河南省第一高级中学2020-2021学年高一数学下学期第二次(5月)月考试题(含解析)

郏县一高2018～2019学年第二学期第二次月考
高一数学试题卷
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（每小题5分，共12小题，每道小题有且只有一个选项正确）
1.2019是( )
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，可知20193605219
=⨯+，所以角2019和角219表示终边相同的角，即可得到答案。

【详解】由题意，可知20193605219
=⨯+，所以角2019和角219表示终边相同的角，又由219表示第三象限角，所以2019是第三象限角，故选C。

【点睛】本题主要考查了象限角的表示和终边相同角的表示，其中解答中熟记终边相同角的表示是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。

2.为了得到函数
1
cos()()
53
x
y x
=+∈R的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）
A. 先向左平行移动1
3
个单位长度，再把所得图象上所有的点的横坐标伸长到原来的5倍（纵
坐标不变）
B. 先向左平行移动π
3
个单位长度，再把所得图象上所有的点的横坐标伸长到原来的5倍（纵
坐标不变）
C. 先向右平行移1
3
个单位长度，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的
1
5
倍（纵坐
标不变）
D. 先向右平行移动π
3
个单位长度，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的
1
5
倍（纵
坐标不变）
【答案】A 【解析】 【分析】
对cos y x =先进行平移变换，再进行伸缩变换，得到答案. 【详解】对cos y x =先向左平移
1
3
个单位长度， 得到1cos 3y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
再把所得图象上所有的点的横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变， 可得1cos 53x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
故选A 项.
【点睛】本题考查余弦型函数的平移和伸缩变换，属于简单题.
3.在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点34(,)55
P -，则sin()4
π
α+
=（ ）
A.
2
2
221:4A
A A A
C C C C
v a r v v a v r ===
B.
C.
10
D. 【答案】A 【解析】 【分析】
由任意角的三角函数的定义得cos α和sin α，由正弦的两角和计算公式可得πsin α4⎛⎫+
⎪⎝
⎭
. 【详解】根据题意：x 轴的非负半轴为始边作角α，其终边与单位圆交于点34P ,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
，由任意角的三角函数的定义得sinα＝
45，3cos 5α=- ，则πsin α4⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
)sin cos 2αα+=
10
． 故选：A ．
【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.
4.设M 是平行四边形ABCD
的
对角线的交点，O 为任意一点（且不与M 重合），则
OA OB OC OD +++等于（ ）
A. OM
B. 2OM
C. 3OM
D. 4OM
【答案】D 【解析】 【分析】
因为此题为单选题，故可考虑用特殊值法去做，因为O 为任意一点，不妨把O 看成是特殊点，再代入OA OB OC OD +++，计算即可得解． 【详解】
O 为任意一点，不妨把
A
点看成
O
点，则
OA OB OC OD 0AB AC AD +++=+++，
M 是平行四边形ABCD 的对角线的交点，0AB AC AD 2AC 4OM ∴+++==
故选：D ．
【点睛】本题考查了平面向量的加法，做题时应掌握规律，认真解答．
5.平行四边形ABCD 中，120,2,3,BAD AB AD ∠===1
3
BE BC =，则AE BD ⋅=（ ） A. 3 B. 3-
C. 2
D. -2
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据向量的数量积求出AB AD ⋅，然后把AE ，BD 用AB ，AD 表示，代入结合已知即可求解
【详解】解：平行四边形ABCD 中，120,2,3,BAD AB AD ∠===， ∴AB AD ⋅=21332⎛⎫
⨯⨯-
=- ⎪⎝⎭
，
∵1
3
BE BC =， ∴11
33
AE AB BC AB AD =+=+，BD AD AB =-，
则AE BD ⋅=（1
3
AB AD +）•（AD AB -）
2212
33AD AD AB AB =+⋅- ＝3()2
3433
+⨯--=-
故选：B ．
【点睛】本题考查两个向量的数量积的定义，数量积公式的应用，考查计算能力与转化能力．
6.为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（ ） A. 总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 B. 总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 C. 总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007 D. 总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007 【答案】B 【解析】 【分析】
根据总体、样本及样本的容量的概念，得到答案. 【详解】根据题目可知，
总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 故选B 项.
【点睛】本题考查总体、样本及样本的容量的概念，属于简单题.
7.下图的框图是一古代数学家的一个算法的程序框图，它输出的结果S 表示（ ）
A. 0123a a a a +++的值
B. 23
3201000a a x a x a x +++的值
C. 23
0102030a a x a x a x +++的值
D. 以上都不对
【答案】C 【解析】
试题分析：首先执行第一次判断，，所以有，
；执行
第二次判断，，所以有，
；执
行
第
三
次判
断
，
，
所
以
有，；执行第四次判断，
，输出
；所以本题的正确选项为C.
考点：程序框图.
8.已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A. 2
70,75x s =<
B. 2
70,75x s =>
C. 2
70,75x s ><
D.
270,75x s <>
【答案】A 【解析】
【分析】
分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案． 【详解】由题意，根据品滚石的计算公式，可得705080607090
7050
x ⨯+-+-==，
设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，
则()()()()()22
222
12481757070706070907050x x x ⎡⎤=
-+-++-+-+-⎣
⎦
()()()222
1248170707050050x x x ⎡⎤=
-+-++-+⎣⎦， ()()()()()22222
2124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦ ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣
⎦， 故275s <．选A ．
【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．
9.在平行四边形ABCD 中，E,F 分别为边BC,CD 的中点，若AB x AE y AF =+(,),x y R ∈则
x y += ( )
A. 2
B. 1
C.
3
2
D.
23
【答案】D 【解析】 【分析】
画出图像，利用向量的线性运算，表示出AB ，由此求得,x y 的值，进而求得x y +的值. 详解】∵12AE AB BE AB AD =+=+,1
2
AF AD DF AB AD =+=+, ∴1122xAE y AF x AB AD y AB AD ⎛
⎫⎛⎫
+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，又AB x AE y AF =+, ∴1,022y x
x y +
=+=，解得23
x y +=， 故选D.
【点睛】本小题主要考查向量加法运算，考查平面向量基本定理，属于基础题.
10.对于任意向量a ，b ，下列命题中正确的是（ ） A. 如果a ，b 满足a b >，且a 与b 同向，则a b > B. ||||||a b a b +≤+ C. ||||||a b a b ⋅>⋅ D. a b a b -≤- 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量的模长，向量的线性运算，向量的数量积，对四个选项进行判断，得到答案. 【详解】选项A 中，向量不能进行比较大小，所以错误；
选项B 中，a b a b +≤+两边平方，整理化简得a b a b ⋅≤⋅，即cos ,1a b ≤，所以正确；
选项C 中，当a 与b 同向时，a b a b ⋅=⋅，所以错误；
选项D 中，当a b <时，0a b a b -<-<，不成立，所以错误. 故选B 项.
【点睛】本题考查向量的模长，向量的线性运算，向量的数量积等，属于简单题.
11.已知函数()tan 2f x x =，则下列说法不正确的是（ ） A. ()y f x =的最小正周期是π B. ()y f x =在ππ
(,)44
-
上单调递增 C. ()y f x =是奇函数
D. ()y f x =的对称中心是
π
(
,0)()4
k k ∈Z 【答案】A 【解析】 【分析】
对()tan 2f x x =进行研究，求出其最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，从而得到答案.
【详解】()tan 2f x x =，最小正周期为2
T π
=；
单调增区间为22
2
k x k π
π
ππ-
<<+
，即24
24k k x
x ππ
ππ⎧⎫-<<+⎨⎬⎩⎭，故0k =时，()f x 在
,44ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增； ()f x 定义域关于原点对称，()()()tan 2tan 2f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函数； ()f x 对称中心横坐标为22k x π=
，即4k x π=，所以对称中心为,04k π⎛⎫
⎪⎝⎭
()k ∈Z 【点睛】本题考查了正切型函数的最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，属于简单题.
12.已知函数()()2cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分函数图像如图所示，点()
0,3,,06A B π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则函数()f x 图像的一条对称轴方程为（）
A. 12
x π
=-
B. 3
x π
=-
C. 18
x π
=
D. 24
x π
=
【答案】D 【解析】 【分析】
由条件确定函数()()2cos f x x ωϕ=+的解析式，再根据余弦函数图象的对称性，可得结果． 【详解】由()()2cos f x x ωϕ=+的图象知，f （0）＝2cos 3ϕ=
3
cos ϕ=
，
又2
π
ϕ<
，∴6
π
ϕ=
或6
π
ϕ=-
；
又由五点作图可知，函数()f x A 点附近呈上升趋势，应满足6
π
ϕ=-
，
当6
π
ϕ=-时，f （
6π）＝2cos （6πω6
π
-）＝0， ∴
6πω62
ππ
-=，解得ω＝4； ∴()2cos 46f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭；
令46
x π
-
=k π，k ∈Z ，求得x 424
k ππ
=
+，k ∈Z ； k ＝0时，得函数g （x ）图象的一条对称轴方程为x 24
π
=
．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查由图像及性质确定解析式，关键是ϕ的确定，考查了余弦函数图象的对称性问题，是中档题．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（每题5分，共4小题，20分） 13.从8:05到8:50，分针转了________（rad ）． 【答案】3π
2
- 【解析】 【分析】
先计算分针两次位置的夹角大小，再确定其正负，得到答案. 【详解】从8:05到8:50，过了45分钟，时针走一圈是60分钟， 故
4532602
ππ⨯= 分针是顺时针旋转，应为负角， 故分针转了32
π
-
. 【点睛】本题考查弧度制的应用，属于简单题.
14.执行如图的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =________．
【答案】3 【解析】 【分析】
根据输入值，按照框图的循环要求，得到每一次循环结束后的值，根据判断语句，停止循环，得到输出值.
【详解】1,0,1a S K =-==
第一次()0111,1,2S a K =+-⨯=-=-=； 第二次1121,1,3S a K =-+⨯==-=； 第三次()1132,1,4S a K =+-⨯=-==； 第四次2142,1,5S a K =-+⨯==-=； 第五次()2153,1,6S a K =+-⨯=-==； 第六次3163,1,7S a K =-+⨯==-=. 不符合循环条件6K ≤，退出循环，输出3S =.
【点睛】本题考查根据框图的循环结构，得到输出值，属于简单题.
15.已知1e ，2e 是夹角为60︒的两个单位向量，若12a e e =+，1242b e e =-+，则a 在b 方向上的投影等于________．
【答案】-【解析】 【分析】
先求出a 和b 之间的夹角θ的余弦，然后计算出cos a θ⋅，得到结果. 【详解】因为1e ，2e 是夹角为60︒的两个单位向量 所以12121cos 2
e e e e θ⋅=⋅= 因为12a e e =+，所以(
)
2
22
12
1212+23a e e e e e e =
+=+⋅=
因为1242b e e =-+，所以(
)
2
22
12
1212421641623b e e e e e e =
-+=+-⋅=
()(
)
2
2
12121212424223a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-+=-+-⋅=-
设a 与b 的夹角为θ， 则31
cos 232a b a b
θ⋅-=
=
=-⋅⋅
所以a 在b 方向上的投影等于1cos 22a θ⎛⎫
⋅=-
=- ⎪
⎝⎭
【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积，向量的夹角公式，向量投影的求法，属于中档题.
16.已知ABC ∆中，2AB =，AC =cos A =，则BC =________．
【解析】 【分析】
由余弦定理，直接计算出2BC ，从而得到结果. 【详解】在ABC 中，由余弦定理得
2222cos 432233
BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅=+-⨯=，
所以BC =【点睛】本题考查余弦定理解三角形，属于简单题.
三、解答题（共6小题，70分，请写出必要的演算步骤，文字说明，解题过程） 17.已知OA a =，OB b =，任意点M 关于点A 的
对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ．
（Ⅰ）用a ，b 表示向量MN ；
（Ⅱ）设||1a =，||2b =，MN OA ⊥，求a 与b 的夹角． 【答案】（Ⅰ）2()MN b a =-；（Ⅱ）π
3
θ=. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）得到AB 为中位线，表示出2MN AB =，得到答案；（Ⅱ）由MN OA ⊥，表示出a ，b 之间的关系等式，利用向量的数量积公式，得到答案. 【详解】解：（Ⅰ）由题意可得，
AB 是SMN 的中位线，
故有22()2()MN AB OB OA b a ==-=-． （Ⅱ）记a 与b 的夹角为θ MN OA ⊥，
∴0MN OA ⋅=，即2()0b a a -⋅=， 2
0b a a ⋅-=,2
cos 0b a a θ⋅⋅-
=
代入||1a =，0
得2cos 10θ-=，即1
cos 2
θ= 而[]0,θπ∈∴π3
θ=
【点睛】本题考查向量的基底表示，向量的数量积，向量垂直的表示，属于简单题.
18.平顶山市公安局交警支队依据《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：所有主干
道路凡机动车途经十字口或斑马线，无论转弯或者直行，遇有行人过马路，必须礼让行人，违反者将被处以100元罚款，记3分的行政处罚．如表是本市一主干路段监控设备所抓拍的5个月内，机动车驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y bx a =+； （Ⅱ）预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．
参考公式：()()
()
1
1
2
2
2
1
1
n
n
i i
i
i i i n
n
i
i i i
x y
nxy
x
x y y
b x
x x
nx
====---=
=--∑∑∑∑，a y bx =-．
【答案】（Ⅰ）8.5 125.5y x =-+；（Ⅱ）66人. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）计算出x 和y ，然后根据公式，求出ˆa 和ˆb ，得到回归直线方程；（Ⅱ）根据回归直线
方程，代入7x =
【详解】解：（Ⅰ）由表中数据，计算；1
(12345)35
x =
⨯++++=， 1
(1201051009085)1005
y =⨯++++=，
12
21
1120210531004908555310!14151500
8.51491625595545
n
i i
i n i i x y
nxy
b x nx
==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯-=
=
==-++++-⨯--∑∑，
1008.53125.5a y bx =-=+⨯=
所以y 与x 之间的回归直线方程为8.5 125.5y x =-+； （Ⅱ）7x =时，8.5 125.566y x =-+=，
预测该路段7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为66人．
【点睛】本题考查最小二乘法求回归直线方程，根据回归方程进行预测，属于简单题.
19.某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天
的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)水量
频数13249265
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)
频数151310165
（Ⅰ）作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
（Ⅱ）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）3
47.45m.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，画出频率分布直方图；（Ⅱ）计算出未使用水龙头50天的日均水量和使用节水龙头50天的日均用水量，得到日均节水量，然后求出一年能节省的水量.
【详解】解：（Ⅰ）根据使用了节水龙头5050天的日用水量频数分布表，
作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图．如下图
（Ⅱ）由题意得未使用水龙头50天的日均水量为：
1
(10.0530.1520.2540.3590.45260.5550.65)0.4850
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 使用节水龙头50天的日均用水量为：
1
(10.0550.15130.25100.35160.4550.55)0.3550
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省：3365(0.480.35)47.45m ⨯-=． 【点睛】本题考查频率分布直方图的画法，根据频数分布表进行计算，属于简单题.
20.已知函数π
()4sin cos()6
f x x x =⋅-．
（Ⅰ）求π()3
f 的值及函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．
【答案】（Ⅰ）π()33f =；最小正周期为π；（Ⅱ）[π,πππ
]()63k k k -++∈Z .
【解析】 【分析】
（Ⅰ）利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式等对()f x 进行整理化简，得到正弦型函数的
形式，然后求出3f π⎛⎫
⎪⎝⎭
和最小正周期；
（Ⅱ）令π2π22π()262ππ
k x k k -+≤-≤+∈Z ，解出x 的范围，得到()f x 的单调递增区间.
【详解】解：（Ⅰ）函数π
()4sin cos()6f x x x =⋅-
1
4sin sin )2
x x x =+
222sin x x =+
21cos 2x x =+-
π
2sin(2)16
x =-+．
所以：ππ
()2sin 1332
f =+=．
所以函数的最小正周期为：2π
π2
T ==． （Ⅱ）令：π2π22π()262
ππ
k x k k -+≤-≤+∈Z ，
解得：ππ)63
π(π
k x k k -+≤≤+∈Z ．
所以函数的单调递增区间为()π
ππ,π6
3k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．
【点睛】本题考查三角函数公式的运用，求正弦型函数的值，周期和单调区间，属于简单题.
21.如图，摩天轮的半径为40m ，O 点距地面的高度为50m ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每2min 转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最高点.
（Ⅰ）试确定点P 距离地面的高度h （单位：m ）关于转动时间（单位：min ）的函数关系式；
（Ⅱ）摩天轮转动一圈内，有多长时间点P 距离地面超过70m ？ 【答案】（1）5040cos h t π=+（2）2
min 3
【解析】 【分析】
（1）由图形知，以点O 为原点，0OP 所在直线为y 轴，过O 且与0OP 垂直的向右的方向为x 轴建立坐标系，得出点P 的纵坐标，由起始位置得2
π
ϕ=，即可得出在时刻tmin 时P 点距离
地面的高度的函数；
（2）由（1）中的函数，令函数值大于70解不等式即可得出P 点距离地面超过70m 的时间． 【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系，
设()02ϕϕπ≤≤是以x 轴正半轴为始边，0OP （0P 表示点P 的起始位置）为终边的角， 由题点P 的起始位置在最高点知，2
π
ϕ=，
又由题知OP 在min t 内转过的角为
22
t π
，即t π， 所以以x 轴正半轴为始边，OP 为终边的角为2
t π
π+
，
即P 点纵坐标为40sin 2t ππ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，
所以点P 距离地面的高度h 关于旋转时间t 的函数关系式是5040sin 2h t ππ⎛
⎫
=++ ⎪⎝
⎭
， 化简得5040cos h t π=+.
（2）当5040cos 70t π+>时，解得112233
k t k -
<<+， 又02t ≤≤，所以符合题意的时间段为103t ≤<或5
23
t <≤，即在摩天轮转动一圈内，有
2
min 3
P 点距离地面超过70m . 【点睛】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的坐标系，得出相应的函数的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等），解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角，本题属于中档题．
22.已知向量(sin 2x a =与21(cos ,cos )222x x
b =-，其中π(0,)2
x ∈．
（Ⅰ）若a b ⊥，求tan x 的值； （Ⅱ）记函数()f x a b =⋅，且1
()3
f α=
．求sin α的值．
【答案】（Ⅰ）tan x =. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由a b ⊥，得到0a b ⋅=，得到关于x 的式子，整理得tan x 的值；（Ⅱ）根据条件得到
1sin 33πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，再得到sin α的值.
【详解】解：（Ⅰ）向量sin 2x a ⎛= ⎝与2
1cos ,cos
222x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中π0,2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
．
a b ⊥．sin 0x x -=
∴
tan x =（Ⅱ）π1()sin 33f a α⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∴1sin 3π3α⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
π
02α<<，∴ππ36
π3α-<-<，
∴cos 33
πα⎛⎫-= ⎪⎝
⎭
sin sin sin cos cos sin 33333ππππ3ππαααα∴=-+=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭-⎣⎦+
1132=⨯+ 【点睛】本题考查向量的数量积，向量垂直的转化，三角函数的给角求值，属于简单题.。