可知，当1k =-时，()f x 图象的一个对称中心是5,06π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.4.D
【分析】由题设及等差数列前n 项和公式可得11461
8283
a d a d +=+，求1,a d 的数量关系，进而求816S S 即可.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，
由题设，
41814618283S a d S a d +==+，可得152
a d =，∴
8116182831612010
S a d S a d +==+.5.D
【分析】将各数都同乘以3，将3c 作为中间量，再通过对数运算与对数函数单调性比较大小即可.【详解】33336log 2log 64log 814a ==<= ，
22233log 3log 27log 164b ==>=，又34c =，333a c b ∴<<，即b c a >>.
6.C
【分析】判断P 在圆O 上，求出直线OP 的斜率，确定出切线l 的斜率，求出l 的方程，得出4a =，根据直线m 与直线l 平行，利用平行线的距离公式求出l 与m 的距离即可.【详解】将()2,4P -代入圆方程左边得224316925+=+=，左边=右边，即P 在圆O 上，
直线OP 的斜率为
413
224
-=---，
∴切线l 的斜率为
43
，即直线l 的方程为()4
423y x -=+，
整理得43200x y -+=，
直线:30m ax y -=与直线l 平行，4
33
a ∴
=，即4a =，∴直线m 方程为430x y -=，即430x y -=，
直线l 与m
4=，
7.D
【分析】1z +=
、1-=z (),x y 与()1,0-、()1,0之间的距离，
记()11,0F -，()21,0F ，由复数模的几何意义和圆锥曲线的定义逐一判断可得答案.
【详解】1z +=
表示点(),x y 与()1,0-
之间的距离，
1-=z (),x y 与()1,0之间的距离，记()11,0F -，()21,0F ，
对于A ，11z z +=-，表示点(,)Z x y 到1F 、2F 距离相等，则点Z 在线段12F F 的中垂线上，故A 错误；
或由()()22
2211++=-+x y x y ，整理得0x =，所以点Z 在0x =，故A 错误；
对于B ，由|1||1|2z z ++-=得12122+==ZF ZF F F ，这不符合椭圆定义，故B 错误；对于C ，若|1||1|2z z +--=，12122-==ZF ZF F F ，这不符合双曲线定义，故C 错误；对于D ，若|1||1|x z +=-，则()()2
2
211x x y +=-+，整理得24y x =，为抛物线，故D 正确.8.A
【分析】根据题目条件得到()()8f x f x =-，故()f x 的一个周期为8，从而得到()()(2023)11f f f =-=，计算出(1)3f =-，得到答案.【详解】因为
()()f x f x -=，所以()4(4)f x f x --=-⎡⎤⎣⎦，即()4(4)f x f x -=-，
又()(4)0f x f x +-=，故()()40f x f x +-=，即()()4f x f x =--①，用4x -代替x 得()(4)8f x f x -=--②，
由①②得()()8f x f x =-，故()f x 的一个周期为8，故()()(2023)825311f f f =⨯-=-，又
()()f x f x -=得(1)(1)f f -=，
[0,2]x ∈时，2()4f x x =-，故2(1)143f =-=-，
故()(2023)13f f ==-.二、多选题：9.ABD
【分析】根据二倍角的余弦公式即可判断A ；根据两角和的正切公式即可判断B ；根据两角和的余弦公式即可判断C ；根据二倍角的正弦公式即可判断D.
【详解】对于A ，2
2ππππ2cos 2sin 2cos 22cos 1212126⎛
⎫-=⨯== ⎪⎝⎭
，故A 符合题意；
对于B ，
()1tan15tan 45tan15tan 45151tan151tan 45tan15+︒︒+︒==︒+︒=-︒-︒︒
，故B 符合题意；
对于C s 131
2co 5sin152s15s 2in15⎛⎫︒︒=︒-︒ ⎪ -⎪
⎝⎭
()()
2cos30cos15sin 30sin152cos 3015=︒︒-︒︒=︒+︒=，故C 不符合题意；
对于D ，sin 75cos15︒︒=︒︒=︒=，故D 符合题意.
故选：ABD.10.AC
根据双曲线渐近线经过的点求渐近线方程，结合斜率求解离心率，根据焦点到渐近线距离求解方程，结合线段相等关系求解三角形面积.
【详解】由题：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点63
,22
P ，
所以渐近线方程为2
y x =±
，所以B 选项错误；
所以2b a =，离心率2
c e a ===，所以A 选项正确；
若F 到C ，即2
b a =
=则C 的方程为22
142
x y -=，所以C 选项正确；
O 为坐标原点，若||||PO PF =,(
,
22
P ，所以F 1332
224
POF S ∆==
，所以D 选项错误.【点睛】此题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程的斜率与离心率的关系，根据长度和点的坐标关系求解三角形面积，关键在于熟练掌握双曲线的几何性质.11.ACD
求出导函数，利用导数确定单调性，极值，判断各选项．【详解】()f x 定义域为(0,)+∞，
由题意3
12ln ()-'=
x
f x x
，当0x <<()0f x '>，()f x 递增，当x >()0f x '<，()f x 递减，
所以()f x 在x =时取得极大值12f e
=，A 正确；
当01x <<时，()0f x <，因此()f x 在上一个零点1，在)+∞上()0f x >，无零点．因此函数()f x 只有一个零点，B 错；
因为2>
>>，在)+∞上()f x 递减，所以()2f f f <<，C 正确；
2
1()f x k x
<-
，即222ln 1ln 1
x x k x x x +>+=，
设2ln 1
()x g x x +=，则3
12ln ()+'=-x g x x ，
当0x
<<
时，()0g x '>，()g x 递增，x >时，()0g x '<，()g x 递减，所以x
=()g x 取极大值也最大值2e
g =．所以2
e
k >
．D 正确．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性、极值与最值，不等式恒成立问题．基本方法是：求出导函数()f x '，确定()0f x '>和()0f x '<的解，得单调区间，从而确定极值．利用极值及零点存在定理可判断零点个数，利用最值可得出不等式恒成立时的参数范围．12.CD
【分析】由圆的方程写出P 的参数坐标，由两点距离公式判断
2PA
PB =，由等比中项性质判断21
n n a b n =+为等比数列，即可依次求得n n b a 、的通项公式，即可逐个判断，其中n S 由错位相减法求和.三、填空题：
13.3
2
0R,10
x x x ∀∈-+≤【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，将存在改为任意，并将结论加以否定，因此命题的否定为3
20R,10x x x ∀∈-+≤考点：全称命题与特称命题14.2或6
【分析】根据条件利用等比数列通项公式以及求和公式列方程组，解得公比，再根据通项公式求出9a 的值.
【详解】解：由题意可知2
312a a q ==， 1264S S =，∴1q ≠.
∴
()()12611114
11a q a q q
q
--=--，整理得126430q q -+=，令6t q =，
则2430t t -+=，解得，3t =或1t =（舍），所以63q =或61q =故63q =或1
q =-当63q =时，6
93236a a q ==⨯=，当1q =-时，()6
693212
a a q ==⨯-=
故答案为：2或6.
【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题.
15.
【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,双曲线的半实轴长为2a ,根据椭圆及双曲线的定义:
1211222,2PF PF a PF PF a +=-=,解得112212,PF a a PF a a =+=-,设122,F F c =12,3
F PF π∠=
则在12F PF 中,由余弦定理可得:()()()()2
2
2
1212121242cos
3
c a a a a a a a a π
=++--+-,化简得2
22
1
2
34a a c +=,即2221314e e +=1212231,e e e e ≥∴
≤
,
.点睛:本题考查椭圆和双曲线的几何性质以及余弦定理的应用.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c 的方程或不等式，再根据a，b，c 的关系消掉b 得到a，c 的关系式，建立关于a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16.9
【分析】先研究硬管水平放置时，令PAM θ∠=，建立()133sin cos AB f θθθ=
+=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，利用
导数求出min ()8f θ=；再研究铁管在竖直方向可倾斜后能通过的最大长度.【详解】如图，铁管水平放置时，令PAM θ∠=
，
1sin PA θ=
，33cos PB θ=，133
sin cos AB θθ
=+，
设()133sin cos f θθθ=
+，π0,2θ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，
(
)()
33
3
22222
1cos cos 33sin 3
3sin cos sin cos sin cos sin f θθθθθθθθθθθ
θ
---'=
+==
.
令()0f θ'=，3
tan 3
θ=
，解得：π6θ=，
当π06θ<<
时，()0f θ'<，()f θ在π0,6⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减；当
ππ62θ<<时，()0f θ'>，()f θ在ππ,62⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增.所以min π()86f f θ⎛⎫
==
⎪⎝⎭
，此时通过最大长度l AB '≤，∴8l '≤，
∴则硬管可通过的最大极限长度10l ==，∴0.9109m =⨯=.故答案为：9.四、计算题：
17.【分析】
（1）把1m =-代入求集合B ，若选①：根据函数的定义域可求集合A ，结合集合间的运算求解即可；若选②：根据对数函数单调性求集合A ，结合集合间的运算求解即可；若选③：根据分式不等式求集合A ，结合集合间的运算求解即可；（2）根据题意可得B A ，结合包含关系列式求解即可.
【小问1详解】
当1m =-时，则{
}{
}
2
2012B x x x x x =--≤=-≤≤，
若选①：令2
10
90
x x +>⎧⎨
->⎩，解得13x -<<，则{}13A x x =-<<，可得(][),13,A =-∞-⋃+∞R ð，所以{}1B A =-R I ð；若选②：令()12
log 12x +>-，即()2
2log 1log 4x +<，
且2log y x =在()0,∞+上单调递增，则014x <+<，解得13x -<<，
即{}13A x x =-<<，可得(][),13,A =-∞-⋃+∞R ð，所以{}1B A =-R I ð；
若选③，令
4
11x >+，则301
x x ->+，等价于()()310x x -+<，解得13x -<<，即{
}
13A x x =-<<，可得(][),13,A =-∞-⋃+∞R ð，所以{}1B A =-R I ð.【小问2详解】
令()2
10x x m m -+-≤，则()()10x m x m ---≤⎡⎤⎣⎦，
因为1
2
m ≥
，则1m x m -≤≤，所以{}
1B x m x m =-≤≤，又因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所以B A ，
由（1）可知：{}13A x x =-<<，则3111
2m m m ⎧
⎪<⎪->-⎨⎪⎪≥
⎩
，解得1
22m ≤<，
且当
122m ≤<，A B ≠，所以实数m 的取值范围为1,22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.18.（1）π2ππ,π,Z 63k k k ⎡
⎤
++∈⎢⎣
⎦
（2）()
2,4【分析】（1）先根据降幂公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性即可得解；（2）先求出角A ，再根据正弦定理结合三角函数的性质即可得解.【小问1详解】
(
)(
)
2sin sin sin cos f x x x x x x x =-=-1cos231πsin2sin 22226x x x -⎛⎫=
-=-+ ⎪⎝
⎭，令ππ63π2π22π,Z 22
k x k k +
≤+≤+∈，得π2π
ππ,Z 63k x k k +≤≤+
∈，所以()f x 的增区间为π2ππ,π,Z 63k k k ⎡
⎤
++∈⎢⎥⎣
⎦
；【小问2详解】由()32f A =
，得πsin 216A ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，
由()0,πA ∈，得ππ13π2,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
，所以π3π262
A +
=，所以2π3A =，
因为
sin sin sin a b c A B C ===
所以(
),2cos b B c C A B B B =
=
=
+=-
，
则24cos b c B +=，因为π0,
3B ⎛
⎫∈ ⎪
⎝
⎭，所以1cos ,12B ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以()22,4b c +∈.
19.【分析】（1）利用11
,2,
,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，进而求得答案；
（2）根据题意先求出n
n
b a ，然后根据（1）求出n b ，进而通过基本不等式证明问题.
【小问1详解】
因为22
n n n
S +=，
所以当2n ≥时，221(1)1
22n n n n n n n a S S n -+-+-=-=-=.
当1n =时，21111
12
a S +===，满足n a n =.
所以{}n a 的通项公式为n a n =.【小问2详解】因为
23
12123(1)n n
b b b b n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+，所以当2n ≥时，
23
1121231
n n b b b b n a a a a --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，所以2
2(1)(2)n n b n n a n
+=≥，
又1n =时，2
1124b a ==，满足22
(1)n n b n a n +=，所以对任意正整数n ，2
2(1)n n b n a n
+=，由（1）得，n a n =，所以22(1)21n n n n b n n +++==
=1224n n ++≥+=，当且仅当1n =时等号成立.
20.（1）24x －2
12
y ＝1
（2）
16
【分析】（1）依题意双曲线的离心率2e =，
且点M
在双曲线上，所以可以得到两个关于,,a b c 的
方程，再根据222c a b =+，就可解出,,a b c ，求出双曲线的方程．（2）因为0OP OQ ⋅=
，所以OP OQ ⊥
，设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1
=-
y x k
，分别代入双曲线方程，即可得,P Q 的坐标用含k 的式子表示，再代入21
OP ＋21OQ
，化简即得.
【小问1详解】
因为2e =，所以2c a =，从而2
2
3b a =，所以双曲线C 的标准方程为22x a －2
23y a
＝1，
即22233x y a -=，.
因为点M
在双曲线C 上，所以21533a -=，解得24a =，
所以双曲线C 的标准方程为24x －2
12
y ＝1
【小问2详解】
设()()1222,,,P x y Q x y ，
设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1
=-
y x k
，.联立()0y kx k =≠与24x －2
12y ＝1，得2
122
212123123x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
，
所以222221112123O y k k P x =+-+=，同理有2
22
2
2112112121313k k OQ k k ⎛
⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以222222211331221121212126
k k k OP OQ k k -+-++===++.21.【分析】（1）分0a ≤和0a >讨论，利用导数与函数的性质的关系可得0a ≤时，()f x 存在唯一零点；
0a >时可得函数的max 1()11ln f x f a a a ⎛⎫
=-=-- ⎪⎝⎭
，然后构造函数，利用导数研究函数的性质即得；
（2）由题可知()ln 1x x +<，然后利用放缩法，等比数列的求和公式结合条件即得.【小问1详解】
由题可知()f x 的定义域为(1,)-+∞，1
()1
f x a x '
=
-+，当0a ≤时，()0f x ¢>，()f x 在()1,-+∞上单调递增；且()00f =，所以()f x 存在唯一零点；当0a >时，令()0f x '=，得1
11x a
=->-，当11,
1x a ⎛⎫∈-- ⎪⎝
⎭时()0f x ¢>，()f x 单调递增；当11,x a ⎛⎫
∈-+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以max 1()11ln f x f a a a ⎛⎫
=-=--
⎪⎝⎭
，且(),x f x ∞∞→+→-；1x →-，()f x →-∞．若()f x 存在唯一零点，则1ln 0a a --=，设()1ln =--h a a a ，则11()1a h a a a
-'=-
=，当()0,1a ∈时，()0h a '<，()h a 单调递减；当()1,a ∈+∞时，()0h a '>，()h a 单调递增，所以()()10h a h ≥=，故当1ln 0a a --=时，1a =，
综上，()f x 存在唯一零点时，实数a 的取值范围为0a ≤或1a =；【小问2详解】
由（1）知：当1a =时，()()ln 1f x x x =+-在()0,∞+上单调递减，所以()()00f x f <=，即()ln 1x x +<在()0,∞+上恒成立．
令3n x -=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，则)n(l 133n n --+<，
所以123123ln 13131313ln 13ln 13[()()()ln 1()]()3ln ()()13()
n n --------++++=++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅12311111113333331223213
n n
n ----⎛⎫- ⎪
⎝⎭<+++⋅⋅⋅+==⨯<-，
所以1
2
3
1
ln[(13)(13)(13)(13)]2
n
----+++⋅⋅⋅+<
=，所以当N n *∈
时，123(13)(13)(13)(13)n ----+++⋅⋅⋅+<．
【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
22.【分析】（1）根据题意得P 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，进而根据椭圆的定义求解即可；
（2）根据题意0C Q D Q k k +=，再设1122()()C x y D x y ，，，，进而直线l 与椭圆联立方程，结合韦达定理得整理得(21)(223)0m m n -+-=，再根据C ，D ，Q 三点不共线得1
2
m =.【小问1详解】
解：如图，由A 方程，得(0,1)A -，半径4r =
，
∵P 在BM 的垂直平分线上，∴PM PB =，
所以||||||||||4||2PA PB PA PM AM AB +=+==>=，∴P 的轨迹E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆，由24a =，则2a =，1c =，23b =，
∴点P 的轨迹E 的方程为22
143
y x +=．
【小问2详解】
解：∵直线l 与轨迹E 交于C ，D 两点，设1122()()C x y D x y ，，，
，如图
2214
3x my n y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，
消x ，得22
()143y my n ++=，整理，得222(34)84120m y m ny n +++-=，
122
834mn y y m +=-+，2122
412
34n y y m -=+，因为CQ 与DQ 关于BQ 对称，//BQ x 轴，所以0C Q D Q k k +=，312
Q ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，，132x ≠
，232
x ≠，121211
03322
y y x x --+=--，即122133(1)(1)022y x y x ⎛⎫⎛
⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
∵11x my n =+，22x my n =+，
∴整理：121232()2302
my y n m y y n ⎛⎫
+--+-+= ⎪⎝
⎭
，
22
241238223034234n mn m n m n m m -⎛⎫⎛⎫
+----+= ⎪ ⎪++⎝
⎭⎝⎭
，即24(48)230m n m n +--+=，即(21)(223)0m m n -+-=，
若2230m n +-=，点312Q ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，满足:l x my n =+，即C ，D ，Q 三点共线，不合题意，
∴210m -=，即12
m =
，∴直线l 中m 为定值1
2．。