单叶双曲面
单叶双曲面坐标平面曲线
单叶双曲面坐标平面曲线
双曲面是一种复杂的曲面形状,位于数学几何中的类别。
它也称为抛物面,这是因为它拥有双曲面而获得的。
从平面视图上看,它可以只有一个单叶,也可以是多个单叶叠加在一起形成一个完整的双曲面。
一个单叶双曲面曲线实际上就是一个有特殊型号的曲线,可以通过坐标平面的坐标(x,y)的系数参数估计出来。
这种曲面的形状可以分为三类:凹,凸和中间状态。
举个例子,凹号曲线可以从中心点一直延伸到边界,然后再从边界一直延伸到中心点,形成一个循环;凸号曲线可以从中心点一直延伸到边界,再从边界一直延伸到中心点,形成一个回旋曲线;中间状态曲线可以从边界一直延伸到中点,再从中点一直延伸到边界,形成一个回旋曲线。
这种图表曲线的应用非常广泛,它可以用来表示某个物理或化学系统的变化趋势,也可以用来表示坐标中心点到坐标边界点的理论变化。
图表中使用双曲面曲线也有一定需求,例如可以用来表示人体一些形态变化,以及模拟物理,化学等实验的变化过程。
总之,单叶双曲面曲线是一种复杂的曲线形状,可以用坐标参数估计出来,常用于表示某个系统的变化趋势,以及实验的模拟变化过程。
未来它将在许多方面得到更多应用,发挥更大用处。
单双叶双曲面
x2 z2 2 2 1 a c y 0
实轴与 x 轴相合, 虚轴与 z 轴相合.
(3)用坐标面 yoz ( x 0),与曲面相截
均可得双曲线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
二、 双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
双叶双曲面 z
§4.5 双曲面 一、单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
(1)用坐标面 xoy ( z 0) 与
曲面相截截得中心在原点
O(0,0,0) 的椭圆
2 y2 x2 2 1 a b z 0
与平面 z z1 的交线为椭圆.
2 x2 y2 z1 2 2 1 2 当 z1 变动时,这种椭 b c a 圆的中心都在 z 轴上. z z 1 (2)用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
o x
y
双曲面及其渐进锥面
x y z 双叶: 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面: 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶: 2 2 2 1 a b c
在平面上,双曲线有渐进线。 相仿,单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们,当|h|无限增大 时, 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 面 的截口椭圆任意接近,即: x 双曲面和锥面任意接近。
单叶双曲面
§5 双曲面一 单叶双曲面:例:z y 面上的双曲线012222x c z b y 绕z 轴旋转,所得旋转面为1222222 cz b y a x——旋转单叶双曲面1、定义:在直角系下,由方程1222222 cz b y a x (a,b,c>0) (1)所表示的图形称为单叶双曲面;而方程(1)称为单叶双曲面的标准方程。
注:在直角系下,方程1222222 cz b y a x 或1222222 c z b y a x 所表示的图形也是单叶双曲面2、性质与形状:(i )对称性:单叶双曲面(1)关于三坐标轴,三坐标面及原点对称。
原点称为(1)的中心。
(ii )有界性:由方程(1)可知,单叶双曲面(1)是无界曲面 (iii )与坐标轴的交点与坐标面的交线:单叶双曲面(1)与x,y 轴分别交于(±a ,0,0),(0,±b ,0)而与z 轴不交,上述四点称为它的顶点。
(1)与三坐标面交于0)1(x , 0)1(y ,0)1(z ,即 012222x c z b y (2) 012222y c z a x (3)012222z b y a x (4) (2)(3)均为双曲线, (4)为椭圆,它们的顶点均是单叶双曲面(1)的两对顶点。
(iv )与平行于坐标面平面的交线:为考察(1)的形状,我们先用平行于y x 面的平面去截它,其截线为k z )1(, 即k z c k b y a x 2222221 (5)对 k ,(5)均为椭圆,其顶点为(0,±b 221ck ,k )∈(2),(±a 221c k ,0,k )∈(3) ,其半轴为b 221c k 和a 221ck ,当∣k ∣逐渐增大时,椭圆(5)逐渐变大。
可见,单叶双曲面(1)是由一系列“平行”椭圆构成的,这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化。
再用一组平行于z y 面的平面去截(1),其截线为kx )1( ,即k x a k c z by 2222221 (6)当∣k ∣<a 时,(6)为一双曲线,其实轴∥y 轴,(如图5.3)虚轴∥z 轴,其顶点(k ,±b 221ak ,0)∈(4),当∣k ∣=a 时,(6)为二相交线,其交点为(k ,0,0)当∣k ∣>a 时,(6)仍为双曲线,但其实轴∥z 轴,虚轴∥y 轴,其顶点(k ,0,±a 221ak )∈(3)最后,若用一组平行于z x 面的平面去截(1),其截线情况与上述相仿(如图5.1)。
§4.5 双曲面
§4.5 双曲面一、单叶双曲面1. 在直角坐标系下, 由方程+-=1所表示的曲面叫做单叶双曲面, 该方程叫做单叶双曲面的标准方程, 其中a, b, c是任意的正常数.2. 单叶双曲面的图形(如图4-5).(1) 曲面的对称性:单叶双曲面关于三坐标平面、三坐标轴以及坐标原点都对称. 单叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做单叶双曲面的主平面、主轴与中心.(2) 曲面与坐标轴的交点:单叶双曲面与z轴不交, 与x轴与y轴分别交于点(±a, 0, 0)与(0, ±b, 0), 这四点叫做单叶双曲面的顶点.(3) 被坐标面截得的曲线:单叶双曲面被三坐标面所截得的曲线方程分别为①②③①为xOy坐标面上的腰椭圆, ②,③分别为xOz, yOz坐标面上的双曲线, 这两条双曲线的虚轴都是z轴, 虚轴的长都等于2c.(4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线:用平行于xOy坐标面的平面z=h来截割, 得截线方程为④单叶双曲面可看成是由椭圆族④所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与xOy坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线②、双曲线③上.如果用平行于xOz坐标面的平面y=k来截割, 得截线方程为,此曲线当|k|<b时为实轴平行于x轴, 虚轴平行于z轴的双曲线;|k|>b时为实轴平行于z轴,虚轴平行于x轴的双曲线;|k|=b时为两对相交于(0,±b, 0)的直线.用平行于yOz坐标面的平面来截割, 情况类似.若a=b, 方程即为旋转单叶双曲面.3. 单叶双曲面的参数方程为二、双叶双曲面1. 在直角坐标系下, 由方程+-=-1所表示的图形, 叫做双叶双曲面,该方程叫做双叶双曲面的标准方程, 其中a, b, c为正常数.2. 双叶双曲面的图形(如图4-6):(1) 曲面的对称性:双叶双曲面关于三坐标面、三坐标轴以及坐标原点都对称. 双叶双曲面的对称平面、对称轴与对称中心, 依次叫做双叶双曲面的主平面、主轴与中心.(2) 曲面与坐标轴的交点:双叶双曲面与x轴、y轴都不相交, 只与z轴相交于两点(0, 0,±c), 这两点叫做双叶双曲面的顶点(3) 曲面的存在范围:双叶双曲面在两平行平面z=±c之间没有曲面上的点, 曲面分成两叶, 一叶上点的坐标都有z≥c, 另一叶上点的坐标都有z≤-c.(4) 被坐标面所截得的曲线:坐标平面z=0与曲面不相交, 而坐标面y=0与x=0分别截曲面得截线为双曲线⑤⑥它的实轴都是z轴, 实轴长都等于2c.(5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线: 用平行于xOy坐标面的平面z=h ( |h|≥c ) 来截割得截线方程为⑦当 |h|=c时, 截得的图形为一点;当 |h|>c时, 截线为椭圆. 双叶双曲面可看成是由椭圆族⑦所生成, 这族椭圆中的每一个椭圆所在平面与xOy坐标面平行, 两双顶点分别在双曲线⑤,⑥上.用平行于x坐标面或yOz坐标面的平面来截割双叶双曲面都得到双曲线.若a=b, 方程即为旋转双叶双曲面.3. 双叶双曲面参数方程为4.理解以下结论:设有标准形式Px2+Qy2+Rz2=1, PQR≠0.则有 (1) P, Q, R均正表示椭球面;(2) P, Q, R两正一负表示单叶双曲面;(3) P, Q, R两负一正表示双叶双曲面;(4) P, Q, R均负表示虚椭球面.它们都有中心, 统称为有心二次曲面.例1. 给定方程++=1 (A>B>C>0), 试问当λ取异于A, B, C的各种数值时, 它表示怎样的曲面?解:由思考题2的结论, 有(1) 当λ<C时, P, Q, R全正, 表示椭球面;(2) 当C<λ<B时, P, Q, R两正一负, 表示单叶双曲面;(3) 当B<λ<A时, P, Q, R两负一正, 表示双叶双曲面;(4) 当λ>A时, P, Q, R全负, 无图形或表示虚椭球面.例2. 试求单叶双曲面+-=1与平面x-2z+3=0的交线对xOy平面的射影柱面.解:单叶双曲面与平面的交线为从中消去z得所求的射影柱面方程为(x-12)2+20y=260,即+=1.例3. 设动点到(4, 0, 0)的距离等于这点到平面x=1的距离的两倍,求这动点的轨迹.解:设动点为P(x, y, z), 依题意有,化简得--=1.它是以x轴为对称轴的旋转双叶双曲面.例4. 设直线l与m为互不垂直的两条异面直线, C是l与m公垂线的中点, A、B两点分别在直线l、m上滑动, 且∠ACB=90︒, 试证直线AB的轨迹是一个单叶双曲面.证明:取两异面直线l、m的公垂线为z轴, 公垂线的中点C为坐标原点, x轴与两异面直线成等角, 并设两异面直线间的距离为2a,夹角为2α≠90︒, 则有l: m:A(t1 cosα, t1 sinα, a), B(t2 cosα, -t2 sinα, -a). 由于⊥,故有t1t2cos2α-t1t2sin2α-a2=0,t1t2cos2α=a2,因为 2α≠ 90︒, 于是cos2α≠0, 从而t1t2=. ①又直线AB方程为②由①,②两式消去参数u, t1, t2得AB的轨迹方程为-+=1.它是一个单叶双曲面.例5. 用一族平行平面z=h (h为参数)截割双叶双曲面--=1得一族双曲线, 求这些双曲线焦点的轨迹.解:所截得的双曲线族方程为,即所以它的焦点坐标为y=0,z=h.消去参数h得焦点的轨迹方程为这是一条在xOz坐标面上的双曲线, 其实轴为x轴, 虚轴为z轴.作业题:1. 已知双曲线的方程为-=1, y=0, 设有长短轴之比是常数的一族椭圆, 它们的中心在z轴上, 它们所在的平面与z轴垂直,它们长轴的两个端点在给定的双曲线上, 试求这族椭圆所形成的轨迹.2. 求准线为且母线平行于z轴的柱面方程.3. 给定方程++=1 (a>b>c>0).试问k取何值(异于a2, b2, c2)时, 这方程表示椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面?。
4.7 单叶双曲面和双曲抛物面的直母线
悉尼歌剧院
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 , a , b, c > 0 2 a b c
是直纹曲面。它有两族直母线: 是直纹曲面。它有两族直母线:
x z y w a + c = u 1 + b , ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y , a c b x z y t a + c = v 1 − b , 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y , a c b
分析: 分析:
如果曲面 S 上存在一族直线, 上存在一族直线, (1) 曲面 S 上的每个点必定在这个 族中的某一条直线上; 族中的某一条直线上; (2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
定理
单叶双曲面
x2 y 2 z 2 + 2 − 2 = 1 , a , b, c > 0 2 a b c
是直纹曲面.它有两族直母线: 是直纹曲面.它有两族直母线:
x z y w + = u 1 + , a c b ( w2 + u 2 ≠ 0 ) u x − z = w 1 − y a c b x z y t + = v 1 − , a c b 2 2 (t + v ≠ 0) v x − z = t 1 + y . a c b
例(教材P153) 教材P153)
x 求直线 Γ: = y = z − 1 绕直线 l : x = y = z 旋转所 2 1 0 得的旋转曲面的方程. 得的旋转曲面的方程.
双曲面
⎧ x2 z 2 h2 ⎪ 2 − 2 = 1− 2 Γ ⎨a c b ⎪ y h = ⎩
z h
当 h < c 时,为虚椭圆; 当 h = c 时,为点椭圆; 当 h > c 时,为实椭圆. 此椭圆的两半轴长分别为
a b 2 h2 − c2 , h − c2 , c c a b 顶点为 (± h 2 − c 2 , 0, h) , (0, ± h 2 − c 2 , h) c c
⎧ x2 y2 h2 1 + = − + ⎪ 且 Γhz ⎨ a 2 b 2 c 2 的顶点与主截线的关系为: ⎪ z=h ⎩
(±ห้องสมุดไป่ตู้
a 2 b − h 2 , h, 0) ,显然顶点在腰椭圆 Γ0z 上 b ⎧ x2 z2 ⎧ x2 z2 ⎪ 2 − 2 =0 ⎪ 2 − 2 =0 ②当 h =b 时:为两相交直线,方程为 ⎨ a 或 ⎨a c c ⎪ ⎪ y = b y = −b ⎩ ⎩ ⎧x z ⎪ ± =0 ⎨a c ⎪ ⎩ y=b ⎧x z ⎪ ± =0 ⎨a c ⎪ ⎩ y = −b
u, v 为参数
二.双叶双曲面 1.双叶双曲面的定义
x2 y2 z2 在直角坐标系下,由方程 2 + 2 − 2 = −1 (a > 0, b > 0, c > 0) a b c
所表示的曲面叫做双叶双曲面,方程②叫做双叶双曲面的标准方程. 2. 双叶双曲面的性质 设双叶双曲面Σ: F ( x, y, z ) = (1).对称性
单叶双曲面
上
x 的双曲线,双曲线的实轴为 轴虚轴为 轴。
xOz z
25
思考与练习:第166页. 1. 4. 作业: 第166页 . 3. 5.
26
在单叶双曲面方程中,如果 单叶旋转双曲面(4.3-3).
a b,那么它就成为
方程
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
与
所表示的图形,也都是单叶双曲面.
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2 22
例 用一组平行平面
z h(h为,截任割单意叶双实曲数面 )
在主双曲线上.
y2
b
2
z2 c2
1,
x 0.
14
h b 当
时,
x2
a
2
z2 c2
1
h2 b2
,
z
截线仍为双曲线,
y h.
但它的实轴平行于z轴,
实半轴长为
c h2 b2 , b
虚半轴平行于x轴,
x
虚半轴长为 而且它的顶点
a h2 b2 , b
(0, h, c h2 b2 ) b
在主双曲线上.
a
2
y2 b2
1
h2 c2
z h,
两轴的端点分别为
z
y o
(a
1
h2 c2
,0,
h)与(0,b
1
h2 c2
,
h),
x
容易知道这两对端点分别在主双曲线(2)与(3)上.
(2)
x2
a
2
z2 c2
1,
y 0;
(3)
y2
b
2
§47单叶双曲面与双曲抛物面的直母线
§4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线一.直纹曲面的概念:直纹曲面的概念:由一族直线所构成的曲面叫做直纹曲面.直母线的概念:,构成直纹曲面的那族直线叫做这曲面的一族直母线.显然,柱面和锥面都是直纹曲面.二.单叶双曲面的直母线定理 单叶双曲面Σ 1222222=−+c z b y a x 是直纹曲面,它有两族直母线u 族直母线: ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()(1()(1221b yu c z a x u b yu c z a x u l u 其中21,u u不全为零.v 族直母线: ⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+)1()()1()(1221b y v c z a x v b yv c za x v l v 其中21,vv不全为零.证明:由单叶双曲面方程 1222222=−+c z b y a x 得 2222221b y c z a x −=− 有 )1)(1())((b yb yc za xc za x+−=+− 设 21:)1(:)()(:)1(u u b yc za x c z a xb y =−−=++ 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()()1()(1221b y uc za xu b yu c z a x u l u 其中21,u u 不全为零.对于21,u u 一组确定的值,u l 表示一条直线,当21,u u 变化取不同的值时, u l 就确定了一族直线.下证直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.设点),,(1111z y x P 是满足u l 的点,则⎪⎩⎪⎨⎧−=−+=+)1()()1()(1111212111by u c z a x u b y u c z a x u )1()(2212122122121by u u c z a x u u −=− 所以 1221221221=−+cz b y a x 因此,满足u l 方程的点在曲面Σ上,所以直线族u l 中的任何一条直线上的点都在曲面Σ上.再证点),,(0000z y x P 是单叶双曲面Σ上的任一点,则1220220220=−+c z b y a x 有 )1)(1())((000000by b y c z a x c z a x +−=+− 不妨设010≠+by (因为b y 01+与b y 01−不可能同时为零,否则有b y =0和b y −=0,所以0=b ,这与0>b 矛盾) ①若000≠+cz a x ,取21,u u ′′使得 )1()(02001by u c z a x u +′=+′ 则有 )1()(01002by u c z a x u −′=−′ 所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线u l ′上 ②若000=+c z a x ,则010=−by 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+010000b y c z a x所以),,(0000z y x P 在直线族u l 中的一条直线上.因此曲面Σ上的任一点在直线族u l 中的某一条直线上.这就证明了曲面Σ由直线族u l 构成,因此单叶双曲面Σ是直纹曲面,而u l 是曲面的一族直母线,称为u 族直母线 同理可设 21:)(:)1()1(:)(v v cz a x b y b y c z a x =+−=+− 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧+=−−=+)1()()1()(1221b y v cz a x v b y v c z a x v l v 其中21,v v 不全为零. 定理:单叶双曲面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.推论:对于单叶双曲面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.三.双曲抛物面的直母线定理 双曲抛物面Σz by a x 22222=−是直纹曲面,它有两族直母线为 u 族直母线: ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z b y a x u u b y a x l u )(2; v 族直母线: ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z by a x v v b y a x l v )(2 证明 由z by a x 22222=−得,z b y a x b y a x ⋅=−+2))((, 设 u by a x z b y a x =−=+)(:2:)( 所以有 ⎪⎩⎪⎨⎧=−=+z by a x u ub y a x l u )(2 同理可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=−z by a x v vb y a x l v )(2 定理:双曲抛物面上有两族直母线,每一族都能产生整个曲面,在曲面上每一点都是的两条不同的直母线经过.推论:对于双曲抛物面上的点,两族直母线中各有一条通过这点.四.单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的性质1.单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面,而双曲抛物面上异族的任意两直母线必相交.2.单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是异面直线,而且双曲抛物面上同族的全体直母线平行于同一平面.。
单叶双曲面 课程思政案例设计
主题:单叶双曲面课程思政案例设计一、引言单叶双曲面作为微积分中的重要概念,广泛应用于数学、物理等领域。
本文将通过设计单叶双曲面的课程思政案例,突出其在现实生活中的应用与意义,引导学生在学习数学知识的思考其对社会的贡献和价值。
二、单叶双曲面的定义与性质1. 单叶双曲面的定义:单叶双曲面是二次曲面的一种特殊类型,其数学表达式为 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 或 y^2/b^2 - x^2/a^2 = 1。
2. 单叶双曲面的性质:具有两个相交的渐近线,呈双曲形状,常用于描述引力场、光学和电磁学等现实问题。
三、单叶双曲面在现实生活中的应用1. 在引力场中的应用:单叶双曲面被广泛应用于描述引力场的分布,如行星围绕太阳的轨道和天体的引力透镜效应等。
2. 在光学中的应用:单叶双曲面被用于设计椭镜、抛物面和双曲面等光学元件,如望远镜、显微镜和激光等光学设备。
3. 在电磁学中的应用:单叶双曲面在电磁场的描述中具有重要作用,如电场和磁场的分布,以及电磁波的传播等。
四、单叶双曲面的数学模型与实际问题的联系1. 以天体引力场为例:通过数学建模,可以描述行星围绕太阳的轨道和引力透镜效应,引导学生理解数学模型与实际问题的联系。
2. 以光学元件设计为例:通过数学建模,可以设计光学元件的曲率和焦距,引导学生理解数学在光学工程中的应用。
五、单叶双曲面的思政案例设计1. 设计案例名称:《单叶双曲面在引力场中的应用》2. 案例内容:结合天体引力场,通过讲解单叶双曲面的定义和性质,引导学生了解其在引力场中的应用,包括行星轨道和引力透镜效应等。
3. 案例目的:通过案例设计,培养学生对数学知识的应用能力,加深对单叶双曲面在现实问题中的认识,并引导学生思考数学对人类社会的贡献和价值。
六、结语通过设计单叶双曲面的课程思政案例,可以更好地展示数学在现实生活中的应用,提高学生的数学兴趣和学习动力,培养学生的创新思维和实践能力,进一步强化数学课程的思政教育功能,推动学生全面发展。
单叶双曲面的实际应用
单叶双曲面的实际应用
单叶双曲面是一种非标准曲面,其具有两个参数曲面对称性,且其曲率曲线是双曲线。
单叶双曲面在数学、物理、工程和设计等领域都有广泛应用。
以下是一些单叶双曲面的实际应用:
1.汽车设计:单叶双曲面被广泛应用于汽车车身设计和制造。
例如,汽车车身外壳可以使用单叶双曲面来实现轻量化和美观的外观。
2.建筑设计:单叶双曲面也被广泛应用于建筑设计中。
例如,一些建筑屋顶使用单叶双曲面来实现轻量化和美观的外观,同时还可以节省建筑材料。
3.光学设计:单叶双曲面在光学设计中也有广泛应用。
例如,在光学仪器中,使用单叶双曲面可以将光线折射成所需的形状,从而实现更精确的光学成像。
4.产品制造:单叶双曲面也被广泛应用于产品制造中。
例如,一些精密仪器和设备的外壳可以使用单叶双曲面来实现轻量化和高精度的制造工艺。
5.数字模型制作:单叶双曲面在数字模型制作中也有广泛应用。
例如,在计算机辅助设计(CAD)中,可以使用单叶双曲面来创建数字模型,从而更好地可视化设计和产品原型。
这些实际应用展示了单叶双曲面在数学、物理、工程和设计等领域的重要性和广泛应用。
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单叶双曲面上特殊截痕引导的参数方程
单叶双曲面上特殊截痕引导的参数方程单叶双曲面是一种常见的三维曲面,其形状类似于双曲线。
在三维空间中,单叶双曲面的参数方程可以用多种方式表示,其中一种比较常见的方式是通过特殊的截痕引导来构造参数方程。
在本文中,我们将介绍单叶双曲面上特殊截痕引导的参数方程,并探讨其在几何学和计算机图形学中的应用。
一、单叶双曲面的定义单叶双曲面是一种二次曲面,其定义可以通过以下方程表示:x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 = 1其中,a、b、c是正实数,分别代表单叶双曲面在x、y、z轴上的半轴长度。
单叶双曲面的形状类似于双曲线,但它是一个三维曲面。
与双曲线一样,单叶双曲面也有两个分支,但它们不相交,而是在一个点处相切,因此被称为“单叶”。
二、特殊截痕引导的参数方程特殊截痕引导的参数方程是一种通过截痕来构造曲面的方法。
在单叶双曲面上,我们可以通过特殊的截痕来构造其参数方程。
具体来说,我们可以选择一个与单叶双曲面相交的平面,并在平面上选择两个点A、B。
然后,我们可以将这个平面沿着一条直线旋转,直到它与单叶双曲面相切。
这个旋转的轴线通过点A、B,并且与平面垂直。
这个旋转会在单叶双曲面上产生两个交点C、D。
我们可以通过这两个交点来构造单叶双曲面的参数方程。
具体来说,我们可以定义一个参数u,使得点C的坐标可以表示为:(x(u), y(u), z(u))其中,x(u)、y(u)、z(u)是关于u的函数,可以通过下面的公式计算:x(u) = a * cosh(u)y(u) = b * sinh(u)z(u) = c * sqrt(cosh(u)^2 - 1)其中,cosh(u)和sinh(u)分别是双曲函数的余弦和正弦。
同样地,我们可以定义另一个参数v,使得点D的坐标可以表示为:(x(v), y(v), z(v))其中,x(v)、y(v)、z(v)也是关于v的函数,可以通过下面的公式计算:x(v) = a * cosh(v)y(v) = b * sinh(v)z(v) = -c * sqrt(cosh(v)^2 - 1)最终,我们可以将单叶双曲面的参数方程表示为:(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = ((1 - t) * (x(u), y(u), z(u)) + t * (x(v), y(v), z(v)))其中,t是一个介于0和1之间的参数,用于控制截痕的形状。
单叶双曲面方向向量
单叶双曲面方向向量
单叶双曲面方向向量是指垂直于单叶双曲面上的向量,其方向与单叶双曲面的形状和方向有关。
在三维空间中,单叶双曲面可以由两个平行的平面相交而成,其中每个平面都可以由一个方程表示。
因此,单叶双曲面的方向向量可以通过求解这两个平面的交线来得到。
具体来说,假设两个平面的方程分别为Ax + By + Cz = 0和Ax + By + Dz = 0,那么它们的交线可以由它们的方向向量来确定。
设它们的法向量分别为(A, B, C)和(A, B, D),那么它们的方向向量可以取为(0, 0, 1)和(A, B, C)。
这两个向量的外积就是单叶双曲面的方向向量,其坐标表示为(0, 0, 1)×(A, B, C)=(B*C, C*A, A*B)。
需要注意的是,单叶双曲面的方向向量并不唯一,因为不同的平面的交线可以有不同的方向。
因此,在具体应用中,需要根据问题的实际情况来确定单叶双曲面的方向向量。
45双曲面
第四章§5 双曲面§4.5 双曲面一、单叶双曲面),,(1222222为正数c b a czb y a x =-+对称性主平面、主轴与中心.中心二次曲面单叶双曲面的标准方程.),,(1222222为正数c b a cz b y a x =++(类似椭球面)xoya-a-bb(3) 被坐标面截得的曲线: 0,z ⎧⎨=⎩0,y ⎧⎨=⎩①②③①腰椭圆 ②双曲线③双曲线 22221,x ya b +=22221,x z a c-=2222y z b c (1) 曲面的对称性:(2) 曲面与坐标轴的交点: 顶点(±a , 0, 0)与(0, ±b , 0)xoy-bb平面z =h 的截痕: (4) 被坐标面的平行平面所截得的曲线: 椭圆.平面y =k 的截痕情况:.y k ⎧⎨=⎩当|k |<b 时, 双曲线当|k |=b 时, 两对直线相交于(0,±b, 0). 2222221x z k a c b -=-.z h ⎧⎨=⎩④2222221,x y h a b c+=+④hsec cos ,sec cos ,tg .x a u y b u z c u νν=⎧⎪=⎨⎪=⎩),,(1222222为正数c b a cz by ax =-+单叶双曲面 P168.72222221,x y z a b c -+=2222221x y z a b c-++=单叶双曲面.Ax 2+By 2+Cz 2=1, ABC≠0.小结:A, B, C 两正一负表示单叶双曲面;二、双叶双曲面),,(1222222为正数c b a czb y a x -=-+对称性主平面、主轴与中心. 中心二次曲面.小结: 椭球面与双曲面(单叶,双叶)都是中心二次曲面 双叶双曲面的标准方程.),,(1222222为正数c b a czb y a x =-+单叶双曲面双叶双曲面 ),,(1222222为正数c b a cz by ax -=-+zo与坐标轴的交点顶点. 存在范围c xyc-中心二次曲面 z c=z c=-⑤⑥双曲线⑤ 双曲线⑥没交点上的截痕为平面1y y =双曲线上的截痕为平面1x x =()z h h c =≥平面上的截痕:双曲线(5) 被坐标面的平行平面所截得的曲线:.z h ⎧⎨=⎩ ⑦ 当 |h |=c 时, 双叶双曲面 ),,(1222222为正数c b a cz by ax -=-+截得的图形为点; 椭圆zc xyc-2222221,x y ha b c +=-⑤⑥ozxyocc-22211-zo y-aa-b b a b=单叶旋转双曲面双叶旋转双曲面x2222221x y za b c+-=2222221x y za b c +-=-2222220x y za b c +-=单叶: 双叶: yxzo在平面上,双曲线有渐进线。
单叶双曲面
1
(1)对称性
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
因为方程仅含有坐标的平方项,可见当
满足方程时,
点 (x, y,z) 也一定
(x, y, z)
满足,
其中正负号可任意选取,
所以单叶双曲面
关于三坐标平面, (2)顶点
三坐标轴及坐标原点都对称. 单叶双曲面与z轴不相交,
与x轴与y轴分别交于点
a,0,0与(0,b,0),
上
x 的双曲线,双曲线的实轴为 轴虚轴为 轴。
xOz z
25
思考与练习:第166页. 1. 4. 作业: 第166页 . 3. 5.
26
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1(a b)得一族椭圆,
求这些椭圆焦点得轨迹。
解
这一族椭圆的方程为
x2 y2
h2
a
2
b2
1
c2
,
z h,
即
a
2
x2 (1
h2 c2
)
y2 b2 (1
h2 c2
)
1,
z h.
23
a b 因为
轴为
,所以椭圆的长半轴为 ,从而椭圆焦点的坐标为
b
1
h2 c2
y2
b
2
z2 c2
1,
x 0.
z
y o x
6
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
当我们用一组平行平面
z h(h可为任意实数)
来截割单叶双曲面(4.5-1),便得到椭圆
x2
a
2
y2 b2
1
h2 c2
(4)
z h,
单叶双曲面与双叶双曲面参数方程的推导及其参数的几何意义
单叶双曲面与双叶双曲面参数方程的推导及
其参数的几何意义
一、单叶双曲面参数方程:
单叶双曲面参数方程是一种二维双曲曲面曲线,它可以定义为:$x^2 / a^2-y^2 / b^2=1 (a>b>0)$
从上式可以知道,一个单叶双曲面形状由两个子参数a和b确定,它的参数a代表椭圆半长轴,代表这个曲面的大小,参数b代表椭圆半短轴,代表这个曲面的形状。
二、双叶双曲面参数方程:
双叶双曲面参数方程是一种四维双曲曲面曲线,它可以定义为:$x^2 / a^2-y^2 / b^2-z^2 / c^2=1(a>b>c>0)$
从上式可以知道,双叶双曲面形状也由两个子参数a、b和c确定,其中参数a作为椭球的半长轴,变量b作为椭球的半短轴,变量c 作为椭球轴的长度,变量a表示椭球的大小,变量b和c表示椭球的形状。
双曲面数学模型
双曲面数学模型数学模型是指用数学语言和符号来刻画某种现象或问题的模型。
在数学模型中,双曲面是一种非常重要的几何模型。
双曲面是由一条直线绕着一个不在该直线上的轴旋转而成的曲面。
双曲面可以被用来描述很多物理现象和问题,如电磁场、光学、声学、流体力学等等。
双曲面的数学性质非常有趣,它可以被用来描述很多有趣的现象和问题。
下面我们将双曲面按照其不同的类别来进行介绍。
一、单叶双曲面单叶双曲面是指由一条直线绕着一个不在该直线上的轴旋转而成的曲面。
它的形状类似于一个鞍状物,因此也被称为鞍形曲面。
单叶双曲面具有很多有趣的数学性质,如其曲率半径在不同的方向上是不同的,这使得其成为了很多物理模型的理想选择。
二、双叶双曲面双叶双曲面是由两条直线分别绕着两个不在这些直线所在平面上的轴旋转而成的曲面。
双叶双曲面的形状类似于两个鞍状物组合而成的形态,因此也被称为双鞍曲面。
双叶双曲面具有很多有趣的性质,如其曲率半径在不同的方向上是相等的,这使得其在物理模型中的应用非常广泛。
三、非定向双曲面非定向双曲面是指由一条直线绕着一个不在该直线上的轴旋转而成的曲面,但是该曲面的两端没有相交。
非定向双曲面的形状类似于一个马蹄形,因此也被称为马蹄形曲面。
非定向双曲面具有很多有趣的数学性质,如其曲率半径在不同的方向上是不同的,这使得其成为了很多物理模型的理想选择。
四、双曲抛物面双曲抛物面是由一条直线绕着一个与该直线平行的轴旋转而成的曲面。
双曲抛物面的形状类似于一个向上开口的碗状物,因此也被称为开口向上的抛物面。
双曲抛物面具有很多有趣的性质,如其曲率半径在不同的方向上是相等的,这使得其在物理模型中的应用非常广泛。
总之,双曲面是一种非常重要的数学模型,它具有很多有趣的数学性质和物理应用。
在实际应用中,我们可以根据具体的问题和需求选择不同类型的双曲面模型,从而得到更加准确和精确的结果。
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利用平行截割法 即平行平面的截口来研究曲面图形的方法.
z
k
i Oj
x
y
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
如果用三个坐标平面 z 0, y 0, x 0 分别截割曲
面,那么所得的截线顺次为
x2 y2
z
a
2
b2
1,
(1)
z 0;
x2
a
2
z2 c2
y 0;
1,
(2)
z
(0,-b,0)
x
h bh b
y
(0,b,0)
如果用平行于 yOz的平面来截割单叶双曲面 (4.5-1),那么它与用平行于 xOz 的平面来截割所得
结果完全相类似.
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
xh
y
y2 z2
h2
b2
c2
1
a2
x h
x
h a
h0 h a
如果用平行于 yOz的平面来截割单叶双曲面 (4.5-1),那么它与用平行于 xOz 的平面来截割所得
1,
在主双曲线上.
x 0.
h b 当
时,
x2 z2
h2
a
2
c2
1
b2
,
截线仍为双曲线, y h.
z
但它的实轴平行于z轴,
实半轴长为 c h2 b2 , b
虚半轴平行于x轴,
x
虚半轴长为 a h2 b2 ,
b
而且它的顶点
(0, h, c b
h2 b2 )
y2
b
2
z2 c2
1,
h b
y
在主双曲线上.
x 0.
当 h b 时,
截线变成
x2 z2
h2
a
2
c2
1 b2
,
y h.
x2
a
2
z2 c2
0,
或
y b,
这是两条直线
x2
a
2
z2 c2
0,
y b.
x
z
0,
a c
或
y b;
x z 0, a c y b;
当 h b 时,
截线变成两条直线
x2 z2
a
2
y2 b2
1
h2 c2
z h,
两轴的端点分别为
z
y o
(a
1
h2 c2
,0,
h)与(0,b
1
h2 c2
,
h),
x
容易知道这两对端点分别在主双曲线(2)与(3)上.
(2)
x2
a
2
z2 c2
1,
y 0;
(3)
y2
b
2
z2 c2
1,
x 0.
这样,单叶双曲面可以看成是由一个椭圆的变动 (大小位置都改变)而产生的,这个椭圆在变动中
§ 4.5 双 曲 面
1. 单叶双曲面
定义 4.5.1 在直角坐标系下,方程
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
(4.5-1)
所表示的曲面叫做单叶双曲面,方程(4.5-1)叫做
单叶双曲面的标准方程,其中 a, b, c是任意的正常数.
现在我们从方程(4.4-1)出发来讨论椭球面的 一些最简单的图形性质.
(3)
y2
b
2
z2 c2
1,
x 0.
y o
x
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
当我们用一组平行平面 z h(h可为任意实数)
来截割单叶双曲面(4.5-1),便得到椭圆
x2
a
2
y2 b2
1
h2 c2
(4)
z
z h,
Z=h
它的两半轴分别是
y o
a
1
h2 c2
与
b
1
h2 c2
,
x
Z=h
x2
保持所在的平面与 xOy 面平行, 且两对顶点分别
沿着两个定双曲线(2)与(3)滑动
单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
当我们用一组平行平面
z h(h可为任意实数)
来截割单叶双曲面便得到椭圆
z
y o x
如果用平行于 xOz 的平面 y h
来截割单叶双曲面,
那么截线为?
先看方程是什么
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
如果用平行于 xOz 的平面 y h来截割单叶
双曲面(4.5-1),那么截线的方程为:
x2
a
2
z2 c2
1
h2 b2
,
y h.
(2)
当 h b时,截线(2)为双曲线,它的实轴平行于
a
x轴,实半轴长为 b
b2 h2 , 虚轴平行于 z轴,
虚半轴长为 b b2 h2 , 且双曲线(2)的顶点? c
y o
x
y2
b
2
z2 c2
1,
(3)
这三个截口叫做主截线
x 0.
xOy面上的椭圆,叫做单叶双曲面的腰椭圆;
(2)与(3)分别为 xOz 面与 yOz 面上的双曲线,这两
条双曲线有着共同的虚轴与虚轴长
x2 y2
z
(1)
a
2
b2
1,
z 0;
(2)
x2
a
2
z2 c2
1,
y 0;
这四点叫做单叶双曲面的顶点.
1. 单叶双曲面关于坐标 原点、各坐标面、坐标 轴对称
x2 y2 z2
a2
b2
c2
1
单叶双曲面与x和y 坐标轴的交点分别 为
(a,0,0),
(0,b,0),
x
这四个点叫做 单叶双曲面的顶点
z z M (x,y,z)
0
N
与z轴没有交点
下面继续讨论一般单叶双曲面的形状特点.
(1)对称性
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
因为方程仅含有坐标的平方项,可见当 (x, y, z)
满足方程时, 点 (x, y,z) 也一定 满足,
其中正负号可任意选取, 所以单叶双曲面
关于三坐标平面, 三坐标轴及坐标原点都对称. (2)顶点 单叶双曲面与z轴不相交,
与x轴与y轴分别交于点 a,0,0与(0,b,0),
x2
a
2
z2 c2
1
h2 b2
,
y h.
(2)
yh
h b
x轴,实半轴长为 a b2 h2 , 虚轴平行于 z轴,
b
虚半轴长为 b b2 h2 ,
c
z
( a b2 h2 , h,0)
b
且双曲线(2)的顶点
在腰椭圆(1)上
y o
x
x2
a
2
z2 c2
1
h2 b2
,
z
y h.
yh
h b
结果完全相类似. z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
y
xh
y2 z2
h2
b2
c2
1
a2
x h
h a
h a
x
如果 h a, 那么两条直线交于点(a,0,0), 如果 h a, 那么两条直线交于(-a,0,0上
h0 h b
当 h b 时,
x2 z2
h2
a
2
c2
1
b2
,
截线仍为双曲线, y h.
z
但它的实轴平行于z轴,
实半轴长为 c h2 b2 , b
虚半轴平行于x轴,
虚半轴长为 a h2 b2 , b
而且它的顶点
y o
x
(0, h, c b
h2 b2 )
y2
b
2
z2 c2
h2
a
2
c2
1 b2
,
y h.
x a
z c
0,
或
x
a
z c
0,
y b;
y b;
z
y o
x
当 h b 时,
截线变成两条直线
x a
z c
0,
y b;
或
x
z
0,
a c
y b;
x2 z2
h2
a
2
c2
1 b2
,
y h.
z
x
h hb b
y
如果h b, 那么两条直线交于点(0,b,0), 如果 h b,那么两条直线交于(0,-b,0).